5.3实际问题与一元一次方程 题型分类解答题专题训练（二） 2025-2026学年人教版数学七年级上册

5.3实际问题与一元一次方程 题型分类解答题专题训练（二） 一、销售盈亏 1．2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”和“妮妮”均按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是5500元，求m的值？ 2．国庆节期间蔬菜加工公司共储存蔬菜吨，根据市场信息，将蔬菜直接销售，每吨可获利元；如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工吨，每吨可获利元；如果进行精加工，每天可加工吨，每吨可获利元．限于公司加工条件，在同一天中只能采用一种方式加工，计划要求必须在节日期间（7天）全部销售出去．为此公司制定了以下几种销售方案： 方案一：直接销售； 方案二：全部粗加工销售； 方案三：7天时间都进行精加工，未来得及加工的在市场上直接销售； (1)上述三种方案那种获利最多？请通过计算说明理由． (2)问：是否存在第四种方案可获得更多利润？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由． 3．某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 4．某超市实行优惠促销活动：如果一次购物不超过100元不给优惠；超过100元，而不超过300元时，按该次购物全额的九折优惠；如果超过300元，则其中300元按九折优惠，超过300元的部分按八折优惠． (1)如果小红购买物品标价是380元，则小红实际付款多少元？ (2)如果小美两次购物分别实际付款108元和318元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样物品，那么小丽的一次付款金额比小美的两次付款的总金额节省了百分之几？（结果精确到） 5．七（1）班准备开展元旦晚会，生活委员小文负责为班级购买各项物品，小文去“好运来超市”准备购买饮料，根据以下信息，探索完成任务： 信息①：购买5瓶A品牌饮料与8瓶品牌饮料共76元； 信息②：品牌饮料的单价比A品牌饮料单价的2倍少1元； 信息③：购买1瓶A品牌饮料与1瓶品牌饮料需11元． (1)在信息①②③中任选两个作为条件，求A品牌饮料和品牌饮料的单价； (2)小文说：“我买了两种饮料，共50瓶，花了286元．”学习委员说：“你肯定弄错了”．请你用方程的知识计算一下，为什么说小文弄错了？ 二、数字问题 6．如图，在的幻方的九个空格中，填入9个数字，使得处于同一横行、同一竖行、同一斜对角线上的三个数之和都相等．下图是小兰同学要填的幻方，其中有三格被涂黑了，请你根据幻方的填数规则，求出的值． 7．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何化为分数形式呢？请看以下示例：将化为分数形式． 设①，则②． 得 ， 即，于是得． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） (1)用分数表示：　 　； (2)将化为分数形式，并写出推导过程． 8．我们知道，，反过来，，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下： 设① 则② 把等式②的两边分别减去①的两边得，即 解这个方程，得 所以． (1)在以上解答过程中，由①得到②，根据的理由是：____________； (2)类比小明的解答方法，将无限循环小数写成分数的形式． 9．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，，是“递减数”；又如：四位数5324，，不是“递减数”． (1)若一个“递减数”为，则这个数为_________． (2)若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是_________． 10．小明问小白：“你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？”看着小白一脸的茫然，小明热心地为小白讲解： 【小明提出问题】利用一元一次方程将化成分数． 【小明的解答】解：设方程两边都乘以10，得．由，得．所以（请你体会将方程两边都乘10起到的作用），解得．所以． 【小明的问题】将写成分数形式． 【小白的答案】．（正确） (1)请你仿照小明的方法把下列两个小数化成分数：①，②； (2)你能通过上面的解答判断吗？说明你的理由． 三、方案选择 11．某体育用品店出售某品牌的篮球和羽毛球．已知羽毛球的标价为每个5元，篮球的标价为每个40元．节假日期间，为了让利顾客，该店推出两种优惠方案： 甲方案：篮球和羽毛球都按标价打九折出售． 乙方案：买一个篮球送一个羽毛球． 某顾客现要购买40个篮球和a个羽毛球． (1)当时，分别计算按甲、乙两种方案购买，该顾客需付款多少元？ (2)购买羽毛球多少个时，两种方案的收费相同？ 12．小麦和父母去某火锅店吃火锅，点了270元的商品，其中包含一份50元的鸳鸯锅底．用餐完毕后，小麦去付款，发现店家有两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受． 优惠方式A 可使用“50元抵100元的全场通用代金券”（即面值100元的代金券实付50元就能获得）．店家规定代金券不兑现、不找零，最多可叠加使用3张． 优惠方式B 除锅底不打折外，其余菜品全部打□折． 小麦选择优惠方式B计算，发现自己需要付款182元． (1)请用一元一次方程的知识计算一下，优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打几折？ (2)小麦如何付款最省钱？ 13．某市两超市分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元打九折，超过500元的部分打八折．已知两家超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实际付款分别是多少元？ (2)某顾客在乙超市购物实际付款428元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由． 14．某面粉加工厂现有面粉吨，若在市场上直接销售面粉，每吨可获取利润元：若制成面包销售，每吨可获取利润元；制成蛋糕销售，每吨可获取利润元．该工厂的生产能力是：若制成面包，每天可加工吨；制成蛋糕每天可加工吨．受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受空气湿度条件限制，这批面粉必须在天内全部销售或加工完毕，为此，该厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多的制成蛋糕，其余直接销售面粉． 方案二：将一部分制成面包，其余制成蛋糕销售，并恰好天完成． 你认为选择哪种方案获利最多，为什么？ 15．某旅游景点门票价格如下表：某校七年级（1）和（2）班共105人去游玩，其中七（1）班40多人不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1401元． 购票数量 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 (1)两班各有多少人？ (2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，能省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织游玩，作为组织者，你如何购票更省钱？请说明理由 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)购进“滨滨”400个，购进“妮妮”600个 (2)100 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用．需要准确梳理数量关系，将实际问题转化为数学方程求解，解题的关键是由数量关系建立等式． （1）设购进“滨滨”的个数为未知数，根据购进两种冰箱贴的总数以及总花费列出方程求解． （2）先分别计算出按标价销售和打折销售的收入，再根据利润的关系列出方程求解． 【详解】（1）解：设购进“滨滨”x个， 因为购进“滨滨”和“妮妮”一共1000个， 所以购进“妮妮”个． 所以， 解得：， 则购进“妮妮”的个数为：（个）． 答：购进“滨滨”400个，购进“妮妮”600个． （2）解：当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个时， 这部分的收入为元． “滨滨”购进400个，卖出m个后，剩余个， 剩余的“滨滨”按八折出售，售价为元/个， 这部分收入为元． “妮妮”购进600个，卖出m个后，剩余个， 剩余的“妮妮”按八折出售，售价为元/个， 这部分收入为元． 所以， 解得：． 2．(1)方案三获利最多，见解析 (2)存在，销售后所获利润为元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用； （1）根据题意分别计算三种销售方案的利润，即可求解； （2）设天用于精加工，则天用于粗加工，根据题意得出，进而计算销售利润，即可求解． 【详解】（1）解：方案三获利最多，理由如下： 方案一：， 方案二：， 方案三：， ， 所以方案三获利最多； （2）存在，销售后所获利润为元 设天用于精加工，则天用于粗加工，由题意： ， 解得： 获利： 3．(1)篮球的进价为元，足球的进价为元 (2)购进篮球个，购进足球个 (3)元 【分析】（）设足球的价格为元，则篮球的价格为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进篮球个，则购进足球个，根据题意求出单个篮球和足球的利润，进而列出方程解答即可求解； （）分别求出活动后单个篮球和足球的利润，进而根据题意列出算式计算即可； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设足球的价格为元，则篮球的价格为元， 根据题意得，， 解得， ∴， 答：篮球的进价为元，足球的进价为元； （2）解：设购进篮球个，则购进足球个， 由题意得，篮球的标价为元，足球的标价为元， ∴单个篮球的利润为元，单个足球的利润为元， ∴， 解得， ∴， 答：购进篮球个，购进足球个； （3）解：由题意得，篮球售价为元，单个利润为元，足球剩下部分售价为元，单个利润为元， ∴利润为：元， 答：该店可获得利润元． 4．(1)小红实际共付款334元 (2)小丽的购买方法比小美节省了约 【分析】本题主要考查了百分数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式进行计算即可． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）设小美付款为318元的商品总价是元，根据题意列出方程，解方程求出，得出付款为318元的总价，然后求出另外一种商品的原价，最后列式求出结果即可． 【详解】（1）解：， 答：小红实际共付款334元； （2）解：设小美付款为318元的商品总价是元， ， 解得：， （元）， （元）， 小丽的购买方法比小美节省了约． 5．(1)A品牌饮料和品牌饮料的单价分别为4元和7元 (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——购买问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系是解题的关键． （1）分3种情况：选①②，选①③，选②③，分别讨论即可； （2）设A品牌饮料买瓶，购买品牌饮料瓶，得方程，解得，a应该是整数，不能是分数，可判断错误． 【详解】（1）解：选①②，设A品牌饮料的单价为元，则品牌饮料的单价为元， 由题意可得：， 解得， ∴， 答：A品牌饮料和品牌饮料的单价分别为4元和7元． 选①③， 设A品牌饮料的单价为元，则品牌饮料的单价为元， 由题意可得：， 解得， ∴． 答：A品牌饮料和品牌饮料的单价分别为4元和7元． 选②③， 设A品牌饮料的单价为元，则品牌饮料的单价为元， 由题意可得：， 解得， ∴， 答：A品牌饮料和品牌饮料的单价分别为4元和7元． （2）解：设A品牌饮料买瓶，则购买品牌饮料瓶， 由题意可得：， 解得． 因为饮料的数量不可能是分数，所以小文弄错了． 6．的值是5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．根据同一竖行、同一斜对角线上的三个数之和都相等建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 答：的值是5． 7．(1) (2) 【分析】本题考查将循环小数化为分数，看懂题干示例是解题的关键． （1）根据题干示例进行推导求解即可得解； （2）根据题干示例进行推导求解即可得解． 【详解】（1）解：设①， 则②． 得 ， 即， 于是得． 故答案为：； （2）解：设， 则， 得 ， 解得， ∴． 8．(1)等式的性质 (2)． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用问题，等式的性质． （1）根据等式的性质求解即可解答； （2）仿照题目中的方法列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由①得到②等式两边同乘以， 故答案为：等式的性质； （2）解：设， 则， 得，， 解得， ∴． 9．(1)4312 (2)8165 【分析】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键． （1）根据递减数的定义进行求解即可； （2）根据递减数的定义得到一个关于能被9整除，再进行讨论找出最大值即可． 【详解】（1）解：是递减数， ， ， 这个数为4312； 故答案为：4312． （2）一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除， ， ， ，能被9整除， 能被9整除， 各数位上的数字互不相等且均不为0， ，，，，，，，， 最大的递减数， ，即：， 最大取6，此时， 这个最大的递减数为8165． 故答案为：8165． 10．(1)① ② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，能够仿照例题将循环小数转化为分数是解题的关键． （1）①根据转化分数的方法，设，仿照例题的解法,即可得出结论； ②根据转化分数的方法，设，仿照例题的解法即可得出结论； （2）根据题目例子解答即可． 【详解】（1）解：①设， 方程两边都乘以100，可得． 由，可得：． 解得， 故； ②设， 方程两边都乘以1000，可得． 由，可知， 即． 解得， 故； （2）解：，理由如下： 设， 方程两边都乘以10，得．由，得， 所以， 解得． 故． 11．(1)甲方案1890元，乙方案1900元 (2)购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同 【分析】该题考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）分别根据甲方案和乙方案的优惠解答即可； （2）根据“两种方案的收费相同”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：甲方案需付款：； 乙方案需付款：； （2）解：， 解得：， 答：购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同． 12．(1)优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打6折 (2)小麦应买3张代金券最省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打x折，根据锅底费用+菜品的费用列方程，解方程即可求解； （2）计算选用优惠方式A的费用，与优惠方式B比较即可求解． 【详解】（1）优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打x折， 由题意得， 解得， 答：优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打6折； （2）优惠方式A：若买1张代金券，需要付款 (元）； 若买2张代金券，需要付款（元）； 若买3张代金券，需要付款（元）； 因为， 所以选择优惠方式A时，买3张代金券最省钱，需要付款150元； 优惠方式B：需付182元， 故小麦应买3张代金券最省钱． 13．(1)甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元 (2)该顾客的选择不划算，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用. （1）根据甲乙两超市的促销方式代入计算即可； （2）根据计算可得该顾客原购物金额不超过500元，甲超市八八折,乙超市九折比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一次性购物总额是400元时： 甲超市实付款：（元）， 乙超市实付款：（元）， 答：甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元． （2）解：∵（元），， ∴该顾客购物实际金额不多于500元， ∵甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：超过了200元而不超过500元一律打九折； ∴甲超市优惠， ∴该顾客的选择不划算. 14．方案二获利最多，理由见解析． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，有理数乘法的应用，根据方案一：最多生产制成蛋糕（吨），其余的直接销售面粉，即直接销售面粉（吨），求出利润；方案二：设生产天制成面包，则天制成蛋糕，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润，比较即可得到结果，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解题的关键． 【详解】解：方案一：最多生产制成蛋糕（吨），其余的直接销售面粉，即直接销售面粉（吨）， 则利润为：（元）； 方案二：设生产天制成面包，则天制成蛋糕， 根据题意得：， 解得：， ∴天制成面包，共（吨），天制成蛋糕，共（吨）， 则利润为：（元）， ∵， ∴方案二获利最多． 15．(1)七年级（1）班47人，（2）班58人 (2)两个班联合起来，作为一个团体购票，可省351元 (3)直接购买51张票才最省钱，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设七年级（1）班x人，根据题意可以得出，从而可以解答本题； （2）用（1）中求得的费用减去两班联合起来，作为一个团体购票的费用即可求解； （3）计算购买51张票的费用与原来费用比较即可解决问题． 【详解】（1）解：设七年级（1）班x人， ， 解得，， ∴， 答：七年级（1）班47人，（2）班58人； （2）解：（元）， 答：两个班联合起来，作为一个团体购票，可省351元； （3）解：若七年级（1）班按照人数买票的花费为：（元）， 如果七年级（1）班买51张票的花费为：（元）， ∵， ∴七年级（1）班单独组织游玩，作为组织者直接购买51张票最省钱． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $