专题06 轴对称（期中真题汇编，北京专用人教版2024）八年级数学上学期

专题06 轴对称 3大高频考点概览 考点01 轴对称 考点02 等腰三角形的定义及性质 考点03 等腰三角形判定 地 城 考点01 轴对称 一、单选题 1．(24-25八上·北京海淀区·期中)下列图中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 2．(24-25八上·北京八一学校·期中)点关于轴对称的点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故选：A． 3．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)在平面直角坐标系中，已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形的变化—轴对称，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是． 故选：B． 4．(24-25八上·北京大兴区·期中)下列四个图标中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形．如果把一个图形沿着某一直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，我们把这个图形叫做轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断 ． 【详解】解：A选项：等边三角形是轴对称图形，三角形中的图形不是轴对称图形，所以这个图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：等边三角形是轴对称图形，三角形中的图形不是轴对称图形，所以这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：等边三角形是轴对称图形，三角形中的图形不是轴对称图形，所以这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：等边三角形是轴对称图形，三角形中的图形也是轴对称图形，所以这个图形是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 5．(24-25八上·北京西城外国语学校·期中)下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．轴对称图形是找对称轴，沿对称轴折叠能完全重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 6．(24-25八上·北京二中教育集团·期中)中国古典建筑中有着丰富多彩的装饰纹样，以下四个纹样中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键. 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形.据此进行解答即可. 【详解】解：A.不是轴对称图形，故选项符合题意； B.是轴对称图形，故选项不符合题意； C.是轴对称图形，故选项不符合题意； D.是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：A 7．(23-24八上·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称点的规律，横坐标相同，纵坐标互为相反数，解答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：A． 二、填空题 8．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A的坐标为，点的坐标为为第一象限内的整点（在所给网格中），若不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标可以是 ．（写出不少于四个） 【答案】或或或或或或（答案不唯一） 【分析】由不共线的，，三点构成轴对称图形，则是等腰三角形，再根据两圆一中垂可解决问题．本题主要考查了轴对称图形的性质，坐标与图形的变化，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键． 【详解】解：依题意，由不共线的，，三点构成轴对称图形， ∴是等腰三角形， 则以为圆心，为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的C点； 或以B为圆心，为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的C点； 或为底边，作其的垂直平分线，与网格顶点相交，即为满足条件的C点； 如图，共有符合要求的点有7个． 其中点坐标为或或或或或或 故答案为：或或或或或或（答案不唯一） 9．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)在平面直角坐标系中，点，点，点，点C在x轴上．若，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据对称，性质即可，本题考查了对称计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】∵点，点， ∴点B关于直线的对称点为， 连接，则， ∵点，点， ∴点A、D关于y轴对称， ∴点B、点E关于y轴的对称点为或， ∴点C为或时，． 故答案为：或． 三、解答题 10．(24-25八上·北京日坛中学教育集团·期中)如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）    【答案】图见解析 【分析】本题考查了利用轴对称图形的定义设计图案，熟知概念是解题的关键．根据网格结构分别确定不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可． 【详解】解：如图，即为所求作：    11．(24-25八上·北京八一学校·期中)平面直角坐标系中，点、、， (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上画出点，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）取点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． （2）解：如图，取点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 12．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，的三个顶点的坐标分别为，， (1)若与关于x轴成轴对称，请画出； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，在图中画出点P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，两点间线段最短，坐标与图形等知识，掌握轴对称的性质是关键． （1）作出A、B、C三点关于x轴对称的对应点，依次连接对应点即可； （2）连接，与x轴的交点即为所求的点P． 【详解】（1）解：画出的如图所示； （2）解：如上图，连接，与x轴的交点即为所求的点P． ∵， ∴是的最小值． 13．(24-25八上·北京朝阳区陈经纶中学分校·期中)在平面直角坐标系中，直线l为过点且与x轴垂直的直线．对某图形上的点，当时，作出点P关于直线l的对称点，称为变换；当时，称为变换．若某个图形上既有点作了变换，又作了变换，我们就称该图形为双变换图形． 例如，已知，如图1所示，点A应作变换的坐标是；点B作变换的坐标是． 请解决下面的问题： (1)当时， ①已知点P的坐标是，则点P作相应变换后的点的坐标是　 ； ②若点作相应变换后的点的坐标为，求点P的坐标； (2)已知点， ①若线段是双变换图形，则m的取值范围是　 ； ②已知点在第一象限，若及其内部（点E除外），且变换后所得图形记为G，直接写出所有图形G所覆盖的区域的面积． 【答案】(1)①；②， (2)①或；② 【分析】本题属于几何变换综合题．理解题意，学会构建不等式解决问题，是解题的关键，属于中考创新题型． （1）①解根据变换的定义求解即可．②分两种情形：，分别构建不等式解决问题即可． （2）①由双变换的定义可知，，然后求解作答即可．②由题意，满足条件的图形是平行四边形，变换后所有图形G所覆盖的区域的面积，计算求解即可． 【详解】（1）①解：∵，， ∴直线l为y轴， ∴相应变换后的点的坐标是； 故答案为：． ②当时，点作变换，变换后的点的坐标为， ∴， ∴， ∴； 当时，点作变换，变换后的点的坐标为， ∴， ∴， ∴； 综上所述，，； （2）①解：∵线段是双变换图形，， ∴， 解得，或， 故答案为：或； ∵线段CD是m-双变换图形，C（-1，D（-4， ∴-6≤m＜-2或2＜m≤4． 故答案为：或5＜m≤5． ②解：如图2， 由题意知，满足条件的图形是平行四边形， ∴变换后所有图形G所覆盖的区域的面积． 14．(24-25八上·北京日坛中学教育集团·期中)已知：点， (1)在平面直角坐标系中画出； (2)利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，画出关于轴对称的图形，其中点对应点为，则点坐标为________； (3)在（2）的条件下，分别连结、，则与的位置关系是________，________． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析， (3)， 【分析】本题考查作图-轴对称变换，坐标与图形； （1）根据点，的坐标描点再连线即可． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）由图可直接得出答案． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求 点坐标为； 故答案为：． （3）由图可得，与的位置关系是， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 15．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，对于点，先将其关于轴对称得到点，再将点关于直线对称得到点，若点在轴和关于轴对称的直线之间（可以在轴或者直线上），则称点为近对称点． (1)在点中，近对称点是 ； (2)若是近对称点，求的取值范围； (3)若存在高为的等边三角形，该三角形上的每一点既是近对称点又是近对称点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)、 (2) (3)或． 【分析】根据近对称点的规则，通过计算判断点、、是否近对称点； 因为点是近对称点，则有，解不等式求出的取值范围； 因为等边三角形的高为，可以求出等边三角形的边长为，分当等边三角形的边平行于轴、等边三角形的边平行于轴两种情况讨论． 【详解】（1）解：是求近对称点，设， 过点作直线， 则关于轴对称的直线是， 点关于轴的对称点是， 点是关于的对称点是， 点不在直线轴和直线之间， 点不是近对称点； 点关于轴的对称点是， 点是关于的对称点是， 点在直线轴和直线之间， 点是近对称点； 点关于轴的对称点是， 点是关于的对称点是， ， ， ， 点在直线轴和直线之间， 点是近对称点； 近对称点是和； （2）点是近对称点，设， 过点作直线， 则关于轴对称的直线是， 作点关于轴的对称点是， 点关于的对称点是， 若点在轴和之间， 则有， 解得:； （3）解：∵存在高为3的等边三角形既是近对称点又是近对称点， 此时等边三角形的一条边平行于轴时， 设等边三角形平行于y轴的边上的高的左端点为B，右端点为C， 设三角形近t对称点经过变换后，B横坐标为a,C的横坐标为， 三角形近对称点经过变换后，横坐标为，的横坐标为, ∴， ∵等边三角形上每一点既是近t对称点又是近对称点， ∴当即时，,解得， 当时，,解得， 当时不满足题意， 综上所述或时，存在高为3的等边三角形既是近对称点又是近对称点． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、不等式的运用、轴对称图形的性质、中点坐标的求法、对于新定义的理解．解决本题的关键是读懂新定义，根据新定义的规则进行计算． 16．(23-24八上·北京第十四中学·期中)在平面直角坐标系中，的三个顶点都在边长为1的小正方形的格点上，关于y轴的对称图形为，以与组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到如图所示的图形． (1)观察图形并填写下列各点坐标：（______，______），…，（______，______）（m为正整数）； (2)若是这组图形中的一个三角形，当时，m的值为______，k的值为______． 【答案】(1)6，2；，2 (2)1012，1011 【分析】本题主要考查了轴对称与坐标的变化关系，解答此题的关键是弄清向右翻折只变横坐标，纵坐标不变． （1）结合图形，先写出、的坐标，然后结合图形可发现规律，，，的横坐标依次多4，纵坐标没变从而可得的坐标； （2）找出图中A、B、C的角码变化规律，然后根据可得m、k得到值． 【详解】（1）解：由图可得，，，，，的纵坐标不变，横坐标依次加4， 的坐标为，即， 故答案为：6，2；，2； （2）解：因为， 所以当n为奇数时， 由图可得，对应，对应，对应，对应， 对应，故当时，； 对应C，B3对应，对应，， 对应，故当时，， 故答案为：1012，1011． 17．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)在平面直角坐标系中，称过点且与y轴平行的直线为直线，对于任意图形G，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿第一、三象限的角平分线翻折得到图形，则称图形是图形G的单变换图形，图形是图形G的双变换图形． 已知点，， (1)当时，点C的单变换图形点的坐标为__________，双变换图形点的坐标为__________； (2)用含m的式子表示点C的双变换图形点的坐标为__________． (3)当单变换图形与双变换图形有公共点时，求出m的取值范围； (4)若的双变换图形上只存在两个与x轴的距离为2的点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据自定义的含义先画出简易图形，再利用图形解答即可； （2）利用轴对称的性质，分别求解，的坐标即可； （3）先画出简易图形，确定相应的两个临界图形，如图，当，重合，且落在直线上时，如图，当，重合，且落在直线上时，再结合正比例函数的性质可得答案； （4）先画出简易图形，结合图形可得，当的双变换图形上只存在两个与x轴的距离为2的点时，直线、与双变换图形的两边相交，从而建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：当时， ，如图， ∴，； （2）∵，而， ∴直线在的右侧，而， ∴点C的单变换图形点的坐标为， ∴点C的双变换图形点的坐标为； （3）∵点，，， ∴，， 如图，当，重合，且落在直线上时，    ∴，解得：， ∵点，，， ∴，， 如图，当，重合，且落在直线上时， ∴，解得：， ∴当单变换图形与双变换图形有公共点时，m的取值范围为． （4）∵点，，， ∴，， 如图，当的双变换图形上只存在两个与x轴的距离为2的点时，    ∴或， 解得：或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，轴对称的性质，一元一次不等式组的应用，正比例函数的图象，自定义的含义，本题难度较大，理解题意，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 地 城 考点02 等腰三角形的定义及性质 一、单选题 1．(23-24八上·北京三帆中学·期中)下列说法错误的是(   ) A．三个角都相等的三角形是等边三角形 B．等腰三角形的中线就是角平分线 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质逐一判断及可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：A、三个角都相等的三角形是等边三角形，则正确，故不符合题意； B、等腰三角形底边上的中线就是顶角的角平分线，则错误，故符合题意； C、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，则正确，故不符合题意； D、角的平分线上的点到角的两边的距离相等，则正确，故不符合题意； 故选B． 2．(23-24八上·北京朝阳外国语学校·期中)如果等腰三角形的一个内角等于，那么它的底角是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这知识点的理解和掌握，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：当为顶角时，底角为， 另外底角也可以为， 则它的底角是或， 故选：． 3．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)如果等腰三角形有一个角等于另一个角的2倍，则下列判断正确的是（    ） A．腰是底的2倍 B．底是腰的2倍 C．顶角是 D．底角是或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，一元一次方程实际问题．根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分两种情况解答即可得到本题答案． 【详解】解：∵等腰三角形有一个角等于另一个角的2倍 ∴①设等腰三角形底角为，顶角为， ∴，解得， 则底角为， ②设等腰三角形底角为，顶角为， ∴，解得：， 则顶角为， A和B选项根据本题所给条件无法得出， 故选：D． 二、填空题 4．(24-25八上·北京海淀区清华附中上庄学校·期中)若一个等腰三角形的两边长分别为4，5，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】13或14 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义分2种情况讨论即可求解． 【详解】解：若等腰三角形的三边长为4，4，5，则周长为； 若等腰三角形的三边长为4，5，5，则周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长为13或14． 故答案为：13或14． 5．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)等腰三角形的周长是，一边长为6，它的底边长为 ． 【答案】1或6 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义和分类讨论的思想是解题的关键，由于题目没有明确腰和底边，所以要分两种情况讨论：当边长6为腰或者6为底边，根据三角形周长公式即可解答，再利用三角形三边关系验证是否能构成三角形进行验证即可． 【详解】解：当腰为6时，底边为 此时三角形的三边为6、6、1，能构成三角形； 当底为6时，腰为， 此时三角形的三边为，，6，能构成三角形； ∴这个等腰三角形的底边长为1或6， 故答案为：1或6． 6．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)如图，在中，平分，点是线段延长线上一点，连接，点在的垂直平分线上，若，则的周长是 ． 【答案】12 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后求出即可解答．本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、等腰三角形三线合一的性质等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：点在的垂直平分线上， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为： 7．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，得到点的纵坐标，过点作，利用等腰三角形的三线合一，求出点的横坐标即可． 【详解】解：∵轴，， ∴点的纵坐标为1， 过点作，交轴于点，交于点， 则：，    ∵ ∴， ∴点的横坐标为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．熟练掌握平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 8．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)已知平面直角坐标中的等腰直角三角形，点，点，点，与均是正整数．（1）找出一个符合条件的，写出它对应的与的值： ， ；（2）满足上述条件的共有 个． 【答案】 5（答案不唯一） 5（答案不唯一） 9 【分析】（1）根据题意，画出图形，进行求解即可． （2）根据题意，分分别为直角，进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图，当时，此时：，，， 由图可知，三角形为等腰直角三角形，满足题意， 故答案为：（答案不唯一）； （2）∵点，点，与均是正整数， ∴点分别在轴的正半轴上， ∵， ∴， 当为直角时，，即：， 整理得：， ∴， ∴， 满足为等腰直角三角形， ∴，，满足上述条件的共有9个； 当为直角或为直角，不存在点分别在轴的正半轴上，与均是正整数时，为等腰直角三角形； 故答案为：9． 【点睛】本题考查坐标与图形．熟练掌握等腰直角三角形的性质，利用数形结合和分类图讨论的思想进行求解，是解题的关键． 地 城 考点03 等腰三角形判定 一、单选题 1．(24-25八上·北京大兴区·期中)在中，和的平分线交于点F，过点F作的平行线，分别交，于点D，E．给出下面四个结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，，则的周长为． 上述结论中，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，全等三角形的判定，三角形的三边关系，三角形的周长等，根据角平分线的性质和平行线的性质得到，，进一步得到，，再依次推理即可． 【详解】解：如图，若，    ∵和的平分线交于点F， ∴，， ∴， 若，则， ∴， ∴，故①不正确； ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵和的平分线交于点F， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故③不正确； 由③得， 若，，则 的周长 ， 故④正确． 综上，正确的有②④，共两个． 故选：B． 二、填空题 2．(24-25八上·北京八一学校·期中)如图，中，平分，平分，过点且与平行的直线与、两边分别交于，若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质可得和是等腰三角形，从而得到，进而可得的周长为，然后进行计算可得． 【详解】解：平分，平分， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．(24-25八上·北京朝阳区北京中学·期中)如图，在中，，、分别是和的角平分线，且，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键．由、分别是和的角平分线，得，，根据平行线的性质得出，，从而有，，则，，然后代入求值即可． 【详解】解：、分别是和的角平分线， ，， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为， 故答案为：． 4．(23-24八上·北京海淀清华附中外籍人员子女学校·期中)如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接，，过作于，依据，，即可得出，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到． 【详解】解：如图，连接，，过作于， 点关于的对称点恰好落在上， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， ， 又， 四边形中，， ， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 三、解答题 5．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)如图，把一个矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，与交于点F． 求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，图形的翻折变换的性质和等腰三角形的判定，熟练掌握图形翻折变换的性质是解题的关键． 先根据矩形的性质得出，再由折叠的性质得出，进而判断是等腰三角形． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 是等腰三角形． 6．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)在平面直角坐标系中，对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段恰好交于点或点，则称点为线段的垂直对称点． (1)已知点，．①在点，，点中，线段的垂直对称点是______；②若是线段的垂直对称点，直接写出点的纵坐标的取值范围______； (2)已知，，是线段的垂直对称点，．①当，时，直接写出点的横坐标的取值范围______；②若，为坐标轴上两个动点，的取值范围是，的取值范围是，动点形成的轨迹组成的图形面积为10，直接写出与的数量关系表达式______． 【答案】(1)①，，②，且， (2)①，② 【分析】（1）①画出图形，再根据垂直对称点的定义判断即可；②先判断是等腰三角形，分别以点和点为圆心，以为半径画圆，所得图形即为点P的轨迹，再根据垂直对称点的定义判断即可； （2）①根据垂直对称点的定义，结合可得线段垂直平分线过点B，即有，过P点作轴于点T，证明，问题随之得解；②当，或者时，的取值由1变化至时，点P的轨迹为两条线段；同理当，或者时，的取值由1变化至时，点P的轨迹为两条线段，即可判断出动点形成的轨迹组成的图形为平行四边形，问题随之得解． 【详解】（1）①如图， ∵，，，，， ∴，，，，， ∴点B在的垂直平分线上，点A在的垂直平分线上， ∴线段的垂直对称点是，； ②∵对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段恰好交于点或点， ∴或者， ∴是等腰三角形， 分别以点和点为圆心，以为半径画圆，如图， 当时，点P位于点处， ∴根据等腰三角形的性质可得顶点A在的垂直平分线上， 当时，点P位于点处， ∴根据等腰三角形的性质可得顶点B在的垂直平分线上， 当点P位于点或者点时，点不是线段的垂直对称点， ∵，，， ∴，， ∴点的纵坐标的取值范围：，且，； （2）①过P点作轴于点T，如图， ∵是线段的垂直对称点，， ∴点B在的垂直平分线上，， ∴，即是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标的取值范围：； ②当，或者时，的取值由1变化至时，点P的轨迹为两条线段，且两条线段相等； 当，或者时，的取值由1变化至时，点P的轨迹为两条线段，且两条线段相等； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴动点形成的轨迹组成的图形为平行四边形， 如图， ∵的取值范围是，的取值范围是， ∴点A垂直移动的距离为，点B水平移动的距离为， ∴动点形成的轨迹组成的图形为平行四边形的底为，高为， ∵动点形成的轨迹组成的图形面积为10， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识，正确理解线段垂直对称点的含义是解答本题的关键． 7．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)在平面直角坐标系中，经过点作垂直于x轴的直线l，点与点B关于直线l对称． (1)点C是直线l上一点，连接得到． ①当时，点B的坐标为_________； ②当且直线经过原点O时，点C的坐标为_________； ③若上所有点到y轴的距离都不小于1，则t的取值范围是_________． (2)在下方以为斜边作等腰直角三角形，直线m过点且与x轴平行，若直线m上存在点P，上存在点K，满足，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①②③或 (2) 【分析】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，轴对称，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式解决问题． （1）①根据A，B关于直线对称解决问题即可． ②求出直线与直线的交点C的坐标即可判断． ③由题意，，根据上所有点到y轴的距离都不小于1，构建不等式即可解决问题． （2）由题意，由是以为斜边的等腰直角三角形，推出点D到的距离为2，分情况讨论直线m与的位置关系求解即可解决问题． 【详解】（1）解：①如图所示 由题意，A，B关于直线对称， ∴． 故答案为． ②解：如图所示 由题意，直线l：， 因为经过原点O， ∴直线AC的解析式为， 故答案为 ③由题意，， ∵上所有点到y轴的距离都不小于1， ∴或， 解得或． 故答案为或． （2）解：如图所示，为AB的中点， ∵，， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴点D到的距离， 当点D在下方时，若直线m上存在点P，上存在点K，满足， 则 ∴ 故答案为． 8．(24-25八上·北京海淀区人大附中翠微分校·期末)在平面直角坐标系中，作直线垂直轴于点，已知点，点，以为斜边作等腰直角三角形，点在第一象限．关于直线的对称图形是．给出如下定义：如果点在上或内部，那么称点是关于直线的“称心点”． (1)当时，在点，，中，关于直线的“称心点”是______； (2)当上只有1个点是关于直线的“称心点”时，直接写出的值； (3)点是关于直线的“称心点”，且总有的面积大于的面积，求的取值范围． 【答案】(1)点，点 (2) (3)或 【分析】（1）由题意确定C点坐标，从而确定，，，即可判断关于直线l的“称心点”； （2）由图形的轴对称判定即可； （3）过点A作直线，延长至点M，使，过点M作直线．①当点在直线m的点上时，．过B作x轴的平行线交直线m于点，根据轴，直线，可得，即有，结合图形可得点的坐标为，则有.当点与点重合时，即有．根据，即点还应往左边移动，此时点也应该往左移动，即此时对称轴直线也相应往左移动，可得；②当点在直线n的点上时，，同理可求，问题随之得解． 【详解】（1）∵点，点，是以为斜边的等腰直角三角形，点在第一象限， 又∵， ∴直线与y轴重合， 画出图形如下： 由图可确定， 则有，，， ∵，，， 结合图形可知：关于直线l 的“称心点”是点，点； 故答案为：点，点 （2）解：当上只有1个点是关于直线l的“称心点”时， 点C在直线l上， 如图 结合图形可知：， 故答案为：； （3）解：过点A作直线，延长至点M，使，过点M作直线． ∵点，点，是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，且轴，， ①当点在直线m的点上时，． 如图，过B作x轴的平行线交直线m于点， 又∵，且轴，直线， ∴， ∴， ∴结合图形可得点的坐标为， ∴. 当点与点重合时，即有． ∵， ∴点还应往左边移动，此时点也应该往左移动， 即此时对称轴直线也相应往左移动， ∴； ②当点在直线n的点上时，． 如图，结合图形同（1）可求出， ∴点的坐标为， ∴则有：． 当点与点重合时，即有． ∵， ∴点还应往右边移动，此时点也应该往右移动， 即此时对称轴直线也相应往右移动， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了图形在平面直角坐标系中的轴对称，掌握图像轴对称的性质，并根据题意画出相应的图形，数形结合是解题的关键． 9．(24-25八上·北京海淀区中国人民大学附属中学·期中)已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°），求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A． 下面是小兵设计的尺规作图过程． 作法：①作线段AB的垂直平分线1，直线l交射线AN于点D； ②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C； ③连接BC，则△ABC即为所求三角形． 根据小兵设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD（ 　 　）（填推理的依据）． ∴∠A＝∠　 　． ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A ∵BC＝BD ∴∠ACB＝∠BDC （ 　 　）（填推理的依据）． ∴∠ACB＝2∠A． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据几何语言画出对应图形即可； （2）根据证明过程补全相应知识点即可． 【详解】解：（1）如图所示： （2）证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD（ 　垂直平分线上任意一点到线段两端点距离相等　）（填推理的依据）． ∴∠A＝∠　DBA 　． ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A ∵BC＝BD ∴∠ACB＝∠BDC （ 　等腰三角形两底角相等 　）（填推理的依据）． ∴∠ACB＝2∠A． 【点睛】本题考查尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，圆的任意半径相等，灵活运用性质定理是解题关键． 10．(24-25八上·北京海淀区清华附中上庄学校·期中)如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等角对等边、角平分线的定义，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交于点，利用全等三角形的判定定理证出，得出，，由得到，再利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 的长为10． 11．(23-24八上·北京三帆中学·期中)小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②连接． 则线段为所求． (1)请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（ ）（填推理的依据） ． ， ． ． ． ．（ ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；；；同一个三角形中，等角对等边 【分析】本题考查了作图——尺规作图、等腰三角形的判定、垂直平分线的性质： （1）根据作法补全图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得，再根据角的等量代换得，进而可证得，由等腰三角形的判定即可求证结论； 熟练掌握尺规作法作垂直平分线的方法及等腰三角形的判定的解题的关键． 【详解】（1）解：作法：①以点为圆心，大于为半径画弧，以点为圆心，以相同长度为半径画弧，与前弧相交， ②连接两个交点得直线交于点， ③连接， 如图所示，即为所求． （2）直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等）， ． ， ．． ． ．（同一个三角形中，等角对等边）， 和都是等腰三角形． 故答案为：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；；；同一个三角形中，等角对等边． 12．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)已知：如图，线段直线l．（设到直线l的距离为d，满足） 求作：点P．使得点P在直线l上，且点P、点A、点B构成的三角形为等腰三角形（保留作图痕迹，不必写出作法）． (1)满足条件的点共有_________个； (2)在图中用尺规作图作出满足条件的点P； （保留作图痕迹，不必写出作法，不同的点从左到右用下标以示区别，如：） (3)其中，使得的周长最小的点是_________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图，熟悉基本几何图形的性质是解题的关键． （1），（2）以点为圆心，为半径画弧交直线于点和点，再以为圆心，为半径画弧交直线于点和点，然后再作的垂直平分线交直线于点； （3）个等腰三角形中的周长最小． 【详解】（1）解：满足条件的点一共是个； （2）解：以点为圆心，为半径画弧交直线于点和点，再以为圆心，为半径画弧交直线于点和点，然后再作的垂直平分线交直线于点． ； （3）解：由图可知，的周长最小， 故使得的周长最小的点是． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 轴对称 3大高频考点概览 考点01 轴对称 考点02 等腰三角形的定义及性质 考点03 等腰三角形判定 地 城 考点01 轴对称 一、单选题 1．(24-25八上·北京海淀区·期中)下列图中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·北京八一学校·期中)点关于轴对称的点的坐标为（） A． B． C． D． 3．(24-25八上·北京海淀区中关村中学·期中)在平面直角坐标系中，已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·北京大兴区·期中)下列四个图标中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·北京西城外国语学校·期中)下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·北京二中教育集团·期中)中国古典建筑中有着丰富多彩的装饰纹样，以下四个纹样中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 7．(23-24八上·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A的坐标为，点的坐标为为第一象限内的整点（在所给网格中），若不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标可以是 ．（写出不少于四个） 9．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)在平面直角坐标系中，点，点，点，点C在x轴上．若，则点C的坐标为 ． 三、解答题 10．(24-25八上·北京日坛中学教育集团·期中)如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）    11．(24-25八上·北京八一学校·期中)平面直角坐标系中，点、、， (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上画出点，使得的值最小．（保留作图痕迹） 12．(24-25八上·北京大兴区·期中)如图，的三个顶点的坐标分别为，， (1)若与关于x轴成轴对称，请画出； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，在图中画出点P． 13．(24-25八上·北京朝阳区陈经纶中学分校·期中)在平面直角坐标系中，直线l为过点且与x轴垂直的直线．对某图形上的点，当时，作出点P关于直线l的对称点，称为变换；当时，称为变换．若某个图形上既有点作了变换，又作了变换，我们就称该图形为双变换图形． 例如，已知，如图1所示，点A应作变换的坐标是；点B作变换的坐标是． 请解决下面的问题： (1)当时， ①已知点P的坐标是，则点P作相应变换后的点的坐标是　 ； ②若点作相应变换后的点的坐标为，求点P的坐标； (2)已知点， ①若线段是双变换图形，则m的取值范围是　 ； ②已知点在第一象限，若及其内部（点E除外），且变换后所得图形记为G，直接写出所有图形G所覆盖的区域的面积． 14．(24-25八上·北京日坛中学教育集团·期中)已知：点， (1)在平面直角坐标系中画出； (2)利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，画出关于轴对称的图形，其中点对应点为，则点坐标为________； (3)在（2）的条件下，分别连结、，则与的位置关系是________，________． 15．(24-25八上·北京朝阳区将府实验学校·期中)在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，对于点，先将其关于轴对称得到点，再将点关于直线对称得到点，若点在轴和关于轴对称的直线之间（可以在轴或者直线上），则称点为近对称点． (1)在点中，近对称点是 ； (2)若是近对称点，求的取值范围； (3)若存在高为的等边三角形，该三角形上的每一点既是近对称点又是近对称点，直接写出的取值范围． 16．(23-24八上·北京第十四中学·期中)在平面直角坐标系中，的三个顶点都在边长为1的小正方形的格点上，关于y轴的对称图形为，以与组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到如图所示的图形． (1)观察图形并填写下列各点坐标：（______，______），…，（______，______）（m为正整数）； (2)若是这组图形中的一个三角形，当时，m的值为______，k的值为______． 17．(23-24八上·北京东城区北京二中教育集团·期中)在平面直角坐标系中，称过点且与y轴平行的直线为直线，对于任意图形G，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿第一、三象限的角平分线翻折得到图形，则称图形是图形G的单变换图形，图形是图形G的双变换图形． 已知点，， (1)当时，点C的单变换图形点的坐标为__________，双变换图形点的坐标为__________； (2)用含m的式子表示点C的双变换图形点的坐标为__________． (3)当单变换图形与双变换图形有公共点时，求出m的取值范围； (4)若的双变换图形上只存在两个与x轴的距离为2的点，直接写出m的取值范围． 地 城 考点02 等腰三角形的定义及性质 一、单选题 1．(23-24八上·北京三帆中学·期中)下列说法错误的是(   ) A．三个角都相等的三角形是等边三角形 B．等腰三角形的中线就是角平分线 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2．(23-24八上·北京朝阳外国语学校·期中)如果等腰三角形的一个内角等于，那么它的底角是（    ） A． B． C．或 D．或 3．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)如果等腰三角形有一个角等于另一个角的2倍，则下列判断正确的是（    ） A．腰是底的2倍 B．底是腰的2倍 C．顶角是 D．底角是或 二、填空题 4．(24-25八上·北京海淀区清华附中上庄学校·期中)若一个等腰三角形的两边长分别为4，5，则这个等腰三角形的周长为 ． 5．(23-24八上·北京朝阳区蒋府实验学校·期中)等腰三角形的周长是，一边长为6，它的底边长为 ． 6．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)如图，在中，平分，点是线段延长线上一点，连接，点在的垂直平分线上，若，则的周长是 ． 7．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点的坐标为 ．    8．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)已知平面直角坐标中的等腰直角三角形，点，点，点，与均是正整数．（1）找出一个符合条件的，写出它对应的与的值： ， ；（2）满足上述条件的共有 个． 地 城 考点03 等腰三角形判定 一、单选题 1．(24-25八上·北京大兴区·期中)在中，和的平分线交于点F，过点F作的平行线，分别交，于点D，E．给出下面四个结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，，则的周长为． 上述结论中，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 2．(24-25八上·北京八一学校·期中)如图，中，平分，平分，过点且与平行的直线与、两边分别交于，若，，则的周长为 ． 3．(24-25八上·北京朝阳区北京中学·期中)如图，在中，，、分别是和的角平分线，且，，则的周长是 ． 4．(23-24八上·北京海淀清华附中外籍人员子女学校·期中)如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 三、解答题 5．(23-24八上·北京海淀区师达中学·期中)如图，把一个矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，与交于点F． 求证：是等腰三角形． 6．(23-24八上·北京海淀区北京理工大学附属中学·期中)在平面直角坐标系中，对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段恰好交于点或点，则称点为线段的垂直对称点． (1)已知点，．①在点，，点中，线段的垂直对称点是______；②若是线段的垂直对称点，直接写出点的纵坐标的取值范围______； (2)已知，，是线段的垂直对称点，．①当，时，直接写出点的横坐标的取值范围______；②若，为坐标轴上两个动点，的取值范围是，的取值范围是，动点形成的轨迹组成的图形面积为10，直接写出与的数量关系表达式______． 7．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)在平面直角坐标系中，经过点作垂直于x轴的直线l，点与点B关于直线l对称． (1)点C是直线l上一点，连接得到． ①当时，点B的坐标为_________； ②当且直线经过原点O时，点C的坐标为_________； ③若上所有点到y轴的距离都不小于1，则t的取值范围是_________． (2)在下方以为斜边作等腰直角三角形，直线m过点且与x轴平行，若直线m上存在点P，上存在点K，满足，直接写出b的取值范围． 8．(24-25八上·北京海淀区人大附中翠微分校·期末)在平面直角坐标系中，作直线垂直轴于点，已知点，点，以为斜边作等腰直角三角形，点在第一象限．关于直线的对称图形是．给出如下定义：如果点在上或内部，那么称点是关于直线的“称心点”． (1)当时，在点，，中，关于直线的“称心点”是______； (2)当上只有1个点是关于直线的“称心点”时，直接写出的值； (3)点是关于直线的“称心点”，且总有的面积大于的面积，求的取值范围． 9．(24-25八上·北京海淀区中国人民大学附属中学·期中)已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°），求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A． 下面是小兵设计的尺规作图过程． 作法：①作线段AB的垂直平分线1，直线l交射线AN于点D； ②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C； ③连接BC，则△ABC即为所求三角形． 根据小兵设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD（　 　 ）（填推理的依据）． ∴∠A＝∠　 　． ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A ∵BC＝BD ∴∠ACB＝∠BDC （　 　 ）（填推理的依据）． ∴∠ACB＝2∠A． 10．(24-25八上·北京海淀区清华附中上庄学校·期中)如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 11．(23-24八上·北京三帆中学·期中)小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②连接． 则线段为所求． (1)请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（ ）（填推理的依据） ． ， ． ． ． ．（ ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 12．(23-24八上·北京陈经纶中学分校·期中)已知：如图，线段直线l．（设到直线l的距离为d，满足） 求作：点P．使得点P在直线l上，且点P、点A、点B构成的三角形为等腰三角形（保留作图痕迹，不必写出作法）． (1)满足条件的点共有_________个； (2)在图中用尺规作图作出满足条件的点P； （保留作图痕迹，不必写出作法，不同的点从左到右用下标以示区别，如：） (3)其中，使得的周长最小的点是_________． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $