江苏省扬州中学教育集团树人学校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学模拟试题

江苏省扬州中学教育集团树人学校2025-2026学年九年级上学期 第一次月考数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，已知∽，下列比例式正确的是(    ) A. B. C. D. 2.解一元二次方程，配方后正确的是(    ) A. B. C. D. 3.已知点在外，且的半径为，则的长可能是(    ) A. B. C. D. 4.勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美如图是一种贝壳的俯视图，点为线段的黄金分割点，已知，则长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，小正方形的边长均为，则图中三角形阴影部分与相似的是(    ) A. B. C. D. 6.已知关于的一元二次方程：，若，则此方程必有一个根为(    ) A. B. C. D. 7.若，是方程的两个实数根，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，为的四等分点，为的中点若，则的长是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.已知，，，四条线段成比例，其中，，，则______． 10.如图，，若，，则       ． 11.已知，与的周长比为若，则的长为          ． 12.如图，点、、三点在上，点为弦的中点，，，则      ． 13.已知是一元二次方程的一个根，则的值为      ． 14.如图，为了测量一栋楼的高度，曲杰同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部如图曲杰的身高为米，他估计自己眼睛距离地面的距离为米，同时测得米，米，则楼高为      米 15.对于实数，，定义新运算：，若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是      ． 16.对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，则方程的解为      ． 17.如图，在中，；，是直线上的一个动点，连结，将沿着翻折得到，当与的边垂直时，的度数是      ． 18.如图四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且：：，连接、、，求的最小值      ． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分解方程： 配方法； ． 20.本小题分如图，中，点是边上一点，，连接从下列条件中，选择一个作为附加条件；；，求证：∽． 21.本小题分如图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图、图中、只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． 在图中以点为位似中心、以线段为边画一个三角形，使它与位似； 在图中的边上画一个点，使． 22.本小题分 如图，，交于点，，是半径，且于点． 求证：； 若，，求的半径． 23.本小题分如图是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线垂直于平面镜，反射角等于入射角如图，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，挡板上有一个孔隙可以看作点，从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过孔隙射出，并落在挡板上的点处已知，求点离桌面的高度． 24.本小题分已知关于的一元二次方程有两个实数根． 求的取值范围； 若方程的两个根，满足，求的值． 25.本小题分如图，在矩形中，，，点沿边从点向点以的速度移动；同时，点从点沿边向点以的速度移动，设点、移动的时间为问： 当为何值时的面积等于？ 当为何值时是直角三角形？ 是否存在的值，使的面积最小，若存在，求此时的值及此时的面积；若不存在，请说明理由． 26.本小题分 年北京冬奥会吉祥物是一个非常可爱的熊猫形象，名字叫冰墩墩冬奥会举办的季节在冬季，而冰字也是冬天的代名词，同时，冰雪纯白，寓意纯净无暇“墩”字，顾名思义就是憨厚墩实的意思，这也正符合冬奥会勇于拼搏、实事求是进取的精神吉祥物一开售，就深受大家的喜爱某商店以每件元的价格购进某款冬奥会吉祥物，以每件的价格出售经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． 求该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率； 月份的销售量会在月份的基础上通过市场预测调整，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价元，月销售量就会增加件当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达元？ 27.本小题分 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，经过探究可发现此类方程的一般性结论：设一根为，则另一个根为，因此，于是可得到，，所以有；我们可记“”，即当时，一元二次方程为倍根方程，下面我们根据此结论来解决问题： 方程；中，倍根方程是______填序号； 若关于的方程是倍根方程，求的值； 已知关于的方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求、的值． 28.本小题分 问题背景： 如图，在矩形中，点，分别是，的中点，连接，， 求证：； 问题探究：如图，在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：； 问题拓展：如图，在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学教育集团树人学校2025-2026学年九年级上学期 第一次月考数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，已知∽，下列比例式正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：∽， ， ， C正确，符合题意；、、D错误，不符合题意． 故选：． 根据三角形的对应边成比例，找出对应边比则可． 本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键． 2.解一元二次方程，配方后正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：， ， ， ， 故选：． 依据题意，先移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 本题考查的是解一元二次方程配方法，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 3.已知点在外，且的半径为，则的长可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：点在外，的半径为， ， 的长可能是， 故选：． 设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外，点在圆上，点在圆内，由此即可判断． 本题考查点与圆的位置关系，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法． 4.勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美如图是一种贝壳的俯视图，点为线段的黄金分割点，已知，则长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：点为线段的黄金分割点，， ， 的长为． 故选：． 根据题意，得到比例关系，将代入，即可解决本题． 本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键． 5.如图，小正方形的边长均为，则图中三角形阴影部分与相似的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：小正方形的边长均为， 三边分别为，，， 同理：中各边的长分别为：，，； 中各边长分别为：，，； 中各边长分别为：、，； 中各边长分别为：，，； 只有项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为， 故选：． 小正方形的边长为，根据已知可求出三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案． 此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用． 6.已知关于的一元二次方程：，若，则此方程必有一个根为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，若， 当时，， 此方程必有一个根为， 故选：． 根据，若，可判断当时满足条件，于是判断出方程的根． 本题主要考查一元二次方程的解得知识点，解答本题的关键是利用好的条件，此题比较简单． 7.若，是方程的两个实数根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：是方程实数根， ， ， ， ，是方程的两个实数根， ， 原式 ． 故选：． 先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 8.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，为的四等分点，为的中点若，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：四边形是平行四边形， ，， 为的四等分点， ， 为的中点， ， ， 又， ∽， ， ， ， 故选：． 先根据平行四边形的性质可得，，再证出∽，根据相似三角形的性质可得，求出的长，由此即可得． 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.已知，，，四条线段成比例，其中，，，则______． 【答案】  【解析】解：，，，四条线段成比例， ， ， 故答案为：． 根据四条线段成比例，列出比例关系，借助比例的基本性质，代入已知数据计算即可． 本题考查线段成比例，比例的基本性质，解题的关键是根据题意列出比例关系． 10.如图，，若，，则       ． 【答案】  【解析】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 根据平行线分线段成比例定理可得，从而可得，代入计算即可得． 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 11.已知，与的周长比为若，则的长为          ． 【答案】  【解析】 本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可． 【详解】解：，与的周长比为， 与相似比为，即， ， ， 故答案为：． 12.如图，点、、三点在上，点为弦的中点，，，则      ． 【答案】  【解析】解：连接， 设， 则， 点为弦的中点，为圆心， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故答案为：． 连接，设，根据的长计算出的长，根据点为弦的中点，为圆心得到，从而求出的长，在中利用勾股定理求出的值，即可求出的长． 本题考查了垂径定理及推论、勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键算． 13.已知是一元二次方程的一个根，则的值为      ． 【答案】  【解析】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 根据题意易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 14.如图，为了测量一栋楼的高度，曲杰同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部如图曲杰的身高为米，他估计自己眼睛距离地面的距离为米，同时测得米，米，则楼高为      米 【答案】  【解析】解：根据题意， ，反射角等于入射角， ∽， ，即， ． 所以这栋大楼高为米． 故答案为：． 根据镜面反射的性质，∽，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键． 15.对于实数，，定义新运算：，若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是      ． 【答案】  【解析】解：， ， ， ， ， 关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 根据新运算定义，得到关于的方程，再根据方程有两个相等的实数根求解即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键． 16.对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，则方程的解为      ． 【答案】或  【解析】解：， ， ， 或， 故答案为：或． 根据因式分解法解方程． 本题考查了解一元二次方程因式分解法、实数的比较大小，掌握因式分解是解题的关键． 17.如图，在中，；，是直线上的一个动点，连结，将沿着翻折得到，当与的边垂直时，的度数是      ． 【答案】或或  【解析】解：当点在线段上且时， 由折叠可知：， ， 由折叠可知：， ， ； 当点在线段上且时， 由折叠的性质可得， ； 当点在线段延长线上且时， 同理可得； 当点在线段延长线上且时， ， ， ； 由折叠的性质可得； 综上，当与的边垂直时，的度数是或或． 故答案为：或或． 分当点在线段上时，当点在线段延长线上讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，掌握三角形折叠中的角度问题是解题的关键． 18.如图四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且：：，连接、、，求的最小值      ． 【答案】  【解析】解：延长至，使并过作直线于． ． 在矩形中，，，；在矩形中，． ，， ． ， ， 即：． ∽． ，． ， 又， ∽． ． ． ， ． 为垂直平分线． 连接，． 综上：， 当在线段上时，取最小值． 动点在上运动，带动矩形的变化，由瓜豆原理可知点的运动轨迹是一直线．又注意到∽，且相似比为：，所以将缩小倍解决． 本题通动态变化问题，考核了相似，垂直平分线全等，最短路径，勾股定理等知识点，研究瓜豆原理的一道好题． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 解方程： 配方法； ． 【答案】，；   ，  【解析】， ， ， ， ， ，； ， ， ， 或， ，． 利用配方法求解即可； 先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法求解即可． 本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法和因式分解法是解题的关键． 20.本小题分 如图，中，点是边上一点，，连接从下列条件中，选择一个作为附加条件；；，求证：∽． 【答案】，， ， ， ∽．  【解析】证明：中，点是边上一点，，连接． 选择， ， ， ， ∽． 可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 21.本小题分 如图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图、图中、只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． 在图中以点为位似中心、以线段为边画一个三角形，使它与位似； 在图中的边上画一个点，使． 【答案】如图，即为所求．   如图，点即为所求  【解析】解：如图，即为所求． 如图，点即为所求． 取格点，连接，使，由相似三角形的判定可知∽． 取格点，，连接，交于点，连接，，此时∽，由，可得． 本题考查作图相似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 22.本小题分 如图，，交于点，，是半径，且于点． 求证：； 若，，求的半径． 【答案】证明：， ， ， ， ， ；   的半径是  【解析】证明：， ， ， ， ， ； 解：连接， 设的半径是， ，， ，， ， ， ， ， ， 的半径是． 由垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，从而证明； 设的半径是，由勾股定理，垂径定理列出关于的方程，即可求出的半径． 本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程． 23.本小题分 如图是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线垂直于平面镜，反射角等于入射角如图，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，挡板上有一个孔隙可以看作点，从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过孔隙射出，并落在挡板上的点处已知，求点离桌面的高度． 【答案】．  【解析】解：如图，延长交于点，则． 由题意，得：，，，， ，． ， ≌， ， 由题意，得：， ∽． ，即， 解得：． ． 点离桌面的高度为． 延长交于点，证明∽，得到，求出的长，利用线段的和差关系进行求解即可． 本题考查相似三角形的应用，勾股定理的应用．难度偏大． 24.本小题分 已知关于的一元二次方程有两个实数根． 求的取值范围； 若方程的两个根，满足，求的值． 【答案】；     【解析】关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 的取值范围为； 和是关于的一元二次方程的两个根， ，， ， ， 整理得：， 解得：，， 又， ． 答：的值为． 利用根的判别式，即可求出答案； 先运用根与系数的关系得出，，再代入到，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． 25.本小题分 如图，在矩形中，，，点沿边从点向点以的速度移动；同时，点从点沿边向点以的速度移动，设点、移动的时间为问： 当为何值时的面积等于？ 当为何值时是直角三角形？ 是否存在的值，使的面积最小，若存在，求此时的值及此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】解：由题意得，，． 的面积等于， ， 解得或， 又， 当或时，的面积等于． 当时，点，分别与点，重合， 此时，，是直角三角形； 当时，，， ∽， ，即， ， 解得：或， 故当时，是直角三角形；当时，点到达点、点到达点，此时，即是直角三角形． 综上所述，当的值为秒或秒或秒时，是直角三角形； 存在的值，使的面积最小． 由题意得，，， ， 又， 当时，有最小值．  【解析】根据，，，的面积等于，列出关于的方程进行求解即可； 根据，需要分两种情况进行讨论：或，分别求得的值即可； 根据，，，可得，最后根据二次函数的性质，求得当时，有最小值． 本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形的面积计算，解一元二次方程以及二次函数最值的综合应用，解决问题的关键是用含的代数式表示线段的长．解题时注意：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 26.本小题分 年北京冬奥会吉祥物是一个非常可爱的熊猫形象，名字叫冰墩墩冬奥会举办的季节在冬季，而冰字也是冬天的代名词，同时，冰雪纯白，寓意纯净无暇“墩”字，顾名思义就是憨厚墩实的意思，这也正符合冬奥会勇于拼搏、实事求是进取的精神吉祥物一开售，就深受大家的喜爱某商店以每件元的价格购进某款冬奥会吉祥物，以每件的价格出售经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． 求该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率； 月份的销售量会在月份的基础上通过市场预测调整，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价元，月销售量就会增加件当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达元？ 【答案】该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为；   该款吉祥物售价为元时，月销售利润达元  【解析】设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； 设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，经讨论不符合题意，舍去， 答：该款吉祥物售价为元时，月销售利润达元． 设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，根据月份的销售量为件，月份的销售量为件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； 设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 27.本小题分 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，经过探究可发现此类方程的一般性结论：设一根为，则另一个根为，因此，于是可得到，，所以有；我们可记“”，即当时，一元二次方程为倍根方程，下面我们根据此结论来解决问题： 方程；中，倍根方程是______填序号； 若关于的方程是倍根方程，求的值； 已知关于的方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求、的值． 【答案】；   ；   ，  【解析】在方程中，， 在方程中，， 是倍根方程的是， 故答案为：； 整理得：， 是倍根方程， ， ； 是倍根方程， ， 整理得：， 在一次函数的图象上， ， 联立， 解得：， ，． 根据“倍根方程”的定义，找出方程、中的值，由此即可得出结论； 将方程整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出，整理后即可得出的值； 根据方程是“倍根方程”即可得出、之间的关系，再由一次函数图象上点的坐标特征即可得出、之间的关系，进而求出、的值即可． 本题考查了解二元一次方程组，根与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握“倍根方程”的定义是解题的关键． 28.本小题分 问题背景： 如图，在矩形中，点，分别是，的中点，连接，， 求证：； 问题探究：如图，在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：； 问题拓展：如图，在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】(1)证明：、分别是和中点，，，四边形是矩形，，，，；  (2)如图，取中点，连接、， 是中点，是中点，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，是中点，，，，；   (3)．  【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $