精品解析：湖南省永州市2026届高三第一次模拟考试数学试题

永州市2026年高考第一次模拟考试 数学 命题人：陈小平（永州四中） 文治平（永州一中）唐首佳（宁远一中） 杜兴伟（永州二中） 审题人：席俊雄（永州市教科院） 注意事项： 1.全卷满分150分，时量120分钟. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 3.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集定义计算求解. 【详解】因为集合，， 则； 故选：B． 2. 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ） A. B. 10 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求得复数，然后利用复数的乘法运算即可. 【详解】所对应的点关于虚轴对称，, , 故选：A. 【点睛】本题考查复数的几何意义和复数的乘法运算，属基础题.关于虚轴对称的两点对应的复数虚部相同，实部互为相反数. 3. 下列函数中既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐项判断函数的奇偶性和单调性即可. 【详解】对于A：函数为奇函数，在上单调递减，不符合； 对于B：函数为偶函数，不符合； 对于C：函数为奇函数，在和分别单调递增，但在整个定义域上不具有单调性，不符合； 对于D：函数为奇函数，在上单调递增，符合题意. 故选：D 4. 2025年“九三”阅兵活动中，官兵步伐高度一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为.将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的平移求解即可. 【详解】由题意，可得. 故选：C. 5. 已知等差数列的前n项和为，公差，若，且，，成等比数列，则（ ） A. 30 B. 32 C. 36 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式可得，再由等比中项可得，两式联立可得和，然后求出数列的通项可得. 【详解】由，即， 又，，成等比数列，则， 即，得， ， , . 故选：. 6. 的展开式中，的系数为（ ） A 80 B. 40 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项，其为， 故的系数为. 故选：D 7. 已知函数，直线与函数的图象相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出切点坐标，对函数求导，根据导数的几何意义得到方程，根据切点既在曲线上又在直线上得到方程，两边取对数得到，联立方程，解出，结合即可解得. 【详解】设直线与函数相切于点， 因为，所以， 根据导数的几何意义有， 因为点在直线上，所以， 因为点在曲线上， 所以， 所以有， 所以，即，， 对两边取对数有，，即， 将代入，有，解得， 又因为，所以. 故选：B 8. 已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】分别求得圆心到直线，的距离，由可求解. 【详解】设动圆的圆心坐标为， 圆心到直线：的距离为， 圆心到直线：的距离为， 又动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，， 所以，即， 化简得，所以圆心M的轨迹为双曲线， 故选： 二、多项选择题：本题共小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 在长方体中，，，，M为上一动点，N是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线与平面的夹角是 C. 直线平面 D. 三棱锥的体积是10 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项利用平面与平面平行的性质进行判断；B选项利用长方体的特征找到直线与平面所成的角即可求解；C选项利用反证法可得到结论；D选项直接利用三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】 对于A选项，在长方体中，平面平面， 平面，平面，故A正确； 对于B选项，连接，在长方体中，平面， 是直线与平面所成的角， 在直角三角形中，，，， ，，，故B错误； 对于C选项，假设直线平面，连接， 平面，， 又在长方体中，平面，平面， ，，平面， 平面，平面，， 而在矩形中，，， 则与不垂直，矛盾，故C错误； 对于D选项，，，， 在长方体中，平面，即平面， 则点到平面的距离即为点到平面的距离， 三棱锥的高为， 三棱锥的体积为，故D正确. 故选：AD. 10. 若实数x，y满足，则下列选项一定正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】用特例说明A是错误的，根据不等式的性质，结合完全平方公式，可判断B的真假；利用点到直线的距离公式可判断C的真假；根据绝对值不等式的性质，可判断D的真假. 【详解】对A：当，时，满足，但，则不成立，故A错误； 对B：因为，所以，所以，故B正确； 对C：设，其中，， 则，故C正确； 对D：因为， 因为，，所以，所以成立，故D正确. 故选：BCD 11. 下列关于函数的说法，正确的有（ ） A. 若，则 B. 当时，的图象不经过第三象限 C 若有三个零点，，，则 D. 若有且只有一个正方形的四个顶点在函数图象上，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的对称性可判断A选项，根据导数判断函数单调性，进而可确定函数图象情况，即可判断B选项，根据函数零点式，化简，使其与原函数对应项相等，即可判断C选项，结合三次函数对称性，及正方形性质，设点坐标，即可判断D选项. 【详解】由已知，则， 即， 即函数图象关于点中心对称， A选项：，即，则，A选项正确； B选项：由已知，则， 又，，解得，， 易知函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以函数在时取得极小值为， 又，则，所以， 即，函数不经过第三象限，B选项正确； C选项：若有三个零点，，， 由题意可设 又， 所以，即，C选项错误； D选项：由函数的对称性及正方形的对称性可知，若有且只有一个正方形的四个顶点在函数图象上，则正方形的对称中心为， 设该正方形的顶点依次为，，，， 则，， 由正方形性质可知，， 又， ， ， ， 则，即①， ，即，即， 代入①中可得， 又，可设， 则，即， 又有且只有一个正方形满足题意，即方程有且只有一个正解， 即，解得， D选项正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，均为单位向量，且，则与的夹角等于_____. 【答案】 【解析】 【分析】由数量积的运算律及计算公式求解. 【详解】由，均为单位向量，可得，设与的夹角为， 所以，解得， 由，所以. 故答案为：. 13. 在中，，，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据余弦定理得到，再结合题设及椭圆的定义可得，，进而求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 则，即， 由于椭圆以A，B为焦点，则，即， 又椭圆经过点C，所以，则，即， 所以该椭圆的离心率. 故答案为：. 14. 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为，，，则事件”发生的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先计算事件总数，因为，得到，然后看不同的大小组合，最后排序计算符合条件的总数，然后计算概率即可. 【详解】所有投掷结果共有种， 由，不妨设， 则， 事实上，对于其他排序可得类似结果，则 所以 我们不妨设，则，还有一个数为 显然， 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 所以一共有种； 故事件“”发生的概率为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求； （2）若，面积为，求c. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦的二倍角公式及同角三角函数基本关系式即可求解； （2）利用三角形的面积公式结合余弦定理即可得解. 【小问1详解】 ，， ，又， ，即，解得或， ，，； 【小问2详解】 由（1）知，且，，， 面积为，，， 由余弦定理得，， ，. 16. 如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）. （1）证明：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线面垂直，需证明直线与平面内两条相交直线垂直； （2）先根据二面角的大小确定相关线段的关系，再通过建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值，最后求其最大值. 【小问1详解】 因为 平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，平面，所以平面. 【小问2详解】 由平面，得，故 ， 设 ，以为原点，为轴，为轴，平面内过作 的垂线为轴，建立坐标系， 各点坐标：， 设，则， 直线的方向向量： ， 平面的法向量：由（1）知 ， 设直线与平面所成角为，则：， 令，其对称轴为，此时， 代入得. 17. 在一套高中数学试卷中有三道多选题，且每题有4个选项，至少2个正确选项，不会出现4个正确选项，全部选对得6分，选错得0分.若正确答案有2个选项，选对1个得3分：若有3个选项，选对1个得2分，选对2个得4分.已知每道多选题的正确选项为2个与3个的概率都是，学生甲在做第三道多选题时不能确定任何选项的正误. （1）若学生甲做第三道多选题时随机选择3个选项，求他得6分的概率； （2）学生甲做第三道多选题时随机选择1个选项的得分记为X，随机选择2个选项的得分记为Y，随机选择3个选项的得分记为Z，试比较，，的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式即可求解. （2）先得到的可能取值，再根据古典概率公式，全概率公式计算出各个取值对应的概率，最后根据数学期望公式计算即可. 【小问1详解】 设学生甲做第三道多选题时随机选择3个选项，得6分为事件， 得6分当且仅当正确选项为3个且学生恰好选中这3个.正确选项为3个的概率为， 在此情况下，从4个选项中随机选择3个，选对的概率为，故所求概率. 【小问2详解】 由题意的可能取值为，， ，， 所以， 的可能取值为，， ，， 所以， 的可能取值为，，， 所以， 故. 18. 抛物线的焦点为，上纵坐标为的点到的距离为.对每个正整数，是上的点且在第一象限，过焦点的直线交于另一点. （1）求抛物线方程； （2）求证：； （3）取，并记为上分别以与为切点的两条切线的交点，求的值（用含的式子表示）. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义，结合已知点纵坐标，建立关于的方程，求解即可得； （2）设过焦点的直线方程，代入抛物线方程，得到关于的一元二次方程，再利用韦达定理计算即可得； （3）先借助导数的几何意义计算出点、为切点的两条切线方程，从而求出，再借助两点间距离公式与等比数列求和公式计算即可得. 【小问1详解】 设该点坐标为，则，且，则 则，化简得， 解得或，又，则， 即； 【小问2详解】 ，设直线的方程为， 联立，则有，恒成立， 则，即得证； 【小问3详解】 由在第一象限，则在第四象限， 则点在函数上，， 则抛物线上以为切点的切线为， 又，则， 点在函数上，， 则抛物线上以为切点的切线为， 又，则， 令，解得，即， 由、，则，， 即， 则， 故 . 19. 已知函数. （1）若，求实数的取值范围； （2）证明：； （3）若函数在时有最小值，求正实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数法求单调性，利用单调性得到极大值也最大值，利用最大值小于0得到所求； （2）通过构造函数，利用单调性得到证明； （3）由在时有最小值，通过构造函数，利用单调性，通过分类讨论求出的范围. 【小问1详解】 由题可得的定义域为，， 当时，恒成立，单调递增，且，故不符题意， 当时，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取到极大值也是最大值为， 由可得即可，解得， 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 设，其中. 则， 故在上均为增函数，故， 故在上恒成立， 而当时，，当时，， 故在为减函数，在上为增函数，故， 故，故， 所以. 【小问3详解】 函数， 令，， 若即，在上存在零点， 故在上有最小值0. 若，则， 设，则， 当即时，即在单调性递减， 而，在上恒成立，故在在上为减函数， 故， 故在上无最小值. 若，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故，而， 若，则，故在上恒成立， 故在上为增函数，而，， 故此时在上无最小值. 若，则， 故在上存在零点，当时，， 当时，，故在上为增函数，在为减函数， 故. 若，则，此时，符合题意； 若，则，故在存在零点，故，符合题意. 综上，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永州市2026年高考第一次模拟考试 数学 命题人：陈小平（永州四中） 文治平（永州一中）唐首佳（宁远一中） 杜兴伟（永州二中） 审题人：席俊雄（永州市教科院） 注意事项： 1.全卷满分150分，时量120分钟. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 3.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ） A. B. 10 C. D. 8 3. 下列函数中既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 4. 2025年“九三”阅兵活动中，官兵步伐高度一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为.将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前n项和为，公差，若，且，，成等比数列，则（ ） A. 30 B. 32 C. 36 D. 40 6. 的展开式中，的系数为（ ） A 80 B. 40 C. D. 7. 已知函数，直线与函数的图象相切，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 二、多项选择题：本题共小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 在长方体中，，，，M为上一动点，N是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线与平面夹角是 C. 直线平面 D. 三棱锥的体积是10 10. 若实数x，y满足，则下列选项一定正确的有（ ） A B. C. D. 11. 下列关于函数的说法，正确的有（ ） A. 若，则 B. 当时，的图象不经过第三象限 C. 若有三个零点，，，则 D. 若有且只有一个正方形的四个顶点在函数图象上，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，均为单位向量，且，则与的夹角等于_____. 13. 在中，，，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率_____. 14. 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为，，，则事件”发生的概率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求； （2）若，面积，求c. 16. 如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）. （1）证明：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 17. 在一套高中数学试卷中有三道多选题，且每题有4个选项，至少2个正确选项，不会出现4个正确选项，全部选对得6分，选错得0分.若正确答案有2个选项，选对1个得3分：若有3个选项，选对1个得2分，选对2个得4分.已知每道多选题的正确选项为2个与3个的概率都是，学生甲在做第三道多选题时不能确定任何选项的正误. （1）若学生甲做第三道多选题时随机选择3个选项，求他得6分的概率； （2）学生甲做第三道多选题时随机选择1个选项的得分记为X，随机选择2个选项的得分记为Y，随机选择3个选项的得分记为Z，试比较，，的大小. 18. 抛物线的焦点为，上纵坐标为的点到的距离为.对每个正整数，是上的点且在第一象限，过焦点的直线交于另一点. （1）求抛物线的方程； （2）求证：； （3）取，并记为上分别以与为切点两条切线的交点，求的值（用含的式子表示）. 19. 已知函数. （1）若，求实数的取值范围； （2）证明：； （3）若函数在时有最小值，求正实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $