专题01 空间向量及其运算（期中复习课件）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦人教A版选修一“空间向量及其运算”，通过“明·期中考情”分析核心考点与复习目标，以“记·必备知识”梳理概念及运算，结合“破·重难题型”和“过·分层验收”搭建从基础到综合的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于考情导向清晰，用表格呈现核心考点与素养目标，思维导图梳理十大题型体系，通过解题技巧与例题强化逻辑推理和数学运算核心素养，分层练习助力学生巩固提升，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

专题01 空间向量及其运算 高二数学上学期 期中复习大串讲 人教A版选修一 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 共线向量 掌握空间向量的线性运算,增强逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 共面向量 理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 空间向量基本定理及其应用 1、会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量,强化直观想象的核心素养. 2、会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角、模长、数量积,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 高频易错点，数量积、模长、夹角的运算及最值（范围）出错 空间向量的坐标运算及其应用 1、掌握向量平行、向量垂直的坐标表示,并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题,强化数学运算的核心素养. 2、能熟练应用两个向量数量积、夹角与向量长度的坐标计算公式,提升逻辑推理的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 空间向量的有关概念 知识点01 1、空间向量的有关概念 几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量 长度相等而方向相反的向量， 称为 的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 空间向量的有关概念 知识点01 2、空间向量的表示 空间向量的加法、减法运算 知识点02 1、空间向量的位置： 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）： 空间向量的加法、减法运算 知识点02 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）： 4、空间向量的加法运算律 空间向量的数乘运算 知识点03 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 共线向量与共面向量 知识点04 共线向量与共面向量 知识点04 空间两个向量的夹角 知识点05 空间两个向量的夹角 知识点05 空间向量的数量积 知识点06 空间向量的数量积 知识点06 空间向量的数量积 知识点06 空间向量基本定理 知识点07 空间向量的正交分解及其坐标表示 知识点08 空间向量的正交分解及其坐标表示 知识点08 空间向量运算的坐标表示 知识点09 空间向量运算的坐标表示 知识点09 空间向量运算的坐标表示 知识点09 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 空间向量的线性运算 题型一 解｜题｜技｜巧 【例1】 故选：B. B 【分析】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案. 【例2】 故选：B. B 【分析】根据空间向量的减法及线性关系计算即可. 【例3】 【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案. 【例4】 空间向量共线问题 题型二 解｜题｜技｜巧 【例1】 故选：B. B 【例2】 故选：C. C 【分析】利用空间向量平行充要条件即可求得实数t的值. 【例3】 【分析】根据三点共线，转化为向量共线，即可求解. 5 【例4】 【分析】根据题意可知 ，利用向量相等求解即可. 空间向量共面问题 题型三 解｜题｜技｜巧 【例1】 【例1】 故选：C. C 【例2】 【例2】 故选：B. B 【例3】 【例4】 用基底表示向量 题型四 解｜题｜技｜巧 【例1】 故选：B. B 【例2】 故选：C. C 【例3】 【例4】 【例4】 空间向量基本定理求数量积、模长、夹角 题型五 解｜题｜技｜巧 空间向量基本定理求数量积、模长、夹角 题型五 解｜题｜技｜巧 空间向量基本定理求数量积、模长、夹角 题型五 解｜题｜技｜巧 空间向量基本定理求数量积、模长、夹角 题型五 解｜题｜技｜巧 【例1】 【例1】 故选：B. B 【例2】 【例2】 故选：D. D 【例3】 【例4】 16 空间直角坐标系 题型六 解｜题｜技｜巧 【例1】 故选：A. A 【例2】 故选：C. C 【例3】 【例4】 【例4】 数量积、模长、夹角的坐标运算（含平行、垂直的应用） 题型七 解｜题｜技｜巧 解｜题｜技｜巧 数量积、模长、夹角的坐标运算（含平行、垂直的应用） 题型七 解｜题｜技｜巧 数量积、模长、夹角的坐标运算（含平行、垂直的应用） 题型七 解｜题｜技｜巧 数量积、模长、夹角的坐标运算（含平行、垂直的应用） 题型七 【例1】 故选：B. B 【例2】 故选：C. C 【例3】 【例3】 【例4】 【例4】 投影向量的计算 题型八 解｜题｜技｜巧 【例1】 故选：A. A 【例2】 故选：B. B 空间向量运算证明垂直与平行问题（含坐标法） 题型九 解｜题｜技｜巧 空间向量运算证明垂直与平行问题（含坐标法） 题型九 解｜题｜技｜巧 【例1】 【例2】 空间向量运算中的最值范围问题 题型十 【例1】 故选：B. B 【例2】 故选：A. A 【例3】 1 【例4】 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期中基础通关练（测试时间：10分钟） B 故选：B. B 故选：B. A 故选：A. C 故选：C. A 故选：A. C 故选：C. A 故选：A. D 故选：D. B 故选：B. A 故选：A. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） B 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 故选：B. A 故选：A. A 故选：A. C 故选：C. 故选：BCD. 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 向量叫做与差，记作，即 2、数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 5、空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 6、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，那么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 1、空间向量基本定理：如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量：如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 3、单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 4、正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 2、空间向量的坐标表示 ①空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． ②空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. （23-24高二上·河南南阳·月考）求为（    ） A． B． C． D． 【详解】原式. （24-25高二下·江苏盐城·月考）已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【详解】因为分别是的中点，所以， 则. 故答案为：. 在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 【详解】延长交边于点，则，则有， ，故． 【分析】根据向量线性运算规则，用向量表示出，求出参数的值. 故答案为：. （24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 【详解】在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，，所以，又因为，所以. 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． （24-25高二上·河南许昌·月考）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【详解】由长方体，可得，，所以四边形是平行四边形，所以，同理可得，又，分别为，的中点，所以，所以，所以向量平行于，因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，，又直线与相交，所以向量不平行于. 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. （24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【详解】，，若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. （23-24高二上·北京·月考）若空间三点，，共线，则实数 . 【详解】，，由空间三点共线，则，即， 所以，得，. 故答案为：5. 故答案为：. 已知点和点，则靠近点的三等分点的坐标为 ． 【详解】设，由题可得，所以可得， 则，解得：，故点的坐标为． 1、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 2、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. （23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， （23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. （24-25高二下·江苏淮安·期中）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解. 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得.则可得. 由，可列出方程组. 由可得，将其代入中，得到.去括号得，移项合并同类项得，解得.将 （24-25高二下·江苏淮安·期中）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解. 【详解】代入，可得. 将，代入，可得. 故答案为：. （24-25高二上·陕西汉中·月考）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则的值是 ． 【分析】根据空间向量共面定理直接求解即可. 【详解】四点共面，， ，解得：. 故答案为：. （24-25高二上·上海宝山·期中）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【分析】根据向量共面定理设，用待定系数法法解出，，﹒ 【详解】因为，，是三个不共面的非零向量，又，，共面，所以存在实数，，使得，则， 则，解得． 用基底表示向量的步骤 （1）定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. （2）找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. （3）下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. （24-25高二下·江苏南京·期中）在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【分析】作图，然后根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】根据题意，． 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故答案为：. （24-25高二下·上海嘉定·期末）在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示 为 ． 【分析】根据N是面的中心得出，再结合向量的减法计算求解. 【详解】因为N是面的中心，所以延长交于，是中点，且， . 在正四面体中，为的重心，记，，．若，，则 ．（用，，表示） 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意，为的重心，则， 所以 故答案为：. 在正四面体中，为的重心，记，，．若，，则 ．（用，，表示） 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 1、合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算. ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. ③代入 求解. 2、模长 （1）将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模. （2）因为,所以,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为. 3、夹角 （1）求两异面直线的夹角,可转化为求两直线的方向向量的夹角. （2）由两个向量的数量积定义得,求的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出的余弦值,进而求的大小,在求时注意结合空间图形,把用基向量表示出来,进而化简得出的值. （3）异面直线AB,CD的夹角α∈(0,],而<,>∈[0,π],故α=<,>或α=π-<,>. （24-25高二上·广东东莞·期中）如图，在平行六面体中，底面和侧面都是正方形，，点是与的交点，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【分析】取空间的一个基底，用基向量表示出，再根据空间向量数量积的运算计算即可. 【详解】由题意，在平行六面体 中，，， 由点P是与的交点，得， 而，因此 （24-25高二上·广东东莞·期中）如图，在平行六面体中，底面和侧面都是正方形，，点是与的交点，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【分析】取空间的一个基底，用基向量表示出，再根据空间向量数量积的运算计算即可. 【详解】. （23-24高二上·山东济南·月考）如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．1 B． C． D． 【分析】根据给定条件，以为空间向量的一个基底，再利用空间向量夹角公式求解即得. 【详解】令四棱锥的各条棱长均为2，则，由是的中点，得, 显然不共面，，又， （23-24高二上·山东济南·月考）如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．1 B． C． D． 【分析】根据给定条件，以为空间向量的一个基底，再利用空间向量夹角公式求解即得. 【详解】 ，因此， 所以则异面直线与所成角的余弦值为. （24-25高二上·河南濮阳·月考）如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，则对角线的长是 ． 【分析】将对角线表示成，然后根据向量的方法计算出对角线的长即可. 【详解】，且的长为3，，故，，， 由于，所以 ． 故答案为：. （23-24高二下·江苏南京·月考）在正三棱锥中，是的中心，，则 ． 【分析】选择为空间向量的基底，表示向量，再计算数量积即可. 【详解】如图：首先：，.又.所以 . 故答案为：16. 建系确定点的坐标的原则 （1）建立空间直角坐标系时应遵循以下原则: ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. （2）求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. （24-25高二下·甘肃定西·月考）在空间直角坐标系中，点在坐标平面上的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据点在坐标平面内射影的特点，直接写出答案即可． 【详解】由题意得，点的纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0，则. （25-26高二上·黑龙江·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【分析】在空间直角坐标系中，一个点关于平面对称的点的坐标为，据此即可得到答案． 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故答案为：. （24-25高二下·甘肃金昌·月考）已知点O为坐标原点，，则线段的中点坐标为 . 【分析】根据条件，利用空间两点中点坐标公式，即可求解. 【详解】点O为坐标原点，， 则， 所以线段的中点坐标为， 如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，结合已知写出对应点坐标； （2）应用空间向量的坐标表示及（1）中对应点坐标写出向量的坐标. 【详解】（1）由，知，结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直．以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，易知，点在轴上，点在轴上，且，，则，，，； 如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，结合已知写出对应点坐标； （2）应用空间向量的坐标表示及（1）中对应点坐标写出向量的坐标. 【详解】（2），， ． 1、设， 2、利用向量方法求长度或距离的基本方法 若，则，即 3、求两个非零向量夹角的两种途径 设， 则 4、平行与垂直 （1）两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） （2）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解. （24-25高二上·山东潍坊·期中）已知，，若，则（   ） A． B． C．4 D． 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，，由，得，所以. （25-26高二上·安徽阜阳·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据向量夹角公式的坐标表示求解. 【详解】由已知两式相加，得即， 两式相减可得即， 所以. （23-24高二上·广东珠海·月考）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围. 【详解】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 故答案为：. （23-24高二上·广东珠海·月考）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围. 【详解】又因为向量与所成角为锐角，所以，解得，若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. （24-25高二上·河北衡水·期中）已知. (1)若，求的值； (2)若且，求的值. 【分析】（1）利用坐标运算表示，根据向量平行建立等量关系，解方程得到结果. （2）利用向量模长和垂直公式建立等量关系，解方程得到结果. 【详解】（1）由题意得，， ∵， ∴，解得. （24-25高二上·河北衡水·期中）已知. (1)若，求的值； (2)若且，求的值. 【分析】（1）利用坐标运算表示，根据向量平行建立等量关系，解方程得到结果. （2）利用向量模长和垂直公式建立等量关系，解方程得到结果. 【详解】（2）由题意得，， ∵且， ∴,解得. 向量称为向量在向量上的投影向量 （24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. （24-25高二上·广西河池·期末）若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据投影向量求解公式进行计算，得到答案. 【详解】由于空间向量，， 则向量在向量上的投影向量为. 1、利用空间向量基本定理 （1）合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算. （2）当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积和垂直条 件来完成位置关系的判定. （3）证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题,利用向量共线的充要条件证明. 2、利用坐标 （1）利用向量证明直线平行或垂直,则要建立恰当的空间直角坐标系,求出相关向量的坐标,利用向量平行、垂直的充要条件证明. 在长方体中，M是与的交点，E是上一点．若，，，利用向量法证明：． 【分析】设，，，则构成空间的一个基底，利用该基底表示出，证明即可． 【详解】设，，，则构成空间的一个基底， 则，， ∴， ∴，即． （24-25高二下·江苏镇江·月考）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【分析】根据题意，求得，，再结合向量的共面定理，得到共面，又平面，得平面. 【详解】因为在上，且，所以. 同理. 所以， 又与不共线，则共面，又平面，得平面. （24-25高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 【分析】根据，可得，则，进而可求出的关系及符号，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以，则存在唯一实数，使得，即，所以，所以，因为，所以，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为. （24-25高二上·河南郑州·期末）在边长为 2 的正方体中，分别为的中点， 分别为线段 上的动点 (不包括端点) 满足 ，则线段的长度最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【分析】利用坐标法表示垂直关系，再代入距离公式，即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，，，设，，，，因为，所以，即，所以，当时，线段的最小值为. （24-25高二上·贵州贵阳·月考）已知正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的最大值是 ． 【分析】利用空间向量基底法结合数量积公式计算即可. 【详解】依题意，设，其中， . 因此的最大值是1. 故答案为：1. 故答案为：. 设动点在棱长为的正方体的对角线上，记，当为钝角时，的取值范围为 ． 【分析】建立直角坐标系，根据空间向量共线求出,由为钝角可得，即，根据数量积的计算可得到结果. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．则，,,所以，， ． 因为不共线，所以为钝角,等价于，即，从而，得． 1．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知点是点在平面上的射影，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为点是点在平面上的射影，则， 所以，. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，则点关于轴对称的点为， 又，则点关于平面对称的点为. 所以. 3．（23-24高二上·陕西·月考）若，，三点共线，则（    ） A．4 B． C．1 D．0 【详解】因为，，所以， 解得．故． 4．在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【详解】如图，， ， ，. 5．（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意， , 6．（24-25高二下·江苏淮安·月考）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．8 B．9 C．10 D．11 【详解】因为向量共面，所以存在实数使得， 即 所以，解得，. 7．（24-25高二上·山东·期中）已知，若四点共面，则（   ） A． B．2 C．4 D．5 【详解】由题可知.因为四点共面，所以，即， 则解得. 8．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知为空间的一组基底．则下列向量能构成空间的一组基底的是（   ） A． B． C． D． 【详解】对于A, 因为,所以三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B，因为，所以三个向量共面，不能构成一组基底；对于C，因为，所以三个向量共面，不能构成一组基底；对于D，设 三个向量共面，则 8．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知为空间的一组基底．则下列向量能构成空间的一组基底的是（   ） A． B． C． D． 【详解】，所以,不存在，所以三个向量不共面，能构成一组基底. 9．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 10．（24-25高二下·江苏连云港·月考）在三棱锥O-ABC中，G是的重心，，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】取线段的中点，因点是的重心，则， 因，则 则. 1．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使，所以， 所以，所以 1．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】，所以． 2．（24-25高二上·宁夏银川·月考）如图，正四棱台中，，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【详解】设正四棱台的高为，所以四边形，是正方形，设其中心分别为，连接，如图，以为原点建立空间直角坐标系，且作，由勾股定理得，所以，由题意得，，所以四边形是平行四边形，所以，故，得到，而， 2．（24-25高二上·宁夏银川·月考）如图，正四棱台中，，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【详解】所以，，所以 ，由投影向量公式得在上的投影向量为，故A正确. 3．（24-25高二上·山东烟台·期中）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【详解】在平行六面体中，取，，， ，，，，， 而，则 ，即， 设，则， 3．（24-25高二上·山东烟台·期中）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【详解】由于与共面，故存在实数，使得 ， 故，解得，故， 4．（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】设正方体的外接球的球心为，球的半径为， 则，可得，所以， 又 ， 4．（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】当为正方体某个面的中心时，取最小值； 当与正方体的顶点重合时，取最大值. 则，所以. 所以，.    5．（24-25高二上·湖南永州·月考）（多选题）如图，平行六面体的所有棱长均为，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则（   ） A． B．在方向上的投影向量为 C．，，，四点共面 D．直线与所成角的余弦值为 【详解】对于A，， ， 【详解】，则，故A错误； 对于B，因为平行六面体棱长均为2，、、两两所成夹角均为， 所以， 则， ，则， 【详解】， B正确； 对于C，在上取点，使得，连接，，，， 因为，，所以四边形为平行四边形，可得， 因为，，所以四边形为平行四边形，可得， 所以，可得，，，四点共面，故C正确； 对于D，因为，， ， 【详解】所以 ， ，D正确. 6．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则 ；直线与所成角的余弦值为 . 【详解】连接， ，故；，故 【详解】，故， 则 ， 故直线与所成角的余弦值为. 故答案为：；. 7．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设．，，由于，所以，即．又，所以 【详解】， 由于，所以当时取得最小值． （2），，因为，所以，即． 又． 由于，所以（利用二次函数的性质求解）， 即当或1时，取得最小值，因此的最大值为， 即与夹角的最大值为． $