精品解析：黑龙江省哈尔滨市松雷中学2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷

松雷中学2025-2026学年度九年级上学期数学开学测 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个图形中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ） A. 200tan70°米 B. 米 C. 200sin70°米 D. 米 6. 如图，在△ABC中，高BD、CE交于点O，下列结论错误的是（ ） A. CO·CE=CD·CA B. OE·OC=OD·OB C. AD·AC=AE·AB D. CO·DO=BO·EO 7. 如图，在中，，．将旋转到的位置，且点在上，交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边三角形ABC中，P为边BC上一点，D为边AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=，则ΔABC的边长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m，先到终点 的人原地休息．已知甲先出发2s．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(m)与乙出发的时间t(s)之间的关系 如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123．其中正确的是【 】 A. ①②③ B. 仅有①② C. 仅有①③ D. 仅有②③ 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 一次函数y＝(2m－6)x＋5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　________． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数k的值是____________． 14. 如图，在中，、分别是、上的点，且，若，则______. 15. 如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE=5米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC=__________ 米. 16. 如图，把个边长为的正方形拼接成一排，求得，，，，依此规律写出，则的值为______． 17. 如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得信号塔顶端A的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为_______（参考数据：） 18. 一套书有上、中、下三册，将它们任意摆放到书架的同一层上，这三册书从左向右恰好成上、中、下顺序的概率为__ __. 19. 已知矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F，若AB＝4，BE＝3，则BF长为___． 20. 如图，中，点在上，，点在上，，过点作，垂足为，延长交于点，且，若，的面积等于，则的长为______． 三、解答题（21题7分，22题7分，23题8分，24题8分，25题，26题，27题各10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画一个以线段为一边的平行四边形，点均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为8； （2）在图2中画一个钝角三角形，点在小正方形顶点上，，且三角形的面积为6．请直接写出的长． 23. 四边形是矩形，是边上一点，点在的延长线上，且． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若是线段中点，连接、，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中面积是的面积2倍的三角形． 24. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，交于H点． （1）当点P恰好为中点时， mm． （2）若矩形的周长为220mm，求出的长度． 25. 某商店欲购进、两种商品，已知购进种商品5件和种商品4件共需300元；若购进种商品6件和种商品8件共需440元． （1）求、两种商品每件的进价分别为多少元； （2）若该商店每销售1件种商品可获利8元，每销售1件种商品可获利6元，且商店将购进、共50件的商品全部售出后，要获得的利润超过348元，求种商品至少购进多少件？ 26. 如图，在中，，D为边上一点，； （1）求证：； （2）过点B作交延长线于点H，E为上一点且，求证：； （3）在（2）的条件下，F为上一点，过点E作交于点G，若，，，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C是线段AB上一动点CD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，OA＝6，AD＝OE． （1）求直线AB的解析式； （2）连接ED，过点C作CF⊥ED，垂足为F，过点B作x轴的垂线交FC的延长线于点G，求点G的坐标； （3）在（2）的条件下，连接AG，作四边形AOBG关于y轴的对称图形四边形AONM，连接DN，将线段DN绕点N逆时针旋转90°得到线段PN，H为OD中点，连接MH、PH，四边形MHPN的面积为40，连接FH，求线段FH的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松雷中学2025-2026学年度九年级上学期数学开学测 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程是整理后形如其中的整式方程，解决本题的关键是根据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解：A选项：方程中含有个未知数，且未知项的最高次数是， 是二元一次方程，不是一元二次方程，故A选项不符合题意； B选项：方程中，若，则方程是一元二次方程，若，则方程不是一元二次方程，故B选项不符合题意； C选项：方程中分母中有未知数，是分式方程， 不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：方程中含有个未知数，且未知项的最高次数是， 是一元二次方程，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：． 3. 下列四个图形中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合． 4. 如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据三视图中，从左边看得到的图形是左视图,因此从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选D 考点：简单组合体的三视图 5. 如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ） A. 200tan70°米 B. 米 C. 200sin70°米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长． 【详解】解：在Rt△PQT中， ∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°， ∴∠PTQ=70°， ∴， ∴， 即河宽米， 故选：B． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键． 6. 如图，在△ABC中，高BD、CE交于点O，下列结论错误的是（ ） A. CO·CE=CD·CA B. OE·OC=OD·OB C. AD·AC=AE·AB D. CO·DO=BO·EO 【答案】D 【解析】 【分析】由BD、CE是△ABC的高，利用两组对应角相等，易证△AEC∽△ADB，△EOB∽△DOC，△CDO∽△CEA根据相似三角形中对应边成比例易证只有D不正确. 【详解】∵CE⊥AB, BD⊥AC,又∠BOE=∠COD， ∴△EOB∽△DOC， ∴OE·OC=OD·OB，B选项正确； 又∵∠A=∠A ∴△ABD∽△ACE， ∴AD·AC=AE·AB，C选项正确； 又∵∠CDO=∠CEA，∴△CDO∽△CEA ∴CO·CE=CD·CA ，A选项正确； 故D选项不正确. 【点睛】此题主要考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是找出所有的相似三角形，从而找到对应边成比例. 7. 如图，在中，，．将旋转到的位置，且点在上，交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据旋转的性质得到，，再根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在等边三角形ABC中，P为边BC上一点，D为边AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=，则ΔABC的边长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形性质求出AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出，代入求出即可． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°， ∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°， ∵∠APD=60°， ∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°， ∴∠BAP=∠DPC， 即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC， ∴△BAP∽△CPD， ∴ ∵，CP=BC-BP=x-1，BP=1， ∴ 解得：AB=3． 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力． 9. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． 10. 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m，先到终点 的人原地休息．已知甲先出发2s．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(m)与乙出发的时间t(s)之间的关系 如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123．其中正确的是【 】 A. ①②③ B. 仅有①② C. 仅有①③ D. 仅有②③ 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵乙出发时甲行了2秒，相距8m， ∴甲的速度为8/2＝4m/ s． ∵100秒时乙开始休息． ∴乙的速度是500/100＝5m/ s． ∵a秒后甲乙相遇， ∴a＝8/(5－4)＝8秒，因此①正确，符合题意． ∵100秒时乙到达终点，甲走了4×(100＋2)＝408 m， ∴b＝500－408＝92 m． 因此②正确，符合题意． ∵甲走到终点一共需耗时500/4＝125 s， ∴c＝125－2＝123 s． 因此③正确，符合题意． 终上所述，①②③结论皆正确． 故选A． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 一次函数y＝(2m－6)x＋5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　________． 【答案】m＜3 【解析】 【详解】解：∵y随x增大而减小， ∴k＜0， ∴2m-6＜0， ∴m＜3． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数k的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解： 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在中，、分别是、上的点，且，若，则______. 【答案】1:20 【解析】 【分析】根据△BDE和△CDE高相同得到BE:EC=1:4,再证明△BDE∽△BAC,利用面积比等于相似比的平方即可解题. 【详解】∵△BDE和△CDE高相同,且, ∴BE:EC=1:4, ∵ ∴△BDE∽△BAC,即BE:BC=1：5 ∴1:25 ∴1：（25-1-4）=1:20 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉相似三角形性质是解题关键. 15. 如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE=5米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC=__________ 米. 【答案】#### 【解析】 【分析】 【详解】解：∵光是沿直线传播的， ∴AD∥BE，∴△BCE∽△ACD， ∴，即， 解得：BC=． 故答案为． 【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可． 16. 如图，把个边长为的正方形拼接成一排，求得，，，，依此规律写出，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的规律探索，正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．过点作于， 根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出、，根据正切的概念求出，结合已知的，，总结出规律，得到，进而求得，即可求得的值． 【详解】解：如图所示，过点作于， 由勾股定理得，，， ， 解得， 则， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17. 如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得信号塔顶端A的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为_______（参考数据：） 【答案】25米## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形应用-测高问题，解题的关键是作，构造直角三角形，应用已知条件解直角三角形． 过点E作交的延长线于点F，过点E作于点M，设米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，进而可得出的长，可得出的长．由矩形的判定定理得出四边形是矩形，可得出，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出答案． 【详解】解：过点E作交的延长线于点F，过点E作于点M， ∵斜坡的坡度（或坡比），米， ∴可设米，则米， 在中，∵， ∴， 解得， ∴米，米， ∴米． ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米． 在中，∵， ∴米， ∴米． ∴米． 故答案为：25米． 18. 一套书有上、中、下三册，将它们任意摆放到书架的同一层上，这三册书从左向右恰好成上、中、下顺序的概率为__ __. 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：一套书共有上、中、下三册，将它们任意摆放到书架的同一层上，共6种排放方法：上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、中、上；下、上、中．则这三册书从左向右恰好成上、中、下的概率是．故答案为． 考点：概率公式． 19. 已知矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F，若AB＝4，BE＝3，则BF长为___． 【答案】6或 【解析】 【分析】AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F可知点F的位置两种情况，一是点F在AB的延长线上，二是点F在AB上，然后分类用矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理求解BF的长． 【详解】解：①当点F在AB的延长线上时，设BF=x， 如图1所示： ∵在Rt△ABE中，AB=4，BE=3，由勾股定理得： 又∵FH是线段AC的中垂线， ∴AE=CE， ∴∠EAC=∠ECA， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠HAC=∠ECA， ∴∠EAC=∠HAC， 又∵AO⊥EH， ∴∠AOE=∠AOH=90°， 在△AOE和△AOH中， ∴△AOE≌△AOH（ASA） ∴AE=AH=5， 又∵△FBE∽△FAH， ∴ ∴， 解得：x=6， ∴BF=6； ②当点F在AB的上时，设BF=y， 如图2所示： ∵∠EFB=∠AFO，∠FBE=∠FOA， ∴△EFB∽△AFO， ∴∠E=∠FAO， 又∵△AFO+∠FAO=90°，∠BCA+∠FAO=90°， ∴∠EFB=∠ACB， 又∵∠EBF=∠ABC=90°， ∴△EBF∽△ABC， ∴， ∴ 又∵AB=4，AB=AF+BF， ∴AF=4-y， ∵EH是AC的垂直平分线， ∴AF=FC=4-y， 在Rt△BFC中，由勾股定理得： BF2+BC2=FC2， ∴， 解得：或y=-6（舍去）， 综合①②得BF=6或， 故答案为：6或． 【点睛】本题综合考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，三角形全等（或相似）的判定与性质和勾股定理等相关知识，重点掌握矩形，线段垂直平分线和全等三角形的性质，难点是分类讨论点F在AB上或延长线上，做到不重不漏，思维严谨． 20. 如图，中，点在上，，点在上，，过点作，垂足为，延长交于点，且，若，的面积等于，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】作于，交延长线于点，可证，，设，可得，从而可得，作于，设，根据勾股定理，结合的面积等于，可得，从而可得，根据勾股定理，即可得的长． 【详解】解：作于，交延长线于点，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂足为， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 作于，则， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于， ∴，， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，勾股定理，等腰三角形的判定和性质． 三、解答题（21题7分，22题7分，23题8分，24题8分，25题，26题，27题各10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．先根据分式的减法法则计算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，约分化简成最简分式，再根据特殊角的三角函数值求出的值，代入求解即可． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 22. 如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画一个以线段为一边的平行四边形，点均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为8； （2）在图2中画一个钝角三角形，点在小正方形顶点上，，且三角形的面积为6．请直接写出的长． 【答案】（1）如图即为所求作： （2）如图即为所求作，． 【解析】 【分析】（1）以点B为端点，沿网格线取线段，以为邻边画平行四边形即可； （2）如图，选定格点E，即为所求．如图，，，于是，． 【小问1详解】 解：如图，以点B为端点，沿网格线取线段，以为邻边画平行四边形即为所求，； 【小问2详解】 解：如图，选定格点E，即为所求． 如图，，， 故，，． 【点睛】本题考查网格图中画图，平行四边形面积计算、三角函数计算、勾股定理；熟练三角函数定义是解题的关键． 23. 四边形是矩形，是边上一点，点在的延长线上，且． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若是线段中点，连接、，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中面积是的面积2倍的三角形． 【答案】 （1）证明：四边形是矩形， 四边形是平行四边形； （2）△AED,△AEF,△ADF,△EDF． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到，结合已知条件可证明，再根据全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质可证得，再由同位角相等两直线平行可证，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解题； （2）由线段中点的性质解得，再根据等底同高的三角形面积相等解得，进而解题． 【详解】解：（1）略 （2）有△AED,△AEF,△ADF,△EDF，理由如下： 是线段中点， ∵AD∥BC,AB⊥BC, 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定、等底同高三角形的面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 24. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，交于H点． （1）当点P恰好为中点时， mm． （2）若矩形的周长为220mm，求出的长度． 【答案】（1）60 （2）20 【解析】 【分析】对于（1），根据相似三角形的性质，可得到； 对于（2），根据可得，进而得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长． 【小问1详解】 解：∵P为中点，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：60； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴. ∵， ∴， ∴ ∴． ∴四边形为矩形， ∴. ∵矩形的周长为， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，理解相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键． 25. 某商店欲购进、两种商品，已知购进种商品5件和种商品4件共需300元；若购进种商品6件和种商品8件共需440元． （1）求、两种商品每件的进价分别为多少元； （2）若该商店每销售1件种商品可获利8元，每销售1件种商品可获利6元，且商店将购进、共50件的商品全部售出后，要获得的利润超过348元，求种商品至少购进多少件？ 【答案】（1）A种进价为40元，B种进价为25元 （2）至少购进A种商品25件 【解析】 【分析】（1）设A种进价为x元，B种进价为y元．由购进A种商品5件和B种商品4件需300元和购进A种商品6件和B种商品8件需440元建立两个方程，构成方程组解方程组即可求解； （2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（）件．根据获得的利润超过348元，建立不等式求出其解即可． 【小问1详解】 解：设A种进价为x元，B种进价为y元． 由题意，得， 解得：， 答：A种进价为40元，B种进价为25元． 【小问2详解】 设购进A种商品a件，则购进B种商品（）件．由题意，得 8a+6（）＞348， 解得：a＞24， 答：至少购进A种商品25件． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解法，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键． 26. 如图，在中，，D为边上一点，； （1）求证：； （2）过点B作交延长线于点H，E为上一点且，求证：； （3）在（2）的条件下，F为上一点，过点E作交于点G，若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ， ． （2） 证明：如图所示，过点作，交的延长线于点， 设， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 又， ， 设，， 则，，， ， ， ，即点为中斜边的中点， ， ， ． （3）． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形斜边中线定理，相似三角形，直角三角形中的正切值，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，合理作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理以及外角的性质，结合即可得证； （2）过点作，交延长线于点，设，根据三角形内角和定理和对顶角相等可证，由等腰三角形“三线合一”可得，，设，，可计算出和的长，进而可证点为中斜边的中点，再由直角三角形斜边中线定理即可得证； （3）先根据直角三角形中的正切值以及可得，作于点，作于点，进而可证，，由，可证，由相似可知，，设，则，，在中，根据勾股定理可求出，的长，进而求出，和的长，接着根据直角三角形中锐角的正切值相等可求出的值，最后在中，由勾股定理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ， 由（2）知，为等腰三角形，， 在中，， 如图，作于点，作于点， ， ，即为直角三角形， ， ， 在中，， ， ， ，为直角三角形， 又， ， 在中，， ， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， 在中，，， ， ， ， 由勾股定理， ， , 即， 解得，（负值已舍）， ， ， ， ， ， ，， 在中，，， ， ， 在中，为斜边上的高， ∵， ， ， 解得，， ，， 在中，由勾股定理，得， （负值已舍）， 的长为． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C是线段AB上一动点CD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，OA＝6，AD＝OE． （1）求直线AB的解析式； （2）连接ED，过点C作CF⊥ED，垂足为F，过点B作x轴的垂线交FC的延长线于点G，求点G的坐标； （3）在（2）的条件下，连接AG，作四边形AOBG关于y轴的对称图形四边形AONM，连接DN，将线段DN绕点N逆时针旋转90°得到线段PN，H为OD中点，连接MH、PH，四边形MHPN的面积为40，连接FH，求线段FH的长． 【答案】（1）y＝x+6；（2）G点坐标为（﹣6，6）；（3） 【解析】 【分析】（1）易证四边形DCEO为矩形，结合AD=OE，可得AD=CD，△ACD，△ABO是等腰直角三角形，OB=OA=6，从而获得A、B两点的坐标，然后用待定系数法就可以求出AB的解析式； （2）可使用设参法，设D点坐标为（0，a），用（1）中的几何关系将OD、CE、AD、CD、EO表示出来，继而表示C、E点的坐标，用待定系数法求出直线DE的解析式，根据DE和FG的垂直关系以及C点的坐标求出直线FG的解析式，从而求出点G的坐标； （3）设AD=a，通过已知的面积关系建立方程，求出a的值，从而获得各点的坐标，在△ADF中利用等面积法求出点F的坐标，从而求出FH的长． 【详解】解：（1）∵CD⊥y轴，CE⊥x轴 ∴∠CDO＝∠CEO＝90° 又∵∠DOE＝90° ∴四边形DCEO是矩形 ∴CD＝OE 又∵AD＝OE ∴AD＝CE ∴AD＝CD ∴△ACD是等腰直角三角形 ∴∠ACD＝45° ∴∠ABO＝45° ∴∠ACD＝∠ABO ∴AO＝BO＝6 ∴A（0，6），B（﹣6，0） 设直线AB的解析式为y＝kx+6 将A（﹣6，0）代入，得0＝﹣6k+6 解得，k＝1 ∴直线AB的解析式为：y＝x+6 （2） 如图所示，设D（0，a），则OD＝CE＝a，AD＝CD＝EO＝6﹣a ∴C（a﹣6，a），E（a﹣6，0） 设yDE＝k1x+a，将E（a﹣6，0）代入，得， 0＝（a﹣6）k1+a 解得， ∴yDE＝ 设yFG＝k2x+b1 ∵DE⊥FG ∴k1•k2＝﹣1 ∴ ∴yFG＝ 将C（a﹣6，a）代入，得， 解得， ∴yFG＝+ ∵当x＝﹣6时，yFG＝6 ∴G点坐标为（﹣6，6） （3）根据题意，如图所示 可证△ODN≌△NPK ∴ON＝NK＝6 ∴四边形ONKL为正方形 设AD＝a，则OH＝DH＝3﹣ PK＝OD＝6﹣a LP＝a SMHPN＝SAMKL﹣S△AMH﹣S△NKP﹣S△OLP ＝6×12﹣ ＝45﹣3a+ 45﹣3a+＝40 解得a1＝2，a2＝10（舍） 作FS⊥CD 可得CD＝2，EC＝4 ∴ED＝2 由等面积法 CD•CE＝ED•CF 2×4＝2×CF ∴CF＝ ∵CD＝2 ∴DF＝ CD•FS＝CF•FD FS＝ ∴SD＝ ∴F（，） ∴ 【点睛】本题考查了全等证明的模型以及一次函数与面积相关的计算，（3）问是本题的难点，需要用到勾股定理以及等面积的计算方法求出各点坐标以及对应的线段长，是一道很好的一次函数综合问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $