专题04 直角三角形及其相关 4大高频考点（期中真题汇编，浙江专用）八年级数学上学期

专题04 直角三角形及其相关 4大高频考点概览 考点01 直角三角形及其性质 考点02 勾股定理及运用 考点03 直角三角形的判定 考点04 勾股定理的应用及拓展 地 城 考点01 直角三角形及其性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，点E为中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（    ） A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，平分，，．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知平分，，，，于点，于点．如果点是的中点，那么的长是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与重合）为折痕，得到，连结，设，∠AB'E的度数分别为，若，则之间的关系是（        ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 8．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，点均在射线上，点均在射线上，，均为等边三角形．若，则的边长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·浙江温州·期中）在中，，，则 ． 10．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，于点是的平分线，交于点 ，则的度数为 ． 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，是与的斜边，，，位于的异侧，是的中点，连接，，，若，，则的大小是 ．    12．（24-25八年级上·浙江温州·期中）两个直角三角形积木和按如图所示摆放在水平桌面上，已知，，把下端挂有铅锤的细绳的上端拴在直角顶点处，则 °． 13．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则 ．    14．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，点E在边上，点F在边上，将等边沿折叠，使点A落在边上的点D的位置，，若的长是1，则等边的边长为 ． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，中，，，点、分别在边、上运动，的形状大小始终保持不变．在运动的过程中，点C到点O的最大距离为 ． 16．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则 ． 三、解答题 17．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）在中，，，是的高，是的角平分线，求的度数． 18．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，的两条高线，相交于点O．将下面证明的过程补充完整． 证明：，是的两条高线（已知） （高线的意义） （    ）（    ） （    ） 19．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F．    (1)求证：； (2)若，则的面积为______． 20．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点． (1)若，，求的周长． (2)设， ①若，求的度数． ②设，求x与y之间的数量关系． 21．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，，点是上一点，且． (1)如图1所示，若为等腰三角形，求的值； (2)如图2所示，若，点是长方形边上一点，且为等腰三角形，求的面积； (3)在长方形边上找一点，使得为等腰三角形，这样的点存在5个，请直接写出此时的范围． 22．（24-25八年级上·浙江温州·期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1) ； (2)若．求证：为“智慧三角形”； (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 地 城 考点02 勾股定理及运用 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在边上的点E处，已知，，则的长为（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，平分交于点，交于点．若，则的周长为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则的长为（   ） A．5 B． C．4 D．3 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，是四根长度相同的小木棒，A、C、E三点共线，于点C，若，则一根小木棒的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知点B和点E关于直线对称，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，线段的两个端点D，E分别在边和边所在的直线上滑动，且，若点P，Q分别是的中点，则下列有关说法正确的是（   ） A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最小值为 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，D为线段延长线上一点，，E为中点，F为中点，记的长为x，的长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A．xy B． C． D． 8．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，是的角平分线，，，，P，Q分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若，则的面积为6．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知在6×6的网格中（每个小正方形的边长为1），A、B两点都在格点（小正方形的顶点）上。请在图中找一点C，使为等腰三角形，此时腰长为 ． 10．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为2.4米，若将它往水平方向向前推进1米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为 米． 11．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，按图中方式画圆弧交数轴于点A，则点A表示的数是 ． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，，，则的长为 ． 13．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，为中点，在上，且．若，，，则的长度是 ． 14．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知直角中，，，，D为边上一动点，当时，长的取值范围为 ． 15．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等， 则称此三角形为“完美直角三角形”， 求“完美直角三角形”的斜边长为 16．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，将一个量角器和一把宽为3厘米的无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的弧分别交于点，连接，则的长是 ． 三、解答题 17．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）在中，的平分线交于点，于点，， (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 18．（24-25八年级上·浙江金华·期中）某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度、测得水平距离的长为15米；风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 19．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，E是上的一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 20．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D在上，将沿直线翻折，形成． (1)若，求的度数； (2)若点C的对称点恰好落在上，求线段的长． 21．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在直角中，，平分，． (1)若，则的度数为 ． (2)若，，求的面积． (3)若，且，求的长． 22．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知中，，D为中点，连接并延长至点E，使得，G为边上一点，，交于点F． (1)若，则 °， °． (2)求证：． (3)若，且，求的面积． 地 城 考点03 直角三角形的判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级上·浙江·期中）在三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是（   ） A．5，12，13 B．9，40，41 C．2，3， D．，， 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（   ） A．， B． C．三边的长度之比是 D．三边的长度之比是 4．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，，，是直线上的三点，，，是直线外一点，且，，若动点从点出发，向点移动，移动到点停止，在形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ） A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C．等边三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形 二、填空题 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知四边形中，，，，，，则四边形的面积为 ． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成 个直角三角形． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，点，分别是，边上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若是直角三角形时，则的长为 ． 三、解答题 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）的三边长分别是a、b、c．且，，，是直角三角形吗？证明你的结论． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，于点的中线的延长线交于点，． (1)求证：是直角三角形． (2)若，求的值和的长度． 11．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，是边的中点，于点H，平分． (1)求证：平分； (2)过点作的垂线交的延长线于点，求证：＝； (3)是什么三角形？证明你的猜想． 12．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，点D为边上的动点，沿边往A运动，当运动到点A时停止，点D运动的速度为每秒1个单位长度． (1)当时，分别求和的长； (2)当t为何值时，是直角三角形？ (3)若是等腰三角形，请直接写出t的值． 13．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出线段的垂直平分线，保留作图痕迹． 14．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是、的中点，连接，求证：． (3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 地 城 考点04 勾股定理的应用及拓展 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，我国古代著名的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成大正方形和中间小的正方形，若直角三角形的两条直角边的比为，大正方形的面积为25，则小正方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，，，是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的中线，则的长为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，是一个带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为，高度为，现有一根的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，分别以为边在AB的同侧作正三角形，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，则图2中的长为则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在图1所示的的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1．经探究发现，此八边形可按图2的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形①．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图2中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分②也是个正方形，记正方形①的面积为1，则大正方形的边长为（    ） A．3 B． C． D． 二、填空题 9． （24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是 ．    11．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是的高，分别以线段为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为 ． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 13．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 13．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知正方形、、、的面积分别是2，5，1，2，则正方形，的面积是 ． 14．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是 ． 三、解答题 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且．    (1)求证：． (2)由（1）可得伞圈在伞圈上滑动．如图1，伞打开时，；当伞缩拢到图2状态时，时，伞圈下滑的距离长是多少？ 16．（24-25八年级上·浙江·期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成． 如图1为赵爽弦图，其中，连接交于点，连接，得到图2，若． (1)求证：； (2)若，求的长． 17．（24-25八年级上·浙江温州·期中）综合与实践：拼搭现代七巧板 素材：如图1是一副现代七巧板，它由七块不规则板块构成，其中有等腰直角三角形，直角梯形，且 ，半圆与圆的半径相等． 链接：如图2，是小清用现代七巧板拼出的一个人型图案． 问题1：一副现代七巧板各板块的面积和是多少？ 问题2：图2中人型图案的身高是多少？ 18．（24-25八年级上·浙江温州·期中） 项目背景 我校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长均为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三 解决问题 任务一 小明画出了锐角，则　　　． 任务二 小金画出了直角，计算的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角，则． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直角三角形及其相关 4大高频考点概览 考点01 直角三角形及其性质 考点02 勾股定理及运用 考点03 直角三角形的判定 考点04 勾股定理的应用及拓展 地 城 考点01 直角三角形及其性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质等知识点，关键是掌握全等三角形的对应角相等．由直角三角形的性质求出，由全等三角形的性质推出，即可得到的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，点E为中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，再利用三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，点E为中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（    ） A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得出答案． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，是斜边的中线， ∴米， ∴在滑动的过程中的长度不变． 故选D． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，平分，，．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过D作于M，证明，，取的中点，连接，证明是等边三角形，在进一步解答即可． 【详解】解：过D作于M，    ∵平分，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知平分，，，，于点，于点．如果点是的中点，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，含角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线定理，解题的关键是掌握相关知识．由平分，，，易得是等腰三角形，，又由含角的直角三角形的性质，即可求得的值，继而求得的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得的长． 【详解】解： 平分，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，点是的中点， ． 故选：C． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与重合）为折痕，得到，连结，设，∠AB'E的度数分别为，若，则之间的关系是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查折叠，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键． 根据长方形的性质，折叠的性质得到，根据平行线的性质，直角三角形两锐角互余得到，化简即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故选：B． 7．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据是的中线得和等底同高，据此对结论①进行判断； 由，，，，可对结论②进行判断； 连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，可得，又因为，所以，进而得，根据已知条件不能确定，据此对结论③进行判断； 由已知得，，，据此对结论④进行判断； 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴和等底同高， ∴． 故得结论①正确； ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 故得结论②正确； 连接，如图： ∵是高，是中线， ∴点是斜边上的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 假设成立 ∴， 此时， 根据已知条件不能确定， 因此假设不成立． 故得结论③不正确； ∵，是角平分线，是高， ∴，，， ∴， 即． 故得结论④正确； 综上所述，错误的是③． 故选：C． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，点均在射线上，点均在射线上，，均为等边三角形．若，则的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含角直角三角形的性质找出规律是解题的关键． 由等边三角形的性质得出，证明，则，推出，同理，，记各等边三角形的边长依次为：，则，，从而可得出结果． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 同理，， 记各等边三角形的边长依次为：， ， ， ， ， ， ∴的边长为， 故选：C． 二、填空题 9．（24-25八年级上·浙江温州·期中）在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，根据直角三角形的两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，于点是的平分线，交于点 ，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线及高线性质，解答的关键是沟通未知角和已知角的关系．利用内角和定理分别求出与，由角平分线定义得，即可求出． 【详解】解： ， ． ，， ． 是的平分线， ． ． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，是与的斜边，，，位于的异侧，是的中点，连接，，，若，，则的大小是 ．    【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据直角三角形的性质得到，所以，进而求出的度数，再根据等腰三角形的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：点是的斜边的中点， ， ， ， 点是的斜边的中点，， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·浙江温州·期中）两个直角三角形积木和按如图所示摆放在水平桌面上，已知，，把下端挂有铅锤的细绳的上端拴在直角顶点处，则 °． 【答案】 【分析】延长交于点，交于点，由题意可得，根据直角三角形的两锐角互余得再利用三角形的外角性质即可得解。 【详解】解：延长交于点，交于点， 由题意可得， ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴ 故答案为： 13．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接，由，则，故有，再根据垂直平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质和外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，    ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，点E在边上，点F在边上，将等边沿折叠，使点A落在边上的点D的位置，，若的长是1，则等边的边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、翻折变换的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地求出BD的长或AE的长是解题的关键．设，则，求得，由折叠得，所以，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：设， ∵是等边三角形， ∴， ∵于点F，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，中，，，点、分别在边、上运动，的形状大小始终保持不变．在运动的过程中，点C到点O的最大距离为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，解题关键是灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定动点的几何特征． 作于，连接，如图，根据等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到，接着根据三角形三边的关系得到（当且仅当、、共线时取等号），从而求出的最大值即可． 【详解】解：作于，连接，如图， ，， ， 在中，， ， ， （当且仅当、、共线时取等号）， 的最大值为， 即点到点的最大距离为14． 故答案为：14． 16．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知：， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得(不存在)； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴ ， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 三、解答题 17．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）在中，，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的角平分线，外角的性质，高线，直角三角形两锐角互余的性质．根据高线可得的度数，再根据三角形的外角求得的度数，进而根据角平分线得到，即可求出的度数即可． 【详解】解： 是的高，， , , , 又是的角平分线， , , ． 18．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，的两条高线，相交于点O．将下面证明的过程补充完整． 证明：，是的两条高线（已知） （高线的意义） （   ）（   ） （   ） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的高，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质是解题的关键． 根据已有的过程并结合图形进行补充，即可作答． 【详解】证明：，是的两条高线（已知）， （高线的意义）， （直角三角形的两个锐角互余）， ， ． 19．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F．    (1)求证：； (2)若，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线，三角形中线的性质等知识，解题的关键是： （1）利用等腰三角形的性质得出，，利用余角的性质可得出，，利用等边对等角得出，，取中点G，连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得出，利用等边对等角得出，然后利用含的直角三角形的性质即可得证； （2）利用（1）中求出，利用直角三角形斜边上中线的性质求出，则可求的面积，然后利用三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，点D是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 取中点G，连接，    ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵，G为中点， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 故答案为：4． 20．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点． (1)若，，求的周长． (2)设， ①若，求的度数． ②设，求x与y之间的数量关系． 【答案】(1)16 (2)①② 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质和等腰三角形的性质； （1）根据斜边的中线等于斜边的一半可得，即可得解； （2）①根据斜边的中线性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再由三角形的内角和即可得解； ②由①可知：，即可得解． 【详解】（1）解：，M为的中点， ， ∴的周长； （2）解：①，M为的中点， ， ， ，， ， ， ， ②由①知：， ， ∴． 21．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，，点是上一点，且． (1)如图1所示，若为等腰三角形，求的值； (2)如图2所示，若，点是长方形边上一点，且为等腰三角形，求的面积； (3)在长方形边上找一点，使得为等腰三角形，这样的点存在5个，请直接写出此时的范围． 【答案】(1)4 (2)10或12.5或20 (3)且 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理； （1）根据得到为等腰三角形时，再利用勾股定理求出的长即可； （2）分别以、为圆心，为半径画圆，与正方形的交点为点，作的垂直平分线与正方形的交点为点，此时为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质求解即可； （3）分别以、为圆心，为半径画圆，与长方形的交点为点，作的垂直平分线与长方形的交点为点，此时为等腰三角形，然后左右移动，找到点存在5个的大致位置即可求解． 【详解】（1）解：∵在长方形， ∴，， ∵， ∴为钝角三角形， ∵为等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，分别以、为圆心，为半径画圆，与正方形的交点为点，作的垂直平分线与正方形的交点为点，此时为等腰三角形， ∵， ∴， 当时，如图，此时，； 当时，如图，此时； 当时，如图，此时； （3）解：分别以、为圆心，为半径画圆，与长方形的交点为点，两个圆在右边交于点，此时或，即为等腰三角形， 作的垂直平分线与长方形的交点为点，交于，此时，即为等腰三角形， 左右移动，找到点存在5个的大致位置如下： 由（2）可得，， ∴，即， 由作图可得，， ∴， 当经过点时，只有3个符合条件的点，则 综上所述，且． 22．（24-25八年级上·浙江温州·期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1) ； (2)若．求证：为“智慧三角形”； (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 【答案】(1)50 (2)为“智慧三角形” (3)的度数为或或或 【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角性质，角的和差，直角三角形两锐角互余，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）求出的度数，得到，据此即可证明； （3）由可得，再分，，，，和六种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：50； （2）证明：∵，， ∴ ∴   ∴为“智慧三角形” （3）解：分情况讨论：①当时，，， ∴； ②当时，，，故舍去； ③当时，，故舍去； ④当时，， ∴； ⑤当时，，； ⑥当时，， ∴； 综上所述，的度数为或或或 地 城 考点02 勾股定理及运用 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在边上的点E处，已知，，则的长为（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：，， 同理可得， ∴； 故选C． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，平分交于点，交于点．若，则的周长为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线，等角对等边，勾股定理等知识；由角平分线的概念及平行线的性质得，，由勾股定理得从而可求得的周长． 【详解】解：∵平分交于点D， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的周长为． 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则的长为（   ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理、翻折变换的性质等知识，由，，，求得，由翻折得，，，所以，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将沿翻折，点A落在上， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：A． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，是四根长度相同的小木棒，A、C、E三点共线，于点C，若，则一根小木棒的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作，垂足分别为G、H，证明，得，再利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：作，垂足分别为G、H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， 在中，由勾股定理得， 故选：A． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知点B和点E关于直线对称，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称变换，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．如图，连接．设．证明，根据，构建方程求解． 【详解】解：如图，连接． ∵B，E关于对称， ． ， ． ，． ， ． ． ． ． 设，，，， ． 解得． ． 故选：C． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，线段的两个端点D，E分别在边和边所在的直线上滑动，且，若点P，Q分别是的中点，则下列有关说法正确的是（   ） A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最小值为 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，明确C、P、Q在同一直线上时，取最小值是解题的关键． 连接，根据勾股定理得到，根据直角三角形的斜边上的中线的性质得到，，当C、Q、P在同一直线上时，取最小值，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴，， ∵，点Q、P分别是的中点， ∴，， 当C、Q、P在同一直线上时，取最小值， ∴的最小值为：， 故选：D． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，D为线段延长线上一点，，E为中点，F为中点，记的长为x，的长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A．xy B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的含义，先由中点的含义可得：，，再利用勾股定理建立方程即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，F为中点， ∴， ∴， ∵记的长为x，的长为y，E为中点， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴的值不变． 故选：C 8．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，是的角平分线，，，，P，Q分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若，则的面积为6．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①根据等腰三角形的性质得出垂直平分，得出，根据三角形三边关系即可得出结论； ②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，即可得出结论； ③过点A作于点M，当点P在与交点上时，，此时最小，且最小值为，根据等积法求出即可； ④求出，得到，即可求出结果． 【详解】解：①∵，是的角平分线， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③根据解析①可知，， ∴当最小时，最小， 过点A作于点M，如图所示： 当点P在与交点上时，，且最小值为， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值是，故③正确； ④∵， ∴ ∴，故④错误； 综上分析可知，正确的有①②③． 故选：A． 二、填空题 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知在6×6的网格中（每个小正方形的边长为1），A、B两点都在格点（小正方形的顶点）上。请在图中找一点C，使为等腰三角形，此时腰长为 ． 【答案】或或5 【分析】分为底边和腰两种情况解答即可． 本题考查了网格作图，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】解：连接，且，如图，当为腰时，此时； 如图，当为底边时，此时； 如图，当为底边时，此时； 综上所述，符合题意的等腰三角形顶点C，使得等腰三角形的腰长为或或5． 故答案为：或或5． 10．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为2.4米，若将它往水平方向向前推进1米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点C作于点F，易得米，再利用勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点C作于点F， 则，四边形为矩形， ∴米． ∵米， ∴（米）， ∴（米）， 即此时木马上升的高度为米， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，按图中方式画圆弧交数轴于点A，则点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据勾股定理计算图上所画的圆弧的长度，进而即可求解． 【详解】解：因为每个小正方形的边长均为1个单位长度， 故图上所画的圆弧的长度为， 以表示数0的点为圆心画弧与负半轴交于点A， 故点A表示的数是 故答案为∶． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠问题以及勾股定理，利用勾股定理是解决问题的关键． 利用勾股定理求出，根据折叠的性质求出，，，设，则，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得：， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，为中点，在上，且．若，，，则的长度是 ． 【答案】 【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理．注意掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半定理的应用是解此题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线求出长，根据勾股定理求出即可； 【详解】解：， ，为中点， ， 在中， ， 由勾股定理得：； 在中， ，， 由勾股定理得； 故答案为： 14．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知直角中，，，，D为边上一动点，当时，长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，过点A作，运用面积法求出，当时和时，根据勾股定理求出，再求出，可得，从而可得出当时，长的取值范围． 【详解】解：过点A作，如图， 在中，，，， ∴， ∵ ∴ 在中，, 同理得，, 在中，， ∴， ∴，， ∴当时，长的取值范围为． 故答案为：. 15．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等， 则称此三角形为“完美直角三角形”， 求“完美直角三角形”的斜边长为 【答案】10或13 【分析】本题主要考查了勾股定理，设“完美直角三角形”的三边长为 ，其中是斜边，则可得方程组，进而可得，再由， 得到，即 为正整数)，据此讨论求解即可． 【详解】解：设“完美直角三角形”的三边长为 ，其中是斜边， 由题意得， 由②得③， 把③代入代入①得 ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ∴ 为正整数) ∴ ， 当时，， 当，则 当，则， 当，则； 综上所述，“完美直角三角形”的斜边长为10或13； 故答案为：10或13． 16．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，将一个量角器和一把宽为3厘米的无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的弧分别交于点，连接，则的长是 ． 【答案】厘米/ 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．设量角器的圆心为O，连接，过点B作于点E，过点O作，依题意得厘米，由此可证明是等腰直角三角形，则厘米，然后由勾股定理求出即可． 【详解】解：设量角器的圆心为O，连接，过点B作于点E，过点O作，如图所示： 依题意得：厘米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴厘米， 由勾股定理得：厘米． 故答案为：厘米． 三、解答题 17．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）在中，的平分线交于点，于点，， (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定，与角平分线有关的计算，含30度角的直角三角形的性质： （1）角平分线求出的度数，三角形的内角和求出的度数，根据等角对等边即可得出结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵的平分线交于点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·浙江金华·期中）某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度、测得水平距离的长为15米；风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】（1）解：由勾股定理得， （米）, （米）, （2）解：如图，在上截取米，连接， 由勾股定理得，（米）, （米）, 他应该往回收线8米． 19．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，E是上的一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，证明是本题的关键． （1）由“”可证，根据全等三角形的性质得到； （2）根据全等三角形的性质得到，由余角的性质可得，由勾股定理可求的长，根据三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ， ，而， 为等腰直角三角形； 又，， ， ， 的面积． 20．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D在上，将沿直线翻折，形成． (1)若，求的度数； (2)若点C的对称点恰好落在上，求线段的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】此题考查了勾股定理、折叠的性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由翻折得，则，因为，即可得到； （2）由，求得，由翻折得，则，所以，求得． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴， 由翻折得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． （2）如图2，点在上， ∵， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴线段的长是5． 21．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在直角中，，平分，． (1)若，则的度数为 ． (2)若，，求的面积． (3)若，且，求的长． 【答案】(1) (2)16 (3) 【分析】（1）先利用直角三角形的性质求出，再利用角平分线的性质得到，再根据平行线的性质即可解答； （2）同理（1）证明，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式即可解答； （3）过点D作，根据角平分线的性质得到，利用勾股定理证明，求出，利用勾股定理求出，设，则，求出，同理（2）得，设，则，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：在直角中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积； （3）解：如图，过点D作， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴，即， 同理（2）得， 设，则， 在中，， ∴， ∴，即． 22．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知中，，D为中点，连接并延长至点E，使得，G为边上一点，，交于点F． (1)若，则 °， °． (2)求证：． (3)若，且，求的面积． 【答案】(1)60，75 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，可得，证明为等边三角形，可得，结合，可得，进一步可得答案； （2）设，证明，，从而可得结论； （3）如图，过作交的延长线于，过作于，过作于，设，证明，，再证明，可得，，结合，可得：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，D为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过作交的延长线于，过作于，过作于， 设， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 地 城 考点03 直角三角形的判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判断即可． 【详解】A．，，不相等，不能构成直角三角形，故不符题意； B．，；不相等，不能构成直角三角形，故不符题意； C．，；相等，能构成直角三角形，故符题意； D．，，不相等，不能构成直角三角形，故不符题意． 故答案为：C 2．（24-25八年级上·浙江·期中）在三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是（   ） A．5，12，13 B．9，40，41 C．2，3， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理判定三角形是否是直角三角形． 【详解】解：A、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意； B、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意； C、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意； D、，根据勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故本选符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（   ） A．， B． C．三边的长度之比是 D．三边的长度之比是 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的定义，解题的关键是掌握如果三角形的三边长a、b、c，满足，那么这个三角形就是直角三角形．A选项可求出，即可判断；B选项可求出，即可判断；C选项设三边长度分别为、、，根据，即可判断不是直角三角形；D选项设三边长度分别为、、，根据，即可判断是直角三角形． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴是直角三角形，故该选项不符合题意； B．∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故该选项不符合题意； C．∵三边的长度之比是， ∴可设三边长度分别为、、， ∵， ∴不是直角三角形，故该选项符合题意； D．∵三边的长度之比是， ∴可设三边长度分别为、、， ∵， ∴是直角三角形，故该选项不符合题意． 故选C． 4．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，，，是直线上的三点，，，是直线外一点，且，，若动点从点出发，向点移动，移动到点停止，在形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ） A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C．等边三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键．点Q从点M出发，沿直线l向点N移动，移动到点N停止的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可判断． 【详解】解：当点Q移动到，此时点Q在点A的左侧，且，是等腰三角形； 当点Q移动到点A的右侧，且，是直角三角形； 当点Q移动到点A的右侧，且，是等边三角形； 当点Q移动到点A的右侧，且，是直角三角形； ∴在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形． 故选：D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知四边形中，，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理．先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ， 在中，，，，， ， ∴是直角三角形，且， ∴ ， 四边形的面积为36． 故答案为：36． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成 个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，根据方格的特点准确的数出直角三角形的个数是解题的关键． 根据如图所示的方格图，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，然后数一数直角三角形的个数即可得出答案． 【详解】解：在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，构成的直角三角形有： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，点，分别是，边上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若是直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，分情况讨论：①当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，根据勾股定理可求出，然后结合线段的和差求解即可；②当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，然后结合线段的和差求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴ ①当时， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②当时 ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 三、解答题 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理，并能灵活运用是解题的关键； 在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理说明是直角三角形，最后求四边形的面积． 【详解】，，， ，， ，， ， 是直角三角形，且， ， 四边形的面积． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）的三边长分别是a、b、c．且，，，是直角三角形吗？证明你的结论． 【答案】是直角三角形，证明见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方即可． 【详解】解：是直角三角形．证明如下：    ∵ ∴是直角三角形． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，于点的中线的延长线交于点，． (1)求证：是直角三角形． (2)若，求的值和的长度． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，利用三角形内角和定理即可证明结论； （2）根据直角三角形两锐角和为结合三角形外角的性质即可求出；再根据直角三角形度角所对的边是斜边的一半，分别求出，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∵是的中线， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∴． 11．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，是边的中点，于点H，平分． (1)求证：平分； (2)过点作的垂线交的延长线于点，求证：＝； (3)是什么三角形？证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等腰三角形到性质得到，由余角的性质得到，等量代换得到，根据角平分线得到结论； （2）根据得到，由平行线的性质得到，再进行角度的转换即可得到结论； （3）根据，于是得到，推出是等腰三角形，结合垂直，得结论． 【详解】（1）证明：在中，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 即， 平分； （2）证明：， ， ， ， ， ； （3）是等腰直角三角形，理由如下： ， ， 是等腰三角形， ， 是等腰直角三角形， 12．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，点D为边上的动点，沿边往A运动，当运动到点A时停止，点D运动的速度为每秒1个单位长度． (1)当时，分别求和的长； (2)当t为何值时，是直角三角形？ (3)若是等腰三角形，请直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)或5 (3)或3或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义，直角三角形的性质； （1）根据速度×时间列式计算求出，利用勾股定理列式求出，再根据进行计算即可得解； （2）分两种情况讨论：①当时，利用的面积列式计算求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据时间=路程÷速度计算；②当时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解； （3）分三种情况讨论：①当时，根据直角三角形的性质求出，然后即可计算t的值；②当时，可直接计算t的值；③当时，利用勾股定理求出，得到的值，即可计算t的值． 【详解】（1）解：时，， ∵，，， ∴， ∴； （2）①当时，， 即， 解得， ∴， ∴； ②当时，点D和点A重合， ∴， 综上所述，或5； （3）①当是斜边中点时，， ∴， ∴； ②当时，； ③当时，如图，过B作于F， 由（2）得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，若是等腰三角形，t的值为或或． 13．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出线段的垂直平分线，保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的定义，勾股定理，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作即可（答案不唯一）； （2）作即可； （3）先作线段，找出的中点，作直线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所画； （2）解：如图，即为所画； （3）解：如图，直线即为所作 14．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是、的中点，连接，求证：． (3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于结合性质作出恰当的辅助线，构造等腰三角形． （1）根据题干概念，按要求画图即可． （2）连接，根据直角三角形斜边上的中线得到，再根据等腰三角形三线合一即可求解； （3）设、延长线交于点，证明，再结合题干的条件与等腰三角形底边上“三线合一”，即可解题． 【详解】（1）解：如图所示即为所求作的三角形， （2）证明：如图，连接， ∵E点是中点 ∴分别是和斜边上的中线 ∴， ∴ ∴是等腰三角形 ∵F点是中点 ∴； （3）证明：分别延长、交于点，如图所示： ， ， ，， ， ， ，又， ， 平分． 地 城 考点04 勾股定理的应用及拓展 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，我国古代著名的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成大正方形和中间小的正方形，若直角三角形的两条直角边的比为，大正方形的面积为25，则小正方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和勾股定理，熟悉全等三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 先根据全等三角形的性质和已知条件求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为25， ∴， ∵四个直角三角形是全等三角形， ∴， 又∵直角三角形的两条直角边的比为，即， ∴， ∵， ∴， 在中根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为5． 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，，，是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的正确运算，解题关键是熟练掌握勾股定理． 分别计算大圆的面积，两个小圆的面积，，根据直角三角形中大圆小圆直径的关系即可求解． 【详解】解：设三个圆对应的半径分别为、、， 则依题得：，，， ，， 根据勾股定理可得：， 即， ． 故选：． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的中线，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线．先根据勾股定理的逆定理得到，然后利用直角三角形的斜边上的中线等于写变得一半解题即可． 【详解】解：依题意，，，， ∴， ∴， 又∵为的中线， ∴， 故答案为：B． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用．利用勾股定理的几何意义解答． 【详解】解：由题意可知：，，，． 如图，连接， 在直角和中，， 即， ，， ． 故选：B． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，是一个带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为，高度为，现有一根的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据杯子内吸管的长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一根长为的吸管，置于底面直径为，高度为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中吸管最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜对角长度， ∴当杯子中吸管最短是等于杯子的高时，吸管长为， 最长时等于杯子斜对角长度是：， ∴a的取值范围是：， 即， 故选：C． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，分别以为边在AB的同侧作正三角形，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的知识，将勾股定理和等边三角形的面积公式进行灵活的结合和应用是解题的关键．过点E作于点G，利用等边三角形的性质和勾股定理可求，，，从而可得出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点G， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，则图2中的长为则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了七巧板，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是看懂图形．根据题意对应上图1和图2中七巧板，过点E作交的延长线于点H，只要算出，，再根据勾股定理即可求解； 【详解】解：如图，图1和图2中七巧板对应如下， ∵正方形的边长为4， ∴，，，，， ∴，则， 过点E作交的延长线于点H， 则， ， ， ， ， ， 故选：A． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在图1所示的的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1．经探究发现，此八边形可按图2的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形①．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图2中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分②也是个正方形，记正方形①的面积为1，则大正方形的边长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，先在网格中求出八边形的边长与面积，进而得到正方形②的面积为2，从而得到四个全等的五边形的面积，由正方形①的面积为1，可得到四个全等的五边形的面积，进而得到大正方形的面积即可求解，解题的关键是求出四个全等的五边形的面积及大正方形的面积． 【详解】 由题意得：八边形的斜边长为，八边形的面积为， ∴正方形②的面积为， ∵正方形①的面积为1， ∴四个全等的五边形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， 故选：B． 二、填空题 9．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理，过C作平行地面，连接，由题意得米，米，由勾股定理可得的长，即小鸟至少要飞行的距离． 【详解】解：过C作平行地面，连接， 由题意得，米，米，米， 由勾股定理得，米， 故答案为：13． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是 ．    【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理得到，，进一步运算即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，正方形A，C，D的面积依次为6，8，24， ∴， ∴． 故答案为：10 11．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是的高，分别以线段为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理解题即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴第四个正方形的面积为2， 故答案为：2． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查数学文化与几何概型，涉及到全等三角形的性质，勾股定理，完全平方公式变形求值．根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示后计算即可． 【详解】解：∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴，， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知正方形、、、的面积分别是2，5，1，2，则正方形，的面积是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理的几何意义解答即可． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知 ， 故选：10． 14．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了“赵爽弦图”，多边形的面积，勾股定理等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，，根据勾股定理得：，，整体代入可得结论． 【详解】解：正方形的面积为， ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ，， ， ， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ， ， ， ，， ， ， 则的值是； 故与的面积差为； 故答案为： 三、解答题 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且．    (1)求证：． (2)由（1）可得伞圈在伞圈上滑动．如图1，伞打开时，；当伞缩拢到图2状态时，时，伞圈下滑的距离长是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，，，根据“”证明，则； （2）首先证明是等边三角形，则，结合证明是等边三角形，所以，设交于点，则，，利用勾股定理解得的值，易知，即可求得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图1， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 如图2，设交于点，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 答：伞圈下滑的距离长是． 16．（24-25八年级上·浙江·期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成． 如图1为赵爽弦图，其中，连接交于点，连接，得到图2，若． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据等角对等边得出，进而可得，根据三线合一，即可得证； （2）由（1）得：，可以求得，进而证明，得出，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明： （2）由（1）得： ，赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成， ∴， 在中， ∴ ， 在中， 17．（24-25八年级上·浙江温州·期中）综合与实践：拼搭现代七巧板 素材：如图1是一副现代七巧板，它由七块不规则板块构成，其中有等腰直角三角形，直角梯形，且 ，半圆与圆的半径相等． 链接：如图2，是小清用现代七巧板拼出的一个人型图案． 问题1：一副现代七巧板各板块的面积和是多少？ 问题2：图2中人型图案的身高是多少？ 【答案】问题1：；问题2：8 【分析】本题考查勾股定理，线段的和差，理解现代七巧板的组成是解题的关键． 问题1：由得到，，在等腰直角三角形中，根据勾股定理求得，而七巧板的面积等于中间长方形的面积加上三个半圆的面积即可求解； 问题2：如图，过点作于点，得到，证明为等腰直角三角形得到，从而，根据人型的高度为即可解答． 【详解】解：问题1： ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 七巧板各板块的面积和为； 问题2： 过点作于点， 由图知， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， 人型的高度为：． 18．（24-25八年级上·浙江温州·期中） 项目背景 我校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长均为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三 解决问题 任务一 小明画出了锐角，则　　　． 任务二 小金画出了直角，计算的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角，则． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解方程组； 任务一：由周长及等腰三角形性质求得，由正方形面积即可求解； 任务二：由周长得，由勾股定理及解方程组即可求得，则可求得正方形的面积； 任务三：过H作交延长线于点M，则可得；设，则；由勾股定理得，得，求出b即可求得正方形的面积． 【详解】解：任务一：∵， ∴， ∴； 故答案为：； 任务二：∵， ∴； 由勾股定理得， 即， ∴， 解得：， ∴； 任务三：如图，过H作交延长线于点M， ∵， ∴， ∴； 由勾股定理得：； 设，则，； 在中，由勾股定理得， 即， ∴， 解得：， ． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $