专题01 三角形中线、高线、角平分线的应用 （五大题型）（高效培优专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题01 三角形中线、高线、角平分线的应用 题型一：三角形的中线与周长 题型二：三角形的中线与面积 题型三：等积法的应用 题型四：与三角形的高有关的计算问题 题型五：三角形三线综合计算 题型一：三角形的中线与周长 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成55和45两部分，求和的长．    【答案】， 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形三边关系的应用、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，中线的含义，一元一次方程应用，先根据是边上的中线得出，设，，则，根据题意得出方程组，求出方程组的解，再根据三角形的三边关系定理判断即可． 【详解】解：设，，则， 边上的中线把的周长分成55和45两部分，， ，， 即， 解得：， 当，，时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形， ∴，． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，的周长为24，，边上的中线，的周长为16，求的长． 【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了中线的性质，三角形周长，二元一次方程组解决实际问题；解题的关键是通过中线得到线段之间的数量关系，并建立相关方程．设，，由是边上的中线，得，结合的周长为、的周长为，联立方程组，求解方程组即可． 【详解】解：设，， 是边上的中线， ， 由题意得：， ， 即：， 解得， 的长为6． 3．（23-24八年级上·安徽六安·期末）在中，，是中线，若周长与的周长相差，求． 【答案】或 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线的定义，求出两三角形的周长的差是解题关键． 根据三角形的中线的定义可得，然后依据周长与的周长相差，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如图， 是中线， ， 周长的周长， 周长与的周长相差， ， ∵ 或． 4．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为21 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得，根据是偶数得； （2）根据是的中线得，根据的周长为13和即可求解． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：， 即， 是偶数， ； （2）解：的周长为13， ， ， ， 是的中线， ， ， ， 的周长． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长少，且与的和为． (1)求的长； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，三角形三边数量关系，理解中线的有关计算，掌握中线有关的计算，三角形三边数量关系是解题的关键． （1）根据是边上的中线得，，由此三角形周长的计算方法可得①，②，联立①②得方程组，由此求解即可； （2）根据三角形三边数量关系，中线的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴①， ∵与的和为，即②， ∴联立①②得，， 解得，； （2）解：由（1）可得，， ∴，即， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在中，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为17，求的周长． 【答案】(1)8 (2)10 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的三边关系，中线与周长的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三边关系得，则，因为是整数，则，即可作答． （2）因为是的中线，所以，因为且，得出，即可算出的周长． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ， 是整数， ； （2）解：是的中线， ， 的周长为17， ， ， 的周长． 7．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，是的中线，是的中线.      (1)若，求的长； (2)若的周长为，，且与的周长差为，求的长. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】（1）根据三角形中线性质可以求出结果； （2）根据是的中线，与的周长差为，可得到，根据的周长为，，即可得到，进而可求出的长． 【详解】（1）解：是的中线， ， 是的中线， ； （2）是的中线，与的周长差为， ， 的周长为，， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，根据题意找到，的关系是解答本题的关键． 题型二：三角形的中线与面积 8．（22-23八年级上·安徽宣城·期末）如图，的两条中线、相交于点O，已知的面积为18，的面积为3，求四边形的面积． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】根据“三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形”得到，然后结合图形来求四边形的面积． 【详解】解：∵的两条中线、相交于点O，已知的面积为14， ∴． 又∵的面积为3， ∴． 【点睛】本题考查了与三角形中线有关的面积问题．解答该题时，需要利用“数形结合”的数学思想． 9．（23-24八年级上·安徽宣城·期中）如图，在中，E是中线的中点，的面积是1，求的面积． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的中线．根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：作于点H， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴同理可得． 10．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，点为上一点，过点作于点． (1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长． 【答案】(1)； (2)4． 【知识点】根据三角形中线求面积、直角三角形的两个锐角互余、三角形角平分线的定义 【分析】此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形两锐角互余，等面积法． （1）根据角平分线的定义及直角三角形的性质求解即可； （2）由点是中点得，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，（已知） ∴，（角平分线的定义） ∵，（已知） ∴，（垂直的定义） ∴（三角形内角和推论）； （2）解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形中线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可得出结论； （2）根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，是的一个外角， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴． 12．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）已知的面积为S，根据下列条件完成填空. 图1                    图2                            图3 (1)是的边BC上的中线，如图1，则的面积为 （用含S的式子表示，下同）； 是的边上的中线，如图2，则的面积为 ； 是的边上的中线，如图3，则的面积为 ；…… (2)在图2022中，是的边上的中线，则的面积为 . 【答案】(1)，， (2) 【知识点】根据三角形中线求面积、图形类规律探索 【分析】（1）利用三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分求解即可； （2）根据（1）中的求解可得规律，利用规律即可求解． 【详解】（1）解：∵是的边BC上的中线，的面积为S，如图1， ∴； 又∵是的边上的中线，如图2， ∴； ∵是的边上的中线，如图3， ∴， 故答案为：，， （2）解：∵， ， ， ， 以此类推， 可得， ∴当时，， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 13．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点D是边上的中点，连接．求证： ． 证明：过点A作于E， ∵点D是边上的中点， ∴， ∵， ∴． 【拓展探究】 （1）如图2，在中，点D是边上的中点，若，则_____； （2）如图3，在中，点D是边上的点，且，求的值； 【问题解决】 （3）现在有一块四边形土地，如图4，甲、乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形的面积． （要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．） 【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3）见解析． 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质：三角形中线平分三角形的面积； （1）根据即可求解； （2）取中点E，连接，则，从而得，由此可求得结果； （3）连接，取中点E，连接，则，从而均分了四边形． 【详解】解：（1）∵点D是边上的中点， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）取中点E，连接，则， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接，取中点E，连接， 则， ∴， 即， ∴四边形被平均分． 题型三：等积法的应用 14．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，是边上任意一点，于点，于点，为的高线，，求的值．    【答案】8 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】连结，利用等面积法可得： ，从而可得答案． 【详解】解：如图，连结，    由图形可知： ， 即 ， ． ． 【点睛】本题考查的是等面积法的应用，熟练的利用等面积法进行证明是解本题的关键． 15．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知，是边上的中线，且，若的边上的高为2，的边上的高为4，求的长． 【答案】8 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线，以及等积法求线段的长，由中线的定义得，然后根据列式求解即可． 【详解】解：如图，是边上的中线， ， ， ， 即 ． 16．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知和是的两条高线，，交于点O．    (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，三角形的高的定义． （1）利用三角形内角和定理分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵和是的两条高线， ∴， ∴， ∴． （2）解：由三角形的面积公式， 得， 即， ∴． 17．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图所示，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，， (1)求、的度数． (2)若．求与长度之比． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质． （1）利用直角三角形两锐角互余可求得；利用角平分线的定义，再利用三角形的外角性质即可求解； （2）利用等积法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 18．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，和是的两条高线且相交于点O． (1)已知，求的度数； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，三角形的高的定义． （1）利用三角形内角和定理求出，即可求解； （2）利用等面积法得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵和是的两条高线， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：由三角形的面积公式，得． ∵，， ∴． ∴． 题型四：与三角形的高有关的计算问题 19．（22-23八年级上·安徽宣城·期中）如图，在 中， 、 分别是边 上的中线和高，cm，，求 的长． 【答案】 cm 【知识点】根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题 【分析】利用三角形的中线平分三角形面积得出 ，进而利用三角形面积得出 的长． 【详解】∵在 中， 、 分别是边 上的中线和高，  cm， ， ∴， ∴ ， 则 cm． 【点睛】本题考查了三角形中线、高线、三角形的面积，熟练掌握三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的小三角形是解决本题的关键． 20．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在与中，与相交于点E，交于点F． (1)中边上的高是___________；中边上的高是___________； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)； (2)8 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形高的意义和求三角形面积，解题的关键是掌握三角形高的意义和求三角形面积公式． （1）根据三角形某条边上高的定义可以得解； （2）根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴的边上的高是； ∵在中， ∴的边上的高是； 故答案为：，. （2）解：∵在中， ，，， 的面积为． 21．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，分别是的高，已知． (1)请画出的高和； (2)求的面积； (3)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)30 (3) 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）根据三角形的高的定义，分别画出和即可； （2）利用三角形面积公式列式计算，即可求得； （3）根据三角形面积公式得到，即可得到，从而求得． 本题主要考查了三角形的高、三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，即为所求作的高，如图所示： ； （2）解：∵，是的高， ∴． （3）解：∵是的高，且 ∴， ∴， ∴． 22．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，是上一点，且．    (1)求证：； 证明：在中，∵（已知），∴（____________________）． 又∵（已知），∴（____________________）． 在中，（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质），∴（垂直的定义）． (2)如图②，若的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图③，若为上一点，交于点，，，，连接，求的面积． 【答案】(1)直角三角形两锐角互余；等量代换 (2)证明见解析 (3)9 【知识点】三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余以及三角形内角和定理填空即可； （2）利用等角的余角相等求出，然后根据对顶角相等可得，等量代换即可证明； （3）利用等高的两个三角形面积的比等于底的比，求得，，可得，连接，设，利用上述的结论和方法，列出方程，即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ∵（已知）， ∴（直角三角形两锐角互余）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． 在中，（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质）， ∴（垂直的定义）． 故答案为：直角三角形两锐角互余；等量代换； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 连接，    设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形内角和定理，等高的两个三角形面积的比等于底的比，灵活运用“等高的两个三角形面积的比等于底的比”是解题的关键． 题型五：三角形三线综合计算 23．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）如图所示，在中，平分，是高，，，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与三角形的高有关的计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．由平分，是高线，，可得，，则，根据外角的性质求的度数即可． 【详解】解：平分，是高线，， ，， ， ． 24．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的高，平分，求的度数．    【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和性质，三角形外角性质，先根据是边上的高，，求出，结合，得，因为平分则，最后结合三角形内角和为进行列式，即可作答． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ∵，且， ∴， ∵平分 ∴， ∴． 25．（23-24八年级上·安徽六安·期中）在中，，垂足为，平分．已知，；求的度数． 【答案】的度数为或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形内角和定理、角平分线性质等知识，分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，作出图形，利用三角形内角和定理、角平分线性质进行求解，是解决问题的关键． 【详解】解：当在左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当在右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 26．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，与分别是的角平分线和高．    (1)已知，，求度数； (2)探究：小明认为如果只知道，也能得出的度数，你认为可能吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）由三角形内角和定理得度数，再根据角平分线定义得到，根据得，然后利用进行计算即可； （2）结合，由三角形内角和定理得度数，再根据角平分线定义得到，根据得，然后利用进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ，， ， ； （2）能，理由如下： ， ， 平分， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解答本题的关键． 27．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是高，是角平分线，且．    (1)若，，求，的度数； (2)若，直接写出此时的度数． 【答案】(1)， (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、与三角形的高有关的计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形高线、角平分线的定义； （1）先根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，再根据三角形外角的性质求出，然后可得的度数； （2）先根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，再表示出，然后可得的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵是高，即， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 28．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，为AB边上的高，平分，分别交，于点F，E． (1)若，求的度数； (2)与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)10° (2)相等，理由见解析 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形角平分线、中线和高的有关知识． （1）根据直角三角形的性质得出∠CBE，进而利用角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可， （2）题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）如下图： ∵， ∴， ∵， ∴, 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 29．（21-22八年级上·安徽合肥·期中）如图1，在中，、是、的平分线；    (1)填写下面的表格 的度数 的度数 (2)试猜想与之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图2，的高、交于O点，试说明图中与的关系． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据三角形内角和定理，求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义进行计算即可； （2）由（1）中的求法，进行计算即可； （3）根据四边形的内角和以及平角的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：当时， ∵、是、的平分线， ∴，， 在中， ； 当时， ； 当时，即， 解得； 故答案为：，，； 补充表格如下： 的度数 的度数 （2）解：，理由如下： ∵、是、的平分线， ∴，， 在中， ； （3）解：∵四边形的内角和为， ∴， ∵、是的高， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，三角形高线，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形内角和为． 30．（21-22八年级上·安徽六安·期中）中，是的角平分线，是的高． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，，由的计算结果，你能发现与的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明； (3)如图3，，延长到点，和的角平分线交于点、请直接写出的度数______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得的度数，利用三角形的高线可求得度数，进而求解即可得出结论； （2）根据（1）的推理方法可求解、、的数量关系； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1），，， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ， ； （2）， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ， 即； （3）∵， ∴ ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∴ 是的角平分线， ∴ ∵是的角平分线 ∴ 中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线等知识的综合运用，掌握以上基础知识是解本题的关键． 31．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质以及三角形高线的性质，解题的关键是利用这些性质求出相关角的度数，进而找出角之间的关系． （1）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线性质求出，根据直角三角形性质求出，最后得出． （2）根据（1）的计算结果进行归纳猜想． （3）同样先求出相关角的度数，再验证猜想是否成立． 【详解】（1）在中，已知，则， 是的平分线， ． 是边上的高线， ， 在中， ， ； （2）猜想：，证明如下： ，， ∴； （3）当是钝角时，上述猜想成立， 设． 根据三角形内角和定理，， 是的平分线， 是边上的高线， ， 在中， 所以当是钝角时，上述猜想仍然成立． 32．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，为的角平分线，为的高，点E为的中点． (1)若，求的度数； (2)若的面积为15，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的三线，三角形的内角和与三角形的外角： （1）三角形的外角求出的长，利用三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据三角形的中线平分面积结合三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的高， ∴， ∴； （2）∵点E为的中点， ∴为的中线， ∴， ∵， ∴． 33．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，分别为的中线和高，为的平分线，分别交于点E，G． (1)若，，求的度数． (2)若的面积为40，，求的长． 【答案】(1) (2)3.5 【知识点】角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义． （1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数； （2）根据中线求出，由面积求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：， ． 平分， 为的高， ， ； （2）解：为的中线，， ， ， ． 34．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，分别是的高线、角平分线和中线． (1)有下列结论：①；②；③；④与互余．其中正确的是_______（填序号）． (2)若，求的度数． 【答案】(1)②③④ (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、根据三角形中线求面积、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）依据分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出 ，，，据此分别判断各选项即可； （2）先根据三角形的内角和求出，通过外角求出，再利用角的关系计算即可． 【详解】（1）解：∵分别是的高线，角平分线和中线， ∴，故①错误； ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∴，与互余，故④正确； 故答案为：②③④； （2）解：∵分别是的高线，角平分线和中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键． 35．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线， (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是________（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)②③④ (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键． （1）依据分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出 ， ，，据此分别判断各选项即可； （2）先根据三角形的内角和求出，然后分别求出和，再利用角的和差计算即可； （3）根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系． 【详解】（1）解：∵，，分别是的高线，角平分线，中线， ∴ ， ，， 而不一定成立，故①不正确，②正确； ∴， ∴，即与互余，④正确； ∴，, ∴，③正确； 综上所述，正确的是：②③④， 故答案为：②③④； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴； （3）解：， 理由：在中，，分别是的高和角平分线， ，，， ． 36．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为　　　　； (2)若，是高，求的度数； (3)若是角平分线，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义及三角形高的定义和中线的性质． （1）由是中线，可得，再分别求出与的周长，再求差即可； （2）根据是高，可得，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质即可求解； （3）先利用三角形内角和定义求得，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：1； （2）解：∵是的高， ∴， ∵，是的角平分线， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形中线、高线、角平分线的应用 题型一：三角形的中线与周长 题型二：三角形的中线与面积 题型三：等积法的应用 题型四：与三角形的高有关的计算问题 题型五：三角形三线综合计算 题型一：三角形的中线与周长 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成55和45两部分，求和的长．    2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，的周长为24，，边上的中线，的周长为16，求的长． 3．（23-24八年级上·安徽六安·期末）在中，，是中线，若周长与的周长相差，求． 4．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长少，且与的和为． (1)求的长； (2)求的取值范围． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在中，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为17，求的周长． 7．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，是的中线，是的中线.      (1)若，求的长； (2)若的周长为，，且与的周长差为，求的长. 题型二：三角形的中线与面积 8．（22-23八年级上·安徽宣城·期末）如图，的两条中线、相交于点O，已知的面积为18，的面积为3，求四边形的面积． 9．（23-24八年级上·安徽宣城·期中）如图，在中，E是中线的中点，的面积是1，求的面积． 10．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，点为上一点，过点作于点． (1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长． 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 12．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）已知的面积为S，根据下列条件完成填空. 图1                    图2                            图3 (1)是的边BC上的中线，如图1，则的面积为 （用含S的式子表示，下同）； 是的边上的中线，如图2，则的面积为 ； 是的边上的中线，如图3，则的面积为 ；…… (2)在图2022中，是的边上的中线，则的面积为 . 13．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点D是边上的中点，连接．求证： ． 证明：过点A作于E， ∵点D是边上的中点， ∴， ∵， ∴． 【拓展探究】 （1）如图2，在中，点D是边上的中点，若，则_____； （2）如图3，在中，点D是边上的点，且，求的值； 【问题解决】 （3）现在有一块四边形土地，如图4，甲、乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形的面积． （要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．） 题型三：等积法的应用 14．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，是边上任意一点，于点，于点，为的高线，，求的值．    15．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知，是边上的中线，且，若的边上的高为2，的边上的高为4，求的长． 16．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知和是的两条高线，，交于点O．    (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 17．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图所示，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，， (1)求、的度数． (2)若．求与长度之比． 18．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，和是的两条高线且相交于点O． (1)已知，求的度数； (2)若，，求的值． 题型四：与三角形的高有关的计算问题 19．（22-23八年级上·安徽宣城·期中）如图，在 中， 、 分别是边 上的中线和高，cm，，求 的长． 20．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在与中，与相交于点E，交于点F． (1)中边上的高是___________；中边上的高是___________； (2)若，，，求的面积． 21．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，分别是的高，已知． (1)请画出的高和； (2)求的面积； (3)若，求的长． 22．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，是上一点，且．    (1)求证：； 证明：在中，∵（已知），∴（____________________）． 又∵（已知），∴（____________________）． 在中，（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质），∴（垂直的定义）． (2)如图②，若的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图③，若为上一点，交于点，，，，连接，求的面积． 题型五：三角形三线综合计算 23．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）如图所示，在中，平分，是高，，，求的度数． 24．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的高，平分，求的度数．    25．（23-24八年级上·安徽六安·期中）在中，，垂足为，平分．已知，；求的度数． 26．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，与分别是的角平分线和高．    (1)已知，，求度数； (2)探究：小明认为如果只知道，也能得出的度数，你认为可能吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 27．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是高，是角平分线，且．    (1)若，，求，的度数； (2)若，直接写出此时的度数． 28．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，为AB边上的高，平分，分别交，于点F，E． (1)若，求的度数； (2)与相等吗？请说明理由． 29．（21-22八年级上·安徽合肥·期中）如图1，在中，、是、的平分线；    (1)填写下面的表格 的度数 的度数 (2)试猜想与之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图2，的高、交于O点，试说明图中与的关系． 30．（21-22八年级上·安徽六安·期中）中，是的角平分线，是的高． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，，由的计算结果，你能发现与的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明； (3)如图3，，延长到点，和的角平分线交于点、请直接写出的度数______． 31．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 32．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，为的角平分线，为的高，点E为的中点． (1)若，求的度数； (2)若的面积为15，，求的长． 33．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，分别为的中线和高，为的平分线，分别交于点E，G． (1)若，，求的度数． (2)若的面积为40，，求的长． 34．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，分别是的高线、角平分线和中线． (1)有下列结论：①；②；③；④与互余．其中正确的是_______（填序号）． (2)若，求的度数． 35．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线， (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是________（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，直接写出与之间的数量关系． 36．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为　　　　； (2)若，是高，求的度数； (3)若是角平分线，求的度数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$