重难点03 完全平方公式变形求值10大题型【精英班课程】2025-2026学年 沪教版（五四制）(2024）七年级数学上册同步培优讲义

本讲义聚焦完全平方公式及其变形求值的八大题型，从基础公式出发，逐步过渡到和差关系、三数和与积的组合应用，再延伸至几何图形中的综合运用，形成由浅入深、层层递进的学习支架。 资料设计紧扣新课标核心素养，突出“数学眼光”“数学思维”“数学语言”的融合运用。例如题型五通过已知a+b+c与ab+bc+ac求代数式值，引导学生抽象数量关系，发展符号意识与推理能力；例24借助图形面积推导等式，体现几何直观与模型观念，强化数形结合思想；课后练习设置梯度分明的填空与解答题，既便于教师课堂即时反馈，又利于学生课后查漏补缺，巩固公式变形技巧，提升运算能力和逻辑表达水平。

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点03 完全平方公式变形求值8大题型 【目录】 题型一、已知和的值，求其他代数式的值 题型二、已知和的值，求其他代数式的值 题型三、已知的值，求其他代数式的值 题型四、已知/a+b的值，求其他代数式的值 题型五、已知a+b+c和ab+bc+ac的值，求其他代数式的值 题型六、已知a+b+c和a2+b2+c2的值，求其他代数式的值 题型七、已知a或a，求其他代数式的值 题型九、配方法的应用 题型十、在几何图形中的综合应用 1. 完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍， 即： ； 与平方差公式一样，公式中的字母可以代表一个数字，可以代表一个单项式，也可以是　一个多项式． 2． 完全平方公式的变形 （1）；； （2）；； （3）； （4）；． 3． 完全平方公式推广应用 （1）； （2）； （3）； （4）． （5） 题型一、已知和的值，求其他代数式的值 【例1】已知，，则的值为 ． 【例2】计算：已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【例3】已知．求下列各式的值： (1)；(2)(3) 题型二、已知和的值，求其他代数式的值 【例4】若，，则的值为（    ） A．21 B．29 C．17 D．33 【例5】已知，则的值等于（    ） A． B．2 C．8 D．7 【例6】计算：已知a﹣b＝3，ab＝10． （1）求a2+b2的值；（2）求a+b的值． 题型三、已知的值，求其他代数式的值 【例7】若，，求的值； 【例8】已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【例9】已知，，则的值为（   ） A．10 B．4 C．2 D．1 【例10】已知，则的值是（      ） A． B．8 C． D． 【例10】已知，则的值是（  ） A．13 B．14 C．15 D．16 【例11】已知，则的值是（ ） A． B． C．9 D．8 【例12】阅读理解：若满足，求的值， 解：设，，则有： ，， 所以 请仿照上例解决下面的问题： 问题发现：（1）若满足，求的值； 类比探究：（2）若满足，求的值； 拓展延伸：（3）若，求的值 题型四、已知/a+b的值，求其他代数式的值 【例13】已知，则的值为（   ） A．9 B．3 C．12 D．6 【例14】已知，，那么 ． 【例15】已知，则的值为 ． 【例16】已知，，则的值为（   ） A． B．13 C． D． 【例17】若则的值为 ． 【例18】已知，，那么 ． 【例19】若，，则（ ） A．10 B．14 C．52 D．64 题型五、已知a+b+c和ab+bc+ac的值，求其他代数式的值 【例20】已知，则． 【例23】已知，且，则的值为 ． 【例22】已知,,则的值为多少？ 【例23】已知，，，那么的值等于（   ） A．6 B．3 C．2 D．0 【例24】当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如：由图可得等式：． (1)已知等式：，请仿照图构造相应的图形（画在答题纸指定位置）； (2)利用（1）中等式，解决下面的问题： ①已知，求的值； ②已知，用等式表示之间的关系，并证明． 题型六、已知a+b+c和a2+b2+c2的值，求其他代数式的值 【例25】已知，求的值； 【例26】已知，求的值． 【例27】已知，，求的值． 【例28】已知：，，则的值是（ ） A． B． C． D． 题型七、已知a或a，求其他代数式的值 【例29】已知，则的值是 ． 【例30】已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【例31】已知，求的值． 【例32】例：已知，求的值． 解：因为，所以，则，所以． 观察以上解答，解答以下问题： 已知：，且满足，求：的值． 解：∵，∴， ∴，即， ∴． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足， 求： (1)的值； (2)的值． 【例33】（1）已知，求的值； （2）已知，求①； ②； ③的值． 【例34】计算： （1）已知，则． （2），则，． （3）已知，求和的值． 题型九、配方法的应用 【例35】已知实数、满足，求的值． 【例36】若a，b满足，则的值为 ． 【例37】若，为有理数，且，则（   ） A． B． C．8 D．16 题型十、在几何图形中的综合应用 【例38】图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 【例39】如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． (3)观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 【例40】图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． 方法1： ；方法2： ； (2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求：的值． 【例41】用图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)根据图2中阴影部分的面积关系，直接写出代数式之间的数量关系：___________． (2)根据完全平方公式的变形，解决下列问题． ①已知，求和的值． ②已知，则的值为___________． 一、选择题 1．已知，，则代数式的值为（    ） A．20 B．18 C．19 D．25 2．已知，，则的值为（    ） A．13 B．19 C．26 D．31 3．已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，则ab等于（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 4．已知，则的值是（   ） A．9 B．3 C．-3 D．±3 5．已知，则的值是：（   ） A． B． C． D． 6．设 ，，．若，则的值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 2、 填空题 7．若 ，则代数式 = ； 8．已知若，且，则： ． 9．已知，且，则 ． 10.已知，，则代数式的值为 ． 11.已知，，则的值为 ． 12.若，则的值是 ． 13.已知：，则 ． 14.已知，则的值为 ． 三、解答题 15．已知：，求下列各式的值： (1)；(2)． 16．已知实数，满足，． (1)求的值； (2)求的值． 17．已知，，求的值． 18.已知，求的值． 19．（1）已知，求的值． （2）若，求的值． 20.如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法一：_______    方法二：_______； (2)观察图2，直接写出代数式，，mn之间的关系：_______． (3)利用（2）的结论，尝试解决以下问题： 已知，，则的值为，_______； (4)两个正方形，如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 21.把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图1是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形．         (1)请根据图1写出一个乘法公式：____________； (2)①已知等式可以通过两种不同的方式计算同一个图形的面积得到，请画出这个图形并在所画图中标注相关数据； ②若，，则______； (3)如图2，点C在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点03 完全平方公式变形求值8大题型 【目录】 题型一、已知和的值，求其他代数式的值 题型二、已知和的值，求其他代数式的值 题型三、已知的值，求其他代数式的值 题型四、已知/a+b的值，求其他代数式的值 题型五、已知a+b+c和ab+bc+ac的值，求其他代数式的值 题型六、已知a+b+c和a2+b2+c2的值，求其他代数式的值 题型七、已知a或a，求其他代数式的值 题型九、配方法的应用 题型十、在几何图形中的综合应用 1. 完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍， 即： ； 与平方差公式一样，公式中的字母可以代表一个数字，可以代表一个单项式，也可以是　一个多项式． 2． 完全平方公式的变形 （1）；； （2）；； （3）； （4）；． 3． 完全平方公式推广应用 （1）； （2）； （3）； （4）． （5） 题型一、已知和的值，求其他代数式的值 【例1】已知，，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了完全平方公式．解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式把式子变形为．根据，，利用完全平方公式把式子变形，可以求得所求式子的值． 【详解】解：，， ， 故答案为：16． 【例2】计算：已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值； （1）把，代入，再计算即可； （2）把，代入，再计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； 【例3】已知．求下列各式的值： (1)；(2)(3) 【答案】(1)7 (2)8 (3)47 【分析】本题主要考查了完全平方公式，利用配方法对整式进行整理，解题的关键是熟练掌握配方法，并灵活应用． （1）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可； （2）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可； （3）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可． 【详解】（1）解：， 将代入上式得： 原式； （2）解：， 将代入上式得： 原式； （3）解： ， 将代入上式得： 原式． 题型二、已知和的值，求其他代数式的值 【例4】若，，则的值为（    ） A．21 B．29 C．17 D．33 【答案】C 【分析】根据变形，然后将已知代入即可求． 【解析】解：∵， ∴， 故选C． 【例5】已知，则的值等于（    ） A． B．2 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法以及整体代入求值，解题的关键是先将展开．先利用多项式乘多项式法则将展开，然后把已知条件代入展开式进行计算． 【详解】解：∵ ∴， 故选：A． 【例6】计算：已知a﹣b＝3，ab＝10． （1）求a2+b2的值；（2）求a+b的值． 【答案】（1）29； （2）±7． 【分析】（1）将a﹣b＝3两边同时平方后再展开，结合ab＝10计算即可； （2）首先利用完全平方公式及（1）中所求求得（a+b）2的值，继而求得a+b的值． 【解答】解：（1）∵a﹣b＝3， ∴（a﹣b）2＝9， ∴a2﹣2ab+b2＝9， ∵ab＝10， ∴a2+b2＝9+2×10＝29； （2）∵a2+b2＝29， ∴a2+2ab+b2＝29+2×10＝49， 即（a+b）2＝49， 则a+b＝±7． 【点评】本题考查完全平方公式，熟练利用该公式进行正确的变形是解题的关键． 题型三、已知的值，求其他代数式的值 【例7】若，，求的值； （2），， ， ， ， ； 【例8】已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)15 (2)1 【分析】本题主要考查了完全平方公式及其变形，熟知完全平方公式：是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式变形求解即可； （2）根据完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∴． 【例9】已知，，则的值为（   ） A．10 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据，即可得到，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 【例10】已知，则的值是（      ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了换元法，完全平方公式．令，则，整理得出，即可作答． 【详解】解：令， ∴， 整理得， 则， 故选：B． 【例10】已知，则的值是（  ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式及换元法的应用，解题关键是通过巧妙换元，将复杂方程转化为简单形式求解． 通过设进行换元，将转化为关于y的方程，展开化简求出的值，再还原得到的值． 【详解】解：设， ∴，， ∴原方程变形为 ， 即． 故选：B． 【例11】已知，则的值是（ ） A． B． C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，令，则，根据可推出，结合即可求解； 【详解】解：令，则； ∵， ∵， ∴； ∵， ∴， 故选：B 【例12】阅读理解：若满足，求的值， 解：设，，则有： ，， 所以 请仿照上例解决下面的问题： 问题发现：（1）若满足，求的值； 类比探究：（2）若满足，求的值； 拓展延伸：（3）若，求的值 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式变形应用； （1）设，由完全平方公式将化为，即可求解； （2）设，，将化为，即可求解； （3）设，，可求出，，将化为，即可求解； 掌握、、、、之间的关系，并能熟练利用其进行运算是解题的关键． 【详解】解：（1）设，则： ，， ； （2）设，，则有： ，， ， ； （3）设，， ， ，， ，， ， ， ． 题型四、已知/a+b的值，求其他代数式的值 【例13】已知，则的值为（   ） A．9 B．3 C．12 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式求解即可得． 【详解】解：， ， 故选：B． 【例14】已知，，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．利用进行计算即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 【例15】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据，再整体代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【例16】已知，，则的值为（   ） A． B．13 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟记完全平方公式并灵活运用是解答的关键． 直接利用以及已知条件解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即，解得：． 故选A． 【例17】若则的值为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了完全平方公式的运算，先整理得，然后运用，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， 故答案为：30． 【例18】已知，，那么 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 【例19】若，，则（ ） A．10 B．14 C．52 D．64 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式和立方和公式以及因式分解，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用立方和公式结合完全平方公式推导即可得解． 【详解】解：由立方和公式可得 ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：C. 题型五、已知a+b+c和ab+bc+ac的值，求其他代数式的值 【例20】已知，则． 【例23】已知，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由，去分母，得 ， 则 ∵ ∴原式 故答案为： 【点睛】 本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键． 【例22】已知,,则的值为多少？ 【答案：】 【例23】已知，，，那么的值等于（   ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据，，，分别求出、、的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成． 【解析】解：∵，，， ∴， ， ， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求出、、的值，然后利用完全平方公式将变形成是解题关键． 【例24】当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如：由图可得等式：． (1)已知等式：，请仿照图构造相应的图形（画在答题纸指定位置）； (2)利用（1）中等式，解决下面的问题： ①已知，求的值； ②已知，用等式表示之间的关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，证明见解析 【思路引导】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘多项式的运算，完全平方公式的计算． （1）根据等式，画一个边长为的正方形，即可求解； （2）①根据（1）中等式，代入计算即可求解； ②由，可得，令，则，则原式转化为，得出，即可求解． 【规范解答】（1）解：以为边，构造一个正方形，如图所示， 可得； （2）解：①由（1）可得， ， 当时， 即， ； ②由，可得 令，则， ，即， ，即， ． 题型六、已知a+b+c和a2+b2+c2的值，求其他代数式的值 【例25】已知，求的值； 【例26】已知，求的值． 【例27】已知，，求的值． 【例28】已知：，，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知，得到，再利用完全平方公式，得出，然后根据平方的非负性，求得，代入计算即可求出的值． 【解析】解：，， ， ， ， ，，， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，代数式求值，有理数的乘方，根据已知得出是解题关键． 题型七、已知a或a，求其他代数式的值 【例29】已知，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．将已知式子两边平方，利用完全平方公式进行计算即可求得． 【详解】解： ， ， ， ， 故答案为：7． 【例30】已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）仿照题意根据完全平方公式先求出，再根据进行求解即可； （2）先得到，再将所求式子变形为，然后根据条件式进行转化求解即可． 【解析】（1）解：， ，则， ， ． （2）解：， ，即：， ． 【点睛】本题主要考查代数式的求值和完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式以及整体代入思想方法，是解题的关键． 【例31】已知，求的值． 【答案】 【分析】先依据等式的基本性质将已知等式转化为含有的形式，再利用完全平方公式的变形把待求值式子转化为含有的形式，然后整体代入求值即可得答案． 【解析】解：∵， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查等式的性质及完全平方公式，熟练利用完全平方公式正确变形是解题关键． 【例32】例：已知，求的值． 解：因为，所以，则，所以． 观察以上解答，解答以下问题： 已知：，且满足，求：的值． 解：∵，∴， ∴，即， ∴． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足， 求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，多项式乘以多项式，合并同类项法则等知识，熟练掌握完全平方公式，会根据完全平方公式进行变形是解题的关键． （）先通过平方差公式，多项式乘以多项式，合并同类项法则进行运算，然后仿照阅读内容求出的值即可， （）将（）中的值两边平方，然后根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∴， ∴． 【例33】（1）已知，求的值； （2）已知，求①； ②； ③的值． 【例34】计算： （1）已知，则． （2），则，． （3）已知，求和的值． 题型九、配方法的应用 【例35】已知实数、满足，求的值． （3）， ， ． 【例36】若a，b满足，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查完全平方公式，非负性，将等式左边化为两个完全平方式的和的性质，根据非负性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8． 【例37】若，为有理数，且，则（   ） A． B． C．8 D．16 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用、代数式求值等知识，利用完全平方公式确定的值是解题关键．由，可化为两个完全平方的形式，根据非负数相加等于0，所以各个非负数都为0确定的值，然后代入求值即可． 【规范解答】解：∵， 整理可得， ∴， ∴，解得， ∴． 故选：B． 题型十、在几何图形中的综合应用 【例38】图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 【答案】(1)；；，详见解析 (2)，详见解析 (3)为1或5，详见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的几何图解法及应用等知识点， （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释； （2）图③的面积计算有两种方法，方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是，方法二是组成大长方形的各个小长方形或正方形的面积和等于大长方形的面积，故而得到了代数恒等式； （3）由（1）知：，结合为负整数分类讨论即可得解； 熟练掌握数形结合的思想是解决此题的关键． 【详解】（1）方法1：阴影部分是一个正方形，边长为，根据阴影部分正方形面积计算公式得， 方法2：大正方形边长为，面积是：，四个长为m，宽为n的长方形的面积是，阴影部分的面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积为， 方法1与方法2均为求图②中阴影部分的面积，所以结果相等，即， 故答案为：；；； （2）计算图③的面积计算有两种方法， 方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是， 方法二是：组成图③的各部分图形：2个边长为m的正方形的面积，3个长为m，宽为n的长方形的面积即，1个边长为n的正方形的面积，他们的面积和是：，方法一和方法二的计算结果相等， ∴； （3）由（1）知：， ∵， ∴ ， ∴， ∵为负整数， ∴且能被4整除， ∴当时，， 当时，， 综上：为1或5． 【例39】如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． (3)观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)16 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示同一个图形的面积是得出等量关系式的关键． （1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为的正方形； （2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；方法二，从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即可； （3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式； （4）将的变形为：即可求解． 【详解】（1）解：由拼图可知，阴影部分是边长为的正方形， 故答案为：； （2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为； 方法二：从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即为阴影部分的面积， 即； 故答案为：，； （3）由（2）的两种方法可得，； 故答案为：； （4）． ，， ． 【例40】图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． 方法1： ；方法2： ； (2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求：的值． 【答案】(1)； (2) (3)①1；②9 【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解： （1）表示出阴影部分的边长，然后分别利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；利用正方形的面积公式列式； （2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答； （3）①根据（2）的结论代入进行计算即可得解；②根据（2）的结论代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：图②中阴影部分的面积： 方法1：， 方法2：； 故答案为：；； （2）解：； （3）解：①∵， ∴； ②． 【例41】用图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)根据图2中阴影部分的面积关系，直接写出代数式之间的数量关系：___________． (2)根据完全平方公式的变形，解决下列问题． ①已知，求和的值． ②已知，则的值为___________． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形，掌握公式变形是解本题的关键； （1）由等面积法可得公式变形； （2）①由，得出， 代入已知等式，计算即可； ②由，结合，再利用公式可得答案． 【详解】（1）解：由等面积法可得：， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴ ． ②∵，， ∴ ， 即， 解得． 一、选择题 1．已知，，则代数式的值为（    ） A．20 B．18 C．19 D．25 【答案】A 【分析】由，，可得，将，代入即可求解． 【详解】解： ，， ， 故选A． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握与之间的关系． 2．已知，，则的值为（    ） A．13 B．19 C．26 D．31 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是关键． 根据完全平方公式的变形计算即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：A ． 3．已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，则ab等于（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据完全平方公式将原式展开，然后二者相减得到4ab即可求解． 【解析】∵， ∴，即4ab＝4， 解得，ab＝1． 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练记忆完全平方公式并可以根据条件变形是本题的关键． 4．已知，则的值是（   ） A．9 B．3 C．-3 D．±3 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式的变形与求解，涉及完全平方公式、变量替换以及方程求解能力，熟练掌握以上知识点是解题的关键．观察到两个平方项的结构对称，通过变量替换简化表达式，转化为关于新变量的二次方程，求解后，对进行变形，即可求解． 【详解】解：设，则原式可变形为： ， 解得：， 即， ， 故选：D． 5．已知，则的值是：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据完全平方公式即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练运用利用整体思想是解题的关键． 6．设 ，，．若，则的值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据完全平方公式得出，，进而根据已知条件得出，进而即可求解． 【详解】，，， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出是解题的关键． 2、 填空题 7．若 ，则代数式 = ； 【答案】34 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．根据完全平方公式整理代数式，再把已知的代数式的值代入，求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：34． 8．已知若，且，则： ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、完全平方公式，首先利用完全平方公式求出，利用完全平方公式把展开，可得：原式，再把已知代数式的值代入计算即可． 【详解】解：， ， 整理得：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．已知，且，则 ． 【答案】-42 【解析】，①，②由①-②得． 10.已知，，则代数式的值为 ． 【答案】28 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：28． 11.已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式之间的转化进行计算，即可解答； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了完全平方公式应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 12.若，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式，利用配方法恒等变形求解即可得到答案． 【详解】解： ，， ， 故答案为：． 13.已知：，则 ． 【答案】 【分析】将方程两边同时除以字母x，把整式方程化为分式方程，再结合完全平方公式及其变式即可求解． 【详解】解：将方程两边同时除以字母x得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式及其变式，掌握相关知识是解题关键． 14.已知，则的值为 ． 【答案】13 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握完全平方公式，利用整体思想进行求值是解题的关键． 三、解答题 15．已知：，求下列各式的值： (1)；(2)． 【答案】(1)25 (2)13 【分析】（1）利用，进行计算即可； （2）利用，进行计算即可． 【解析】（1）解：， ∵， ∴原式； （2）解：由（1）知：， ∴． 【点睛】本题考查利用完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 16．已知实数，满足，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)42 【分析】（1）根据整式乘法运算法则，去括号之后整体代入求值即可得到答案； （2）根据完全平方公式的变式，即可解答． 【解析】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 【点睛】本题考查了整式乘法的计算法则和完全平方公式及其变形的运用，熟练掌握法则及公式是解答的关键． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握公式并进行恰当变形是解题的关键 17．已知，，求的值． 【答案】 【分析】可求．从而可求，可得，即可求解． 【解析】解：， ， 即． 又， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变式计算，掌握完全平方公式是解题的关键． 18.已知，求的值． （3）， ∴， ， ， ∴， ， ∴． 19．（1）已知，求的值． （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式的公式变形，熟练对完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）根据已知条件得出，再把变形为，再代入计算即可； （2）由得，变形后两边平方即可． 【详解】解：∵， ， 解得， ； （2）由题可知，，则， 等式两边同时除以，则， ， 两边同时平方，得， ． 20.如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法一：_______    方法二：_______； (2)观察图2，直接写出代数式，，mn之间的关系：_______． (3)利用（2）的结论，尝试解决以下问题： 已知，，则的值为，_______； (4)两个正方形，如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1)； (2) (3)25 (4)8 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）方法一：直接求小正方形面积即可；方法二：利用大正方形的面积减4个长方形的面积计算即可； （2）根据大正方形的面积减4个长方形的面积等于阴影部分的面积解答即可； （3）根据（2）所求关系解答即可； （4）由题意可知，，，即可求出．结合，可求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：方法一：直接计算阴影部分的面积为； 方法二：利用大正方形的面积减4个长方形的面积计算为； （2）解：由图2可知； （3）解：∵，， ∴由（2）可得，； （4）解：∵， ∴． 由图可知的底为x，高为2， ∴． 的底为2，高为， ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴阴影部分面积和为8． 21.把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图1是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形．         (1)请根据图1写出一个乘法公式：____________； (2)①已知等式可以通过两种不同的方式计算同一个图形的面积得到，请画出这个图形并在所画图中标注相关数据； ②若，，则______； (3)如图2，点C在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①图见解析；②29 (3)17 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，完全平方公式的变形应用： （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出结论； （2）①画出一个边长为的正方形即可； ②利用①中等式进行变形计算即可； （3）设，得到，分割法表示出阴影部分的面积，整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可表示为：或， ∴； 故答案为：； （2）解：①可以看成是一个边长为的正方形的面积，故可画图如下： ②， ， ； 故答案为：29； （3）解：设， ， ， ， ，即， ； 1 学科网（北京）股份有限公司 $