专题04 指数函数与对数函数 4大高频考点（期中真题汇编，安徽专用）高一数学上学期

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04指数函数与对数函数 ☆4大高频烤点概览 考点01指数函数 考点02对数函数 考点03幂函数 考点04函数的应用 目目 考点01 指数函数 一、 单选题 1.(24-25高一上安徽皖江名校)计算4g:7=（) A.14 B.49 c.万 D.14 2.(24-25高一上安徽皖江名校)设b∈R,若函数y=4-2+1+b在-1,1]上的最小值是2，则其在-1,1 上的最大值是() A.3 B.4 C.5 D.6 3.(2425高一上安徽阜阳第三中学期中)设a=(),b=(传)月c=1g(是)，则() A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.b<a<c 4.(24-25高一上安徽合肥第八中学期中)已知a=0.88,b=0.8.7,c=0.708,那么a,b,c的大小关系 是() A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b 5.(24-25高一上安徽马鞍山第二申学期中)已知a=V5,b=5,c=()月，则() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 6.(24-25高一上安微蚌埠A层学校)幂函数f)=(m2-2m-2)xm在(0，+o∞)上单调递增，则 g(x)=am+2(a>1)的图象过定点() A.（-1,1 B.(-1,2 C.(3,2 D.3,3) 7.(24-25高一上安徽江准名校期中)已知a4·a对·a帝=4，则a=（) A.2 B.-2 C.4 D.2或-2 1/9 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、多选题 8.(24-25高一上·安微马鞍山第二中学期中)下列函数中是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增的是() A.y=x B.y=及 C.y=x2 D.y=2+2 9.(24-25高一上·安徽江准名校·期中)下列命题是真命题的是() A.y=(反)2、u=网、y=区、m=答表示四个不同的函数 B.当0<x<1时，函数y=X的图象始终在函数y=x的图象下方 C.1.8°4>1 D.若6m=3,6”=4,那么6学= 三、填空题 10.(2425高一上安徽马鞍山第二中学期中4(43V2)4+(信)- 四、解答趣 11.(2425高一上安徽阜阳第三中学期中)已知函数f(x)=1+1og,x,g(x)=2 (I)若F(x)=f(g(x)·g(f(x)),求函数F(x)在区间[2,5]上的值域： 2者H(x)= H,求H(2)+H(a)+H()+…+H(8器)的值： (3)令h(x)=f(x)-1,则G(x)=h(x)+(4-k)f(x),已知函数G(x)在区间[1,4]上有零点， 求实数k的取值范围 12.(24-25高一上·安徽阜阳第三中学期中)化简求值 3-m°+哥+(0.008×()； 20g25)2+lg25×1g16-(1ogg2+logg2)(1og,3+logg3)+g4)月 13.(24-25高一上安徽卓越县中联盟amp,皖豫名校联盟期中刊(1)计算：2)-()°+32， (2)计算： 25-2+()×()×2: 2/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)已知0<x<1,且x+x=6,求的值. 14.2425高-上安徽准南第二中学期中)(1)计算：(2生)05-0,752+62×（号）， (2)1g5·1g20+1g2+21+2g,3 15.(24-25高一上·安微阜南实验中学期中)求值： (0(0.064)-()°+[(-2)3]+1675 (2)若x十x1=3,求①x2十x2的值；②x3+x3的值 目目 考点02 对数函数 一、单选题 1.(24-25高一上安徽皖江名校)若a=lny10,b=Vn2ln5,c=lny4e,则ab、c的大小关系是() A.c<a<b B.a<b<c C.c<b<a D.b<a<c 2.(24-25高一上·安徽皖江名校)下列四个数中最大的是() A.1g30 B.1g30 C.1g30)2 D.Ig(1g30) 2-1,x≥1， 3324资-上安管安肤第-中学已知两数()-ogx+)之x<1a>0且a≠1)的图聚 在(-1，+∞)上连续，则|f(x)川≤2的解集为() A.[1,1og23] B.-1og3] c.-log] D.[-,1 4.(23-24高一上安徽安庆第一中学)函数f(x)=1og（赞-1)的定义域为() A.xw>1或x<-4} B.{x|-4<x<1 C.xIx≠1} D.x|x>-4且x≠1 5.(23-24高一上·安徽江淮十校·期中)已知f(x)是定义域为R的偶函数.且在(-∞，0)上单调递减 a=f(4),b=f(1ogg5),c=f(1ogo23),则() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 3/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、多选题 6.(23-24高一上安徽安庆第一中学)对于任意两个正数u,v(u<V),记曲线y=袁与直线x=u,x=V, x轴围成的曲边梯形的面积为L(山，V),并约定L(山，u)=0和L(u,V)=-L(V,),德国数学家莱布 尼茨(Leibniz)最早发现L(1,x)=lnx关于L(u,v),下列说法正确的是() A.L(,言)=L(,9) B.L(440380)=80L(2,3) C.2L(u,v)>台-号 D.L(u叫vu)>v-u 7.(22-23高一下·安微师范大学附属中学期中)已知a>b>0,a+b=1,则() A.ab< B.a2+b2> C.2b<2 D.log,(ab)>-2 8.(23-24高一上·安徽江淮十校·期中)已知函数fx)=ln(x2-mx+m),则下列说法正确的是() A.若fx的定义域为R,则m∈(O,4 B.若f(x)的最小值为n3-2ln2,则m=3 C.若fx)[2+∞)上为增函数，则m的值可以为4 D.若m=0,则vx1,x(0,十0，都有f色整)≥s4型 三、填空题 9.(24-25高一上安徽皖江名校)若正数α，b满足ab=8,则log24alog,b的最大值是 10.(24-25高一上安徽阜阳第三中学期中)已知函数y=1g(ax2+x+1)的值域是R,则实数a的取值范 围是 1g8+lg1251g21g距_ 11.(24-25高一上安徽蚌埠A层学校)1g101gp.01 四、解答题 12.(24-25高一上·安微蚌埠A层学校)《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订)》指出：数学运 算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，对数运算与指数幂运算是两类重要 的运算18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数.然而对 数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻 Q)试利用对数运算性质计算景（器+器鹊）的值： (2)已知x,y,z为正数，若3=4'=62，求号-的值： 4/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2,2024的位数是4.试判断22024的位 数.（注g2≈0.3010） 13.(23-24高一上安微安庆第一中学)已知函数f(x)=|-x2+引 (1)求不等式f(x)≤1的解集： (②已知函数g(x)=1og,[(f(x)2-tf(x)+2]t>0且t≠1)若x∈[32,5]时，不等式 g(x)≤O恒成立，求实数t的取值范围 14.(23-24高一上安微阜阳第三中学)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)x9m的图象关于原点对称，且 在R上为增函数 (1)求f(x)表达式： (2)解不等式：f[1+1og(x+1)]+f[1og2(2-x)]>0 15.(23-24高一上安徽江淮十校期中)已知f(8)=1og,x2-ax+3a (I)若fx)的值域为R,求实数a的取值范围； 2)已知gx)=m·3+5-2m,当a=4时，若对任意的x1∈[1,2+26]，总存在x2∈[0,2]，使 fx)=g(x成立，求实数m的取值范围. 目目 考点03 幂函数 一、单选题 1.(24-25高一上安徽芜湖期中)若幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则不等式f(x)<f(x2)的解集为() A.(-∞，0)U(1,+∞) B.(0,1) C.(-∞，0) D.(1,+∞) 2.(24-25高一上，安徽卓越县中联盟&amp:皖豫名校联盟期中已知幂函数fx)=(m+2)x的图象经过点 (16,4),函数g(x)=mfx),则() A.gx)为偶函数 B.g(x)为奇函数 C.g(x)为增函数 D.g(x为减函数 3.(24-25高一上·安微A10联盟期中)已知幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm6的图象不过原点，且关于y轴 对称，则() A.m=4 B.m=-1 C.m=4或m=-1D.-1<m<4 4.(24-25高一上安徽皖江名校)函数f8)=x(n>2,neN)的图象大致形状是() 5/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C. D 5.(24-25高一上·安徽池州贵池区池州第一中学期中)下列函数为奇函数的是() A.y=x B.y=x C.y=x3+1 D.y=武 二、填空题 6.(2425高一上安微合肥合肥一六八中学期中)已知幂函数F(x)的图象经过点(V反，号)，若 f(2-a)≥f(a-1),则实数a的取值范围是■ 7.(24-25高一上安徽宿州砀山县七校期中)已知幂函数f(x)=（m2-2m-2)x2m1的图象经过原点，则 m的值是 8.(24-25高一上·安徽皖江名校)已知幂函数fx)的图象过点(8,4)，则其解析式fx)= 三、解答题 9.(24-25高一上·安徽滁州九校联考期中)幂函数f(x)=(a2+a-5)x的定义域是全体实数， (1)求f(x)的解析式； (2)若不等式(k+1)f(x)<kx-k+1的解集为0，求实数k的取值范围， 10.(24-25高一上安微六安第一中学期中)已知幂函数f(x)=(m2-4m+4)·x2m4在(-∞，0)上单调 递减 (1)求函数f(x)的解析式： (2)解关于x的不等式af(x)+ax+1≥0(a<1) (3)若对任意x∈[1,2]，都存在bE[1,2],使fx≤bt2-t+b+1成立，求实数t的取值范围， 6/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 函数的应用 一、单选题 -x+1,x<1 1.(24-25高一上·安徽皖江名校)已知函数 克，x≥1 若函数y=f(x)-2t在区间(-1,3)内 有且仅有两个零点，则实数t的取值范围是() A.（1] B.(信] c.(京，] D.(房] 2.(24-25高一上·安徽淮南第二中学期中)酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国 家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾 车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液 中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过大约(）个小时才能驾驶 A.3 B.4 c.5 D.6 3.(24-25高一上安微池州贵池区池州第一中学期中)已知关于x的不等式ax2-4x+4a>0在[15]上有解， 则实数a的取值范围是() A.(+o) B.(器，+0) C.（-∞，1) D.(1,+∞) 2,x<0, 4.2425高-上准南=中已知函数(x)）={f(x-2),x≥0当生≤m<导时，方程(x)）=x+m 的根的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 5.(24-25高一上·安徽阜阳第三中学期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥1时， f(x)=x+是-3，当0<x<1时，f(x)=1-4若函数g(x)=[f(x)]产-mf(x)-1恰有4个零点， 则实数m的取值范围是 (x+1,x≤0 6.(2425高-一上合肥八中期中已知f(x)={nx1,x>0,若方程f(x)=a有四个不同的解x1、 x2X3、X4且81<X2<X3<x4,则x1十X2十京；-的取值范围是 7.(24-25高一上合肥一中期中)函数fx)=21og5-1的零点个数为 7/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、解答题 8.(24-25高一上·安微新明教育期中)当两个三角形有一个公共顶点且相似时，这样的两个三角形称为“李生” 三角形，它是平面几何中的常见图形.如图，矩形ABCD中，AB=4km,BC=2km,O为对角线AC的 中点，点P、Q分别从A和B两点同时出发，在边AB和BC上运动，连接PO、QO并延长分别与CD、DA交 于点M、N形成“孪生”三角形，如图阴影部分所示 D B A (I)当P、Q两点匀速运动，并且同时到达终点B、C时，在整个运动过程中，请猜想图中“孪生”三角形面积 的大小变化情况 ·（从“①一直增大、②一直减小、③先增大后减小、④先减小后增大”中选一个 作答，不要求证明)： (2)当P、Q两点以相同速度v=2km/h匀速运动时，并且Q点到达C点后，立即从C点向B点折返运动，直 至与P点第一次相遇设运动时间为t小时，求出阴影部分面积S关于t的函数解析式. (3)在函数y=f(x)中，如果存在n个互不相等的值x1,X2,·,xn满足 f(x1)=f(x2)=…=f(xn),则称x1,x2,,xn是函数y=f(x)的n重等值根试判断(2)中 函数是否存在3重等值根t1,t2,t3,如果存在，求出t1+t2十t3的取值范围 9.(2425高一上·安徽池州贵池区池州第一中学期中)为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了 款新型智能按摩椅，通过调研知，往年每年每生产x千台智能按摩椅，获利C(x)千元，且 |20x2-21x+332,0<x≤2， c(x)= 492-21x閎，2<x≤5. 更新技术后需要另外投入费用(x+2)千元，且每千台按摩椅比 之前多盈利2千元，生产的按摩椅供不应求，均能售完 (1)求更新技术后的利润L(x)(千元)关于年产量x(千台)的函数解析式； (②)更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润 10.(23-24高一上·合肥六中期末)设函数y=f(x)在区间D上有定义，若对任意x1∈D,都存在x2∈D使 得：+过=m,则称函数y=f(x)在区间D上具有性质p(m) 2 (1)判断函数f(x）=2在R上是否具有性质p(0),并说明理由； (2)若函数f(x）=3x-1在区间0，a(a>0)上具有性质p(1),求实数a的取值范围， 8/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)设t∈[0,2，若存在唯一的实数m,使得函数f(x)=-x2+2tx+3[0,2]上具有性质p(m),求t 的值 11.(高一上安微卓越县中联盟期中已知函数f(x)=k·4.(k+1)2+kk∈R (1)若f(x)的最小值是-1，求k的值： (2)是否存在k>1,使得当f(x)的定义域为[a,b](b>a>0)时，f(x)的值域为[2+1,2+1]？若存 在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由 12.(高一上·淮南二中·期中)某兴趣小组在研究性学习活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现： 该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格g(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足 g(x)=1+奈(k为常数)该商品的日销售量(x)=取-25+b(个)与时间x(天)部分数据如下表 所示： x(天) 10 20 hx)(个) 110 120 己知第10天该商品的日销售收入为121元 (I)求出该函数g(x)和hx)的解析式； (2)求该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30x∈N)(元)的最小值 13.(24-25高一上·阜阳一中)某文旅公司设计文创作品，批量生产并在旅游景区进行售卖.经市场调研发现， 若在旅游季在文创作品的原材料上多投入x万元(1≤x≤15)，文创作品的销售量可增加m千个，其中 特，1≤x<8, m= (20.8-x8≤x≤15，每千个的销售价格为要万元，另外每生产1千个产品还需要投入其他成本 0.5万元. (I)求该文旅公司在旅游季增加的利润y与x(单位：万元)之间的函数关系： (2)当x为多少万元时，该公司在旅游季增加的利润最大？最大为多少万元？ 9/9 专题04 指数函数与对数函数 4大高频考点概览 考点01 指数函数 考点02 对数函数 考点03 幂函数 考点04 函数的应用 地 城 考点01 指数函数 一、单选题 1．(24-25高一上·安徽皖江名校·)计算（   ） A．14 B．49 C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算性质及对数恒等式即可求解 【详解】因为． 故选：B． 2．(24-25高一上·安徽皖江名校·)设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设，将此函数转化为一元二次函数的最值分析求解即可. 【详解】．设， 则．因为，所以， 当时，；当时，． 故选：A． 3．(24-25高一上·安徽阜阳第三中学·期中)设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数性质可判断的正负，再利用指数的运算性质比较大小即可. 【详解】由指数函数性质可知，， 由对数函数性质可知， 又因为， 所以，即. 综上可得：. 故选：B. 4．(24-25高一上·安徽合肥第八中学·期中)已知那么a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因函数在R上单调递减，在R上单调增. 则．所以． 故选：B 5．(24-25高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可判断，根据，即可求解. 【详解】由于，， 故， 又，故， 故选：B 6．(24-25高一上·安徽蚌埠A层学校·)幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的概念知系数必为1，再由幂函数递增知幂指数大于0，从而解得，再利用指数函数必过点来求出函数过的定点. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以，解得，所以， 故令得，所以 所以的图象过定点. 故选：D. 7．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)已知，则（    ） A．2 B．-2 C．4 D．2或-2 【答案】A 【分析】将根式化为分数指数幂，根据指数运算的运算法则即可求得结果. 【详解】因为，所以，解得； 要使得等式有意义，则，所以； 故选：. 二、多选题 8．(24-25高一上·安徽马鞍山第二中学·期中)下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用常见函数的奇偶性与单调性，结合奇偶性与单调性定义判断即可. 【详解】是偶函数，且在上单调递增，故A正确； 为非奇非偶函数，且在上单调递增，故B错误； 是偶函数，且在上单调递增，故C正确； 对于D，设，定义域为， ∵，∴是偶函数. 令，且， 则 ， ∵，且，∴，， 从而，，得， ∴在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 9．(24-25高一上·安徽江淮名校·期中)下列命题是真命题的是（    ） A．、、、表示四个不同的函数 B．当时，函数的图象始终在函数的图象下方 C． D．若，，那么 【答案】ACD 【分析】对于A，定义域和对应法则均一致，两函数为同一函数，依次判断即可；对于B，利用作商法比较大小，再根据幂函数的图象与性质可判断，对于C，根据幂函数的单调性可判断，对于D，根据分数指数幂的运算法则计算即可. 【详解】由题意得，，，，，故选项正确； 当时，，，因为，所以，则函数的图象始终在函数的图象上方，故B不正确； 由幂函数的单调性可知，故选项正确； ，故选项正确； 故选：ACD. 三、填空题 10．(24-25高一上·安徽马鞍山第二中学·期中) . 【答案】 【分析】利用分数指数幂和根式运算法则得到答案. 【详解】. 故答案为： 四、解答题 11．(24-25高一上·安徽阜阳第三中学·期中)已知函数. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若，求的值； (3)令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简函数的解析式，利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的值域； （2）利用指数运算可证得，然后利用倒序相加法可求得所求代数式的值； （3）令，由结合参变量分离法可得，利用双勾函数的单调性求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1） ， 当时，函数为增函数， 则函数的最大值为，函数的最小值为， 所以函数的值域为. （2），则， 设， 则， 两式相加得，即，则， 故 （3）， 设，当时，， 则函数等价于， 若函数在区间上有零点，则等价于在上有零点， 即在区间上有解， 所以，在区间上有解， 所以，， 设，则，则， 因为函数在区间上单调递增，且， 当时，，所以，， 所以，实数的取值范围是 12．(24-25高一上·安徽阜阳第三中学·期中)化简求值 (1)； (2) 【答案】(1)12 (2)2 【分析】（1）根据指数的运算法则与性质求解； （2）根据对数的运算法则与性质得解. 【详解】（1） ； （2） 13．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟&amp;皖豫名校联盟·期中)（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】根据题意，由指数幂的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）由题意可知，所以， ， 因为，所以，所以， 所以. 14．(24-25高一上·安徽淮南第二中学·期中)（1）计算：； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】根据指数幂的运算即可求解（1）；根据对数的运算性质计算即可求解（2）. 【详解】（1）原式 （2）原式 15．(24-25高一上·安徽阜南实验中学·期中)求值： (1) (2)若，求①的值；②的值 【答案】(1) (2)①7；②18 【分析】（1）利用指数幂的运算化简求值； （2）由，两边平方和立方，可计算和的值. 【详解】（1） . （2）， ； ， ， . 地 城 考点02 对数函数 一、单选题 1．(24-25高一上·安徽皖江名校·)若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较的大小，可得结论. 【详解】， 而，且． 所以，故． 故选：D. 2．(24-25高一上·安徽皖江名校·)下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数的运算性质及对数函数的单调性判断即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以最大, 故选：C． 3．(23-24高一上·安徽安庆第一中学·)已知函数的图象在 上连续，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由分段函数的图象在上连续可得，再分类讨论解不等式即可. 【详解】由题知，，解得，所以， 易知单调递增，，即 ， 令得， 令，得， 所以，即的解集为， 故选： 4．(23-24高一上·安徽安庆第一中学·)函数 的定义域为（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】A 【分析】由题意得，解不等式可得解. 【详解】由题知，解得或， 即函数的定义域为{或}. 故选：A. 5．(23-24高一上·安徽江淮十校·期中)已知是定义域为的偶函数.且在上单调递减.，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是定义域为的偶函数且在上单调递减，可得在上单调递增，利用奇偶性、单调性可得答案. 【详解】根据题意，因为是定义域为的偶函数， 则，， 又由为上的偶函数且在上单调递减，所以在上单调递增， 又由，则有，两边同时取对数可得：，即， 同理：由于，而，所以，故， 所以， 而在上单调递增，故有，即. 故选：D. 二、多选题 6．(23-24高一上·安徽安庆第一中学·)对于任意两个正数，记曲线与直线，，轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.关于，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据确定出，然后分类讨论，，，或时的结果，由此确定出的解析式.由对数的运算法则可判断A和B；根据小于梯形的面积可判断C；取特殊值可判断D. 【详解】由题意，所以. 当时，； 当时，； 当时，； 当或时，也成立. 综上所述，. 对于A，，， 所以，，故A正确； 对于B，， 因为，所以，故B正确； 对于C，如图， 因为， 所以， 即，故C错误； 对于D，取，则，故D错误. 故选：AB. 7．(22-23高一下·安徽师范大学附属中学·期中)已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用给定条件结合基本不等式可判断AB正确，再利用指数函数以及对数函数单调性计算可判断CD. 【详解】对于A，由，可得，所以， 又，可得等号不成立，即，所以A正确； 对于B，，又，所以， 又，所以等号不成立，即，可得B正确； 对于C，因为，，所以， 可知，可得，因此； 易知函数在上单调递增，可得，即C正确； 对于D，由A可知，因为对数函数在上单调递增， 所以，即D错误. 故选：ABC 8．(23-24高一上·安徽江淮十校·期中)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则 B．若的最小值为，则 C．若在上为增函数，则的值可以为4 D．若，则，，都有 【答案】AD 【分析】对于A，直接转换为二次不等式恒成立问题即可；对于B，等价于的最小值为；对于C，由复合函数单调性得出在上也为增函数，但要注意当时，；对于D，画出函数，根据其图象特征即可判断. 【详解】对于选项A，若的定义域为，则在上恒成立， 所以.解得，故A正确； 对于选项B，若的最小值为， 即的最小值为， 则有，解得或，故B错误； 对于选项C，根据复合函数单调性同增异减可知在上也为增函数， 即，解得，故C错误. 对于选项D，当时，为上凸的图象如图， 在上任意取两点，都有， 若，则，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点睛：A选项关键是明确二次不等式恒成立的充要条件，BC选项的关键是复合函数的值域、单调性，但是C选项还要注意有意义，D选项的关键是画图，数形结合. 三、填空题 9．(24-25高一上·安徽皖江名校·)若正数a，b满足，则的最大值是 . 【答案】 【分析】应用基本不等式计算即可得出答案. 【详解】因为对任意实数x，y都有，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 故的最大值是． 故答案为：. 10．(24-25高一上·安徽阜阳第三中学·期中)已知函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对复合函数进行拆分，由外函数值域得出内函数值域，再通过讨论参数，列出不等式求得参数范围. 【详解】令，则， 要使得的值域为R，则函数的值域满足， 当时，即函数开口向上，且最小值小于等于0， ， 当时，满足题意， 综上所述：. 故答案为：. 11．(24-25高一上·安徽蚌埠A层学校·) ． 【答案】-2 【分析】根据对数运算法则化简即可求得结果. 【详解】． 故答案为：-2. 四、解答题 12．(24-25高一上·安徽蚌埠A层学校·)《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【答案】(1) (2) (3)610 【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可； （3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果. 【详解】（1）原式； （2）由题意知，令，则， 所以， 所以； （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为610． 13．(23-24高一上·安徽安庆第一中学·)已知函数 . (1)求不等式 的解集； (2)已知函数且.若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将函数 写成分段函数形式，分类求不等式 的解集即可； （2）将看作变元代入函数且中，构造函数 ，再分和两种情况分别讨论不等式 恒成立. 【详解】（1）函数 不等式 等价于或 解得 不等式 的解集为. （2）且， 由于 ，令 ，且 ，得：， 记 ，， 函数 在 上恒成立，只需要： （i）当时，则需恒成立， 在 为增函数. 恒成立，恒成立，则 成立， 故符合题意. （ii）若时，则需恒成立， 则：或 或， 综上所述，实数的取值范围为 . 14．(23-24高一上·安徽阜阳第三中学·)已知幂函数的图象关于原点对称，且在上为增函数. (1)求表达式； (2)解不等式：. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数为幂函数可求出m的值，结合幂函数性质可确定其解析式； （2）利用函数的奇偶性以及对数的运算性质将原不等式转化为，再结合函数的单调性，即可转化为，结合对数函数性质即可求得答案. 【详解】（1）由题意知为幂函数，故， 解得或， 当时，，当时，， 在上为增函数，不成立，即， . （2）的定义域为，且为奇函数， 则即， 又因为为奇函数，所以， 因为在上为增函数， 所以，即， 所以，则，解得：， 又因为，解得：. 综上：原不等式解集为 15．(23-24高一上·安徽江淮十校·期中)已知. (1)若的值域为，求实数的取值范围； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数值域的性质，将问题转化为，从而得解； （2）将问题转化为的值域是的值域的子集，从而利用二次函数与指数函数的性质即可得解. 【详解】（1）依题意，函数的值域为， 设，可得，解得或， 故的取值范围是. （2）若，则， 因为，其开口向上，对称轴为， 所以当时，的最小值为8， 当时，取得最大值为， 且在定义域内单调递增， 可得在上的最小值为，最大值为， 即函数的值域是. 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集. 当时，在上单调递增， 所以，则，解得； 当时，在上单调递减， 所以，则，解得； 当时，，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围. 地 城 考点03 幂函数 一、单选题 1．(24-25高一上·安徽芜湖·期中)若幂函数的图象过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出函数解析式并确定单调性，进而求出不等式的解集. 【详解】设幂函数，由，得，解得，， 函数在定义域上单调递增， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：D 2．(24-25高一上·安徽卓越县中联盟&amp;皖豫名校联盟·期中)已知幂函数的图象经过点，函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．为增函数 D．为减函数 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义与求解，从而可得的单调性，于是可得的单调性与奇偶性. 【详解】因为是幂函数，所以，即， 又的图象经过点，所以，解得， 所以，则为上的增函数， 则，则函数的定义域为， 所以非奇非偶函数，且为上的减函数. 故选：D. 3．(24-25高一上·安徽A10联盟·期中)已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据幂函数定义得到方程，解出，最后验证即可. 【详解】由题意得，，解得或． 当时，，满足题意； 当时，，其图象关于原点中心对称，不满足题意． 故选：A． 4．(24-25高一上·安徽皖江名校·)函数的图象大致形状是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一般幂函数的图象性质判断函数大致图象. 【详解】由题设易知，而时，幂函数在上单调递减，又函数为偶函数. 故选：A 5．(24-25高一上·安徽池州贵池区池州第一中学·期中)下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质，结合奇函数的定义，可得答案. 【详解】函数的定义域为，是非奇非偶函数，故A错误； 函数的定义域为，是奇函数，故B正确； 函数的定义域为，而当时，， 此时函数值不为零，故函数不是奇函数，故C错误； 函数的定义域为，是偶函数，故D错误. 故选：B. 二、填空题 6．(24-25高一上·安徽合肥合肥一六八中学·期中)已知幂函数的图象经过点，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由已知条件求出幂函数的解析式，再由幂函数的单调性解不等式即可 【详解】设，则，解得， ， 因为在和上单调递减，， 或或， 解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 7．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)已知幂函数的图象经过原点，则的值是 . 【答案】 【分析】先根据幂函数定义列方程求，再逐个检验所得函数图象是否过原点即可. 【详解】由题意可得，即， 解得或. 当时，幂函数的图象过原点； 当时，幂函数的定义域为，图象不过原点，不满足题意. 故的值是. 故答案为：. 8．(24-25高一上·安徽皖江名校·)已知幂函数的图象过点，则其解析式 . 【答案】 【分析】设的解析式，代入点坐标计算即可. 【详解】设，则，解得． 故答案为：． 三、解答题 9．(24-25高一上·安徽滁州九校联考·期中)幂函数的定义域是全体实数， (1)求的解析式； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于实数的等式，解出的值，再由函数的定义域为进行检验，即可得解； （2）分析可知，不等式对任意的实数恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，利用二次不等式恒成立，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 化简得，解得或， 当时，，该函数的定义域为，满足题意； 当时，的定义域为，不满足题意， 所以的解析式为． （2）不等式即，其解集为， 则对任意的实数恒成立， 当时，，得，不合题意； 当时，则有，解得． 因此，实数的取值范围是. 10．(24-25高一上·安徽六安第一中学·期中)已知幂函数在上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式 (3)若对任意，都存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由幂函数的定义结合单调性即可求解； （2）通过和两类情况讨论即可； （3）由题意得到，再得到存在，使得，进而可求解. 【详解】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，解得，所以 （2）当时，，解集为， 当时，，得， ， 当时，， 方程的两根为 所以不等式的解为， 当时， ，不等式的解集为， 综上可知，当时，解集为， 当0≤a<1时，解集为. （3）由（1）知，因为对，使得都成立， 所以，易知， 所以， 因为存在，使得成立， 可得， 因为，所以是关于的单调递增函数， 所以， 解得：或， 所以的取值范围为. 地 城 考点04 函数的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·安徽皖江名校·)已知函数若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，将问题转化成的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点，利用基本函数的图象，得到的图象，数形结合，即可求解. 【详解】函数在区间内有且仅有两个零点，等价于在区间内有且仅有两个实数根， 又等价于函数的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点， 因为， 由图知，即，解得． 故选：C． 2．(24-25高一上·安徽淮南第二中学·期中)酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过大约（     ）个小时才能驾驶. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意饮酒后的初始含量为，根据酒精递减速度列出不等式计算可得结论. 【详解】根据题意可知，相当于饮酒后的初始含量为血液中酒精含量达到； 依题意可知，小时后血液中酒精含量为， 若能正常驾驶需满足， 即，经代入选项验证可得即可满足条件， 即至少经过大约5个小时才能驾驶. 故选：C 3．(24-25高一上·安徽池州贵池区池州第一中学·期中)已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分离变量法整理不等式，构造函数解析式，求得新函数在给定区间上的最值，可得答案. 【详解】由题，，，即，即在上有解， 设，则，， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， ，则，所以. 故选：B. 4．(24-25高一上·淮南二中)已知函数当时，方程的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】结合分段函数、周期函数和函数零点的含义结合两个函数图像求解. 【详解】当时，即则的周期为 画出函数的图像， 令则又因为则 由图可知方程 的根的个数即为两个函数图像交点的个数， 由图像可知，当时，存在一个零点，因为时， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，恒成立，则两函数无零点. 综上所述，两函数有三个零点. 故选：D. 二、填空题 5．(24-25高一上·安徽阜阳第三中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，.若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先作出的图象，再利用换元法设，合理分类讨论，再利用二次函数的零点分布列出出不等式组，解出即可. 【详解】当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，则， 根据对勾函数和指数函数的性质以及函数为奇函数作出整个函数图象如下图所示： 令，则， 显然由图知直线与图象最多3个交点， 若要满足题意，则有两个不等实数解， 则，且根据韦达定理得，显然当不适合方程，且， 不妨设，则由图知： （i）当直线与有3个交点，直线与有1个交点， ①，则， 即，无解； ②，则，即，解得； （ii）当直线与有3个交点，直线与有1个交点， ①，则，即，无解； ②，则，即，解得； （iii）当直线与有2个交点，直线与有2个交点， ①，则，即，无解； ②当时，则，由图知此时符合题意，此， 综上所述的取值范围为. 故答案为：. 6．(24-25高一上·合肥八中·期中)已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象可得：，，进而得到，求出的取值范围，利用函数的单调性进而求解. 【详解】如下图所示： 方程有四个不同的解、、、且，且， 由图可知，点、关于直线对称，则， 由图可得，由可得，可得， 由可得， 所以，， 因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数， 因为，则， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于根据函数的对称性、对数的运算性质将所求代数式化简，转化为只含一个变量的函数，结合函数基本性质求解. 7．(24-25高一上·合肥一中·期中)函数的零点个数为 . 【答案】2 【来源】2014届高考数学总复习考点引领 技巧点拨第二章第10课时练习卷 【分析】将函数的零点问题转化为两个函数图象交点的问题，数形结合即可得出答案. 【详解】令，可得， 设，， 在同一坐标系下分别画出函数，的图象， 可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数有2个零点. 故答案为：2. 三、解答题 8．(24-25高一上·安徽新明教育·期中)当两个三角形有一个公共顶点且相似时，这样的两个三角形称为“孪生”三角形，它是平面几何中的常见图形.如图，矩形中，，，为对角线的中点，点、分别从和两点同时出发，在边和上运动，连接、并延长分别与、交于点、.形成“孪生”三角形，如图阴影部分所示.    (1)当、两点匀速运动，并且同时到达终点、时，在整个运动过程中，请猜想图中“孪生”三角形面积的大小变化情况__________.（从“①一直增大、②一直减小、③先增大后减小、④先减小后增大”中选一个作答，不要求证明）； (2)当、两点以相同速度匀速运动时，并且点到达点后，立即从点向点折返运动，直至与点第一次相遇.设运动时间为小时，求出阴影部分面积关于的函数解析式. (3)在函数中，如果存在个互不相等的值，，，满足，则称，，，是函数的重等值根.试判断（2）中函数是否存在重等值根，，，如果存在，求出的取值范围. 【答案】(1)④ (2) (3) 【分析】（1）利用题意得到等式，然后设， 利用等式找到变量之间的关系，然后利用两个变量表示面积，消元，判断面积的变化情况即可； （2）先明确当时，点到达，当时，点第一次回到， 点第一次到达点，然后根据题意写出函数解析式即可； （3）画出（2）中解析式的图像，然后利用函数的交点与方程的根的关系，判断求解即可. 【详解】（1）由题可知，设从到的速度为，则从到的速度为， 设，则， 故， 设， ， 则， 所以有， 由题可知，三角形的面积 ， 因为 ， 得， 显然当时，最小为， 故当时，变小，时，变大，， 所以当、两点匀速运动，并且同时到达终点、时，在整个运动过程中， 猜想图中“孪生”三角形面积的大小变化情况是先减小后增大. 故填④. （2）显然当时，点到达，此时为中点， 当时，点第一次回到，点第一次到达点， 我们分段来讨论阴影部分面积关于的函数解析式， 当时，此时， 此时，， 当时，， ， 所以， （3）设（2）中的函数为， 画出函数图像    如图所示，当时，，有最小值， 令，解得或 ， 当时，，有最大值， 令，解得或， ， 不妨令， 如图可知，当时，存在3重等值根，，， 不妨令， 当时，此时， 所以； 当时，此时， 所以； 综上所述， 【点睛】关键点点睛：（1）需要根据题意得到比例公式，然后计算判断； （2）需要分析出整个运动过程和第一次相遇的时间； （3）先理解题意，为有三个根，利用方程的根与函数交点的关系求解。 9．(24-25高一上·安徽池州贵池区池州第一中学·期中)为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了一款新型智能按摩椅，通过调研知，往年每年每生产千台智能按摩椅，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千台按摩椅比之前多盈利2千元，生产的按摩椅供不应求，均能售完. (1)求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千台）的函数解析式； (2)更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)产量为3千台时，该工厂利润最大，最大利润是390千元. 【分析】（1）根据题意，由条件可得，即可得到函数关系式； （2）分别求得与的利润最大值，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由已知，， 又 所以； （2）当时，， 则当时，； 当时， ， 当且仅当，即时，. 因为，所以的最大值为390， 故当产量为3千台时，该工厂利润最大，最大利润是390千元. 10．(23-24高一上·合肥六中·期末)设函数在区间D上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间D上具有性质 (1)判断函数在R上是否具有性质，并说明理由; (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围; (3)设，若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 【答案】(1)函数在R上不具有性质，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）求出指数函数的定义域，根据特例，判断函数在R上是否具有性质； （2）根据函数在区间上具有性质得到和的关系，求出的取值范围； （3）设，求出的表达式，求出的范围，分和两种情况求解. 【详解】（1）指数函数在R上不具有性质， 理由如下：指数函数的定义域为R， 对于，，因为，， 所以不存在，满足， 因此函数在R上不具有性质； （2）因为函数在区间上具有性质， 所以对于任意，都存在， 使得，即， 因为，所以， 得； （3）设， 若函数在上具有性质， 则对任意，都存在，使得， 即，因为， 所以，所以， ①当时，， 因为，所以且， 即，因为m唯一， 所以，得 ②当时， 因为，所以且， 即，因为m唯一，所以， 得，综上，t的值为或 11．(高一上·安徽卓越县中联盟·期中)已知函数. (1)若的最小值是，求的值； (2)是否存在，使得当的定义域为时，的值域为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据分类讨论，结合换元法，利用指数函数与二次函数的单调性，可得答案； （2）根据复合函数的单调性，问题等价转换为一元二次方程求根问题，建立不等式组，可得答案. 【详解】（1）当时，，没有最小值，不符合题意； 当时，设，则. ①当时，的图象开口向下，无最小值，则无最小值，不符合题意； ②当时，对称轴，因为的最小值是， 所以， 化简得，解得（舍去）或，所以. （2）当时，由（1）知， 当时，的对称轴， 所以当时为增函数，即为增函数. 所以定义域为时，值域为可转化为有两个不同的正根. 所以有两个大于1且不相等的根. 所以，解得， 所以不存在满足题意的. 12．(高一上·淮南二中·期中)某兴趣小组在研究性学习活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间x（天）的函数关系近似满足（k为常数）.该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示： x（天） 10 20 （个） 110 120 已知第10天该商品的日销售收入为121元. (1)求出该函数和的解析式； (2)求该商品的日销售收入（元）的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用可求得的值，利用表格中的数据可得出关于、的方程组，可解得、的值，由此可得出函数和的解析式； （2）求出函数的解析式，利用基本不等式、函数单调性求得在且、且的最小值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）依题意知第天该商品的日销售收入为， 解得，所以. 由表格可知，解得. 所以. （2）由（1）知， 当且时，， 当且时，. ， 当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，即. 当时，因为函数、均为减函数， 则函数为减函数， 所以当时，取得最小值，且. 综上所述，当时，取得最小值，且. 故该商品的日销售收入的最小值为元. 13．(24-25高一上·阜阳一中·)某文旅公司设计文创作品，批量生产并在旅游景区进行售卖．经市场调研发现，若在旅游季在文创作品的原材料上多投入万元，文创作品的销售量可增加千个，其中每千个的销售价格为万元，另外每生产1千个产品还需要投入其他成本0.5万元． (1)求该文旅公司在旅游季增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； (2)当为多少万元时，该公司在旅游季增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1) (2)当（万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为万元. 【分析】（1）由利润公式，结合与的函数关系式，分段写出函数解析式； （2）根据（1）的结果，分段求函数的最值，再比较即可求解. 【详解】（1）本季度增加的利润， 当时，， 当时，， 所以该公司增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系式为； （2）， 当时，， 当，即时，等号成立， 当时，是减函数，当时，取得最大值16， 因为，所以当（万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为万元. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $