专题04 解直角三角形（期中真题汇编，北京专用北京版）九年级数学上学期

专题04解直角三角形 2大高频考点概览 考点01 锐角三角函数 考点02 三角形综合 地 城 考点01 锐角三角函数 一、单选题 1．(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25九上·北京门头沟区·期中)如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为 ． 3．(24-25九上·北京顺义区·期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，tanA＝，则AC＝ ． 三、解答题 4．(23-24九上·北京平谷区平谷中学·期中)计算： 5．(24-25九上·北京房山区·期中)如图，在正方形中，点在上，于点于点．若，求的面积． 6．(24-25九上·北京平谷中学·期中)年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．求飞船从B处到C处的距离． 7．(23-24九下·北京顺义区·期中)如图，在中，为边上的中线，点为中点，过点作，交的延长线于点，连接．    (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 8．(23-24九上·北京德胜中学·期中)如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到交于点．若，求的长． 9．(23-24九上·北京石景山区首都师范大学附属苹果园中学分校·期中)已知：如图，在中，，是边上的高．如果，，求的长． 10．(24-25九上·北京第十三中学·期中)已知：如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求BC的长． 地 城 考点02 三角形综合 一、填空题 1．(23-24九上·北京顺义区仁和中学·期中)有一张矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点F（如下图），则的长为 ． 二、解答题 2．(24-25九上·北京密云区·期中)如图，中，，O是中点，D在线段上（不与重合），点E是内部一点，． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)已知点F是的中点，连接．用等式表示与的数量关系，并证明． 3．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，在正方形中，点E，F分别在，的延长线上，且，的延长线交于点G． (1)求的度数； (2)在线段EG上取点H，使得，连接，． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 4．(24-25九上·北京延庆区·期中)在正方形中，E为上一点，点M在上，点N在上，且，垂足为点F． (1)如图1，当点N与点C重合时，求证：； (2)将图1中的向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 5．(24-25九上·北京顺义区·期中)定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形． (1)如图1，四边形中，对角线平分，，求证：和为叠似三角形； (2)如图2，和为叠似三角形，若，，求四边形的周长； (3)如图3，在中，D是上一点，连接，点E在上，且，F为中点，且，若，求的值． 6．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)如图1，在中，于E，E恰为BC的中点．    (1)求证：； (2)如图2，点在上，作于点，连结．求证：； (3)请你在图3中画图探究：当为射线上任意一点(不与点重合)时，作于点，连结，线段与之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论． 7．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)如图，是的高，点B关于直线的对称点为E，连接，F为线段上一点（不与点E重合），．    (1)用等式表示线段，的数最关系，并证明； (2)连接，取的中点M，连接，判断与的位置关系，并证明． 8．(23-24九上·北京第九中学·期中)已知：如图①，在正方形中，点是上一个动点，点在的延长线上，且，连接，，．平分，交于点，连接．    (1)直接写出与的数量关系与位置关系； (2)求证：； (3)如图②，当点在射线上运动时，过作于点，直接写出线段，与之间的数量关系． 9．(23-24九上·北京燕山·期中)如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接．求证：． 10．(24-25九上·北京延庆区·期中)在等腰直角中，，，过点的垂线．点为直线上的一个动点（不与点重合），将射线绕点顺时针旋转90°交直线于点．    (1)如图1，点在线段上，依题意补全图形； ①求证：； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (2)点在线段的延长线上，直接写出线段之间的数量关系． 11．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，在中，，，是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形并求的度数； (2)连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明． 12．(24-25九上·北京顺义区·期中)已知：和重合，，，现将绕点按逆时针方向旋转角，设旋转过程中射线和线段相交于点，连接．    (1)当时，过点，如图1所示，判断和之间的位置关系，不必证明； (2)当时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； (3)如图3，对旋转角，猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． 13．(24-25九上·北京昌平区·期中)感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 试卷第1页，共3页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04解直角三角形 2大高频考点概览 考点01 锐角三角函数 考点02 三角形综合 地 城 考点01 锐角三角函数 一、单选题 1．(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角形函数的定义、勾股定理解直角三角形，理解三角函数的定义是解题关键．依题意，设，则，利用勾股定理求得，根据正切的定义求得即可． 【详解】解：在中，， ， 设，则， 由勾股定理可得， ， 故选：D． 二、填空题 2．(24-25九上·北京门头沟区·期中)如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为 ． 【答案】/0.6 【来源】北京市西城区回民学校2020-2021学年九年级上学期期中数学试卷 【分析】找到所在的直角三角形，用的邻边比上斜边即可求出． 【详解】解：如图，过B点作BD⊥AC，则：BD=4，AD=3， ∴， ∴=， 故答案为：． 【点睛】本题考查网格中的三角形函数，找到角所在的直角三角形是解题的关键． 3．(24-25九上·北京顺义区·期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，tanA＝，则AC＝ ． 【答案】6． 【分析】根据锐角三角函数定义得出tanA＝，代入求出即可． 【详解】如图： ∵BC＝4，tanA＝＝， ∴AC＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数定义是解此题的关键，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 三、解答题 4．(23-24九上·北京平谷区平谷中学·期中)计算： 【答案】 【来源】北京市平谷区平谷中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式化简、幂运算，熟练掌握、的三角函数值、一个数的负一次方等于这个数的倒数是解答本题的关键．化简整理得实数的运算，根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：             故答案为 5．(24-25九上·北京房山区·期中)如图，在正方形中，点在上，于点于点．若，求的面积． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，得，，得到，结合，得到，，，求得，，的长，解答即可． 本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 【详解】解：根据正方形的性质，得，， ∴， ∵， ∴， ∵，即 ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴的面积为． 6．(24-25九上·北京平谷中学·期中)年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．求飞船从B处到C处的距离． 【答案】 【分析】本题考查了含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，，，，则，，由勾股定理得，，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴飞船从B处到C处的距离为 ． 7．(23-24九下·北京顺义区·期中)如图，在中，为边上的中线，点为中点，过点作，交的延长线于点，连接．    (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】对于（1），先说明四边形为平行四边形，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形为平行四边形，进而根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出答案； 对于（2），先求出，再根据锐角三角函数求出，进而求出，然后根据勾股定理求出，即可得出答案. 【详解】（1）连接， 点为中点，， ∴，即， 四边形为平行四边形， ∴，. 又为边上的中线， ∴，， ∴，， 四边形为平行四边形． 又， 平行四边形为矩形．    （2）∵，是上的中线， ， 在中，， ∴， ， 又点为中点， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等，灵活选择判定定理是解题的关键． 8．(23-24九上·北京德胜中学·期中)如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到交于点．若，求的长． 【答案】2 【分析】根据旋转的性质可得，可得，，根据含角的直角三角形的性质，可得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握旋转的性质，含角的直角三角形的性质是解题的关键． 9．(23-24九上·北京石景山区首都师范大学附属苹果园中学分校·期中)已知：如图，在中，，是边上的高．如果，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理求出，再利用等面积法求出，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 10．(24-25九上·北京第十三中学·期中)已知：如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求BC的长． 【答案】BC＝． 【来源】北京市第十三中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论． 【详解】∵∠A＝105°，∠B＝30°． ∴∠C＝45°． 过点A作AD⊥BC于点D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90° 在Rt△ADC中， ∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AC＝2． ∴∠DAC═∠C＝45°． ∵sinC， ∴AD． ∴AD＝CD． 在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°． ∵AD， ∴AB＝2． ∴由勾股定理得：BD． ∴BC＝BD+CD． 【点睛】本题考查的是解直角三角形及勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 地 城 考点02 三角形综合 一、填空题 1．(23-24九上·北京顺义区仁和中学·期中)有一张矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点F（如下图），则的长为 ． 【答案】1 【分析】由矩形的性质可知，，由折叠可知，故，，可得，可知．本题考查了折叠的性质．折叠前后对应角相等，对应线段相等，关键是推出特殊三角形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴由折叠的性质可知：第二幅图中，，， ∴，， 则第三幅图中，， ． 故答案为：1． 二、解答题 2．(24-25九上·北京密云区·期中)如图，中，，O是中点，D在线段上（不与重合），点E是内部一点，． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)已知点F是的中点，连接．用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再根据题意得出即可得出结论； （2）延长到，使，连接，根据全等三角形的判定定理，证明出，推出，即可得出结论． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， ． （2）延长到，使，连接， ，即垂直平分， ∴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵点F是的中点即， ， ． 3．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，在正方形中，点E，F分别在，的延长线上，且，的延长线交于点G． (1)求的度数； (2)在线段EG上取点H，使得，连接，． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，三角形的全等判定，等腰直角三角形的性质，熟练的掌握它们的性质和判定，作出合理的辅助线是解决问题的关键． （1）根据题意可得，，，，由此可证，得到，再根据，，即可得到． （2）依据题意补充图形后，过点作交于点，根据，，可得到、为等腰直角三角形，再证，即可得到线段与的数量关系． 【详解】（1）解：如图所示， 为正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． ． （2）解：① 如图所示，在线段上取点H，使得，连接，， ② 过点作交于点，如图所示， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ，即， （第一问已证）， ， 又 ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 4．(24-25九上·北京延庆区·期中)在正方形中，E为上一点，点M在上，点N在上，且，垂足为点F． (1)如图1，当点N与点C重合时，求证：； (2)将图1中的向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，见解析 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可； （2）按题意补充图形即可；在上截取，连接交于点K，作交于点T，根据题意证明，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）①过的中点F作，分别与交于点M、H、N，如图即为补全的图形； 图2 ②，理由如下： 如图，在上截取，连接交于点K，作交于点T， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练利用正方形的性质确定全等三角形是解本题的关键． 5．(24-25九上·北京顺义区·期中)定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形． (1)如图1，四边形中，对角线平分，，求证：和为叠似三角形； (2)如图2，和为叠似三角形，若，，求四边形的周长； (3)如图3，在中，D是上一点，连接，点E在上，且，F为中点，且，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟记定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据，结合条件，可得；再由可得，即可求证； （2）由条件可推出，；再根据相似三角形的性质求出的长度即可求解； （3）作，证得出；再证得出，．即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴和为叠似三角形 （2）解：∵， ∴ 由（1）得： ∴ ∴ ∵和为叠似三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴ 四边形的周长为： （3）解：作，如图所示： ∵， ∴ ∵ ∵， ∵F为中点， 又， 即： ∴ ∴ 6．(23-24九上·北京石景山区京源学校·期中)如图1，在中，于E，E恰为BC的中点．    (1)求证：； (2)如图2，点在上，作于点，连结．求证：； (3)请你在图3中画图探究：当为射线上任意一点(不与点重合)时，作于点，连结，线段与之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）首先根据知：，而E是BC的中点，结合平行四边形的对边相等即可得证． （2）此题要通过构造全等三角形来求解；作，交于，通过证，来得到是等腰直角三角形且，由此得证． （3）辅助线作法和解法同（2），只不过结论有所不同而已． 【详解】（1）证明： ∵， ∴； ∵是中点， ∴， 即； 又∵四边形是平行四边形，则； 故． （2）证明：作，交于；(如图2)      ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形，且， ∴，且， 故； （3）解：如图3，      ①当在线段上时，有， 证明方法类似（2）． ②如图中，点在上，．      理由：将绕点逆时针旋转得到 ∴， 同（1）可得∶ ， 则． ③如图，点在的延长线上，，    证明方法类似（2）． 综上所述，与之间的数量关系为：、 【点睛】此题主要考查的是平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，正确的构造出全等三角形是解题的关键． 7．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)如图，是的高，点B关于直线的对称点为E，连接，F为线段上一点（不与点E重合），．    (1)用等式表示线段，的数最关系，并证明； (2)连接，取的中点M，连接，判断与的位置关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）如图1，连接，过作于，由轴对称的性质可得，，，则是的平分线，，证明，则，由，，可得，进而可得； （2）如图1，作交于，则，为的中点，，，由，可得，进而可得． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图1，连接，过作于，    由轴对称的性质可得，，， ∴是的平分线， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图1，作交于， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例．解题的关键在于熟练掌握轴对称的性质，确定线段、角度之间的数量关系． 8．(23-24九上·北京第九中学·期中)已知：如图①，在正方形中，点是上一个动点，点在的延长线上，且，连接，，．平分，交于点，连接．    (1)直接写出与的数量关系与位置关系； (2)求证：； (3)如图②，当点在射线上运动时，过作于点，直接写出线段，与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)当点在边的延长线上，；当点在边的延长线上， 【分析】（1）证明，可得，，则，所以； （2）由，得，由，得，所以，而，则，所以； （3）分两种情况，一是点在边上，作于点，于点，先证明四边形是正方形，根据角平分线的性质得，再证明，，得，，即可推导出，其中，则，所以；二是点在边的延长线上，作交的延长线于点，交的延长线于点，先证明四边形是正方形，根据角平分线的性质得，再证明，得，，即可推导出，所以，其中，所以，得． 【详解】（1）解：，， 理由：如图①，   四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：如图①，   ，， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：如图②，当点在边上，作于点，于点，   ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形， ，，， ， ，，， ， ， 同理，， ， ， ， ， ； 如图③，当点在边的延长线上，作交的延长线于点，交的延长线于点，   ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ，，， ， ，，， ， ， 同理，， ， ， ， ， ， ， 综上，当点在边的延长线上，；当点在边的延长线上，． 【点睛】此题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理及其推论等知识，解题过程中还应注意分类讨论，求出所有符合题意的结论． 9．(23-24九上·北京燕山·期中)如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定．明确全等三角形的判定条件是解题的关键． 由是等边三角形，可得，，由旋转的性质可知，，，则，，证明即可． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 10．(24-25九上·北京延庆区·期中)在等腰直角中，，，过点的垂线．点为直线上的一个动点（不与点重合），将射线绕点顺时针旋转90°交直线于点．    (1)如图1，点在线段上，依题意补全图形； ①求证：； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (2)点在线段的延长线上，直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析；①见解析；②；见解析 (2)＝ 【分析】（1）根据题意补全图形即可： ①设与的交点为，根据三角形内角和定理可求解； ②过点作交于点．证明，即可得到结论； （2）过点作交的延长线于点，证明即可． 【详解】（1）解：（1）补全图形，如图．    ①证明：如图①，设的交点为．    根据题意可知，． ∵， ∴． ∴，． ∵ ∴． ②． 证明：如图②，过点交．      ∵，， ∴．    ∴，． ∴． ∴． ∴．    ∵， ∴． （2）过点作交的延长线于点，如图③，    ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又 ∴， 在中， ∴ ∴＝ ∴＝． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质运用和勾股定理的应用，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键． 11．(24-25九上·北京通州区·期中)如图，在中，，，是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形并求的度数； (2)连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)补图见解析， (2)，理由见解析 【分析】（1）先根据题意补全图形，然后根据“”证明即可求解； （2）在上取点Q，使，连接，，根据“”证明，可得，然后分别在和中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， 根据题意，得，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：． 理由：如图，在上取点Q，使，连接，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 12．(24-25九上·北京顺义区·期中)已知：和重合，，，现将绕点按逆时针方向旋转角，设旋转过程中射线和线段相交于点，连接．    (1)当时，过点，如图1所示，判断和之间的位置关系，不必证明； (2)当时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； (3)如图3，对旋转角，猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)（1）中的结论仍然成立，理由见详解 【分析】（1）当时,即将绕点按逆时针方向旋转，可得是等边三角形，点是的中点，得到，与是等边三角形，由此可得四边形是平行四边形，根据矩形的证明方法可得平行四边形是矩形，结合矩形的性质即可求解； （2）当时,即将绕点按逆时针方向旋转，可得，是等腰直角三角形，如图所示，过点作，垂足分别为，可证，得到，再证，得到，根据等腰三角形的“三线合一”即可求解； （3）作垂足分别为点，从而证明和全等，再证明和全等，从而得出答案． 【详解】（1）解：当时, ，理由如下， ∵在中，， ∴，， 当时,即将绕点按逆时针方向旋转， ∴与重合，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，且，即点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形， ∴； （2）解：补全图形如图所示，   仍然成立，理由入下， 当时,即将绕点按逆时针方向旋转， ∴，，，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，则， ∵， ∴， 如图所示，过点作，垂足分别为，    ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且是等腰直角三角形， ∴； （3）解：猜想仍然成立， 证明：作， ，垂足分别为点，如图2，    则， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ， ∴， 在和 中， ， ∴ ， ∴， 在和 中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，等要三角形的判定和性质，三角形全等的证明和性质，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 13．(24-25九上·北京昌平区·期中)感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，可得，再由，可得，从而得到利用证得，即可； （2）在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中， ∵， ∴； （2）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $