11.1整式的乘法 讲义2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）版数学七年级上册

该初中数学单元复习教案系统梳理了整式乘法的核心知识体系，涵盖单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法规则，以及平方差公式和完全平方公式的应用。通过由浅入深的知识结构图，清晰呈现从基础运算到公式运用的逻辑脉络，帮助学生建立“法则—应用—简化”的认知链条，强化各知识点间的内在联系。 其亮点在于融合“概念辨析—典型例题—分层练习—思维拓展”的复习策略，突出培养学生的运算能力、推理意识和模型观念。例如在例3中设计先化简再求值的问题，引导学生从具体计算走向代数表达的抽象思维，同时设置思考题考查高阶思维，实现分层教学目标。这种结构化、任务驱动的复习方式，既助力学生巩固基础又激发进阶探究兴趣，也为教师提供可操作性强的教学支架，显著提升单元复习效率。

11.1 整式的乘法 学习目标 · 掌握单项式与单项式相乘的法则 · 掌握单项式与多项式相乘的法则 · 掌握多项式与多项式相乘的法则 · 能够熟练进行整式的乘法运算 · 理解并应用乘法公式简化运算 知识点讲解 1. 单项式与单项式相乘 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 例如：(3x²y) × (-2xy³) = 3×(-2)×(x²×x)×(y×y³) = -6x³y⁴ 注意：单项式乘法中，先确定符号，再计算系数，最后处理字母部分。 2. 单项式与多项式相乘 法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 例如：2a(3a² - 2ab + b²) = 2a×3a² + 2a×(-2ab) + 2a×b² = 6a³ - 4a²b + 2ab² 3. 多项式与多项式相乘 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 例如：(a+b)(m+n) = a×m + a×n + b×m + b×n = am + an + bm + bn 4. 常用的乘法公式 1. 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b² 2. 完全平方公式：(a±b)² = a² ± 2ab + b² 5. 整式乘法的注意事项 · 先确定符号，再进行计算 · 按运算顺序进行，先乘方，再乘除，后加减 · 结果要化为最简形式 · 注意乘法公式的应用，简化计算过程 例题解析 例1：计算下列各式 (1) (-3x²y) × (2xy³) (2) 2a²(3ab - 2b²) (3) (2x + 3y)(x - 2y) 解析： (1) (-3x²y) × (2xy³) = (-3)×2×(x²×x)×(y×y³) = -6x³y⁴ (2) 2a²(3ab - 2b²) = 2a²×3ab + 2a²×(-2b²) = 6a³b - 4a²b² (3) (2x + 3y)(x - 2y) = 2x×x + 2x×(-2y) + 3y×x + 3y×(-2y) = 2x² - 4xy + 3xy - 6y² = 2x² - xy - 6y² 例2：运用乘法公式计算 (1) (2a + 3b)(2a - 3b) (2) (x + 2y)² (3) (3m - n)² 解析： (1) (2a + 3b)(2a - 3b) = (2a)² - (3b)² = 4a² - 9b²（平方差公式） (2) (x + 2y)² = x² + 2×x×2y + (2y)² = x² + 4xy + 4y²（完全平方公式） (3) (3m - n)² = (3m)² - 2×3m×n + n² = 9m² - 6mn + n²（完全平方公式） 例3：先化简，再求值 (x + 2)(x - 3) + 2(x + 1)(x - 1) - 3x²，其中 x = -2 解析： 先化简： (x + 2)(x - 3) + 2(x + 1)(x - 1) - 3x² = (x² - 3x + 2x - 6) + 2(x² - 1) - 3x² = (x² - x - 6) + (2x² - 2) - 3x² = x² - x - 6 + 2x² - 2 - 3x² = -x - 8 再代入求值：当 x = -2 时， -(-2) - 8 = 2 - 8 = -6 巩固练习 一、选择题 1. 计算 (-2x²y)³ × (3xy²)² 的结果是（ ） A. -72x⁸y⁷   B. 72x⁸y⁷   C. -108x⁸y⁷   D. 108x⁸y⁷ 2. 下列计算正确的是（ ） A. (a+b)² = a²+b²   B. (a-b)² = a²-b² C. (a+2b)(a-2b) = a²-4b²   D. (a+b)(a-2b) = a²-2b² 二、填空题 1. 计算：(2x-3y)(x+4y) =______。 2. 若 (x+a)(x+b) = x²+5x+6，则 a+b =______。 三、解答题 1. 计算下列各式： (1) (-3a²b) × (2ab³) (2) 2x(x² - 3x + 1) (3) (2a - 3b)(a + 2b) (4) (x - 2y)² - (x + y)(x - y) 2. 应用问题： 一个长方形的长是 (2x+3)，宽是 (x-1)，求这个长方形的面积。如果 x = 4，面积是多少？ 思考题：已知 (x² + ax + b)(x² - 3x + 4) 的展开式中不含 x³ 项和 x² 项，求 a 和 b 的值。 参考答案 一、选择题 1. A   2. C 二、填空题 1. 2x² + 5xy - 12y²   2. 5 三、解答题 1. (1) (-3a²b) × (2ab³) = -6a³b⁴ (2) 2x(x² - 3x + 1) = 2x³ - 6x² + 2x (3) (2a - 3b)(a + 2b) = 2a×a + 2a×2b - 3b×a - 3b×2b = 2a² + 4ab - 3ab - 6b² = 2a² + ab - 6b² (4) (x - 2y)² - (x + y)(x - y) = (x² - 4xy + 4y²) - (x² - y²) = x² - 4xy + 4y² - x² + y² = -4xy + 5y² 2. 面积 = 长 × 宽 = (2x+3)(x-1) = 2x×x + 2x×(-1) + 3×x + 3×(-1) = 2x² - 2x + 3x - 3 = 2x² + x - 3 当 x = 4 时，面积 = 2×4² + 4 - 3 = 2×16 + 4 - 3 = 32 + 4 - 3 = 33 思考题 展开：(x² + ax + b)(x² - 3x + 4) = x⁴ - 3x³ + 4x² + ax³ - 3ax² + 4ax + bx² - 3bx + 4b = x⁴ + (-3+a)x³ + (4-3a+b)x² + (4a-3b)x + 4b 不含 x³ 项：-3+a=0 ⇒ a=3 不含 x² 项：4-3a+b=0 ⇒ 4-9+b=0 ⇒ b=5 本章小结 · 单项式乘法：系数相乘，同底数幂相乘，其余字母连同指数作为积的因式 · 单项式与多项式相乘：根据分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把积相加 · 多项式与多项式相乘：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把积相加 · 乘法公式： 4. 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b² 4. 完全平方公式：(a±b)² = a² ± 2ab + b² · 整式乘法的结果要化为最简形式，通常按某个字母的降幂排列 学习提示：整式乘法是代数运算的重要基础，要熟练掌握各种乘法法则和公式，特别注意符号处理和同类项合并，为后续学习因式分解和分式运算打下坚实基础。 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1 整式的乘法 学习目标 · 掌握单项式与单项式相乘的法则 · 掌握单项式与多项式相乘的法则 · 掌握多项式与多项式相乘的法则 · 能够熟练进行整式的乘法运算 · 理解并应用乘法公式简化运算 知识点讲解 1. 单项式与单项式相乘 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 例如：(3x²y) × (-2xy³) = 3×(-2)×(x²×x)×(y×y³) = -6x³y⁴ 注意：单项式乘法中，先确定符号，再计算系数，最后处理字母部分。 2. 单项式与多项式相乘 法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 例如：2a(3a² - 2ab + b²) = 2a×3a² + 2a×(-2ab) + 2a×b² = 6a³ - 4a²b + 2ab² 3. 多项式与多项式相乘 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 例如：(a+b)(m+n) = a×m + a×n + b×m + b×n = am + an + bm + bn 4. 常用的乘法公式 1. 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b² 2. 完全平方公式：(a±b)² = a² ± 2ab + b² 5. 整式乘法的注意事项 · 先确定符号，再进行计算 · 按运算顺序进行，先乘方，再乘除，后加减 · 结果要化为最简形式 · 注意乘法公式的应用，简化计算过程 例题解析 例1：计算下列各式 (1) (-3x²y) × (2xy³) (2) 2a²(3ab - 2b²) (3) (2x + 3y)(x - 2y) 例2：运用乘法公式计算 (1) (2a + 3b)(2a - 3b) (2) (x + 2y)² (3) (3m - n)² 例3：先化简，再求值 (x + 2)(x - 3) + 2(x + 1)(x - 1) - 3x²，其中 x = -2 巩固练习 一、选择题 1. 计算 (-2x²y)³ × (3xy²)² 的结果是（ ） A. -72x⁸y⁷   B. 72x⁸y⁷   C. -108x⁸y⁷   D. 108x⁸y⁷ 2. 下列计算正确的是（ ） A. (a+b)² = a²+b²   B. (a-b)² = a²-b² C. (a+2b)(a-2b) = a²-4b²   D. (a+b)(a-2b) = a²-2b² 二、填空题 1. 计算：(2x-3y)(x+4y) =______。 2. 若 (x+a)(x+b) = x²+5x+6，则 a+b =______。 三、解答题 1. 计算下列各式： (1) (-3a²b) × (2ab³) (2) 2x(x² - 3x + 1) (3) (2a - 3b)(a + 2b) (4) (x - 2y)² - (x + y)(x - y) 2. 应用问题： 一个长方形的长是 (2x+3)，宽是 (x-1)，求这个长方形的面积。如果 x = 4，面积是多少？ 思考题：已知 (x² + ax + b)(x² - 3x + 4) 的展开式中不含 x³ 项和 x² 项，求 a 和 b 的值。 本章小结 · 单项式乘法：系数相乘，同底数幂相乘，其余字母连同指数作为积的因式 · 单项式与多项式相乘：根据分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把积相加 · 多项式与多项式相乘：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把积相加 · 乘法公式： 4. 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b² 4. 完全平方公式：(a±b)² = a² ± 2ab + b² · 整式乘法的结果要化为最简形式，通常按某个字母的降幂排列 学习提示：整式乘法是代数运算的重要基础，要熟练掌握各种乘法法则和公式，特别注意符号处理和同类项合并，为后续学习因式分解和分式运算打下坚实基础。 学科网（北京）股份有限公司 $