1.1.1 空间向量及其线性运算 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

都匀阳光未来外国语学校—高中部—导学案—必修2 编写人：石崇楷 使用时间： 9月 日 1.1.1空间向量及其线性运算 导学案 班级 姓名 小组___________ 【学习目标】 1.类比平面向量，能说出空间向量的概念； 2.会用空间向量的加法、减法、数乘运算律； 3.借助向量的线性运算，能解决相关的问题。 【重点难点】 重点：空间向量相关概念、线性运算及运算律 难点：用向量方法解决立体几何问题 一、知识链接 1.平面向量的概念：平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作或. 2.平面向量的表示法：（1）有向线段： （2）字母表示： a，b，c，··· 印刷体：a 手写体： （3）坐标表示： 3.平面向量的线性运算： (1) 加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算。 法则：三角形和平行四边形法则 (2) 数乘运算：实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： ① ； ②当时，方向与相同且；当时，方向与相反且；当时，为零向量. 4. 平面向量的线性运算： ①交换律： a + b＝b + a； ②结合律： a + (b + c) ＝(a + b) + c， λ(μa)＝(λμ)a； ③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa，λ(a+b)＝λa + λb. 二、了解感知（建议用时9分钟） 1.阅读课本P2，类比平面向量，复述空间向量的概念，会用3种表示法表示出空间向量。 2. 阅读课本P2，类比空间向量，得出空间向量的相关概念： 共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线 或 ，则这些向量叫做 向量或平行向量，记作 ； 规定，0零向量和任意向量 。 且 的向量叫做相等向量。 3. 阅读课本P3，得出空间向量的线性运算： (1) 加、减运算：求两个向量的和与差的运算。 (2) 数乘运算：实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作 ，其长度和方向规定如下： ① ；②当时，方向与 且 ；当时，方向与 且 ； 当时，为 . 4. 阅读课本P3，类比平面向量，得出空间向量的线性运算 ①交换律： ；②结合律： ， ； ③分配律： ， 5.阅读课本P4，类比平面向量，空间向量的线性运算是否可以解决空间中的相关问题呢？ 对任意两个 向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是：存在实数λ，使 . 直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的 ，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做 总结：三个不共线的空间向量共面的充要条件：如果两个向量，，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是：存在唯一的有序实数对,使 三、探究未知 1.如图，E，F分别是长方体ABCD-A'B'C'D的棱AB,CD的中点.化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1) AA' - CB; (2) AA' + AB + B'C; (3) AB- AD + B'D'; (4) AB + CF. 2.用AB,AD,AA’表示A’C,BD’及DB’. 3.如图，已知四面体OABC,M,N分别是OA,BC的中点，点G在MN上，且MG=2GN,设 = a, = b, = c, 试用a,b,c表示向量 4.如图1.1-9，已知平行四边形，过平面外一点，作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使． 求证：，，，四点共面． 四、知识迁移 1.(2)四点共面：若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且 成立，则P，A，B，C四点共面。 2.为空间任意一点，若，若四点共面，则（     ） A．1 B． C． D． 3.在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（     ） A． B． C． D． 4。 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$