专题突破九 以弦图为背景的计算题（四大题型30道）2025-2026学年浙教版八年级上册数学同步讲练

【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版 专题突破九 以弦图为背景的计算题（四大题型30道） 题型一：以弦图为背景的计算题求周长问题 1．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 2．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是41，每个直角三角形的较短直角边为4，求中间小正方形（阴影部分）的周长为（   ） A．4 B．5 C．12 D．14 3．(2025·陕西省渭南市韩城市·一模)如图，“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．它是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若中间的小正方形的周长为4，，则大正方形的周长为 ． 4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论． 勾股定理与图形的面积存在密切的关系， 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，，，则阴影部分的周长为 ． 5．(23-24八上·四川成都锦江区成都石室天府中学·期末)如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ． 6．(23-24八上·吉林长春二道区·期末)如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为 ． 7．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了的一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的大正方形的面积是5，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则矩形的周长是 ．    题型二：以弦图为背景的计算题求面积问题 1．(24-25九下·四川泸州七中·月考)如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A． B． C． D． 2．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族蒙自·期末)我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于14，正方形的边长是6，则正方形的面积为（   ） A． B．8 C．20 D． 3．(24-25八下·福建莆田涵江区·期中)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ； 4．如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ． 5．(24-25八下·山西晋中平遥县·期末)赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为24，则的面积是 ． 6．如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为 ． 7．(24-25七下·山东济南济阳区·期中)如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ．（用含的代数式表示）． 8．(24-25八上·四川成都锦江区师一学校·月考)青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 9．(24-25七上·山东东营·期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为，较长直角边长为，，且中间小正方形的面积为5，则大正方形的面积为 ． 题型三：以弦图为背景的计算题求线段长度问题 1．数学文化中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了如图（1）所示的“赵爽弦图”，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图（2）所示的矩形．若图（1）中大正方形的周长为，则的长为 ． 2．(24-25八下·山西大同·期末)“赵爽弦图”中，，将四个直角三角形（）中的较长直角边（）向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则 ． 3．(24-25八下·辽宁大连瓦房店·期末)如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．若正方形的面积为4，，则正方形的边长为 ． 4．(24-25八下·贵州·期末)如图是2002年北京第24届国际数学家大会会标，它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1，则直角三角形的两直角边之和为 ． 5．(24-25八上·浙江杭州上城区·期末)如图，是由四个全等的直角三角形拼成的赵爽弦图，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点．若，为中点，则的长为 ；的长为 ． 7．(2024·陕西省西安市·模拟)如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ． 题型四：以弦图为背景的计算题求代数式的值 1．(2025·陕西省咸阳市·二模)赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图（如图）”是他研究勾股定理的重要成果，该图形由四个全等的直角三角形拼成，已知图中大正方形的面积为34，阴影小正方形的面积为4，若直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ． 2．(24-25八下·湖北黄石下陆区黄石实验中学·期中)第届国际数学家大会在中国北京举行，这次大会的会徽如图所示，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，则的值是 ． 3．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则的值为 ． 4．(24-25八上·河南南阳唐河县·期末)如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为2．若用正数、表示直角三角形的两条直角边，则 ． 5．(23-24七下·浙江金华浦江县·期末)如图2，是由形如图1所示的四块全等的直角三角形拼成的大正方形和小正方形．则： （1）由可列等式： + ； （2）若，那么与之间的数量关系是 ． 6．(23-24八下·福建厦门湖里区·期末)如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若一个直角三角形面积为24，大正方形面积为100，则的值为 ． 7．如图所示，矩形由两直角边之比皆为的三对直角三角形纸片甲、乙、丙拼接而成，它们之间互不重叠也无缝隙，则的值为 ． 8．(23-24八上·江苏苏州常熟实验中学·月考)如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为50，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边，则 ． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版 专题突破九 以弦图为背景的计算题（四大题型30道） 题型一：以弦图为背景的计算题求周长问题 1．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求得，进而可得，根据题意即可得出这个风车的外围周长． 【详解】解：如图， 由题意可知，． ， ． ∴这个风车的外围周长是． 故选：B． 2．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是41，每个直角三角形的较短直角边为4，求中间小正方形（阴影部分）的周长为（   ） A．4 B．5 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理求出直角三角形的较长直角边，则可求出中间正方形的边长，然后根据正方形周长公式求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积是41，每个直角三角形的较短直角边为4， ∴直角三角形的较长直角边的长为， ∴中间正方形的边长为， ∴中间小正方形（阴影部分）的周长为， 故选：A． 3．(2025·陕西省渭南市韩城市·一模)如图，“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．它是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若中间的小正方形的周长为4，，则大正方形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理．由四个全等的直角三角形可知，，利用勾股定理可求得大正方形的边长，由此即可求解． 【详解】解：∵中间的小正方形的周长为4， ∴， ∵， ∴， 根据题意得，在中，，， ∴， ∴大正方形的周长为， 故答案是：． 4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论． 勾股定理与图形的面积存在密切的关系， 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，，，则阴影部分的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用、正方形的性质等知识点，掌握勾股定理的内容是解题的关键． 先根据勾股定理和正方形的性质可得，再根据勾股弦图可得，再结合的面积为6可得，再运用完全平方公式可得，最后再求周长即可． 【详解】解：根据勾股定理得：， ， 正方形的面积是25， ， 的面积为6，即， ， ， 即， 阴影部分的周长为． 故答案为：28． 5．(23-24八上·四川成都锦江区成都石室天府中学·期末)如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用．求得四个全等的直角三角形的斜边长为，设两条直角边分别为，利用图3的外轮廓周长为，求得，再利用图1中，列式计算即可求解． 【详解】解：如图，由题意得， ∴（负值已舍）， 如图，，设，，则， 由题意得， ∴，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 解得， 如图，，设点C到的距离为， ∴，即， ∴， ∴点C到的距离为， 故答案为：． 6．(23-24八上·吉林长春二道区·期末)如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为 ． 【答案】32 【分析】本题考查勾股定理，关键是由勾股定理求出的长． 由题意得：,求出,由勾股定理求出,即可求出阴影的周长． 【详解】 解：由题意得：, ， 由勾股定理得：， ∴阴影的周长． 故答案为：32． 7．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了的一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的大正方形的面积是5，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则矩形的周长是 ．    【答案】12 【分析】设直角三角形的较长直角边长度为a，较短直角边长度为b，则中间的小正方形长度为，矩形图可知小正方形的边长为b，易得，根据矩形的面积与大正方形的面积相等列方程求得，即可求得周长． 【详解】解：如图，设直角三角形的较长直角边长度为a，较短直角边长度为b，则中间的小正方形长度为，    由图②可得，小正方形的边长为b， ∴，即， ∴围成的矩形长为：， ∴围成的矩形面积为：， ∵矩形的面积与大正方形的面积相等， ∴， 解得：（舍去负值）， 矩形的周长为：， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了赵爽弦图，注意利用图形之间的关系进行求解． 题型二：以弦图为背景的计算题求面积问题 1．(24-25九下·四川泸州七中·月考)如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可． 【详解】解：如图， ，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：B． 2．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族蒙自·期末)我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于14，正方形的边长是6，则正方形的面积为（   ） A． B．8 C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用，根据勾股定理并结合已知可得出，，根据完全平方公式变形可求出，，即可求解． 【详解】解：∵的周长等于14，正方形的边长是6， ∴，， ∴ ∴， 由题意知：， ∴， ∴正方形的面积为8， 故选：B． 3．(24-25八下·福建莆田涵江区·期中)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ； 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示出面积． 根据题意判断出，，分别表示出，，，然后相加化简计算即可． 【详解】解：图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，， ，， ， ， ， ， ， 的值是13． 故答案是13． 4．如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设，则，根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知， ∴设，则， ∵，的长为5， ∴，解得：， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：15． 5．(24-25八下·山西晋中平遥县·期末)赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为24，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的基础知以及三角形中线的性质等知识，掌握求解的方法是关键； 连接，如图，根据三角形的中线平分三角形的面积可得，进而可得，同理可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵点、、分别是、、的中点， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵的面积为24， ∴； 故答案为：． 6．如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理，设四个全等的直角三角形的短直角边的长为a，长直角边的长为b，根据正方形面积计算公式可得，则可得到，，进而得到，再根据正方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的短直角边的长为a，长直角边的长为b， ∵图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 7．(24-25七下·山东济南济阳区·期中)如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ．（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了弦图，完全平方公式，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，根据题意， ，结合已知化简计算即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边为，较短直角边为， 根据题意， ， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的值是， 故答案为：． 8．(24-25八上·四川成都锦江区师一学校·月考)青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查数学文化与几何概型，涉及到全等三角形的性质，勾股定理，完全平方公式变形求值．根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示后计算即可． 【详解】解：∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴，， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 9．(24-25七上·山东东营·期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为，较长直角边长为，，且中间小正方形的面积为5，则大正方形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， 得， ∴大正方形的面积， 故答案为：9． 题型三：以弦图为背景的计算题求线段长度问题 1．数学文化中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了如图（1）所示的“赵爽弦图”，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图（2）所示的矩形．若图（1）中大正方形的周长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查“赵爽弦图”，等积图形变换，勾股定理，图形的拼接，设，根据图（1）中间小正方形的与图（2）中小正方形的边长相等，得到，由图（1）中大正方形的周长为 ，则可求出长，利用勾股定理即可求出长度，则题目可解． 【详解】解：如图（2），设， 则图（1）中间小正方形的边长为，图（2）中小正方形的边长为a， ∴，即． ∵ 图（1）中大正方形的周长为， ∴大正方形的边长 由勾股定理可得 即， ， ， ． 故答案为：． 2．(24-25八下·山西大同·期末)“赵爽弦图”中，，将四个直角三角形（）中的较长直角边（）向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 根据题意得到，进而求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：∵风车的外围周长（虚线部分）为76， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 3．(24-25八下·辽宁大连瓦房店·期末)如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．若正方形的面积为4，，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，根据得到，再根据正方形的面积公式即可得出，利用全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 正方形的面积为4， ， ， ， 故答案为：． 4．(24-25八下·贵州·期末)如图是2002年北京第24届国际数学家大会会标，它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1，则直角三角形的两直角边之和为 ． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理，正方形面积，三角形面积公式，完全平方公式等．根据题意可得到每个三角形面积，继而完全平方公式即可得到本题答案． 【详解】解：∵图中大、小正方形的面积分别为13和1， ∴四个全等的直角三角形面积为：， ∴每个三角形面积为：， 设直角三角形两个直角边分别为，斜边及大正方形边长为， ∴，即：， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：5． 5．(24-25八上·浙江杭州上城区·期末)如图，是由四个全等的直角三角形拼成的赵爽弦图，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点．若，为中点，则的长为 ；的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，先证明，由全等三角形的性质得到，，进而证明，根据勾股定理得，建立方程解方程，即可求解． 【详解】解：为中点， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 7．(2024·陕西省西安市·模拟)如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理．由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的一半，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，即可得正方形面积为9，继而得，由勾股定理可求得的长． 【详解】解：由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点， 且， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 题型四：以弦图为背景的计算题求代数式的值 1．(2025·陕西省咸阳市·二模)赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图（如图）”是他研究勾股定理的重要成果，该图形由四个全等的直角三角形拼成，已知图中大正方形的面积为34，阴影小正方形的面积为4，若直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算．本题根据面积关系列式得到：，，然后得到，然后由，代入数据即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为m、n， ∴大正方形的边长为， ∵大正方形的面积为34， ∴， ∵小正方形的面积为4， ∴小正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 2．(24-25八下·湖北黄石下陆区黄石实验中学·期中)第届国际数学家大会在中国北京举行，这次大会的会徽如图所示，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，正确的根据图形关系求得和的值是解题的关键． 根据题意可知，，然后将所求式子展开，将和的值代入计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∵大正方形的面积是， ∴， ∴ ， ∴的值是（负值舍去）， 故答案为：． 3．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的性质、分式的求值，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先分别求出与的面积，再根据与的面积相等可得，然后计算分式的减法，代入计算即可得． 【详解】解：由题意得：，，，，， ∴， ∴的面积为， 的面积为， ∵与的面积相等， ∴，即， ∴， 故答案为：1． 4．(24-25八上·河南南阳唐河县·期末)如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为2．若用正数、表示直角三角形的两条直角边，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式变形求值．由勾股定理与正方形的性质得出，根据完全平方公式变形可得． 【详解】解：大正方形的边长为5，小正方形的边长为2， ，， ，即， ， ， 故答案为：． 5．(23-24七下·浙江金华浦江县·期末)如图2，是由形如图1所示的四块全等的直角三角形拼成的大正方形和小正方形．则： （1）由可列等式： + ； （2）若，那么与之间的数量关系是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了整式的运算，乘法公式与几何图形面积的计算，掌握乘法公式的变形运算是解题的关键． （1）根据图形，分别表示几何图形的面积，进行计算，比较即可求解； （2）根据图示，可得，由此可得，根据直角三角形的性质，乘法公式的变形可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， （1）， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：①；②；③ ． 6．(23-24八下·福建厦门湖里区·期末)如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若一个直角三角形面积为24，大正方形面积为100，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、正方形面积的计算、三角形面积的计算等知识，熟练掌握正方形面积和三角形面积的计算公式是解题的关键．由完全平方公式变形求值，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ， ， 故答案为：2． 7．如图所示，矩形由两直角边之比皆为的三对直角三角形纸片甲、乙、丙拼接而成，它们之间互不重叠也无缝隙，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理的应用，灵活使用勾股定理是解题的关键．利用丙和乙短直角边的关系求出和即可求解． 【详解】解：设丙的短直角边长为x，乙的短直角边长为y，则， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 8．(23-24八上·江苏苏州常熟实验中学·月考)如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为50，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边，则 ． 【答案】23 【分析】由大正方形的面积为50结合勾股定理可得出；由小正方形的边长为，即得出，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：由图可知大正方形的边长为． ∵大正方形面积为50， ∴，即． 由图可知小正方形的边长为， ∵小正方形面积为4， ∴，即， 将代入，得：， ∴． 故答案为：23． 【点睛】本题考查勾股定理中弦图的有关计算，准确找出图中的线段关系，并利用完全平方公式求出各个式子的关系是解题的关键． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $