精品解析：安徽省芜湖市第二十九中学2020-2021学年下学期八年级期中教学质量评估试卷

2020-2021学年第一学期八年级期中数学质量评估试卷 数学 （命题人：鲍炜 满分150分） 注意事项： 1、时间：120分钟 2、请将答案填写在答题卷上．考试结束后，请将试题卷和答题卷一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 若满足下列某个条件，则它不是直角三角形的是( ) A. B. C. D. 2. 如果三角形的两边长分别为3和5，那么周长l的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD平分∠BAC，则S△ABD：S△ADC为（　　） A. 4：3 B. 16：19 C. 3：4 D. 不能确定 4. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 5. 已知a＞0，b＜0，则点P（a+1，b﹣1）关于y轴对称的点一定在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为( ) A. B. 4 C. D. 7. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　　　） A. 60° B. 10° C. 45° D. 10°或60° 9. 等腰三角形的一个外角等于，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，或， 10. 设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……， 依此类推，则S5的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分） 11. 平面直角坐标系中的点关于x轴的对称点在第四象限，则m的取值范围为___________． 12. 如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是______． 13. 如图，在中，，，分别是，，的中点，，则________． 14. 如图，、、三点在同一条直线上，平分，，于，若，，则的长为______． 15. 如图，在中，，、、分别平分的外角，内角，外角，以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有______． 三、解答题（本大题共8小题，共85分） 16. 如图，在中，是的角平分线，是边上的高，且，，求的度数． 17. 不等边的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，试求它的长度． 18. 已知，如图，中，，，l是过A的一条直线，于E，于D． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，顶点坐标为．将沿轴翻折得到． （1）在图中作出关于的对称图形． （2）写出各顶点的坐标． 20. 如图，在中，，，D是上一点，交延长线于点E，且，求证：是的角平分线． 21. 如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC， （1）求∠APO+∠DCO的度数； （2）求证：AC=AO+AP. 22. 概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 理解概念 （1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”． 概念应用 （2）如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的等角分割线． （3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数． 23. 如图，已知，，且，满足． （1）求，两点的坐标． （2）如图，连接，若，于点，，关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论． （3）如图，在（）的条件下，若是线段上的一个动点，是延长线上的一点，且，连接交轴于点，过点作轴于点，当点在线段上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年第一学期八年级期中数学质量评估试卷 数学 （命题人：鲍炜 满分150分） 注意事项： 1、时间：120分钟 2、请将答案填写在答题卷上．考试结束后，请将试题卷和答题卷一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 若满足下列某个条件，则它不是直角三角形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A.∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A+∠B， ∴∠C=90°，即三角形是直角三角形，故本选项错误； B.∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A−∠B， ∴∠A=90°，即三角形是直角三角形，故本选项错误； C.∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A:∠B:∠C=1:4:3 ∴∠B=90°，即三角形是直角三角形，故本选项错误； D.∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=2∠B=3∠C， ∴∠A≈98°，即三角形不是直角三角形，故本选项正确； 故选D. 2. 如果三角形的两边长分别为3和5，那么周长l的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形边之间的关系是解题的关键． 先根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围，然后再求其周长的取值范围即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系得：第三边大于，且小于． 则周长的取值范围是，即． 故选：C． 3. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD平分∠BAC，则S△ABD：S△ADC为（　　） A. 4：3 B. 16：19 C. 3：4 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线性质推出＝，设△ABC边BC上的高是h，根据三角形的面积公式推出S △ABD：S△ADC为BD：CD，代入求出即可． 【详解】解：如图：过C做CE∥AD，交BA的延长线于E， ∵CE∥AD， ∴∠E＝∠BAD，∠ACE＝∠CAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠E＝∠ECA， ∴AC＝AE， ∵AD∥CE， ∴＝， ∴＝＝， 设△ABC边BC上的高是h， ∴ ＝＝＝， 故选：A． 【点睛】本题考查角平分线性质和三角形面积的应用，熟练运用性质进行推理是解决此题的关键 4. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE， ∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF； ∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF； ∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键． 5. 已知a＞0，b＜0，则点P（a+1，b﹣1）关于y轴对称的点一定在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】依据a＞0，b＜0，即可得出点P在第四象限，进而得到点P关于y轴对称的点一定在第三象限． 【详解】∵a＞0，b＜0， ∴a+1＞0，b﹣1＜0， ∴点P在第四象限， ∴点P关于y轴对称的点一定在第三象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是正确确定P点所在象限． 6. 如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为( ) A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出AD＝BD，根据∠FBD＋∠C＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，推出∠FBD＝∠CAD，根据ASA证△FBD≌△CAD，推出CD＝DF即可． 【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°， ∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°， ∵∠AFE=∠BFD， ∴∠EAF=∠FBD， ∵∠ADB=90°，∠ABC=45°， ∴∠BAD=45°=∠ABC， ∴AD=BD， 在△ADC和△BDF中 ， ∴△ADC≌△BDF， ∴DF=CD=4， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件． 7. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，进而即可求出结果，熟练掌握其性质并能灵活运用一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及三角形的内角和为是解决此题的关键． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　　　） A. 60° B. 10° C. 45° D. 10°或60° 【答案】D 【解析】 【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC=90°或∠ACD=90°，根据三角形的内角和定理可得结论． 【详解】分两种情况： ①如图1，当∠ADC=90°时， ∵∠B=30°， ∴∠BCD=90°-30°=60°； ②如图2，当∠ACD=90°时， ∵∠A=50°，∠B=30°， ∴∠ACB=180°-30°-50°=100°， ∴∠BCD=100°-90°=10°， 综上，则∠BCD的度数为60°或10°； 故选D； 【点睛】此题考查三角形的内角和定理和三角形外角的性质，分情况讨论是本题关键． 9. 等腰三角形的一个外角等于，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，或， 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质求解. 【详解】∵等腰三角形的一个外角等于80°，∴与其不相邻的两个内角之和是80°，∵与外角相邻的那个内角的度数为180°－80°＝100°，是钝角∴与外角相邻的那个内角是等腰三角形的顶角，∴与外角不相邻的两个内角的度数为80÷2＝40°.故选A. 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质和等腰三角形的性质.三角形的任意一个外角，等于两个不相邻内角之和，掌握这个知识点是解题的关键. 10. 设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……， 依此类推，则S5的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图1，连接OC，∵、分别将边BC、AC2等份， ∴， ∴，即， 根据等底同高的两个三角形的面积相等可得， ∴， ∴， ∴； 如图2，连接OC，OD1，OE2，由图（1）的方法可得 ， ∴， ∴ ， 同样的方法可求得，以此类推可得． 故选D． 【点睛】本题是规律探究题，主要考查等底同高的两个三角形的面积相等，与三角形中线有关的面积问题；能从图中观察，并能适当添加辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分） 11. 平面直角坐标系中的点关于x轴的对称点在第四象限，则m的取值范围为___________． 【答案】0＜m＜2； 【解析】 【分析】平面直角坐标系中关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，可先求出P的对称点，然后根据第四象限内点的坐标符号列出不等式组，解出即可． 【详解】设点P关于x轴的对称点为点，则， ∵在第四象限， ∴，解得0＜m＜2， ∴m的取值范围为：0＜m＜2． 故答案为：0＜m＜2． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，根据直角坐标系中点的坐标特点列出不等式组是解题的关键． 12. 如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，解题的关键是证明． 过A和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：如下图，过A和B分别作于D，于E， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点C的坐标为，点A的坐标为， ， ， ， 点的坐标是， 故答案为： 13. 如图，在中，，，分别是，，的中点，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”解答即可． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，深刻理解三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题关键． 14. 如图，、、三点在同一条直线上，平分，，于，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】作DN⊥AC于N，易证Rt△DCN≌Rt△DCM，可得CN=CM，进而可以证明Rt△ADN≌Rt△BDM，可得AN=BM，即可解题． 【详解】作DN⊥AC于N， ∵CD平分∠ACE，DM⊥BE ∴DN=DM    在Rt△DCN和Rt△DCM中， ， ∴Rt△DCN≌Rt△DCM（HL）， ∴CN=CM， 在Rt△ADN和Rt△BDM中， ， ∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL）， ∴AN=BM， ∵AN=AC-CN，BM=BC+CM， ∴AC-CN=BC+CM ∴AC-CM=BC+CM ∴2CM=AC-BC， ∵AC=2，BC=， ∴CM=0.25． 故答案为:0.25． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，考查了直角三角形对应边相等的性质，本题中求证CN=CM，AN=BM是解题的关键． 15. 如图，在中，，、、分别平分的外角，内角，外角，以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故②不符合题意； ③在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故答案是：①③④． 三、解答题（本大题共8小题，共85分） 16. 如图，在中，是的角平分线，是边上的高，且，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， 又∵是边上的高， ∴． 17. 不等边的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，试求它的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积、三角形三边之间的关系、解不等式等知识点．灵活运用相关知识是解题的关键． 设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，的面积是S，根据三角形面积公式可得，再根据三角形三边的不等关系列出关于h的不等式求解即可． 【详解】解：设长度为4、12的高分别是a，b边上的高，边c上的高为h，的面积是S，则， 又∵， ∴，即，解得：， ∴或5， ∵不等边， ∴． 18. 已知，如图，中，，，l是过A的一条直线，于E，于D． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用判定三角形全等是解题的关键． （1）由得出，再根据可知，即，再运用定理可得出，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据（1）中可得，然后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 在与中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，顶点坐标为．将沿轴翻折得到． （1）在图中作出关于的对称图形． （2）写出各顶点的坐标． 【答案】（1） 如图所示： （2），， 【解析】 【分析】本题考查的是作图轴对称变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）作出，，关于轴的对称点，连接即可． （2）直接写出各点坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 20. 如图，在中，，，D是上一点，交延长线于点E，且，求证：是的角平分线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】延长、交于点F，利用即可证出，从而得出，结合可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，利用三线合一即可证出结论． 此题主要考查了全等三角形，线段垂直平分线，等腰三角形，熟练掌握全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三线合一，是解题关键． 【详解】如图，延长、交于点F． ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 21. 如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC， （1）求∠APO+∠DCO的度数； （2）求证：AC=AO+AP. 【答案】（1）30°；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解； (2) 在AC上截取AE=PA，先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP． 【详解】解：（1）如图1，连接OB， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°， ∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30° ∵OP=OC， ∴OB=OC=OP， ∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO， ∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°； 故答案为30°； (2)如图2，在AC上截取AE=PA ∵∠PAE=180°-∠BAC=60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA， ∴∠APO+∠OPE=60°， 由（1）可知， ∠CPO+∠OCP=120° ∴∠POC =60°, ∴△OPC是等边三角形， ∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°， ∴∠APO=∠CPE， ∵OP=CP， 在△OPA和△CPE中， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO=CE， ∴AC=AE+CE=AO+AP 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 22. 概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 理解概念 （1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”． 概念应用 （2）如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的等角分割线． （3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数． 【答案】（1）与，与，与是“等角三角形”；（2）见解析；（3）或或或； 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据“等角三角形”的定义解答； （2）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到，根据“等角三角形”的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴，同理，， ∵， ∴与，与，与是“等角三角形”； （2）∵在中，，， ∴ ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的等角分割线； （3）当是等腰三角形， 如图2，时，， ∴， 当是等腰三角形， 如图3，时，， ， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形， 如图4，时， ， ∴， 当是等腰三角形， 如图5，时， ， 设， 则， 则， 由题意得，， 解得，， ∴， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴∠ACB的度数为或或或． 23. 如图，已知，，且，满足． （1）求，两点的坐标． （2）如图，连接，若，于点，，关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论． （3）如图，在（）的条件下，若是线段上的一个动点，是延长线上的一点，且，连接交轴于点，过点作轴于点，当点在线段上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）， （2），，见解析 （3）的面积是定值，这个值是4 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b，即可得出结论； （2）求出，，推出，根据全等三角形的性质得到，，由于，得到即可； （3）过P作轴于G，证得，根据全等三角形的性质得到，，再证，得到，过点作轴于点，证明，求出即可得到结论． 【小问1详解】 ∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 结论：； 证明：∵，，， ∴， ，， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在与中，， ∴， ，， ， ， ∴； 【小问3详解】 是定值，定值为4． 理由：由（2）知，， ∴， ∵， ∴， 过P作轴于G， 在与中，， ∴， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 如图，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，要学会添加常用辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $