精品解析： 安徽省六安市金安区皋城中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷

2025-2026学年安徽省六安市金安区皋城中学九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象有最低点，其坐标是（1，2） B. 图象有最高点，其坐标是（﹣1，2） C. 当x＜1时，y随x的增大而减小 D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 4. 在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形纸片中，，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点A落在上的点G处，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 7. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．学校为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一天进馆1280人次，进馆人次逐日增加，第三天进馆2880人次，若进馆人次的日平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数的图像如图，则二次函数在平面直角坐标系中的图像可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，以为斜边作，与交于点F，连接，使得，且，若，则菱形的周长为（　　） A. B. C. D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 函数中，自变量的取值范围是______． 12. 一组数据3，4，x，7，8的平均数是6，这组数据的中位数为______． 13. 已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的一边长为，另两边长恰好是该方程的两个根，则的值是______． 14. 在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）此二次函数的对称轴为直线______； （2）已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是______； 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点． （1）作三角形，使三角形的三边长分别为，，； （2）请求（1）中你所画的的边上的高的长度． 18. 如图，在平行四边形中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求平行四边形的面积． 19. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 20. 中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）写出扇形图中______，并补全条形图； （2）样本数据的平均数是______，众数是______，中位数是______； （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1200人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 21. 某村今年收获12万千克的茭白，计划在A市和B市全部销售.在A市销售时，每千克茭白的利润为2元；在B市销售时，平均每千克茭白的利润（元）与B市的销售量（万千克）之间的关系满足 （1）若该村销售完所有茭白共获利万元，求该村在B市销售茭白多少万千克； （2）若在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，且，求出m与n所满足关系式？ 22. 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C. 图1 图2 （1）求该抛物线的解析式； （2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长； （3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨） 23. 如图，中，于点D，，点E在上，，连接． （1）求证: ； （2）延长交于点F，连接，求的度数； （3）过点C作，，连接交于点N，若，，直接写出的面积 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年安徽省六安市金安区皋城中学九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用最简二次根式，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，选项错误，不符合题意； B. 与不是同类项，，选项错误，不符合题意； C. ，选项正确，符合题意； D. ，选项错误，不符合题意． 故选：C． 3. 对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象有最低点，其坐标是（1，2） B. 图象有最高点，其坐标是（﹣1，2） C. 当x＜1时，y随x的增大而减小 D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：A、由于a＝﹣1＜0，所以开口向下，有最大值，故A不符合题意． B、由二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知顶点为（1，2），故B不符合题意． C、由二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知对称轴为x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，故C不符合题意． D、二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知对称轴为x＝1，当x＞1时，y随x的增大而减小，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型． 4. 在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：∵，则 ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴可设， ∴， 即， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵，且， ∴, ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 5. 如图，在矩形纸片中，，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点A落在上的点G处，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，根据折叠的性质可得 ，再由矩形的性质可得 ，从而得到 ，然后设 ，则 ，在 中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， 在矩形纸片中， ， ∴在 中， ， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中， ， ∴ ，解得： ， 即 ． 故选：B． 6. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，分和，两种情况，利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解：当时，方程为，解得：，满足题意； 当时，为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且； 综上：； 故选C． 7. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．学校为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一天进馆1280人次，进馆人次逐日增加，第三天进馆2880人次，若进馆人次的日平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用第三天进馆人次=第一天进馆人次×(1+平均增长率) ×(1+平均增长率)，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 已知一次函数的图像如图，则二次函数在平面直角坐标系中的图像可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像，得到，故，判定即可． 【详解】解：观察函数图像可知：， ∴二次函数的图像对称轴，与y轴的交点在y轴正半轴． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数，二次函数图像的综合，正确读取图像信息是解题的关键． 9. 如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等知识点．通过延长线构造全等三角形，将转化为，结合勾股定理求线段长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选B． 10. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，以为斜边作，与交于点F，连接，使得，且，若，则菱形的周长为（　　） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握菱形的四条边相等、对角线互相垂直、灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 连接，连接，根据菱形的性质和由直角三角形的性质准备条件，根据证明，得出，设，求出，由勾股定理可得出，进一步可得出结论． 【详解】连接，连接，如图所示， ∵菱形，， ，， 在中， ， 又 ， 又 在和中， ∵ 设，， 在中， （舍去） ∴ ∴菱形的周长为， 故选：B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．解题的关键在于对知识的熟练掌握．由题意知，，解得，进而可得自变量的取值范围． 【详解】解：由题意知，， 解得：， 故答案为：． 12. 一组数据3，4，x，7，8的平均数是6，这组数据的中位数为______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据：一组数据3，4，x，7，8的平均数是6，可得：3+4+x+7+8＝6×5，据此求出x的值是多少，进而求出这组数据的中位数为多少即可． 【详解】∵一组数据3，4，x，7，8的平均数是6， ∴3+4+x+7+8＝6×5＝30， 解得x＝8， 将这组数据从小到大排列为：3，4，7，8，8， ∴这组数据的中位数为7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了平均数和中位数的定义及求法，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数;中位数：是指将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于最中间位置的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数. 13. 已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的一边长为，另两边长恰好是该方程的两个根，则的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．已知可能是底，也可能是腰，分两种情况求得，的值后，可得结论． 【详解】解：若为底边，设，为腰长，则，则， ， 解得：， 此时原方程化为， ，即， 此时三边为，，能构成三角形， ； 若，则或，即方程有一根为， 把代入方程，得， 解得：， 此时方程为， 解得：，， 方程另一根为， 、、能构成三角形， ，综上，的值为或， 故答案为：或． 14. 在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）此二次函数的对称轴为直线______； （2）已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是______； 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数，经过和，是对称点，算出对称轴即可； （2）根据对称轴为直线，点和在二次函数的图象上，画出函数图象，点关于对称轴的对称点，分析图象，写出的取值范围即可． 【详解】（1）二次函数， 函数经过和，是对称点， 对称轴为直线， 故答案为： （2）二次函数， 二次项系数为， 函数图象开口向上， 又和在此函数的图象上，对称轴为直线， 画出图象如下图，点关于对称轴的对称点横坐标， ， 点应在线段下方部分的抛物线上（包括点、）， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象数形结合是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据相应的运算法则计算即可． 【详解】 ． 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）先化简，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ，； 【小问2详解】 解： ， ， 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是计算本题的关键． 17. 如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点． （1）作三角形，使三角形的三边长分别为，，； （2）请求（1）中你所画的的边上的高的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理确定边，即可画出相应的图形； （2）利用等面积法求解即可 【小问1详解】 如图所示：即为所求作： 【小问2详解】 设边上的高为，如图， ∵， ∴， ∴，即的边上的高为． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格作图，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 18. 如图，在平行四边形中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求平行四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，． ∴，， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）12 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键． （1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明，则，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证得结论； （2）根据平行四边形的性质得到，再根据三线合一得到，然后利用勾股定理求得，进而利用平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． 19. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1）； （2），证明： 由（1）可得： 第个等式为：， 证明：左边， 左边右边， 等式成立． 故答案为：． 【解析】 【分析】（1）根据数字规律求解； （2）根据数字规律及二次根式的性质计算． 【详解】解：（1）由题意： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第4个等式为：， 故答案为：； （2）略 【点睛】本题考查数字类规律探索，分式的加减运算和二次根式的化简，理解题意发现数字间的规律是解题关键． 20. 中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）写出扇形图中______，并补全条形图； （2）样本数据的平均数是______，众数是______，中位数是______； （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1200人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 【答案】（1）25%， 条形统计图补充如下： （2）5.3，5，5；（3）540名. 【解析】 【分析】（1）用1减去其他人数所占的百分比即可得到a的值，再计算出样本总数，用样本总数×a的值即可得出“引体向上达6个”的人数； （2）根据平均数、众数与中位数的定义求解即可； （3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1200即可． 【详解】解：（1）由题意可得， ， 样本总数为：， 做6个的学生数是， 故答案是：25％； （2）由补全的条形图可知， 样本数据的平均数， ∵引体向上5个的学生有60人，人数最多， ∴众数是5， ∵共200名同学,排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个， ∴中位数为， 故答案是：5.3，5，5； （3）该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有： （名）， 即该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有540名． 【点睛】本题主要考查了众数，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，中位数，平均数，掌握众数，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，中位数，平均数是解题的关键. 21. 某村今年收获12万千克的茭白，计划在A市和B市全部销售.在A市销售时，每千克茭白的利润为2元；在B市销售时，平均每千克茭白的利润（元）与B市的销售量（万千克）之间的关系满足 （1）若该村销售完所有茭白共获利万元，求该村在B市销售茭白多少万千克； （2）若在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，且，求出m与n所满足关系式？ 【答案】（1）B市销售茭白3万千克或8万千克 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该村在B市销售茭白x万千克，则在A市销售茭白万千克，根据该村销售完所有茭白共获利万元，列出一元二次方程，解方程即可； （2）由题意可知，在B市销售茭白m万千克，则在A市销售茭白万千克，在B市销售茭白n万千克，则在A市销售茭白万千克，根据在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，可得，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设该村在B市销售茭白x万千克，则在A市销售茭白万千克， 根据题意得：， 整理得：， ，解得：，， 答：该村在B市销售茭白3万千克或8万千克； 【小问2详解】 解：由题意可知，在B市销售茭白m万千克，则在A市销售茭白万千克， 在B市销售茭白n万千克，则在A市销售茭白万千克， 根据题意得：， ， 不符合题意，舍去或， 答：m与n所满足的关系式为 22. 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C. 图1 图2 （1）求该抛物线的解析式； （2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长； （3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨） 【答案】（1） （2）2 （3）当点的坐标分别为，，，时， 【解析】 【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （2）结合抛物线的解析式得到点C、F的坐标，利用B、C的坐标可以求得直线BC的解析式，由一次函数图像上点的坐标特征和点的坐标与图形的性质进行解答即可； （3）根据P点在抛物线上设出P点，然后再由S△PAB=8，从而求出P点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴的两个交点分别为，， ∴，解得． ∴所求抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的解析式为，则， 又， ∴． 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得，则该直线的解析式为． 故当时，，即， ∴， 即． 【小问3详解】 解：设点，由题意，得， ∴，∴， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，， ∴当点的坐标分别为，，，时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和待定系数法求一次函数以及一次函数图像上点的坐标特征，抛物线解析式的三种形式之间的转化，熟练掌握函数的性质是解答此题的关键． 23. 如图，中，于点D，，点E在上，，连接． （1）求证: ； （2）延长交于点F，连接，求的度数； （3）过点C作，，连接交于点N，若，，直接写出的面积 ． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】(1)运用SAS证明即可． (2)过点D作交于点P，根据证明，再证明，得证，计算即可． (3)在上截取，连接，延长交于点F，根据(1)（2）得证，，结合，得证，计算，根据面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点D作交于点P，根据(1)得， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 如图，在上截取，连接，延长交于点F，根据(1)（2）得证，，； ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $