第2章对称图形——圆专题1垂径定理（巩固练习） 2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级上册

2025-2026学年苏科版数学九年级上册 第2章对称图形——圆专题1垂径定理 （巩固练习） 【典型例题】 【例1】如图，P是内一点．若圆的半径为5，，则经过点P的弦的长度不可能为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【例2】的半径为，弦，，，则、间的距离是：（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【例3】在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为___________． 【例4】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD＝5，AB＝6，当EF取得最大值时，CE的长度为__________． 【例5】 如图，矩形纸片一边过圆心O，分别交于E、F，且，求的半径． 【例6】如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽AB为12米，拱高CD为4米． (1)求这座拱桥所在圆的半径． (2)现有一艘宽5米，船舱顶部为正方形并高出水面3.6米的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由． 【举一反三】 【变式1】如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（ ） A. B. 8 C. D. 【变式3】如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于E，已知CD=12，BE=3，则⊙O 的直径为______. 【变式4】如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升_______． 【变式5】一座跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为 16 米，拱高（CN）为 4 米，若大雨过后，桥下河面宽度（DE）为 12 米，求水面涨高了多少米？ 【变式6】如图，中，，，，以点C为圆心、的长为半径的圆与、分别相交于点D、E． （1）用直尺和圆规作出劣弧的中点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求的长． 【巩固练习】 1.下列语句中，正确的有（　　） （1）相等的圆心角所对的弧相等； （2）平分弦的直径垂直于弦； （3）长度相等的两条弧是等弧； （4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD弦于点E，则下列结论不一定成立的是（　 　） A．CE＝DE B．AE＝OE C．∠COA＝∠DOA D．△OCE≌△ODE 3.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝30°，AC＝6，则⊙O直径为（　　） A. 6 B. 12 C. 6 D. 6 4.如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（ ） A. B. C. D. 5.已知为内一点，，如果的半径是，那么过点的最短弦长是______． 6.一圆的半径是10cm，圆内的两条平行弦长分别为12cm和16cm，则这两条平行弦之间的距离为________． 7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心．是上的点，，垂足为点．若，，则的半径为______ ． 8.如图所示，小区内有个圆形花坛，点在弦上，，，，则这个花坛的面积为____________．（结果保留） 9.如图，已知 的半径为，，垂足为点，且，求 的长． 10.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 11.尺规作图，将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R． 12.如图，已知内接于，于点D，且线段、的长恰好是方程的两个实数根． （1）求线段的长； （2）若线段的长为10，求的半径． 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，P是内一点．若圆的半径为5，，则经过点P的弦的长度不可能为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【例2】的半径为，弦，，，则、间的距离是：（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【例3】在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为___________． 【答案】或 【例4】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD＝5，AB＝6，当EF取得最大值时，CE的长度为__________． 【答案】 【例5】 如图，矩形纸片一边过圆心O，分别交于E、F，且，求的半径． 【答案】解：如图：过F作于H，连接，则， ∵， ∴， 设圆的半径为，则， 在直角中，由勾股定理得： ，解得． ∴圆的半径为． 【例6】如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽AB为12米，拱高CD为4米． (1)求这座拱桥所在圆的半径． (2)现有一艘宽5米，船舱顶部为正方形并高出水面3.6米的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由． 【答案】(1)连结OA， 解∶根据题意，得CD=4米，AB=12米，则AD=AB=6(米)． 设这座拱桥所在圆的半径为x米， 则OA=OC=x米，OD=OC-CD=(x-4)米． 在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2， 即x2=(x-4)2+62， 解得x=6.5， 故这座拱桥所在圆的半径为6.5米． (2)货船不能顺利通过这座拱桥．理由： 连结OM，设MN=5米， ∵OC⊥MN，∴MH=MN=2.5(米)． 在Rt△OMH中，OH==6(米)． ∵OD=OC-CD=6.5-4=2.5(米)， ∴OH-OD=6-2.5=3.5(米)<3.6米， ∴货船不能顺利通过这座拱桥． 【举一反三】 【变式1】如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【变式2】如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】D 【变式3】如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于E，已知CD=12，BE=3，则⊙O 的直径为______. 【答案】15 【变式4】如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升_______． 【答案】7或17 【变式5】一座跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为 16 米，拱高（CN）为 4 米，若大雨过后，桥下河面宽度（DE）为 12 米，求水面涨高了多少米？ 【答案】连接OD ， 由题意得，OC AB ， ∴AN NB AB 8 , 同理可得， DM ME DE 6 ， 设圆弧形所在圆的半径为R 米，则ON (R 4) 米， 在Rt△AON中，OA2 AN2ON2 ，即R282(R4)2， 解得：R 10 ， ∴OM ==8， 则 MN OM ON 2， 答：水面涨高了2米． 【变式6】如图，中，，，，以点C为圆心、的长为半径的圆与、分别相交于点D、E． （1）用直尺和圆规作出劣弧的中点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求的长． 【答案】（1）如图所示，点F即为所求； 【小问2详解】 如图所示，设的垂直平分线交于点G ∵，，， ∴ 根据题意得，经过点C，且垂直平分 ∴ 又∵ ∴，即 ∴． ∴． 【巩固练习】 1.下列语句中，正确的有（　　） （1）相等的圆心角所对的弧相等； （2）平分弦的直径垂直于弦； （3）长度相等的两条弧是等弧； （4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 2.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD弦于点E，则下列结论不一定成立的是（　 　） A．CE＝DE B．AE＝OE C．∠COA＝∠DOA D．△OCE≌△ODE 【答案】B 3.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝30°，AC＝6，则⊙O直径为（　　） A. 6 B. 12 C. 6 D. 6 【答案】B 4.如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 5.已知为内一点，，如果的半径是，那么过点的最短弦长是______． 【答案】 6.一圆的半径是10cm，圆内的两条平行弦长分别为12cm和16cm，则这两条平行弦之间的距离为________． 【答案】14cm或2cm 7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心．是上的点，，垂足为点．若，，则的半径为______ ． 【答案】10 8.如图所示，小区内有个圆形花坛，点在弦上，，，，则这个花坛的面积为____________．（结果保留） 【答案】 9.如图，已知 的半径为，，垂足为点，且，求 的长． 【答案】如图，过点分别作，，垂足分别为点，，连接 ，． ， ， 在 中，， 同理可得， ， 易得四边形为正方形， ， ． 10.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 【答案】连接，交于点D，如图， 即， ∵点C为运行轨道的最低点，， ∴，， 由勾股定理，得， 即， ∴， 故点C到弦所在直线的距离是米． 11.尺规作图，将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R． 【答案】（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线，交点O即为所求的圆心； （2）连接AO，OB， ∵BC=16cm，∴BD=8cm，∵AB=10cm，∴AD=6cm， 设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R-6）cm， ∴R2=82+（R-6）2， 解得：R=cm， ∴圆片的半径R为cm． 12.如图，已知内接于，于点D，且线段、的长恰好是方程的两个实数根． （1）求线段的长； （2）若线段的长为10，求的半径． 【答案】（1）解：∵于点D， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵线段、的长恰好是方程的两个实数根． ∴， ∴； 【小问2详解】 连接并延长交于点E，则是的直径，连接， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的半径为． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $