精品解析：山西省山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期9月（总第三次）模块诊断数学试题

山西大学附中 2025～2026学年第一学期高三9月模块诊断（总第三次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：赵博 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若全集为，集合，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量=(1，2)，=(m，m+3)，若，则m=（ ） A. -7 B. -3 C. 3 D. 7 3. 已知随机变量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象.若是偶函数，则为（ ） A. B. C. D. 5. 已知a，b是空间两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 6. Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量与时间t关系时，得到的Malthus模型是，其中是时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是时刻细菌数量的6.3倍，则t约为（ ）．（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 在斜中，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 给出下列说法，其中错误的是（ ） A. 某病8位患者的潜伏期（天分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为4 B. 已知数据的平均数为2，方差为3，那么数据的平均数和方差分别为5，13 C. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 D. 设是随机变量，若，则 10. 已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　） A. B. C. D. 11. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. D. 若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 的展开式中的常数项为________． 13. 椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为______． 14. 已知△中内角，，满足，若在边，，上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是 __． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 如图，五面体中，四边形是正方形． （1）求证：； （2）若平面平面，，，求直线与平面所成角的大小． 16. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 17. 已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为． （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 18. 在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、乙胜丁的概率均为，甲胜丁的概率为． （1）设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X的数学期望； （2）求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率． 19. 已知函数的导函数为． （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围； （3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2025～2026学年第一学期高三9月模块诊断（总第三次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：赵博 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若全集为，集合，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合集合间的包含关系，以及补集的运算，即可求解. 【详解】由全集为，且集合，， 则，所以A、B不正确； 又由，所以为的真子集，所以C正确，D错误. 故选：C. 2. 已知向量=(1，2)，=(m，m+3)，若，则m=（ ） A. -7 B. -3 C. 3 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个向量平行的坐标表示列方程，解方程求得的值. 【详解】由于，所以，解得. 故选：C 3. 已知随机变量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由正态曲线的对称性结合必要不充分条件的定义即可得到答案. 【详解】由知，可知，故，故成立； 反之，若，则，故为充要条件， 故选：C. 4. 已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象.若是偶函数，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的图象变换求出的解析式，再利用正弦函数的奇偶性列式计算即得. 【详解】依题意，， 由是偶函数，得，， 而，则. 故选：B 5. 已知a，b是空间两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中点、线、面位置关系的判定定理和性质逐项判断可得正确的选项. 【详解】对于A，若，，，则或异面，故A错误； 对于B，若，则存在直线，使得， 由于，则，可得，故B正确； 对于C，若，，，则或相交，故C错误； 对于D，若，，设， 只有当时，才能得到，故D错误. 故选：B. 6. Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量与时间t关系时，得到的Malthus模型是，其中是时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是时刻细菌数量的6.3倍，则t约为（ ）．（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可知，，结合指对互化，即可求解. 【详解】当时，，即， 则，得. 故选：C 7. 在斜中，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得出，由为斜三角形，得出，再根据诱导公式，两角和的正切公式，基本不等式求解即可． 【详解】因为， 所以为锐角，，则，即， 所以，即，所以， 当时，即,所以，不合题意； 当时，， 所以， 所以 当且仅当，即时等号成立， 故选：B． 8. 已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式恒成立问题转化成判断函数与的符号问题，再利用二次函数和三角函数性质即可得出结论. 【详解】根据题意可得对于函数， 当时，即时，，此时满足恒成立， 因此，只需恒成立即可，因此恒成立； 又易知，所以可得， 因此可得； 当时，即或时，此时， 若，可得恒成立， 因此只需满足在上恒成立，显然不合题意； 若，可得恒成立， 因此只需满足在上恒成立， 不妨取，可得，显然不合题意； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】方法点睛：解决三角不等式往往利用三角函数有界性，并根据恒成立条件限定出含参数不等式范围，即可求得结论. 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 给出下列说法，其中错误的是（ ） A. 某病8位患者的潜伏期（天分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为4 B. 已知数据的平均数为2，方差为3，那么数据的平均数和方差分别为5，13 C. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 D. 设是随机变量，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法，可判定A错误；根据平均数和方差的性质，可得判定B错误，根据相关系数的含义，可判定C正确；根据二项分布的方差公式，可判定D错误. 【详解】对于A中，将数据从小到大排列，可得， 因为，所以数据的第50百分位数为，所以A错误； 对于B中，由数据的平均数为2，方差为3， 则数据的平均数为，方差为，所以B错误； 对于C中，根据回归分析中决定系数的含义，可得越大，说明模型拟合的效果越好，所以C正确； 对于D中，若，则，所以D错误. 故选：ABD. 10. 已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据即可判断D. 【详解】对B，，B正确； 对A，，，A错误； 对C，，，C正确； 对D， ，D正确. 故选：BCD. 11. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：由是奇函数可得，即可得；对B：由，借助赋值法计算即可得解；对C：结合B选项可得函数的周期性，结合周期性与赋值法计算即可得；对D：结合函数周期性，借助赋值法算出一个周期内的值即可得. 【详解】对于A，由题意知，， 则，所以图象的对称中心为，故A正确； 对于B，，， 两式相减得，令，得，故B正确； 对于C，由B选项可得，的周期为4，又， 故，令得 ，， 得，故C错误； 对于D，因为，又，故，又， 在中，令，得， 又由，所以， 令，得，， 又的周期为4， 则 ， 所以，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 的展开式中的常数项为________． 【答案】15 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得， 所以常数项为． 故答案为： 13. 椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可知，设，有，由和，消去得，可求椭圆离心率. 【详解】设，由椭圆的定义可得， 直线的斜率为2，则， 又，中，， 设，有， 由，得， 又，消去得， 即，所以椭圆的离心率. 故答案为： 14. 已知△中内角，，满足，若在边，，上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是 __． 【答案】## 【解析】 【分析】先应用正弦定理边角转化，再应用余弦定理结合基本不等式及正弦函数的值域得出，再根据图形边长结合正余弦定理应用两角差正弦及辅助角公式得出，最后应用面积公式求解最大值. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得：， 又因为，代入上式得：， 整理可得：， 所以，当且仅当时，等号成立， 由于，所以， 因为，所以，又此时，所以△为等边三角形，则； 如图，在△中，由余弦定理得：， 所以，所以，从而， 设，则，，， 在△中，由正弦定理得，则， 在△中，由正弦定理得， 则， 所以， 其中，所以的最大值为，当时取得最大值， 所以． 故答案为： ． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 如图，五面体中，四边形是正方形． （1）求证：； （2）若平面平面，，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 因四边形是正方形，则， 又平面，平面，则平面， 又平面平面，则，故. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面平行的判定定理证明平面，再利用线面平行的性质定理证明，最后利用平行性的传递性即可； （2）利用面面垂直的性质定理证明平面，然后建系，求出平面的法向量，再计算，从而得出线面角的正弦值，计算其夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因平面平面，，平面平面， 则平面，又平面，平面， 则，， 因，，则，则， 则以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为， 又因其夹角取值范围为，故直线与平面所成角为. 16. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）在（1）基础上，得到，利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则 ，解得， 所以； 【小问2详解】 因为，，所以， ①， ②， ①-②得， 所以. 17. 已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为． （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 【答案】（1）， （2） 由（1）知，，． 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设，，由，消去，得， 显然，，则，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标和离心率公式求出的值，从而得到双曲线方程和渐近线方程； （2）联立直线方程和双曲线方程，通过韦达定理得到相关点的坐标关系，再根据直线斜率公式证明为定值. 【详解】（1）由题意，双曲线的中心为坐标原点， 右焦点为，离心率为， 可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为，其渐近线方程为． （2）略 18. 在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、乙胜丁的概率均为，甲胜丁的概率为． （1）设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X的数学期望； （2）求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据游戏规则得到甲乙在第一轮对打，且在第二轮不对打，第三轮有可能对打，从而得到的可能值为或，其中第三轮对打为甲乙胜者组对打或甲乙败者组对打，再结合条件即可求解； （2）设在第n轮中，甲乙对打的概率为，甲丙对打的概率为，甲丁对打的概率为，根据题目条件求得，和，再分类讨论甲丙在胜者组对打或甲丙在败者组对打，从而求得，再由结合数列通项公式的求法，求得，即可求出. 【小问1详解】 由题可知，甲乙在第一轮对打，且在第二轮不对打，所以的可取值为1，2， ， 则， 所以X的数学期望. 【小问2详解】 设在第轮中，甲乙对打的概率为，甲丙对打的概率为，甲丁对打的概率为， 易知，，， 且， 又，所以， 整理得， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 即，所以，则， 故在第10轮比赛中，甲丙对打的概率为． 19. 已知函数的导函数为． （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围； （3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参； （3）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，则， 所以的图象在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由题知，， 因为有三个不同的零点， 所以方程有三个不等实根， 化简可得方程有三个不等实根， 即可看成直线与曲线有三个不同的交点， ， 所以当或时，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图1所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为． 【小问3详解】 由题知，，其定义域为， 则， 令，得或， 设，则， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减， 又当时，；当时，，且， 所以的大致图象如图2所示， 因为在定义域内有三个不同的极值点， 所以与有两个不同的交点，所以， 不妨设，则， 所以，所以 所以 ， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 又， 所以，所以在上单调递增， 因为， 所以当时，恒成立， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $