1.1.1 空间向量及其线性运算 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量及其线性运算，从零向量、单位向量等基本概念出发，逐步构建共线向量、共面向量的判定方法，并通过平行六面体、正方体等典型几何模型实现知识迁移。以“问题链”串联导入、探究与应用环节，形成由浅入深的学习支架，帮助学生建立空间观念与逻辑推理能力。 本资料突出核心素养导向，体现“抽象能力”“逻辑推理”和“数学建模”三大特色。例题设计层次分明，涵盖概念辨析、运算化简、共线共面证明等关键能力训练，尤其在例3-2和例4-1中巧妙融合向量法与几何直观，引导学生用数学语言精准表达空间关系，提升解决立体几何问题的思维品质，助力学生从具象感知走向理性建构。

第一章 空间向量与立体几何 第一章 空间向量与立体几何 §1.1.1 空间向量及其线性运算【导学】 导学目标： 1.理解空间向量的概念； 2.掌握空间向量的线性运算；【重点】 3.掌握共线向量定理、共面向量定理的应用。【难点】 【知识要点】 空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 几类特殊的 空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量， 记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 空间向量的 线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面： (1)＝x＋y； (2)对空间任一点O，＝＋x＋y； (3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； 方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的向量成为直线l的方向向量。也就是说直线可以由其一点和它的方向向量确定 注意： 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致． 【典型例题】 题型一 空间向量概念 【例1-1】给出下列命题： ①零向量没有确定的方向； ②在正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝； ③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反； ④在四边形ABCD中，必有＋＝. 其中正确命题的序号是________. 【例1-2】下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A． 若向量a，b平行，则a，b所在直线平行； B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反； C．若向量，满足||＞||，则＞； D．相等向量其方向必相同. 【例1-3】给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等；其中真命题的序号是 . 题型二 空间向量的线性运算 【例2】在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2. 题型三 向量的共线及判定 【例3-1】(衔接教材P9T3)证明：如果向量a、b共线，那么2a+b与a共线. 【例3-2】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上， 且＝， 求证：E，F，B三点共线. 【方法归纳】 要证E，F，B三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可： (1)＝m；(2)＝＋λ；(3)＝n＋(1－n). 题型四 向量共面 【例4-1】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.试用向量方法证明E，F，G，H四点共面. 【例4-2】已知A、B、C三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【例4-3】已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（    ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 【例4-4】为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（    ） A． 1 B． C． D． 题型五 空间向量的线性运算 【例5-1】已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； (2)； (3). 【例5-2】如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ） A． B． C． D． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $