第1章 勾股定理（26个高频易错考点训练 共52题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册章节复习培优专项训练

第1章 勾股定理（易错题考点集训） 【26个高频易错考点 共52题】 易错考点01：用勾股定理解三角形 2 易错考点02：以直角三角形三边为边长的图形面积 2 易错考点03：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 3 易错考点04：利用勾股定理证明线段平方关系 4 易错考点05：勾股定理的证明方法 4 易错考点06：以弦图为背景的计算题 5 易错考点07：用勾股定理构造图形解决问题 6 易错考点08：求旗杆高度（勾股定理的应用） 7 易错考点09：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 8 易错考点10：求大树折断前的高度（沟股定理的应用） 8 易错考点11：勾股树（数）问题 9 易错考点12：判断三边能否构成直角三角形 9 易错考点13：在网格中判断直角三角形 10 易错考点14：利用勾股定理的逆定理求解 10 易错考点15：勾股定理与网格问题 11 易错考点16：勾股定理与折叠问题 11 易错考点17：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 12 易错考点18：解决水杯中筷子问题（沟股定理的应用） 12 易错考点19：解决航海问题（勾股定理的应用） 13 易错考点20：求河宽（勾股定理的应用) 14 易错考点21：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 15 易错考点22：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 16 易错考点23：判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 17 易错考点24：选址使到两地距离相等（沟股定理的应用） 18 易错考点25：求最短路径（勾股定理的应用） 19 易错考点26：勾股定理逆定理的实际应用 19 易错考点01：用勾股定理解三角形 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，求的面积． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在 中，已知，，，，求 BD 的长． 易错考点02：以直角三角形三边为边长的图形面积 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点E在正方形的边上，若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 易错考点03：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 6．（24-25九年级上·全国·单元测试）数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：                       (1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则； (2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接． ①求证：； ②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明． 易错考点04：利用勾股定理证明线段平方关系 7．（24-25八年级下·天津·期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于 ． 8．（24-25八年级上·山西临汾·期末）已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 易错考点05：勾股定理的证明方法 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为． (1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________； ②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________； ③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理； (2) 将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 10．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 易错考点06：以弦图为背景的计算题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 12．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 易错考点07：用勾股定理构造图形解决问题 13．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 14．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸． 易错考点08：求旗杆高度（勾股定理的应用） 15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后他将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，求旗杆的高度．（滑轮上方的部分忽略不计） 16．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 易错考点09：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 17．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 18．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 易错考点10：求大树折断前的高度（沟股定理的应用） 19．（25-26八年级上·全国·期中）如图，一棵高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点的D处竖起一架梯子，请问这架梯子有多长？ 20．（25-26八年级上·全国·随堂练习）《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 易错考点11：勾股树（数）问题 21．（25-26八年级上·全国·单元测试）定义：如果一个正整数m能表示为两个正整数的平方和，即，那么称m为广义勾股数．给出下面三个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数，正确的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）将勾股数3，4，5扩大为原来的2倍，3倍，4倍，…可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…则我们把3，4，5这样最大公约数是1的勾股数称为基本勾股数，请根据题意再写出一组基本勾股数 ． 易错考点12：判断三边能否构成直角三角形 23．（2025八年级上·全国·专题练习）车间李师傅收到一个零件质检任务，零件如图所示，按照规定，李师傅依次测量三条边的长度，由此判断该零件是否合格．李师傅这样做的依据是（    ） A．直角三角形两锐角互余 B．三角形两边之和大于第三边 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，通过比较代数式和的大小，探究的形状（按角分类）． (1)当三边长分别为6，8，9时，为________角形；当三边长分别为6，8，11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形； (3)当时，探究的形状，并求出对应的的取值范围． 易错考点13：在网格中判断直角三角形 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，求的度数． 26．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 易错考点14：利用勾股定理的逆定理求解 27．（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，是上的点，连接，，，，，求的长． 28．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 易错考点15：勾股定理与网格问题 29．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点都在格点上．若，则以三条线段为边长，能否构成直角三角形？请说明理由． 30．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题． (1)试判断的形状并说明理由； (2)在网格中以为边向右作直角三角形，令点在格点上，且使是等腰三角形，则的长为 ． 易错考点16：勾股定理与折叠问题 31．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿着翻折至，与交于点，且，求的长． 32．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 易错考点17：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 33．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级下·广东肇庆·阶段练习）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为 米． 易错考点18：解决水杯中筷子问题（沟股定理的应用） 35．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈尺) 36．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竹竿的顶端和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度为 米． 易错考点19：解决航海问题（勾股定理的应用） 37．（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 38．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若从港口派一艘轮船在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 易错考点20：求河宽（勾股定理的应用) 39．（24-25七年级下·山东济南·期末）在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是 米． 40．（22-23八年级下·陕西延安·期末）如图，湖的两岸有两棵景观树，在与垂直的方向上取一点，测得米，米．求两棵景观树之间的距离．    易错考点21：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 41．（25-26八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 42．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为 m，购买这种地毯至少需要 元． 易错考点22：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 43．（25-26八年级上·全国·随堂练习）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 44．（24-25八年级上·四川眉山·期中）某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？    易错考点23：判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 45．（25-26八年级上·全国·课后作业）新情境  如图，有一辆卡车沿笔直公路由点向点匀速行驶，点为一栋居民楼，且点与点，的距离分别为和，，已知卡车的行驶速度为，卡车周围以内为受噪声影响区域．则居民楼是否会受噪声影响？若影响，请计算受影响的时长；若不影响，请说明理由． 46．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 易错考点24：选址使到两地距离相等（沟股定理的应用） 47．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 48．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 易错考点25：求最短路径（勾股定理的应用） 49．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是 ． 50．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在垂直于地面5米高的树的树根B处有一个蛇洞，树顶A处有一只鹰，在距离洞口25米的C处有一条蛇正往蛇洞爬，鹰看见蛇之后迅速飞行抓捕，恰好在D处抓住蛇，若鹰飞行的速度与蛇爬行的速度相同，则鹰飞行的距离为 米． 易错考点26：勾股定理逆定理的实际应用 51．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 52．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 勾股定理（易错题考点集训） 【26个高频易错考点 共52题】 易错考点01：用勾股定理解三角形 2 易错考点02：以直角三角形三边为边长的图形面积 3 易错考点03：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 4 易错考点04：利用勾股定理证明线段平方关系 7 易错考点05：勾股定理的证明方法 8 易错考点06：以弦图为背景的计算题 10 易错考点07：用勾股定理构造图形解决问题 12 易错考点08：求旗杆高度（勾股定理的应用） 13 易错考点09：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 15 易错考点10：求大树折断前的高度（沟股定理的应用） 16 易错考点11：勾股树（数）问题 17 易错考点12：判断三边能否构成直角三角形 18 易错考点13：在网格中判断直角三角形 19 易错考点14：利用勾股定理的逆定理求解 21 易错考点15：勾股定理与网格问题 22 易错考点16：勾股定理与折叠问题 24 易错考点17：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 26 易错考点18：解决水杯中筷子问题（沟股定理的应用） 28 易错考点19：解决航海问题（勾股定理的应用） 29 易错考点20：求河宽（勾股定理的应用) 31 易错考点21：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 33 易错考点22：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 34 易错考点23：判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 35 易错考点24：选址使到两地距离相等（沟股定理的应用） 37 易错考点25：求最短路径（勾股定理的应用） 40 易错考点26：勾股定理逆定理的实际应用 41 易错考点01：用勾股定理解三角形 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，求的面积． 【答案】30 【思路引导】本题主要考查了勾股定理．在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】解：在中，∵， ∴， 在中，， 所以． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在 中，已知，，，，求 BD 的长． 【答案】14 【思路引导】本题主要考查了利用勾股定理和三角形的面积进行求解，准确作出辅助线计算是解题的关键． 过点作于点，得到，根据三角形等面积法算出，再利用勾股定理计算即可． 【规范解答】过点A 作 于点E，如图， 则 ， ， ， ， ， ， 在中， ∵，， ， ， ． 易错考点02：以直角三角形三边为边长的图形面积 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，根据阴影面积等于两个较小的半圆面积加上直角三角形的面积再减去最大的半圆面积进行列式计算，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵ ∴阴影部分的面积 ． 故选B． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点E在正方形的边上，若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式． 根据勾股定理求出，根据正方形的面积公式可知即为正方形的面积． 【规范解答】解：由是正方形可知：, 又∵， ∴ ∴根据正方形的面积公式可知 故选：B 易错考点03：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【规范解答】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 6．（24-25九年级上·全国·单元测试）数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：                       (1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则； (2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接． ①求证：； ②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)①见详解；②，证明见详解 【思路引导】（1）延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则． （2）①延长到G，使得，再连接、，根据证明，则可得，根据线段垂直平分线的性质可得，将，，转换 到一个三角形中，利用三角形三边之间的关系即可得出结论． ②由全等易知，又因，可得，可得三边之间存在勾股定理关系，据此解答． 【规范解答】（1）解：延长到E，使得，再连接， ∵是边上的中线， ∴ 又∵， 则， ， 在中，， ∴， ∴， 则； （2）解：①延长到G，使得，连接、． ∵D是边上的中点， ∴， 又∵， 则， ， ， ． 在中，， ． ②若，.证明如下： 若，则， 由①知， ∴， ， 即， ∴在中，， 又∵， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的做出辅助线是解题的关键． 易错考点04：利用勾股定理证明线段平方关系 7．（24-25八年级下·天津·期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于 ． 【答案】9π． 【思路引导】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S1+S2的值，从而可以解答本题． 【规范解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， ∵S1＝π（）2×，S2＝π（）2×，S3＝π（）2×， ∴S1+S2＝π（）2×+π（）2×＝π（）2×＝S3， ∵S3＝9π， ∴S1+S2＝9π， 故答案为：9π． 【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 8．（24-25八年级上·山西临汾·期末）已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得． 【规范解答】由题意，画出图形如下： 由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键． 易错考点05：勾股定理的证明方法 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为． (1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________； ②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________； ③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理； (2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【答案】(1)①，；②，；③； (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的验证，熟练掌握通过图形面积关系验证勾股定理的方法是解题的关键． （1）①通过观察图②，确定大、小正方形的边长；②分别从整体和部分的角度表示大正方形的面积；③根据面积相等得出等式，进而验证勾股定理． （2）计算图③中图形的面积，从不同角度表示后，根据面积相等验证勾股定理． 【规范解答】（1）解：①大正方形的边长为，小正方形的边长为． ②大正方形的面积可以表示为，也可以表示为． ③由面积相等可得， 展开得， 整理得． （2）解：梯形的面积为，又梯形的面积为， ∴， ∴， 两边同乘得， 整理得，验证了勾股定理． 10．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.2千米 【思路引导】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米． 易错考点06：以弦图为背景的计算题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 【答案】675 【思路引导】根据题意，都由直角三角形和正方形的面积组成的，故设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为，建立等式代入即可；用、表示是解题的关键． 【规范解答】解：设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为， ， ， ， ，， ． 故答案为：675． 12．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 【答案】D 【思路引导】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出的长度， 然后利用外围周长即可求解． 【规范解答】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴ ， ∴风车的外围周长是； 故选：D． 易错考点07：用勾股定理构造图形解决问题 13．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】C 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【规范解答】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ∴米， 即门铃恰好自动响起，则的长为4米， 故选：C． 14．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 本题需画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：如图： ， 设，过作于， 则由题知，，，． 在中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）为寸． 故答案为：． 易错考点08：求旗杆高度（勾股定理的应用） 15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后他将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，求旗杆的高度．（滑轮上方的部分忽略不计） 【答案】旗杆的高度为17米 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 如图，过点作于点，设旗杆的高度为，则，，．然后在中运用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图，过点作于点． 设旗杆的高度为，则，，． 在中，，即，解得． 答：旗杆的高度为17米． 16．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【答案】(1)12米 (2)7米 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理列方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出，即可得解． 【规范解答】（1）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意知：米，， 在中， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度12米； （2）解：由（1）知，米，则米， 米， 米， 答：珍珍应从A处向东走7米． 易错考点09：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 17．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【思路引导】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【规范解答】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：C． 18．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 【答案】鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇 【思路引导】此题考查了勾股定理的应用，设的长为，根据勾股定理列出方程求解即可． 【规范解答】如答图， 设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得， 设的长为，则， 解得． 答：鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇． 易错考点10：求大树折断前的高度（沟股定理的应用） 19．（25-26八年级上·全国·期中）如图，一棵高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点的D处竖起一架梯子，请问这架梯子有多长？ 【答案】这架梯子的长为 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，设的长为，则，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出． 【规范解答】解：设的长为，则． 根据题意，得， 即， 解得． ∴的长为． 在中，， 由勾股定理，得． 答：这架梯子的长为． 20．（25-26八年级上·全国·随堂练习）《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 【答案】4.55 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，设折断处离地面的高度为尺，在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解即可． 【规范解答】解：设折断处离地面的高度为尺， ， 解得， 故答案为：． 易错考点11：勾股树（数）问题 21．（25-26八年级上·全国·单元测试）定义：如果一个正整数m能表示为两个正整数的平方和，即，那么称m为广义勾股数．给出下面三个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数，正确的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了阅读新定义以及勾股定理的应用， 根据广义勾股数的定义逐个判断解答即可. 【规范解答】解：因为，所以7不是广义勾股数，则①正确； 因为，所以13是广义勾股数，则②正确； 因为，可知15不是广义勾股数，则③不正确. 所以正确的有①②. 故选：B. 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）将勾股数3，4，5扩大为原来的2倍，3倍，4倍，…可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…则我们把3，4，5这样最大公约数是1的勾股数称为基本勾股数，请根据题意再写出一组基本勾股数 ． 【答案】5，12，13（答案不唯一） 【思路引导】本题主要考查勾股数和公约数，填写满足最大公约数为1的勾股数即可． 【规范解答】解：常见的勾股数如满足，且最大公约数为1． 故答案为：（不唯一）． 易错考点12：判断三边能否构成直角三角形 23．（2025八年级上·全国·专题练习）车间李师傅收到一个零件质检任务，零件如图所示，按照规定，李师傅依次测量三条边的长度，由此判断该零件是否合格．李师傅这样做的依据是（    ） A．直角三角形两锐角互余 B．三角形两边之和大于第三边 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】D 【思路引导】本题主要考查勾股定理的逆定理；根据勾股定理的逆定理的定义即可求出结果． 【规范解答】解：根据题意，李师傅这样做的依据是勾股定理的逆定理； 根据勾股定理的逆定理得，若，则说明；则该零件合格； 故选：D． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，通过比较代数式和的大小，探究的形状（按角分类）． (1)当三边长分别为6，8，9时，为________角形；当三边长分别为6，8，11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形； (3)当时，探究的形状，并求出对应的的取值范围． 【答案】(1)锐角，钝角 (2)， (3)是锐角三角形，此时；时，是直角三角形；是钝角三角形，此时 【思路引导】本题主要考查了勾股定理和三角形的性质，熟练掌握“大边对大角，大角对大边”、“三角形任意两边之和大于第三边”是解题的关键． 【规范解答】（1）解：当三边长分别为6，8，10时，是一个直角边长分别为6、8的直角三角形，斜边长为10，，所以当三边长分别为6，8，9时，边长为9的边所对的角小于直角，则为锐角三角形； ，所以当三边长分别为6，8，11时，边长为11的边所对的角大于直角，则为钝角三角形； 故答案为：锐角，钝角． （2）解：由（1），猜想当时，为锐角三角形；当时，为钝角三角形； 故答案为：，． （3）解：为最长边， ， 时，是直角三角形； 时，是锐角三角形，此时，即； 时，是钝角三角形，此时，即； 综上，时，是锐角三角形；时，是直角三角形；时，是钝角三角形． 易错考点13：在网格中判断直角三角形 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据网格的特点，分别求得、和，然后根据，即可求解； 【规范解答】解：由题意可得：，，， ∵， ∴； 26．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 【规范解答】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 易错考点14：利用勾股定理的逆定理求解 27．（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，是上的点，连接，，，，，求的长． 【答案】的长为 【思路引导】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，从而可得，用勾股定理解三角形，可得的长度，与相加，即可得的长． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 答：的长为． 28．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 易错考点15：勾股定理与网格问题 29．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点都在格点上．若，则以三条线段为边长，能否构成直角三角形？请说明理由． 【答案】能构成直角三角形，理由见解析 【思路引导】本题主要考查勾股定理及其逆定理；根据勾股定理得到，再结合勾股定理的逆定理即可求出结果． 【规范解答】解：能构成直角三角形． 理由如下： 由题图可知． 又因为， 所以， 所以以三条线段为边长，能构成直角三角形． 30．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题． (1)试判断的形状并说明理由； (2)在网格中以为边向右作直角三角形，令点在格点上，且使是等腰三角形，则的长为 ． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)或5 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理，准确地做出图形是解题的关键． （1）先根据勾股定理求边长，再根据勾股定理的逆定理判定； （2）画出图形，分类讨论，再求解． 【规范解答】（1）解：是直角三角形． 理由：由勾股定理，得， ， ， 是直角三角形． （2）解：点的位置有两处，如图所示． 当点在点处时，； 当点在点处时，． 综上所述，的长为或5． 故答案为：或5． 易错考点16：勾股定理与折叠问题 31．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿着翻折至，与交于点，且，求的长． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，设与交于点．由折叠的性质可知，根据三角形全等的性质得出．证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【规范解答】解：如图，设与交于点． ∵四边形是长方形， ∴，． 由折叠的性质可知， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴． 32．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或 【思路引导】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握翻折的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 分三种情形，当或或时，画出图形来解答． 【规范解答】解：当时， ∵将沿折叠到， ． ． ∴点A、、三点共线． ∵，D是的中点， ∴， ， ∴． ∴． 设，则． ∵在中，， ∴． 解得． ． 当时，， ∵， ． ． 当时， ∵， ∴当时，四边形是矩形． ∴． 但， ∴矛盾． ∴不可能为． 综上，或． 故答案为：3或． 易错考点17：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 33．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，即为消防车的高，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【规范解答】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：C． 34．（24-25八年级下·广东肇庆·阶段练习）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为 米． 【答案】2.5 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，能将实际问题转化为数学问题是解题的关键； 根据题意，作图，设米，米，两次利用勾股定理列方程求解即可． 【规范解答】如图，由题知，，米，米，米， 米， 设米，米，，则米， 在直角中，，即， 在直角中，，即， ，解得， ，解得， 米，即木板的长为2.5米． 故答案为：2.5． 易错考点18：解决水杯中筷子问题（沟股定理的应用） 35．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈尺) 【答案】水深为尺，芦苇的长是尺． 【思路引导】此题考查了勾股定理的应用，设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为尺，根据勾股定理列方程并解方程即可求出答案． 【规范解答】解：设水深为x尺，由题意可得， . 解得， 答：水深为尺，芦苇的长是尺． 36．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竹竿的顶端和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度为 米． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设米，则有米，然后利用勾股定理可进行求解． 【规范解答】解：由题意可设米，则有米， ∵米， ∴，即， 解得：， ∴米； 故答案为：2． 易错考点19：解决航海问题（勾股定理的应用） 37．（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【思路引导】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用； （1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可； （2）先证明，可得，再进一步求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西方向上． 38．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若从港口派一艘轮船在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 【答案】(1)海里 (2)海里 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，垂线段最短,解决本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． （1）根据题意知：，根据“路程速度时间”分别得出，，再根据勾股定理得，代入数据计算即可； （2）过点作于点，根据垂线段最短，当该轮船的航线与重合时，根据垂线段最短，则的长即为该轮船行驶的最短距离，利用等积法求解即可； 掌握并能利用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，， ∴，，， ∴（海里）， 答：，两点之间的距离为海里； （2）如图，过点作于点， 当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离， ∵， ∴（海里）， 答：该轮船行驶的最短距离为海里． 易错考点20：求河宽（勾股定理的应用) 39．（24-25七年级下·山东济南·期末）在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是 米． 【答案】15 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【规范解答】解：根据题意可知米， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 该河的宽度为15米． 故答案为：15． 40．（22-23八年级下·陕西延安·期末）如图，湖的两岸有两棵景观树，在与垂直的方向上取一点，测得米，米．求两棵景观树之间的距离．    【答案】两棵景观树之间的距离是12米 【思路引导】根据勾股定理：在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方计算即可． 【规范解答】解：在Rt中，由勾股定理，得： ， （米）． 答：两棵景观树之间的距离是12米． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是熟练应用勾股定理． 易错考点21：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 41．（25-26八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【规范解答】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 42．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为 m，购买这种地毯至少需要 元． 【答案】 7 420 【思路引导】根据勾股定理可求得水平直角边的长．从而根据地毯的面积乘以每平方米的价格即可得到其所需的钱数． 【规范解答】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m， 根据勾股定理得到：水平的直角边是=4(m)， 地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长， 则购买这种地毯的长是3+4=7(m)， 则面积是2×7=14 (m2)， 总钱数是14×30=420（元）． 故答案为：7；420． 【点睛】本题考查了勾股定理，生活中的平移现象，正确计算地毯的长度是解决本题的关键． 易错考点22：判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 43．（25-26八年级上·全国·随堂练习）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】超速 【思路引导】解直角三角形，求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断．本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键． 【规范解答】∵是直角三角形，， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 44．（24-25八年级上·四川眉山·期中）某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？    【答案】超速了，理由见解析，每小时超速了12千米 【思路引导】首先根据题意得到米，米，，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【规范解答】解：小汽车超速了，理由如下： 根据题意，得米，米，． 在中，根据勾股定理，得， ∴米 ∴小汽车行驶速度为(米/秒)(千米/时) (千米/时) 答，这辆小汽车超速了，每小时超速了12千米． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 易错考点23：判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 45．（25-26八年级上·全国·课后作业）新情境  如图，有一辆卡车沿笔直公路由点向点匀速行驶，点为一栋居民楼，且点与点，的距离分别为和，，已知卡车的行驶速度为，卡车周围以内为受噪声影响区域．则居民楼是否会受噪声影响？若影响，请计算受影响的时长；若不影响，请说明理由． 【答案】会受噪声影响，卡车噪声影响该居民楼持续的时长为 【思路引导】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用，过点作于点，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形，根据三角形的面积公式可以求出，因为卡车周围以内为受噪声影响区域，所以居民楼会受到影响，当时，卡车在段行驶会影响居民楼，利用勾股定理可以求出，根据卡车的行驶速度为，可以求出居民楼受影响的时间为． 【规范解答】解：居民楼会受噪声影响， 如下图所示，过点作于点， ，，， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 卡车周围以内为受噪声影响区域， 居民楼会受噪声影响， 当时，卡车在段行驶会影响居民楼， 此时， 在中，， ， ， ， 卡车的行驶速度为，， ， 答：卡车噪声影响该居民楼持续的时长为． 46．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 【答案】(1) (2)学校C会受噪声影响，见解析 【思路引导】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理进行求解即可； （2）过点C作于D，等积法求出的长，进行判断即可。 【规范解答】（1）解：， ， 是直角三角形，且； （2）学校C会受噪声影响． 理由：如图，过点C作于D，则： ， ， ∵吊车周围以内为受噪声影响区域，， ∴学校C会受噪声影响． 易错考点24：选址使到两地距离相等（沟股定理的应用） 47．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）设，则，根据勾股定理将和表示出来，列出等式进行求解即可． （2）根据证明，则可得，由可得，进而可得． 本题主要考查了勾股定理的应用，和全等三角形的判定和性质，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，是解题关键． 【规范解答】（1）解：在中，， 在中，， ∵喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等， ∴． 设， ， ， ，， ∴， 解得， ∴游客服务中心应建在距点A处． （2）解：由（1）可知，，， ，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ， ， ∴， ∴． 48．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)，解题关键是掌握勾股定理． 连结，利用勾股定理列出关于待求线段的方程求解． 【规范解答】解：连结， ∵停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等， ∴， ∴， ∵商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为， ∴，， ∴（），（）， 解得：，， ∴停靠站到车站的距离（）为 ． 故答案为：． 易错考点25：求最短路径（勾股定理的应用） 49．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了最短路径，勾股定理等知识，在展开图中，根据勾股定理求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：如图： 由题意可知，此时的路程最短， 在中，， ∴它爬行的最短路程是， 故答案为：． 50．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在垂直于地面5米高的树的树根B处有一个蛇洞，树顶A处有一只鹰，在距离洞口25米的C处有一条蛇正往蛇洞爬，鹰看见蛇之后迅速飞行抓捕，恰好在D处抓住蛇，若鹰飞行的速度与蛇爬行的速度相同，则鹰飞行的距离为 米． 【答案】13 【思路引导】此题考查了勾股定理的应用，设的长度为米，根据勾股定理列出方程求解即可． 【规范解答】解：设的长度为米， 根据题意，得米，米，米，米． 在中，． 由勾股定理，得， 即， 解得：， 故鹰飞行的距离为13米． 故答案为：13． 易错考点26：勾股定理逆定理的实际应用 51．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1)48米 (2)会造成噪声污染，污染的时间为10秒 【思路引导】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【规范解答】（1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 52．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)平方米 【思路引导】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用； （1）直角三角形中，利用勾股定理解出，再利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形； （2）由，结合三角形面积公式解答． 【规范解答】（1）解：直角三角形ABC中， ，， ， ， ， ， 是直角三角形； （2） （平方米）． 学科网（北京）股份有限公司 $