期末专题04 圆的八类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上学期

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题04圆的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用圆心角、圆周角求角 类型二、利用圆的性质求线段长 类型三、圆与正多边形问题 类型四、求孤长、扇形的面积 类型五、圆中的几何证明问题 类型六、圆中无刻度直尺作图问题 类型七、证明某线是圆中切线 类型八、圆中类比探究问题 压轴专练 典例详解 类型一、利用圆心角、圆周角求角 1.抓定理关联，建等量关系 紧扣核心定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，直径所对的圆周角为直角。解题时 先定位同弧/等弧，梳理圆心角与圆周角的数量关系，快速转化角度条件。 2.构辅助线，破解题难点 遇无明确弧、角关联时，可作直径、连接半径等辅助线，构造同弧所对的圆心角或圆周角，将分散的角 度条件集中，结合三角形内角和、外角性质完成计算或证明。 例1.(25-26九年级上全国期末)如图，A,B,C是⊙0上的三点，∠ACB=30°，则∠A0B的度数为( A.60° B.50° C.45° D.30° 【变式1-1】(24-25九年级上云南红河期末)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，连接OA,0C, 若∠ADC=43°，则∠A0C的度数是() 1/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.43° B.47% C.57 D.86 【变式1-2】(25-26九年级上全国期末)如图，AB是⊙0的直径，点C,D,E在⊙0上，若∠C=100°， 则∠E的度数为 D 【变式1-3】(24-25九年级下.全国期末)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是△ABC的内切 圆，连接AD,BD,则∠ADB的度数为 B 类型二、利用圆的性质求线段长 1.抓核心条件，建直角三角形模型 紧扣垂径定理核心：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。解题时先定位直径与弦的垂直关系， 连接圆心与弦的端点构造半径，形成直角三角形，利用勾股定理建立边长等量关系。 2.补辅助线，转化隐含条件 遇弦长、半径、弦心距相关计算但无垂直条件时，可作圆心到弦的垂线，或过弦中点作直径，补全垂径 定理的应用条件，将分散的线段长度转化到直角三角形中求解。 例2.(25-26九年级上全国期末)如图，在00中，半径0C1AB于点D.已知OC=5,OD=4,则弦AB的 长为() 2/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.4 C.5 D.6 【变式2-1】(24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国 古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以 轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8m,则筒车工作时，盛 水桶在水面以下的最大深度是() 水面4 图1 图2 A.3m B.2m C.4m D.2.5m 【变式2-2】(25-26九年级上·全国期末)如图，PAB是00的割线，P0和它的延长线分别交⊙0于C和 D,如果PA=6em,4B=7兮cm,P0=12cm,那么00的半径长为 cm D O 【变式2-3】(25-26九年级上陕西西安·月考)如图，AB是⊙0的直径，CD=CB,CE1AB于点E,连 接BD交CE于点F. B (I)求证：CF=BF. (2)若CD=2,AC=4,求弦BD的长. 3/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、圆与正多边形问题 1.抓核心关联，建等量模型 紧扣正多边形的外接圆、内切圆性质，明确圆心是正多边形的中心，外接圆半径为正多边形的半径，内 切圆半径为边心距，利用半径、边心距、边长的一半构成直角三角形，结合勾股定理计算边长、周长或 面积。 2.用角度关系，破计算难点 先算出正n边形的中心角为/360°，再结合等腰三角形性质求内角或外角，遇不规则组合图形时，可分 割成多个三角形或扇形，利用面积和差思想求解。 例3.(24-25八年级下·上海期末)边长为2的等边三角形的边心距是() A. 3 B.5 C.25 D.25 3 【变式3-1】(23-24九年级上安徽合肥期末)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,点F在弧AE上.若 ∠FCD=70°，则∠FDC度数为() AF E A.64° B.72 C.74° D.80° 【变式3-2】(23-24九年级上·河南平顶山期末)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,边长AB=2,则 aB的长为」 D 【变式3-3】(25-26九年级下·全国期末)在圆内接正六边形ABCDEF中，AC,EC分别交BD于点H,G. 8 B ② 4/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图①，求证：点H,G三等分BD; (②)如图②，过点0作AC的垂线，垂足为K,以点0为圆心，0K的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写 作法) (3)在(2)所作图形中，求证：CE是所作圆的切线. 类型四、求弧长、扇形的面积 1.记准公式，抓关键参数 牢记弧长公式1=n180、扇形面积公式S扇形=DR2360-12R,解题时先锁定圆心角度数n 和半径r两个核心参数，通过已知条件（如弦长、弦心距）求出参数后代入公式计算。 2.用转化思想，解组合图形 遇阴影面积等综合题时，将不规则图形转化为扇形、三角形、矩形等规则图形的和或差，利用割补法拆 分图形，分别计算各部分面积后再整合求解。 例4.（25-26九年级上河南安阳·期末)汽修工发现皮带轮上点A逆时针旋转时，点B随之向上移动.己知 皮带轮半径为8cm，当点A转过的度数为45°时，点B上升了() A.2πcm B. 27cm C.3πcm D. 【变式4-1】(25-26九年级上江苏泰州期末)在00中，BC的长与00的直径的比为二π，则BC所对的 圆周角的度数为() A.30 B.60° C.120° D.180° 【变式4-2】(24-25九年级上·江苏盐城期末)学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制 作了一把扇形纸扇.如图，OA=15cm,OB=5cm,纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计） 的夹角∠AOC=120°，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为cm2, B D 【变式4-3】(24-25九年级上·重庆·期末)如图，己知ABC为等腰直角三角形，AC=BC=8厘米，以C 5/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为圆心，8厘米为半径画弧，以BC为直径作半圆，那么阴影部分的面积是平方厘米。 8厘米 B 8厘米 类型五、圆中的几何证明问题 1.善用圆的核心性质 遇圆周角优先联想“同弧所对圆周角相等”“直径所对圆周角为直角”；遇切线立刻连接圆心与切点，构 造垂直关系；涉及弦则用垂径定理，结合勾股定理或三角函数建立线段关系。 2.构造辅助线转化图形 无现成全等、相似三角形时，常作直径、半径、弦心距，或连接弧的端点，将分散条件集中；证四点共 圆可通过“对角互补”“外角等于内对角”等特征转化角度关系。 例5.(23-24九年级上河南平顶山期末)如图，0M是⊙0的半径，过M点作O0的切线AB,且 MA=MB,OA,OB分别交OO于点C,D,求证：AC=BD. M B 【变式5-1】(24-25九年级下·全国期末)如图，已知在00中，AC=CE. (1)求证：C0⊥AE; (2)CD⊥直径AB于点D,若BD=1,AE=4,求OO的半径. 【变式5-2】(24-25九年级上·安徽蚌埠期末)如图，⊙0与ABC的边BC相切于点D,与边AB,AC分 别相交于点P,Q,连接AD,PD 6/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图1 图2 (I)求证：LAPD=∠ADC; (2)如图2，若AD平分∠PAQ,连接P2,求证：PQ∥BC· 【变式5-3】(24-25九年级上·全国期末)如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上不与A,B重合的 一个动点，连接CA、CB,点D是过点C的切线上的一点，连接AD交半圆O于点E,且∠ADC=90°， CF⊥AB于点F. D O F (I)求证：DE=BF. (2)若CD=4,AD=6,求半圆O的半径. 类型六、圆中无刻度直尺作图问题 1.依托圆的核心性质定关键点 利用圆心、直径、切线、圆周角等性质找定点，如过圆上一点作切线，可借助直径所对圆周角为直角， 连接该点与直径端点构造直角确定切线方向；遇弦中点可结合圆心与弦的连线垂直于弦来定位。 2.借助图形交点转化作图目标 无刻度直尺只能作直线或射线，需通过圆与直线、直线与直线的交点转化需求，如作角平分线可构造等 弧对应的弦，利用弦的交点连线得到角平分线；作线段中点可借助圆的对称性找交点确定中点位置。 例6.(24-25九年级上江西赣州期末)如图，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹 (用虚线表示画图过程，实线表示画图结果) B ) 图① 图② (1)如图①，ABC内接于⊙O,D是劣弧BC的中点，画出ABC的中线AE: 7/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图②，BC是O0的直径，A是O0内一点，画出ABC的高AD. 【变式6-1】(25-26九年级上·江苏南京月考)如图，AB是⊙0的一条弦. B 图① 图② (I)如图①，只用无刻度的直尺作弦CD,使AB=CD; (2)如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦CD,使AB=CD,且AB⊥CD. (要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明) 【变式6-2】(24-25九年级上山东滨州期末)如图，在边长为1的正方形网格纸上，以O为圆心，OA为 半径作圆，点O、A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹） ① ② (I)在图1中，①作AB的中点M: ②取格点C,使CB为OO的一条切线.（作出符合题意的一点即可） (②)在图2中，作直径AD,E为⊙0外任一点，过E作AD的垂线垂足为F 【变式6-3】(24-25九年级上·江西赣州期末)在△ABC中，以AB为直径作⊙O,请你根据下列条件仅用无 刻度的直尺画出∠ABC的平分线BP(不写作法，保留作图痕迹)， D 图1 图2 (1)如图1，AB=BC,⊙O与AC相交于点D: (2)如图2，点C在⊙O上，点D是AC的中点， 8/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型七、证明某线是圆中切线 1.连半径，证垂直 若直线与圆有已知公共点，连接圆心与该点得半径，证明半径与直线垂直即可。可通过计算角度（如证 夹角为90°)、利用全等/相似三角形、结合圆周角定理（如直径所对圆周角为直角）等方法推导垂直关 系。 2.作垂直，证半径 若直线与圆的公共点未知，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长度等于圆的半径。常用勾股定理计算 线段长度，或借助平行线、等腰三角形性质推导垂线段与半径相等。 例7.(25-26九年级上西藏拉萨期末)如图，BD是O0的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙0上， BC⊥AE,交AE的延长线于点C,BC交OO于点F,且点E是DF的中点. D (I)求证：AC是O0的切线： (2)若∠CBD=60°，BE=6,求BC的长 【变式7-1】(25-26九年级上·辽宁抚顺期末)如图，⊙0是ABC的外接圆，且AB=AC.连接BO并延 长交OO于点D,过点A作AE⊥BD,垂足为点E.点F在BD的延长线上，连接AF,使∠FAE=2∠ABD B (1)求证：AF与⊙0相切； (2)若DE=1,BC=6,求⊙0的半径. 【变式7-2】(25-26九年级上四川凉山期末)如图，AB是O0的直径，AC是00的弦，延长BC至D, AB=AD,过C作CE⊥AD交AD于点E. 9/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：CE是⊙0的切线； (2)连接BE,若∠ECD=30°，⊙0的半径为2时，求BE长. 【变式7-3】(24-25九年级上河北张家口期末)如图，在ABC中，以边AC上一点O为圆心，OA为半 径作⊙O,与AB相切于点A,作CD⊥BO交BO的延长线于点D,且∠CBD=∠DC0. D A (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若AB=5,BC=13,则⊙O的半径是 类型八、圆中类比探究问题 1.提炼基础模型，明确不变关系 分析第一问的图形结构与证明思路，提炼核心模型（如圆周角模型、切线模型、全等/相似模型），锁定圆 的性质（如弧、弦、角的等量关系）、垂直关系等不变要素，作为后续类比的依据。 2.迁移思路方法，调整变量差异 对比后续问题与基础模型的图形变化（如点的位置、线段的长短、角的大小），迁移第一问的解题步骤， 针对变化的条件调整证明方法，验证结论是否延续或需修正，确保逻辑一致。 例8.(23-24九年级上山东威海期末)阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明 经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的 过程： E B 图1 图2 图3 图4 10/17 期末专题04 圆的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用圆心角、圆周角求角 类型二、利用圆的性质求线段长 类型三、圆与正多边形问题 类型四、求弧长、扇形的面积 类型五、圆中的几何证明问题 类型六、圆中无刻度直尺作图问题 类型七、证明某线是圆中切线 类型八、圆中类比探究问题 压轴专练 类型一、利用圆心角、圆周角求角 1. 抓定理关联，建等量关系 紧扣核心定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，直径所对的圆周角为直角。解题时先定位同弧/等弧，梳理圆心角与圆周角的数量关系，快速转化角度条件。 2. 构辅助线，破解题难点 遇无明确弧、角关联时，可作直径、连接半径等辅助线，构造同弧所对的圆心角或圆周角，将分散的角度条件集中，结合三角形内角和、外角性质完成计算或证明。 例1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，A，B，C是上的三点，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，即可直接得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 【变式1-1】（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理． 根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵与所对的弧为同一弧， ∴， 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角为直角”是解题的关键.由为的直径，根据圆周角定理的推论得到，再根据角的和差及圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的性质与角平分线的性质，掌握“直径所对圆周角为直角、三角形内角和及角平分线的定义”是解题的关键．由是外接圆直径得，故；又是内切圆，平分，则，因此． 【详解】是的直径， ， ， 是的内切圆， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 类型二、利用圆的性质求线段长 1. 抓核心条件，建直角三角形模型 紧扣垂径定理核心：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。解题时先定位直径与弦的垂直关系，连接圆心与弦的端点构造半径，形成直角三角形，利用勾股定理建立边长等量关系。 2. 补辅助线，转化隐含条件 遇弦长、半径、弦心距相关计算但无垂直条件时，可作圆心到弦的垂线，或过弦中点作直径，补全垂径定理的应用条件，将分散的线段长度转化到直角三角形中求解。 例2．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，半径于点D．已知，则弦的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 由，利用垂径定理得到D为的中点，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由，即可求出的长． 【详解】解：∵中，于点D，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：D． 【变式2-1】（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键；过点作半径于，由垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后即可计算出的长． 【详解】解：过点作半径于，如图， ∴， 在中，， ∴， 故选B． 【变式2-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，是的割线，和它的延长线分别交于和，如果，，，那么的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的割线相关性质与勾股定理的应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理计算圆的半径． 通过作，结合垂径定理得到的长度，进而求出；再利用垂径定理先后求出（即圆的半径）． 【详解】解：如图，过作于点，连接， ∵是的弦， ， ， ， ． ∴的半径长为． 故答案为：8． 【变式2-3】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，是的直径，，于点E，连接交于点F． (1)求证：． (2)若，，求弦的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）要证明，可以证明；是的直径，则，又知，则，则，，则； （2）连接，交于点，先求出圆的半径，再利用勾股定理列方程求出的长，进而求得的长和的长． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 又， ， ， ， ； （2）解：连接，，交于点，则， ， ，， ，，， ， 的半径为， 设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得， ， ． 类型三、圆与正多边形问题 1. 抓核心关联，建等量模型 紧扣正多边形的外接圆、内切圆性质，明确圆心是正多边形的中心，外接圆半径为正多边形的半径，内切圆半径为边心距，利用半径、边心距、边长的一半构成直角三角形，结合勾股定理计算边长、周长或面积。 2. 用角度关系，破计算难点 先算出正n边形的中心角为n/360°，再结合等腰三角形性质求内角或外角，遇不规则组合图形时，可分割成多个三角形或扇形，利用面积和差思想求解。 例3．（24-25八年级下·上海·期末）边长为2的等边三角形的边心距是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设是边长为2的等边三角形，作的外接圆，圆心为点O，连接，作于点D，由，得，而，则，由，求得即可． 【详解】解：如图，是边长为2的等边三角形，作的外接圆，圆心为点O，连接，作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴边长为2的等边三角形的边心距是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查正多边形和圆、等边三角形的性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线是解题的关键． 【变式3-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正五边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，由正五边形的性质可得的度数，根据圆周角定理可得的度数，由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式3-2】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，正六边形 内接于，边长，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正六边形的性质，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，代入弧长公式即可求解，作出辅助线，判断出为等边三角形是解题的关键． 【详解】解：∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级下·全国·期末）在圆内接正六边形中，分别交于点． (1)如图①，求证：点三等分； (2)如图②，过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）所作图形中，求证：是所作圆的切线． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先由正六边形的性质、等腰三角形的性质得到相关角度，再由两个三角形全等的判定定理得到，则，进而由等边三角形的判定定理得到是等边三角形，由全等三角形性质及等边三角形性质即可得到，从而得证； （2）由尺规作图，过点作线段的垂直平分线即可得到答案； （3）过点作，垂足为，连接，如图所示，由切线的判定方法求证即可得到答案． 【详解】（1）证明：在圆内接正六边形中，，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴点三等分； （2）解：如图所示： 、即为所求； （3）证明：过点作，垂足为，连接，如图所示： 则， 由（1）知， ， ， ， 为所作圆的半径， 是所作圆的切线． 【点睛】本题考查圆与多边形综合，涉及圆的基本性质、圆内接正六边形性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、尺规作图-作垂直平分线、圆的切线的判定等知识，熟记圆与多边形相关性质是解决问题的关键． 类型四、求弧长、扇形的面积 1. 记准公式，抓关键参数 牢记弧长公式 l＝ 、扇形面积公式 S扇形＝＝lR ，解题时先锁定圆心角度数 n 和半径 r 两个核心参数，通过已知条件（如弦长、弦心距）求出参数后代入公式计算。 2. 用转化思想，解组合图形 遇阴影面积等综合题时，将不规则图形转化为扇形、三角形、矩形等规则图形的和或差，利用割补法拆分图形，分别计算各部分面积后再整合求解。 例4．（25-26九年级上·河南安阳·期末）汽修工发现皮带轮上点逆时针旋转时，点随之向上移动．已知皮带轮半径为，当点转过的度数为时，点上升了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求弧长，根据弧长公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，点上升了； 故选A． 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在中，的长与的直径的比为，则所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题的关键是根据弧长公式求圆心角，但要注意的是圆心角与圆周角的转化． 根据弧长与直径的比求出圆心角，再根据圆周角与圆心角的关系求解． 【详解】解：设的半径为，则直径， ∵的长与直径的比为， 即，解得． ∴所对圆周角为． 故选：A． 【变式4-2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可求解． 【详解】解：，， 山水画所在纸面的面积： ． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知为等腰直角三角形，厘米，以C为圆心，8厘米为半径画弧，以为直径作半圆，那么阴影部分的面积是 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，扇形面积的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 记直径的中点为O，根据等腰直角三角形的性质，得出厘米，，再根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，记直径的中点为O， ∵为等腰直角三角形，厘米， ∴厘米，， ∴ （平方厘米）． 故答案为： 类型五、圆中的几何证明问题 1. 善用圆的核心性质 遇圆周角优先联想“同弧所对圆周角相等”“直径所对圆周角为直角”；遇切线立刻连接圆心与切点，构造垂直关系；涉及弦则用垂径定理，结合勾股定理或三角函数建立线段关系。 2. 构造辅助线转化图形 无现成全等、相似三角形时，常作直径、半径、弦心距，或连接弧的端点，将分散条件集中；证四点共圆可通过“对角互补”“外角等于内对角”等特征转化角度关系。 例5．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，是的半径，过M点作的切线，且，， 分别交于点C，D，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查圆的切线性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线性质是解题的关键． 根据切线的性质得到，进而证得，结合证得，根据全等三角形的性质得到，从而得出结论． 【详解】证明：是的半径，过M点作的切线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式5-1】（24-25九年级下·全国·期末）如图，已知在中，． (1)求证：； (2) 直径于点D，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是垂径定理、全等三角形的判定和性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）延长交于点F，连接，证明，，即可求解； （2）由垂径定理可知，根据全等三角形的判定定理得出，故可得出的长，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点F，连接， ∵， ∴，且， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：设的半径为r， ∵，过圆心，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 【变式5-2】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，与的边相切于点，与边，分别相交于点，，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若平分，连接，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查切线的性质、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角的性质，熟练掌握切线的性质、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角的性质是解题的关键； （1）连接并延长，交于点E，连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）连接交于点F，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点E，连接，如图所示： ∴， ∴， ∵与的边相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2）证明：连接交于点F，如图所示： 由（1）可知：， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式5-3】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是半圆O的直径，点C是半圆O上不与A，B重合的一个动点，连接，点D是过点C的切线上的一点，连接交半圆O于点E，且，于点F． (1)求证：． (2)若，，求半圆O的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由切线的性质可得，可证，可证，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得； （2）的半径为r，通过证明，可得，，利用勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵是切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：设的半径为r， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴半圆O的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明是本题的关键． 类型六、圆中无刻度直尺作图问题 1. 依托圆的核心性质定关键点 利用圆心、直径、切线、圆周角等性质找定点，如过圆上一点作切线，可借助直径所对圆周角为直角，连接该点与直径端点构造直角确定切线方向；遇弦中点可结合圆心与弦的连线垂直于弦来定位。 2. 借助图形交点转化作图目标 无刻度直尺只能作直线或射线，需通过圆与直线、直线与直线的交点转化需求，如作角平分线可构造等弧对应的弦，利用弦的交点连线得到角平分线；作线段中点可借助圆的对称性找交点确定中点位置。 例6．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． (1)如图，内接于，是劣弧的中点，画出的中线； (2)如图，是的直径，是内一点，画出的高． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了无刻度的直尺画图，垂径定理推论，圆周角定理，三角形中线、高的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）如图，连接交于点，连接，线段即为所求； （）如图，延长交于，延长交于，连接，，延长交的延长线于点，作直线交于点，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图中，是劣弧的中点，则线段即为所求； 理由：∵是劣弧的中点， ∴垂直平分， ∴线段即为所求； （2）解：如图中，延长交于，延长交于，连接，，延长交的延长线于点，作直线交于点， 理由：∵是的直径， ∴， ∴，， ∴线段即为所求； 【变式6-1】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，是的一条弦． (1)如图，只用无刻度的直尺作弦，使； (2)如图，用无刻度的直尺和圆规作弦，使，且． （要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查圆周角定理、矩形的性质与判定、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质与判定、垂径定理是解题的关键． 连接、并延长，分别交于点、，连接，弦即为所求； 方法1、连接并延长交于点，连接，过点作交于点，，作弦，连接，弦即为所求； 方法2、过点作于点，作正方形，延长交于点，，弦即为所求． 【详解】（1）解：如下图所示， 连接、并延长，分别交于点、， 连接， ，且、互相平分， 四边形是矩形， ， 弦即为所求； （2）解：方法1：如下图所示， 连接并延长交于点， 连接，过点作交于点，， ， 作弦， 连接， 、为的直径， ， 在和中，， ， ， ， ， 又， ， ， 弦即为所求； 方法2：如下图所示， 过点作于点， 作正方形，则， 延长交于点，， ， 弦即为所求． 【变式6-2】（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在边长为1的正方形网格纸上，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，①作的中点M： ②取格点C，使为的一条切线．（作出符合题意的一点即可） (2)在图2中，作直径，E为外任一点，过E作的垂线垂足为F． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】1）①在正方形网格中，利用圆的对称性和网格线的特点来确定弧的中点；②依据切线的判定定理，找到与圆半径垂直且经过半径外端的直线，从而确定切点． （2）通过构造合适的线段，利用网格的特性找到与已知线段垂直的直线，确定垂足． 【详解】（1）解：①如图，点即为所求点； ②如图所示，点C即为所求； 由网格的特点可得， 又∵是的半径 ∴为的一条切线； （2）解：如图所示，连接交于点F即为所求； 由网格的特点可得， 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质、切线的判定以及垂直的作图，熟练掌握圆的对称性、切线的判定定理和网格的特性是解题的关键． 【变式6-3】（24-25九年级上·江西赣州·期末）在中，以为直径作，请你根据下列条件仅用无刻度的直尺画出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，，与相交于点D； (2)如图2，点C在上，点D是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查直径所对的圆周角是直角，同圆中等弧所对的圆周角相等，等腰三角形三线合一，根据相关定理寻求角之间的关系是解题的关键． （1）如图，连接，根据直径所对的圆周角是直角，得，根据等腰三角形三线合一，得，所以即为所求； （2）作射线交于点P，连接，利用垂径定理得到，即可得到，进而得到为的平分线． 【详解】（1）解：如图，连接，则平分，理由如下： ∵ 是直径， ∴， 又， ∴是等腰三角形， ∴（三线合一）， ∴即为所求； （2）解：作射线交于点P，连接即可，理由如下： ∵ 是直径， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为的平分线． 类型七、证明某线是圆中切线 1. 连半径，证垂直 若直线与圆有已知公共点，连接圆心与该点得半径，证明半径与直线垂直即可。可通过计算角度（如证夹角为90°）、利用全等/相似三角形、结合圆周角定理（如直径所对圆周角为直角）等方法推导垂直关系。 2. 作垂直，证半径 若直线与圆的公共点未知，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长度等于圆的半径。常用勾股定理计算线段长度，或借助平行线、等腰三角形性质推导垂线段与半径相等。 例7．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点C，交于点，且点是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则得，由弧相等得，得，得，即可证明； （2）由（1）得，从而求得，由勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了切线的判定，相等的弧对的圆周角相等，含30度角直角三角形的性质，勾股定理等知识． 【变式7-1】（25-26九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，是的外接圆，且．连接并延长交于点．过点作，垂足为点．点在的延长线上，连接．使． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得，进而可得，结合，证明即可； （2）连接，延长交于点，由等腰三角形三线合一，可得，，再证，推出，再用勾股定理解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接，延长交于点， ，， ，， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得．即的半径为5． 【变式7-2】（25-26九年级上·四川凉山·期末）如图，是的直径，是的弦，延长至D，，过C作交于点E． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，的半径为2时，求长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的证明及性质，切线的证明及性质，勾股定理以及含30度的直角三角形，能够正确作出辅助线是解题关键； （1）连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设交于，连接，根据三角形的内角和定理得到，推出是等边三角形，得到，，得到，进而求出，再根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ，， 是的中位线 ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设交于，连接， ∵的半径为2， ∴， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ∴， ，，， ， ，， ， ， ． 【变式7-3】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若A，，则的半径是__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定和性质． （1）过O点作于点E，推导出，然后根据角平分线的性质即可得到，证明结论； （2）先利用勾股定理求出长，然后利用全等三角形得到，然后再在中利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：过O点作于点E， ∵与相切于点A， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：． 故答案为：。 类型八、圆中类比探究问题 1. 提炼基础模型，明确不变关系 分析第一问的图形结构与证明思路，提炼核心模型（如圆周角模型、切线模型、全等/相似模型），锁定圆的性质（如弧、弦、角的等量关系）、垂直关系等不变要素，作为后续类比的依据。 2. 迁移思路方法，调整变量差异 对比后续问题与基础模型的图形变化（如点的位置、线段的长短、角的大小），迁移第一问的解题步骤，针对变化的条件调整证明方法，验证结论是否延续或需修正，确保逻辑一致。 例8．（23-24九年级上·山东威海·期末）阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程： 已知：在四边形中，． 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆．如图1，若点在圆外，设与圆相交于点，连接，则______，而已知，所以，而是的外角，，出现矛盾，故假设不成立，因此点在过三点的圆上． 如图2，若点在圆内，（请同学们补充完成省略的部分证明过程） 因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆． 学习任务： (1)材料中划线部分的结论是______，依据是______； (2)请将图2的证明过程补全； (3)如图3，在四边形中，，，，则的大小为______ (4)如图4，已知正方形的边长为6，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线相交于点．当点从运动到时，点也随之运动，求经过的路径长． 【答案】(1)，圆内接四边形对角互补 (2)见解析； (3)32 (4)点经过的路径为． 【分析】本题考查了对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，反证法，圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理． （1）根据材料得出结论，依据圆内接四边形对角互补； （2）同（1）利用反证法结合圆内接四边形对角互补证明即可； （3）利用题中结论，结合直径的性质及等腰三角形的性质即可求解； （4）连接连接，由勾股定理求出，由圆周角定理得出，点在上，当运动到点时，为的中点，即可求解． 【详解】（1）解：材料中划线部分的结论是：， 依据：圆内接四边形对角互补， 故答案为：，圆内接四边形对角互补； （2）证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆，如图2， 若点在圆内，设延长与圆相交于点，连接，则， ∵， ∴， ∴是的外角， ∴，出现矛盾，故假设不成立， ∴点在过三点的圆上； （3）解：∵， ∴过四边形的四个顶点能作一个圆，如图： ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：32； （4）解：连接如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四点共圆， ∴， ∴点在上， 当运动到点时，为的中点， ∴， ∴点经过的路径为． 【变式8-1】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）是的直径，，垂足为，点是弧上一动点（不与重合），与交于点． (1)求的度数； (2)若点在弧的中点处，求证：； (3)设． ①若，分别计算与的值，并判断它们的大小关系； ②若的值发生变化，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)135° (2)证明见解析 (3)①；②，理由见解析 【分析】（1）连接，如图所示，由是的直径，，得到，利用等腰直角三角形性质得到，再由圆周角定理求解即可得到答案； （2）连接，如图所示，由点在弧的中点，则，由圆周角定理得到，结合等腰直角三角形的判定与性质，得到，即可由等腰三角形判定与性质得证； （3）①在中，由勾股定理得到相关线段及角度，即可得到，再由含直角三角形性质、勾股定理求出，即可得到答案；②连接，连接，过点作，如图所示，由，判定是等腰直角三角形，进而由等腰直角三角形性质得到，再结合圆周角定理确定，从而由两个三角形全等的判定与性质得到，数形结合代入，即可得证． 本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、外角性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、含直角三角形性质、三角形全等的判定与性质等知识．熟练掌握圆的相关性质、掌握解题所需的几何性质与判定，并灵活运用是解决问题的关键． 【详解】（1）如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵点在弧的中点处， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （3）①∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴， ∴， 如图，过点作， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 则， ∴； ②，理由如下： 如图，连接，连接，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， 【变式8-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图：已知的直径，点为上一点，为的切线，是半径上任一点，过点作分别交、于、两点． (1)如图1，当P与圆心O重合时， ①求证：； ②若，求图中阴影部分的面积； (2)如图2，连接，当时，交于点，，求的长度． 【答案】(1)①见解析；② (2)2 【分析】（1）①根据直角和圆的切线的性质，得出，进而得到，再根据直角三角形两锐角互余和对顶角相等，得出，由等角对等边，即可证明结论； ②由圆周角定理，得出，进而得出，再由直角三角形的特征，得到，求得，再利用，即可得出答案； （2）连接与交于点，证明四边形为矩形，得到，由勾股定理，得出，利用平行线分线段成比例定理，得到，再由勾股定理，得出，进而即可求出的长． 【详解】（1）证明：①为直径， ， ， 为的切线，为半径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②， ， ， ， 直径， 半径， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ； （2）解：如图，连接与交于点， 为直径， ， ， ，， ，， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， ， 设，则 根据勾股定理得：， ． 【点睛】本题考查了圆的性质，直角三角形的特征，等腰三角形的判定和性质，扇形面积公式，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关知识点解决问题是解题关键． 【变式8-3】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，为上两动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，点在内，线段的延长线交于点，的平分线交于点，作于．连接． (1)求证： (2)如图，当点为中点时，求证：三点共线． (3)如图，若的半径为，连接，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（）连接，由题意可得，进而可得为等腰直角三角形，即得，再根据即可求证； （）连接、，由垂径定理的推论可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂线即可求证； （）连接，将绕点逆时针旋转得线段，连接，可证，得到，利用勾股定理得，进而根据三角形的三边关系得到即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 由旋转得，， ∵平分，      ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，   ∴， ∴， ∵，    ∴，    又∵， ∴，   ∴， 即； （2）证明：连接、， ∵是中点， ∴， 由（）知为等腰直角三角形， ∵点为底边中点， ∴， ∵过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴点三点共线； （3）解：连接，将绕点逆时针旋转得线段，连接，如图： ∴，   ∴， ∵，，      ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， 即当三点共线时，取得最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理的推论，勾股定理，三角形的三边关系，垂直公理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（　　） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线性质，理解点与圆的位置关系是解题关键． 连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，与圆的半径相等，即可得出结论． 【详解】解：连接， ，，点O为的中点， ， 的半径为5， 点在上． 故选：B． 2．（25-26九年级上·全国·期末）如图，是的直径，C，D是上的点，过点C作的切线交的延长线于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键．连接，根据切线的性质可知，再由直角三角形的性质得出的度数，由圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·全国·期末）如图所示，与的边相切，切点为B．将绕点B按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点C．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、切线的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质. 通过旋转得到对应角和边的关系，再利用圆的半径相等推出等边三角形，进而求出相关角度，最后根据三角形内角和求出． 【详解】解：∵绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵和都是的半径， ∴， 又∵旋转后， ∴， 可得为等边三角形， ∴， ∴， ∵与的边相切于点B， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，. 故选：D． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，内接于圆，点D在弧上，连接，．下列角中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆内角度的关系是解题关键． 同弧或等弧所对的圆周角相等，从同弧或等弧的角度去寻找相等的角即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 5．（22-23九年级上·山东泰安·期末）在扇形中，，正方形的顶点C，D分别在半径，上，顶点E在上，以O为圆心，长为半径作，若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，正方形的性质，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 根据正方形的性质得到，，，求出正方形的边长，得出阴影部分的面积，分别求出即可． 【详解】解：连接，交于，则， 四边形是正方形， ，，， 在等腰三角形中，， ， 阴影部分的面积 ， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级下·北京·期末）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．由切线长定理得，，，即可求解． 【详解】解：是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：32． 7．（25-26九年级下·全国·期末）如图，的内接正六边形为正六边形，的半径为6，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正六边形和圆，勾股定理，等边三角形的判定与性质；连接，，证出是等边三角形，进而即可求得答案． 【详解】解：如图，连接 ，，，交于， ∵的内接正六边形为正六边形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中； 同理证得是等边三角形，，，， 在中； ； 故答案为． 8．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）如图，已知的半径为，弦，则圆心O到弦的距离的长是 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理；由垂径定理得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵圆心O到弦的距离为， ∴， ∴， 由勾股定理得：； 故答案为：． 9．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，中位线定理，勾股定理，由，得，，然后通过中位线定理可得，设的半径为，则，由勾股定理得，解得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，四边形内接于，为的直径，．点在的延长线上，若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质等，连接，由圆内接四边形的性质和补角性质可得，即得，又由得，即得到，再根据等腰三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，点A在上且平分弧于点D，分别交于F，G． (1)求证：； (2)若，求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理，等角对等边， （1）根据是的直径，，，推出，即可推得． （2）根据，求出，再根据，求出，即可求出阴影部分面积． 【详解】（1）证明：∵A是弧的中点， ∴在中有． ∵是的直径， ∴． ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，过E点作于H， ∵， ∴， ∴ ∴是等边三角形. 又∵A是弧的中点， ∴， ∴. 在中，， ∴， ∴， ∴阴影部分面积． 12．（23-24九年级上·湖北·期末）如图，在中，以为直径的交于D，点E在上，，连接交于F，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）连接，由题中条件可得出，再根据得出即可解决问题． （2）先利用勾股定理求出，再由等角对等边得出即可． 【详解】（1）证明：（1）连接， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点A在上， ∴是的切线． （2）∵，， ∴． 又∵， ∴， 即， ∴． 在中， ． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了根据等角对等边证明边相等，用勾股定理解三角形，圆周角定理，证明某直线是圆的切线，切线的性质定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 13．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆心角、弧和弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 14．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点F，连接，过点D作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为5，，求阴影部分的面积．(π取3) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连结，由等边对等角得出，进而得出，由平行线的性质得出，进一步即可证明是的切线． （2）由直径所对的圆周角等于90度，可得出，结合已知条件可得出，再由平行线的性质得出，再由等腰三角形三线合一的性质得出，进而可得出． （3）连结，先求出，再求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接，记与交于点I，如图， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵为的半径， ∴是的切线． （2）证明：∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， 则， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了证明某条直线是圆的切线，直径所对的圆周角等于90度，等腰三角形的判定和性质，求扇形面积等知识，掌握这些知识是解题的关键． 15．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知正方形的四个顶点在上 (1)如图1，若点在劣弧上，连接、、，若在上取一点，使得，连接，求证： (2)若点在弧上（不与点、、重合），过点作于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，若正方形的边长为4，点是线段上的动点，过点作于点，将线段为边，在右侧作等边，求出点的运动轨迹长． 【答案】(1)见解析 (2)或，理由见解析 (3) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质和圆周角定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的性质和圆周角定理，利用证明两三角形全等即可； （2）当点E在弧上时，过点作于点，证明，即可得到四边形是正方形，然后根据线段的和差解答；当点E在弧上时，在上取点，使，连接，根据全等三角形的对应边相等得到，，，然后证明是等腰直角三角形，即可得到结论； （3）将绕点C顺时针旋转得到，连接，可以得到，即可得到点N在以为直径的圆F上，然后根据弧长公式计算解答即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，， 与都对应弧， ， 在和中， ； （2）解：满足或，理由如下： 如图，当点在弧上,过点作于点， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形， 又∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即； 当点在弧上时，在上取点，使，连接， 由（1）， ，，， 在正方形中，， ， ， ， 是等腰直角三角形三角形， ， ， ， ， ； （3）解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴点N在以为直径的圆F上， ∵最大为， ∴最大为，即最大圆心角为， ∴点N的运动路径为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $