2.5 可化为一元一次方程的分式方程（2） 学案 2025-2026学年湘教版（2024）数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦分式方程的实际应用，通过复习解分式方程步骤及列一元一次方程应用题步骤搭建旧知支架，以机器人搬运原料问题引导学生经历“审设列解验答”过程，衔接旧知与新知。 以“列→解→验→答”四步法为主线，结合环保种树、行程等实际情境，培养数学抽象能力与推理意识，分层习题设计及流程图梳理步骤发展模型意识，助力学生自主学习与教师教学评估。

第2章 分式 2.5 可化为一元一次方程的分式方程（2） ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.能够理解并掌握分式方程的实际应用，包括如何从实际问题中抽象出分式方程。 2.掌握“列→解→验→答”四步法，并验证实际合理性。 3.在分式方程的实际应用过程中经历从具体问题到抽象运算的转化过程，发展数学抽象思维和综合分析问题的能力。 学习重点： 分式方程的实际应用，包括如何从实际问题中抽象出分式方程。 学习难点： 正确理解实际问题的背景和条件，建立正确的分式方程。 ► 教学过程 一、复习回顾 解方程：=. 回顾：1.解分式方程的一般步骤是什么？ 2.列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？ 二、新知探究 探究：分式方程的应用 教材第55页 【思考】用 A，B 两种型号的机器人搬运原料 .已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运200 kg，且A型机器人搬运10 000 kg所用时间与B型机器人搬运8 000 kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料. 任务： 1. 审：题目中的已知量、未知量和等量关系是什么？ 2. 设：你会选择设什么为未知数？ 3. 列：你能正确列出分式方程吗？ 4. 解：求解你所列的分式方程。 5. 验：验根，验证你的答案是否正确，是否符号实际题意。 6.答：作答。 三、例题精讲 例4为了更好地践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某村计划组织村民在荒坡上种9600棵树，后来由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务. 原计划每天种多少棵树？ 【做一做】用流程图表示利用可化为一元一次方程的分式方程解决有关实际问题的步骤，并与同学比较你的结果. 四、课堂练习 【知识技能类作业】 必做题 1.林老师计划购买240颗糖果，要在校园活动日分给全班学生，正好能够平分；活动当日有10人请假，剩余的学生均分糖果每人能多分到2颗．设全班学生有x人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2.某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（    ） A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 3.2024年12月20日济广高速全线通车，小明的爸爸开车从泰安到东平，若走原来的泰东路，行程80千米，而走新扩建成的济广高速，路程不但缩短了20千米，驾车时间也省了40分钟．若小明的爸爸在高速上驾车的速度比在普通道路上驾车的速度快，则小明的爸爸在普通道路上的速度是（   ） A．50千米/时 B．60千米/时 C．65千米/时 D．70千米/时 选做题 4.《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为，若要使整个挂图的长与宽之比为，则可列关于的方程为 ． 5.一艘轮船顺流航行所用的时间与逆流航行所用的时间相同，水流的速度为． 则轮船在静水中的速度为 ． 6.某校学生到离学校处植树，部分学生骑自行车出发后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的倍，他们同时到达，设自行车的速度是，可列方程 ． 【综合拓展类作业】 7.某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价． 五、课堂小结 这节课你收获了什么，列分式方程解应用题的一般步骤是什么? 六、作业布置 1.一辆汽车从A地开往距离的B地，出发后第一小时内按照原计划的速度匀速行驶，1小时后因天气原因，以原速度的倍匀速行驶，并比原计划推迟到达目的地，问前一小时的行驶速度是多少？设前一小时的行驶速度是，可列方程为（　　） A． B． C． D． 2.我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于“驿站送信”的题目，其大意为：把一封信送到800里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送则早3天送达，已知快马的速度是慢马速度的2倍，问规定的时间为多少天？快马的速度为多少？下列说法错误的是（   ） A．设规定的时间为天，所列方程为 B．规定的时间为7天 C．设慢马的速度为里/天，所列方程为 D．快马速度是200里/天 3.随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递快件80件，若快递公司的快递员人数不变，则原来平均每人每周投递快件（   ） A．200件 B．210件 C．250件 D．260件 4.为培养学生的数学阅读习惯，激发学生学习数学的兴趣，某校计划购买甲、乙两种数学课外读物供学生阅读．已知乙种数学课外读物单价是甲种数学课外读物单价的2倍，用720元购买甲种书的数量比用720元购买乙种书的数量多10本． (1)求甲、乙两种数学课外读物的单价； (2)该校计划购买甲、乙两种数学课外读物共50本，总费用不超过2520元，那么至少可购买甲种数学课外读物多少本？ 答案解析 课堂练习： 1.【答案】A 【解析】根据题意得：． 故选：A． 2.【答案】A 【解析】∵单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画， ∴“……”表示的条件为双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个． 故选：A． 3.【答案】B 【解析】解：设小明的爸爸在普通道路上的速度是，则，40分钟 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴小明的爸爸在普通道路上的速度是60千米/时， 故选：B． 4.【答案】 【解析】解：∵一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，且设金色纸边的宽为，整个挂图的长与宽之比为， 则， 故答案为： 5.【答案】30 【解析】解：设船在静水中的速度是． 由题意得：． 解得． 经检验：是原方程的解． 即船在静水中的速度是． 故答案为：30． 6.【答案】 【解析】解：设自行车的速度是，则汽车速度为， ∴，或， 故答案为：或 ． 7.【答案】解：设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴则甲款书签价格为（元） 答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元． 作业布置： 1.【答案】C 【解析】解：设前一小时的行驶速度是， 由题意得，可列方程为：， 故选：C． 2.【答案】C 【解析】解：设规定时间为x天，慢马用时天，快马用时天，依题意得， ；选项A正确，故不符合题意； 解得：， 经检验，是原方程的解， 则快马用了天送达，慢马用了天送达， 里/天， 选项B，选项D正确，故不符合题意； 设慢马的速度为y里/天，则快马的速度为里/天， 依题意得，选项C错误，故符合题意； 故选：C． 3.【答案】A 【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件件， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原来平均每人每周投递快件200件． 故选：A 4．【答案】（1）解：设甲种数学课外读物的单价是x元，则乙种数学课外读物的单价是元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ∴． 答：甲种数学课外读物的单价是元，乙种数学课外读物的单价是元． （2）解：设购买m本甲种数学课外读物，则购买本乙种数学课外读物， 根据题意得： 解得： ∴m的最小值为． 答：至少可购买甲种数学课外读物本． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $