第2章 实数（32个高频易错考点训练 共64题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册章节复习培优专项训练

第2章 实数（易错题考点集训） 【32个高频易错考点 共64题】 易错考点01：无理数的大小估算 2 易错考点02：实数与数轴 2 易错考点03：勾股定理与无理数 3 易错考点04：利用算术平方根的非负性解题 3 易错考点05：估计算术平方根的取值范围 4 易错考点06：无理数整数部分的有关计算 4 易错考点07：与算术平方根有关的规律探索题 5 易错考点08：算术平方根的实际应用 5 易错考点09：求代数式的平方根 6 易错考点10：已知一个数的平方根，求这个数 7 易错考点11：已知一个数的立方根，求这个数 7 易错考点12：与立方根有关的规律探索 8 易错考点13：立方根的实际应用 9 易错考点14：算术平方根和立方根的综合应用 9 易错考点15：程序设计与实数运算 10 易错考点16：利用二次根式的性质化简 10 易错考点17：复合二次根式的化简 11 易错考点18：二次根式的乘除混合运算 12 易错考点19：最简二次根式的判断 12 易错考点20：化为最简二次根式 13 易错考点21：已知最简二次根式求参数 13 易错考点22：二次根式的加减运算 13 易错考点23：二次根式的混合运算 14 易错考点24：分母有理化 14 易错考点25：已知字母的值，化简求值 15 易错考点26：已知条件式，化简求值 16 易错考点27：比较二次根式的大小 16 易错考点28：二次根式的应用 17 易错考点29：实数的混合运算 17 易错考点30：新定义下的实数运算 18 易错考点31：实数运算的实际应用 19 易错考点32：与实数运算相关的规律题 20 易错考点01：无理数的大小估算 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若，且x是整数，则满足条件的x值有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（23-24七年级下·四川广元·期末）若是两个连续的整数，且，则的值为 ． 易错考点02：实数与数轴 3．（25-26八年级上·广东中山·开学考试）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)的值为　　　　　　． (2)求的值． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点表示的数为，点向右运动个单位长度到达点，点表示的数为． (1)在数轴上画出点； (2)点表示的数为________，其绝对值为________； (3)利用数轴比较大小：________（填“”“”或“”），所以点在点________．（填“左侧”或“右侧”） 易错考点03：勾股定理与无理数 5．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，然后以原点O为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点D． (1)点D表示的数是________，这个数是________（填“有理数”或“无理数”）； (2)通过画图说明了无理数________（填“能”或“不能”）用数轴上的点表示； (3)请你画出数轴，并在数轴上画出表示的点M，说出你的画法． 6．（22-23八年级上·全国·期中）如图，数轴上的点所表示的数为（ ） A． B． C． D． 易错考点04：利用算术平方根的非负性解题 7．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）已知，那么的值为(    ) A． B． C． D．- 8．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）已知实数，满足，则代数式的值为 ． 易错考点05：估计算术平方根的取值范围 9．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）在哪两个相邻的整数之间？ （2）正确吗？ （3）下列四个结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·天津·阶段练习）估计的值（　　） A．在3和4之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间 易错考点06：无理数整数部分的有关计算 11．（25-26八年级上·云南曲靖·开学考试）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 12．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）根据已知条件求值． (1)已知的平方根是，的立方根是2，求a和b的值； (2)已知，c是的整数部分，d是的小数部分，求的值． 易错考点07：与算术平方根有关的规律探索题 13．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）已知，，，，则 ． 14．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则 ． 易错考点08：算术平方根的实际应用 15．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 16．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，将面积分别为15和8的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． (1)点表示的数是___________，点表示的数是___________； (2)李丽想用面积为15的正方形纸片裁出一块面积为8的长方形纸片，且它的长与宽的比为，她能裁出来吗？请作出判断并说明理由． 易错考点09：求代数式的平方根 17．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，b是9的算术平方根，的立方根是． (1)求a，b，c的值； (2)若，求的平方根． 18．（24-25七年级下·江西新余·期末）已知的平方根是的立方根是， (1)求和的值； (2)求的平方根 易错考点10：已知一个数的平方根，求这个数 19．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是．则的平方根是 ． 20．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是，求： (1)该正数是多少？ (2)的算术平方根． 易错考点11：已知一个数的立方根，求这个数 21．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列方程中x的值： (1)； (2) 22． （25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知的算术平方根是3，的立方根是4，是的整数部分，求的平方根． 易错考点12：与立方根有关的规律探索 23．（2025·福建福州·模拟预测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 24．（24-25七年级下·吉林白城·阶段练习）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 易错考点13：立方根的实际应用 25． （25-26八年级上·全国·课后作业）小林想测量一个铁球的半径，先将铁球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铁球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铁球的半径．（球的体积公式为，r为球的半径） 26．（24-25八年级上·江苏·期末）解答下列各题： (1)计算： ； (2) 求的值： 易错考点14：算术平方根和立方根的综合应用 26． （24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 28．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）（1）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （2）一个正数x的平方根分别是和，求正数x． 易错考点15：程序设计与实数运算 29．（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 30．（2020·河北唐山·一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 易错考点16：利用二次根式的性质化简 31．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 32．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1)； (2) 易错考点17：复合二次根式的化简 33．（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 34．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 易错考点18：二次根式的乘除混合运算 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (4) ； (4)． 易错考点19：最简二次根式的判断 37．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 38．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 易错考点20：化为最简二次根式 39．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 40．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 易错考点21：已知最简二次根式求参数 41．（25-26八年级上·全国·周测）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 42．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）若最简二次根式与能进行合并，则 ． 易错考点22：二次根式的加减运算 43．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一个三角形的周长为，其两边长分别为和，则第三边的长是（   ） A． B． C． D． 44．（25-26八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 易错考点23：二次根式的混合运算 45．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第6个等式：___________； (2)请写出第n个等式：___________； (3)求的值． 46．（24-25八年级下·山东青岛·期末）计算： (1) ； (2)． 易错考点24：分母有理化 47．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）我们知道，，，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如与互为有理化因式，与互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．例如： ． (1)分母有理化的结果是 ，分母有理化的结果是 ． (2)利用以上知识计算：． 48．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料，并解决相应问题： (1)化简； (2)若是的小数部分，求的值． 易错考点25：已知字母的值，化简求值 49．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，，则的值为 ． 50．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 易错考点26：已知条件式，化简求值 51．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 52．（24-25八年级下·福建福州·期中）阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若是正整数，，，且，求的值； (3)若，则的值是______．（直接写出答案结果） 易错考点27：比较二次根式的大小 53．（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小： ． 54．（2025八年级上·全国·专题练习）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 易错考点28：二次根式的应用 55．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一个树墩的截面图，年轮部分分为深色和浅色，其中深色部分以及整个截面可以看作两个同心圆．已知深色部分的半径为，浅色圆环部分面积为，若取3，则可以估计此树墩截面的半径为（   ） A． B． C． D． 56．（2025八年级上·全国·专题练习）物体在做自由落体运动时，下落到地面的时间（单位：s）和下落高度（单位：m）之间满足关系式，其中取．（不考虑空气阻力） (1)小球从高空自由落下，需要多长时间到达地面？ (2)明明认为，小球从的高空自由落下，到达地面所需要的时间是从高空自由落下所需时间的2倍，你是否认同明明的想法？请说明理由． 易错考点29：实数的混合运算 57．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）计算 (1) (2)化简 58． （25-26八年级上·广东惠州·开学考试） （1） 计算：； （2） 求x的值：． 易错考点30：新定义下的实数运算 59．（25-26八年级上·重庆·开学考试）对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对连续求根整数2次，，这时候结果为．现有如下四种说法： ①； ②： ③若方程，则满足条件的的整数值有3个； ④进行3次连续求根整数运算后，结果为1的所有正整数中，最大值与最小值之差为239． 其中说法不正确的有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 60．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）规定：用符号表示不大于实数的最大整数．例如：， （1）填空 （2） ； （3）若，则的取值范围是 ． 易错考点31：实数运算的实际应用 61．（24-25七年级下·青海海东·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 62．（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 易错考点32：与实数运算相关的规律题 63．（2022·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 64．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数（易错题考点集训） 【32个高频易错考点 共64题】 易错考点01：无理数的大小估算 2 易错考点02：实数与数轴 3 易错考点03：勾股定理与无理数 4 易错考点04：利用算术平方根的非负性解题 6 易错考点05：估计算术平方根的取值范围 6 易错考点06：无理数整数部分的有关计算 8 易错考点07：与算术平方根有关的规律探索题 10 易错考点08：算术平方根的实际应用 10 易错考点09：求代数式的平方根 12 易错考点10：已知一个数的平方根，求这个数 14 易错考点11：已知一个数的立方根，求这个数 15 易错考点12：与立方根有关的规律探索 16 易错考点13：立方根的实际应用 19 易错考点14：算术平方根和立方根的综合应用 20 易错考点15：程序设计与实数运算 22 易错考点16：利用二次根式的性质化简 24 易错考点17：复合二次根式的化简 25 易错考点18：二次根式的乘除混合运算 27 易错考点19：最简二次根式的判断 29 易错考点20：化为最简二次根式 29 易错考点21：已知最简二次根式求参数 30 易错考点22：二次根式的加减运算 31 易错考点23：二次根式的混合运算 32 易错考点24：分母有理化 34 易错考点25：已知字母的值，化简求值 35 易错考点26：已知条件式，化简求值 37 易错考点27：比较二次根式的大小 39 易错考点28：二次根式的应用 40 易错考点29：实数的混合运算 42 易错考点30：新定义下的实数运算 43 易错考点31：实数运算的实际应用 45 易错考点32：与实数运算相关的规律题 46 易错考点01：无理数的大小估算 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若，且x是整数，则满足条件的x值有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【思路引导】此题考查实数的大小比较． 先估算出、的大小，再找出的大小，然后找出符合条件的数即可． 【规范解答】解：∵， ∴． ∴． ∴符合条件的x的值为：，共4个． 故选：B． 2．（23-24七年级下·四川广元·期末）若是两个连续的整数，且，则的值为 ． 【答案】9 【思路引导】本题考查无理数的估算，利用夹逼法得出，结合题意可得，，代入求和即可． 【规范解答】解： ， ，即， 是两个连续的整数，且， ，， ， 故答案为：9． 易错考点02：实数与数轴 3．（25-26八年级上·广东中山·开学考试）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)的值为　　　　　　． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了实数与数轴，差的绝对值是大数减小数，注意数轴上的点向右移动加，向左移动减． （1）根据数轴上的点向右移动加，可得答案； （2）根据差的绝对值是大数减小数，可得答案． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：根据题意可知， ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点表示的数为，点向右运动个单位长度到达点，点表示的数为． (1)在数轴上画出点； (2)点表示的数为________，其绝对值为________； (3)利用数轴比较大小：________（填“”“”或“”），所以点在点________．（填“左侧”或“右侧”） 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)，右侧． 【思路引导】本题考查了数轴上表示数，绝对值定义，实数比较大小，掌握知识点的应用是解题的关键． （）在数轴上表示点即可； （）由点向右运动个单位长度到达点，则有点表示的数为，然后通过绝对值定义即可求解； （）根据数轴特点即可求解． 【规范解答】（1）解：如图， ∴点即为所求； （2）解：点表示的数为，其绝对值， 故答案为：，； （3）解：根据数轴可知，，点在点的右侧， 故答案为：，右侧． 易错考点03：勾股定理与无理数 5．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，然后以原点O为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点D． (1)点D表示的数是________，这个数是________（填“有理数”或“无理数”）； (2)通过画图说明了无理数________（填“能”或“不能”）用数轴上的点表示； (3)请你画出数轴，并在数轴上画出表示的点M，说出你的画法． 【答案】(1)，无理数 (2)能 (3)详见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理，用数轴上的数表示无理数，尺规作图． （1）根据及勾股定理求出，根据无理数的定义作答即可； （2）根据（1）即可得到结论； （3）根据画出表示的点，进而可画出表示的点M． 【规范解答】（1）由图可知，是无理数 ∴点D表示的数是，这个数是无理数 故答案为：，无理数 （2）由（1）可知，无理数能用数轴上的点表示 故答案为：能 （3）因为， 所以画法如下： ①在数轴上画长方形，使在数轴上且点在原点右侧，点在数轴的上方； ②以原点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点； ③以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是，如答图所示． 证明：∵ ∴ ∴ ∴ 6．（22-23八年级上·全国·期中）如图，数轴上的点所表示的数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长，可得出的值，即可求解． 【规范解答】解：如图： 根据题意可得：，， ∵， ∴， 即， ∴点表示的数为． 故选：C． 易错考点04：利用算术平方根的非负性解题 7．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）已知，那么的值为(    ) A． B． C． D．- 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了非负数的性质，利用非负数的性质确定待定的字母的值是解答的关键，根据算术平方根和绝对值的非负性，确定、的值，再代入代数式求值即可 【规范解答】解： ， ，， ，， ． 故选：A． 8．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）已知实数，满足，则代数式的值为 ． 【答案】1 【思路引导】本题主要考查了绝对值的性质，算术平方根的性质，求代数式的值， 根据求出x，y，再代入待求式求出结果 【规范解答】解：∵ ∴ 解得 所以代数式 故答案为：1 易错考点05：估计算术平方根的取值范围 9．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）在哪两个相邻的整数之间？ （2）正确吗？ （3）下列四个结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题围绕算术平方根的大小估算展开，要清楚一个正数的算术平方根介于两个整数或两个小数之间的判断方法，即通过比较被开方数与整数或小数平方数的大小来确定． （1）利用夹逼法估算即可； （2）分别计算出3.1和3.2的平方即可判断； （3）分别计算出3.15、3.16和3.17的平方即可求解． 【规范解答】解：（1）因为， 所以，即在3和4两个相邻整数之间； （2）， ， 因为 ， 所以， 所以该说法正确； （3）分别计算各选项两边界值的平方： 因为 ， 所以，， 故选： B． 10．（24-25八年级下·天津·阶段练习）估计的值（　　） A．在3和4之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了无理数的估算，先根据无理数大小可得，即可得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 即的值在5和6之间． 故选：B． 易错考点06：无理数整数部分的有关计算 11．（25-26八年级上·云南曲靖·开学考试）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3)1 【思路引导】本题主要考查了无理数的估算． （1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，求出整数部分x和小数部分y，从而求出的值，再求出它的相反数即可； （3）先估算和的大小，再根据不等式的性质估算和的大小，分别求出小数部分和，从而求出的值． 【规范解答】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分， 故答案为：4，； （2）解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分是10，小数部分是：， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； （3）解：∵，即， ∴，，即， ∴，即， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴． 12．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）根据已知条件求值． (1)已知的平方根是，的立方根是2，求a和b的值； (2)已知，c是的整数部分，d是的小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确的计算、估算． （1）运用平方根和立方根知识进行计算、求解； （2）运用非负数和算术平方根的知识进行求解． 【规范解答】（1）解：由题意得，，， 解得，； （2）解：， ，， 解得，， ，， 的整数部分是2，的整数部分是2， 的小数部分是， 即，， ． 易错考点07：与算术平方根有关的规律探索题 13．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）已知，，，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念等，根据平方根、算术平方根、立方根的概念依次求解即可，属于基础题，熟练掌握其定义是解决本类题的关键． 【规范解答】解： ∵， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系．先根据表格得到规律，再根据规律确定结果． 【规范解答】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∴， 故答案为：． 易错考点08：算术平方根的实际应用 15．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 【答案】(1)， (2)①，画图见解析；②画图见解析 【思路引导】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数． （2）①根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图形即可；②从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移4个单位，用同样的方法得到点N． 【规范解答】（1）解：由图1知，小正方形的对角线长是， ∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案是：， （2）解：①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5， ∴正方形的边长是， 如图所示： 故答案是：； ②如图所示： 16．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，将面积分别为15和8的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． (1)点表示的数是___________，点表示的数是___________； (2)李丽想用面积为15的正方形纸片裁出一块面积为8的长方形纸片，且它的长与宽的比为，她能裁出来吗？请作出判断并说明理由． 【答案】(1)， (2)她不能裁出来，理由见解析 【思路引导】本题考查了实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积分别为15和8的正方形纸片，得边长为，，再运用数形结合思想，即可解答； （2）先列式，则，则长方形纸片的长为，根据，得，故不能裁出来，进行作答即可． 【规范解答】（1）解：由条件可知两个正方形面积分别为15和8，正方形纸片的边长为，． ∴，， ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）解：她不能裁出来，理由如下： 依题意，设长方形纸片的长为， 由条件可知宽为r，， 则， ∴（负值已舍去）， 则长方形纸片的长为， ∵， ∴， ∴她不能裁出来． 易错考点09：求代数式的平方根 17．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，b是9的算术平方根，的立方根是． (1)求a，b，c的值； (2)若，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了平方根、算术平方根、立方根： （1）根据绝对值、算术平方根、立方根的定义即可求解； （2）先根据确定a的值，进而求出的值，再求平方根即可． 【规范解答】（1）解：因为，b是9的算术平方根，的立方根是， 所以， 所以． （2）解：因为， ， 所以， 所以． 因为25的平方根是， 所以的平方根是． 18．（24-25七年级下·江西新余·期末）已知的平方根是的立方根是， (1)求和的值； (2)求的平方根 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了立方根，平方根的定义，根据立方根，平方根的定义求解即可． （1）由立方根，平方根的定义可知，，然后即可求出a，b的值． （2）把a，b的值代入，再求平方根即可． 【规范解答】（1）解：的平方根是，的立方根是， ，， ， ． （2）解：∵， 的平方根为． 易错考点10：已知一个数的平方根，求这个数 19．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是．则的平方根是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方根与立方根的概念以及求解方法，熟练掌握相关概念，正确求出a、b的值是解题的关键；根据两个平方根互为相反数可得关于a的方程，根据立方根的定义可求得b的值，继而可得的值，再根据平方根的定义进行求解即可得答案. 【规范解答】解：∵某正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根为：. 故答案为：. 20．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是，求： (1)该正数是多少？ (2)的算术平方根． 【答案】(1)该正数是； (2)的算术平方根是． 【思路引导】本题考查平方根，立方根，算术平方根，解题的关键是正确理解相关的概念． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出的值，进而求出这个正数即可； （2）先求出，代入代数式求出，求算术平方根即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得，， 解得，， ∴， 答：该正数是． （2）解：∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， 答：的算术平方根是． 易错考点11：已知一个数的立方根，求这个数 21．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列方程中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 22．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知的算术平方根是3，的立方根是4，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，估算无理数的大小等知识点，能求出、、的值是解此题的关键． 根据算术平方根和立方根定义得出，，求出、的值，再估算出的大小，求出的值，计算的值，最后根据平方根的定义求出即可． 【规范解答】解：的算术平方根是，的立方根是4， ，， 解得，， ∵， ∴， 是的整数部分， ， ， 的平方根是． 易错考点12：与立方根有关的规律探索 23．（2025·福建福州·模拟预测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【答案】(1)①两②9③3 (2)27 (3)0.27 (4)23 【思路引导】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是理解并掌握立方根的定义及其延伸． （1）根据已给推理过程，按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）根据一个数的小数点向左（右）每移动三位其立方根的小数点就向左（右）移动一位进行求解即可； （4）仿照已给的推理过程求解即可． 【规范解答】（1）解：，， 是两位数， 的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9， 的个位上的数字是 9 划去59319后面的三位 319 得到数 59，，，， 的十位上的数字是 3， 故答案是：两，9，3； （2）解：，， 是两位数， 的个位上的数是3，而只有个数是7的数的立方个位才是3， 的个位上的数字是 7， 划去19683后面的三位 683得到数 19，，，，的十位上的数字是2， ； （3）解：， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是两位数， 划去279841后面的四位9841得到数 27，，，，的十位上的数字是2， 的个位上的是1，而个数是1、3、7、9的数的四次方个位才是1， 验证可得 24．（24-25七年级下·吉林白城·阶段练习）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 【答案】(1)， (2)①；②32400 (3)①；②；③ 【思路引导】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案； （3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案； ③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【规范解答】（1）解：， ， ， ． 故答案为：，． （2）①解：， ， 故答案为：． ②解：， ， ， 故答案为：． （3）①解：， ， ， ， ， 故答案为：． ②解：， ， 故答案为：． ③， ， ， 故答案为：． 易错考点13：立方根的实际应用 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）小林想测量一个铁球的半径，先将铁球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铁球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铁球的半径．（球的体积公式为，r为球的半径） 【答案】铁球的半径为 【思路引导】本题主要考查了利用立方根解决几何问题，解题的关键是掌握立方根运算法则． 设铁球的半径为，根据球体的体积等于水下降的体积，列出方程，利用立方根求解即可． 【规范解答】解：设铁球的半径为，根据题意得， 铁球的体积， ， 解得， ∴铁球的半径为． 26．（24-25八年级上·江苏·期末）解答下列各题： (1)计算： ； (2)求的值： 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）根据绝对值的性质、算术平方根的定义、立方根的定义及零指数幂分别化简，再合并即可； （）把移到右边，再利用立方根的定义解答即可． 本题考查了实数的混合运算，利用立方根的定义解方程，掌握实数的运算法则及立方根的定义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错考点14：算术平方根和立方根的综合应用 27．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根、立方根和平方根的定义，求出，的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义列出方程组，求解得到的值，再代入的表达式求出，最后计算的立方根． 【规范解答】解：由题意知：， 解得：，， ∴ ∴，， ∴ ∴的立方根等于． 28．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）（1）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （2）一个正数x的平方根分别是和，求正数x． 【答案】（1）；（2）9 【思路引导】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握相关定义列出方程是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的性质求出a，b的值，再估算出的大小，可得c的值，即可求解． （2）根据平方根的性质可得，求出a的值，即可． 【规范解答】解：（1）∵的立方根是3， ∴， 解得， 又∵的算术平方根是4， ∴， ∵， 解得：， ∵c是的整数部分，而， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）∵正数x的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴正数． 易错考点15：程序设计与实数运算 29．（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义按照流程图顺序计算即可． 【规范解答】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 30．（2020·河北唐山·一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了无理数的定义，求算术平方根， 根据无理数生成器的计算流程可得输出值为的输入值，即可判断①；再将16输入按要求得出答案并判断②；然后以输出值为例说明③；随后将正整数1输入说明④即可. 【规范解答】解：当输入3时，取算术平方根为，是无理数输出； 当输入9时，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为，是无理数输出； 当输入81时，取算术平方根为9，不是无理数，再输入9，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为，是无理数输出； 当输出值为时，输入值为3或9或81或， 所以①不正确； 当输入16时，取算术平方根为4，不是无理数，再输入4，取算术平方根为2，不是无理数，再输入2，取算术平方根为，是无理数输出. 所以②正确； 当输入，取算术平方根为，是无理数，输出，但是不是正整数. 所以③不正确； 当输入正整数1，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值. 所以④正确. 则不正确的有①③. 故选：D. 易错考点16：利用二次根式的性质化简 31．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了数轴上的点位置、化简二次根式、整式的加减运算法则等知识点，熟练掌握和运用各运算法则是解题的关键． 先由实数a、b在数轴上的位置可得，则，再根据二次根式的性质化简，最后根据整式的加减法则求解即可． 【规范解答】解：由实数a、b在数轴上的位置，可得， ∴， ∴ ． 故答案为：2． 32．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的性质，实数的加减运算，掌握这些知识是解题的关键； （1）利用二次根式的性质化简后再相加即可； （2）利用立方根、算术平方根计算各根式，再相加即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 易错考点17：复合二次根式的化简 33．（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3) 【思路引导】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，均为整数，分两种情况求出，； （3）设，两边平方并结合题意计算得出，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， ，(，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，(，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或； （3）解：设， 则 ， ∴原式． 34．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，故，即可作答． （2）因为，则，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意 ． （2）解：∵， ∴， 即，． 易错考点18：二次根式的乘除混合运算 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式乘除运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式乘法法则，将两个根式相乘转化为一个根式内的乘法运算，再化简得出结果． （2）利用二次根式的乘除法则，把分子中的根式相乘后与分母的根式进行运算，化简得到答案． （3）按照从左到右的顺序，先进行二次根式的乘法运算，再进行除法运算（转化为乘法），最后化简． （4）把每个根式先化简，然后将除法转化为乘法，依次进行乘法运算，最后化简得出结果． 【规范解答】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)9 (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是关键． （1）先化简各项，再利用二次根式的运算法则求解即可； （2）利用完全平方公式先去括号，再进行运算即可； （3）先化简各项，再利用二次根式的运算法则求解即可； （4）先化简各项，再利用二次根式的运算法则求解即可． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 易错考点19：最简二次根式的判断 37．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了最简二次根式，解题的关键是熟练掌握最简二次根式满足的两个条件：1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【规范解答】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，则此项符合题意； C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 38．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了最简二次根式的概念．最简二次根式应该根号里没(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数中不含分母．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断． 【规范解答】A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、，不能化简，是最简二次根式，本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：C． 易错考点20：化为最简二次根式 39．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，选择恰当的解题方法，是解答本题的关键． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，得到答案． （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，得到答案． 【规范解答】（1）解：原式． （2）解：原式． 40．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查二次根式的乘法，二次根式的除法，二次根式的化简，二次根式的减法，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键，利用二次根式的乘法，二次根式的除法，二次根式的化简，二次根式的减法逐项进行计算即可判断． 【规范解答】解：A中，，正确，故不符合题意； B中，，原计算错误，故符合题意； C中，，正确，故不符合题意； D中，，正确，故不符合题意； 故选：B． 易错考点21：已知最简二次根式求参数 41．（25-26八年级上·全国·周测）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了最简二次根式，由，且与是同类二次根式，则分时，时，时，时，进行讨论，然后求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵，二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同， ∴时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； ∴符合条件的正整数的值为，，， ∴的最小值为， 故答案为：． 42．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）若最简二次根式与能进行合并，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义得，然后解方程即可． 【规范解答】解：最简二次根式与能进行合并， 与是同类二次根式， ， 解得． 经检验，时，，符合题意； 故答案为：． 易错考点22：二次根式的加减运算 43．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一个三角形的周长为，其两边长分别为和，则第三边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．根据三角形周长公式，用周长减去已知的两条边的长度，即可求出第三边的长度，计算过程中需要先将二次根式化为最简二次根式． 【规范解答】解：第三边长为． 故选：C． 44．（25-26八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的加减混合运算，二次根式的乘法，二次根式的化简，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可得到答案； （2）先利用平方差公式以及完全平方公式进行乘法计算，最后合并同类二次根式即可得到答案． 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：原式 易错考点23：二次根式的混合运算 45．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第6个等式：___________； (2)请写出第n个等式：___________； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查分母有理化的运用及找规律． （1）从等式中找出规律，第二个等式：，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1，仿照所给等式写出第6个等式即可； （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，，仿照所给等式写出第n个等式即可； （3），观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出． 【规范解答】（1）解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 因此第6个等式，， 得， 故答案为：； （2）解：由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，， 所以第n个等式为， 故答案为：； （3）解： ． 46．（24-25八年级下·山东青岛·期末）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式． （1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再去括号合并即可； （2）先化简二次根式，再算括号里的加减法，再算除法即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 易错考点24：分母有理化 47．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）我们知道，，，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如与互为有理化因式，与互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．例如： ． (1)分母有理化的结果是 ，分母有理化的结果是 ． (2)利用以上知识计算：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，理解题意、正确计算是解题的关键． （1）由题干例子即可完成； （2）由题干例子把各项化为分母不含二次根式的式子，再利用二次根式的加减法则即可求解． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ． 48．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料，并解决相应问题： (1)化简； (2)若是的小数部分，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题主要考查了二次根式的化简求值以及无理数的小数部分确定，熟练掌握分母有理化、完全平方公式等运算是解题的关键． （1）通过分母有理化，利用平方差公式将分母中的根式去掉，从而化简式子． （2）先确定的小数部分，再将代入式子，通过完全平方公式和分母有理化等运算来求解． 【规范解答】（1）解：． （2）解：根据题意，得， 所以 ． 易错考点25：已知字母的值，化简求值 49．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，，则的值为 ． 【答案】24 【思路引导】本题主要考查了二次根式混合运算，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．根据完全平方公式将变为，然后将，，代入求值即可． 【规范解答】解：∵，， ∴ ． 故答案为：24． 50．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)9 【思路引导】本题考查的是分母有理化，构建整体代入求解代数式的值，熟练运算方法是解题的关键. （1）分子与分母都乘以，再利用平方差公式计算即可得到答案； （2）先把每一项都分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案； （3）先求解，再变形可得：，再整体代入即可得到答案. 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴，即． ∴， ∴． 易错考点26：已知条件式，化简求值 51．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键． 根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解． 【规范解答】解：， ，， ， ， ． 故选：B． 52．（24-25八年级下·福建福州·期中）阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若是正整数，，，且，求的值； (3)若，则的值是______．（直接写出答案结果） 【答案】(1) (2) (3)9 【思路引导】本题考查了分母有理化、利用完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用分母有理化的方法对各式子进行整理，从而可求解； （2）先利用分母有理化的方法对各式子进行整理，再代入式子化简求解即可； （3）先求出，再计算出，结合，，即可求解． 【规范解答】（1）解：原式 （2），， ． ． ． ， ， ， 解得：； （3）， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 易错考点27：比较二次根式的大小 53．（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小： ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．利用作商法，即可比较大小． 【规范解答】解：∵， ∴； 故答案为：． 54．（2025八年级上·全国·专题练习）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】题目主要考查无理数的估算，不等式的性质，先对无理数进行估算，然后利用不等式的性质依次判断即可． 【规范解答】解：A、∵， ∴，选项错误，不符合题意； B、∵， ∴, ∴，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴，选项正确，符合题意； 故选：D． 易错考点28：二次根式的应用 55．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一个树墩的截面图，年轮部分分为深色和浅色，其中深色部分以及整个截面可以看作两个同心圆．已知深色部分的半径为，浅色圆环部分面积为，若取3，则可以估计此树墩截面的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了圆的面积公式以及二次根式的化简，熟练掌握圆的面积公式（表示面积，表示半径）和二次根式的化简方法是解题的关键．先根据深色部分半径求出深色部分面积，再结合浅色圆环面积得到整个截面面积，最后根据圆的面积公式求出截面半径． 【规范解答】解：因为深色部分的半径为， 所以深色部分的面积为． 又因为浅色圆环部分的面积为， 所以截面的面积为， 所以截面的半径为， 故选：D． 56．（2025八年级上·全国·专题练习）物体在做自由落体运动时，下落到地面的时间（单位：s）和下落高度（单位：m）之间满足关系式，其中取．（不考虑空气阻力） (1)小球从高空自由落下，需要多长时间到达地面？ (2)明明认为，小球从的高空自由落下，到达地面所需要的时间是从高空自由落下所需时间的2倍，你是否认同明明的想法？请说明理由． 【答案】(1)需要到达地面； (2)不认同，理由见解析． 【思路引导】本题主要考查了二次根式的运算以及对自由落体运动时间与高度关系的应用，熟练掌握二次根式的化简计算是解题的关键． （1）将，代入关系式，计算出时间 （2）先将，代入关系式求出时间，再与（1）中结果比较，判断是否为2倍关系． 【规范解答】（1）解：把，代入得 （2）解：把，，代入： 因为， 所以不认同明明的想法． 易错考点29：实数的混合运算 57．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）计算 (1) (2)化简 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了实数的混合运算，求一个数的算术平方根和立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别求算术平方根，立方根，再进行加减计算； （2）先去绝对值，再进行实数的加减计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 58．（25-26八年级上·广东惠州·开学考试）（1）计算：； （2）求x的值：． 【答案】（1）20；（2） 【思路引导】本题考查算术平方根，化简绝对值，利用平方根的定义解方程． （1）先计算算术平方根，绝对值，乘方，再进行加减运算； （2）利用平方根的定义解方程． 【规范解答】解：（1） ； （2）， ∴， ∴， ∴． 易错考点30：新定义下的实数运算 59．（25-26八年级上·重庆·开学考试）对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对连续求根整数2次，，这时候结果为．现有如下四种说法： ①； ②： ③若方程，则满足条件的的整数值有3个； ④进行3次连续求根整数运算后，结果为1的所有正整数中，最大值与最小值之差为239． 其中说法不正确的有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【思路引导】本题考查无理数的估算，算术平方根，实数新定义，理解题意正确计算是解题关键．根据题中的定义结合举反例和列举法逐项判断即可． 【规范解答】解：①因为，，，故； 故①不符合题意； ②举反例，当时，，而，不相等， 故②符合题意； ③由题意知，，当时，，所以不可以是3； 当时，，所以可以是4； 当时，，所以可以是5； 当时，，所以可以是6； 当时，，所以不可以是7； 同理，也不可以是8，9，10，11，12；所以满足题意的有3个， 故③不符合题意； ④首先找最小的3次连续求根整数运算后结果为1的数，，，，所以最小的3次连续求根整数运算后结果为1的数是16； 然后找最大的3次连续求根整数运算后结果为1的数，，，，所以最大的3次连续求根整数运算后结果为1的数是255； ， 故④不符合题意． 故选：B． 60．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）规定：用符号表示不大于实数的最大整数．例如：， （1）填空 （2） ； （3）若，则的取值范围是 ． 【答案】 1 【思路引导】本题主要考查了新定义运算、估算无理数大小，正确理解题意是解题关键． （1）结合，得，即有，根据题意即可获得答案； （2）首先根据估算无理数大小的方法确定，进而可知，根据题意即可获得答案； （3）根据符号的定义可知，进而可得，即可获得答案． 【规范解答】解：（1）∵， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：（1）1；（2）；（3）． 易错考点31：实数运算的实际应用 61．（24-25七年级下·青海海东·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 【答案】(1)3，2 (2) 【思路引导】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可； （2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值，再求平方根即可． 【规范解答】（1）解：，其中，为有理数，为无理数， ∴， ∴； （2）解：∵，，为有理数，为无理数， ∴， 解之，得． 则． ∴的平方根是． 62．（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【思路引导】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 易错考点32：与实数运算相关的规律题 63．（2022·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【思路引导】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和； （2）所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可； （3）利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解． 【规范解答】解：（1）； （2）根据以上等式的规律可得，； （3）① ； ② ． 【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键 64．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【规范解答】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 学科网（北京）股份有限公司 $