第2章 有理数及其运算（35个高频易错考点训练 共70题）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册章节复习培优专项训练

第2章 有理数及其运算（易错题考点集训） 【35个高频易错考点 共70题】 易错考点01：正负数的实际应用 2 易错考点02：有理数的分类 3 易错考点03：带“非”字的有理数 4 易错考点04：用数轴上的点表示有理数 5 易错考点05：利用数轴比较有理数的大小 6 易错考点06：数轴上两点之间的距离 7 易错考点07：数轴上点的平移（动点问题) 9 易错考点08：数轴上找原点 10 易错考点09：数轴上整点覆盖问题 11 易错考点10：数轴上的规律探究 12 易错考点11：化简多重符号 13 易错考点12：相反数的应用 14 易错考点13：绝对值的几何意义 15 易错考点14：绝对值非负性 17 易错考点15：绝对值的其他应用 17 易错考点16：有理数大小比较 20 易错考点17：有理数的加减混合运算 21 易错考点18：有理数加减中的简便运算 21 易错考点19：有理数加减混合运算的应用 23 易错考点20：根据点在数轴的位置判断式子的正负 25 易错考点21：有理数乘除混合运算 26 易错考点22：有理数乘除中的简便运算 28 易错考点23：有理数四则混合运算 29 易错考点24：有理数四则混合运算的实际应用 31 易错考点25：数轴上的翻折 33 易错考点26：乘方运算的符号规律 35 易错考点27：乘方的应用 36 易错考点28：用科学记数法表示绝对值大于1的数 37 易错考点29：将用科学记数法表示的数变回原数 38 易错考点30：算 “24” 点 39 易错考点31：含乘方的有理数混合运算 40 易错考点32：程序流程图与有理数计算 43 易错考点33：求一个数的近似数 44 易错考点34：求近似数的精确度 45 易错考点35：近似数推断取值范围 46 易错考点01：正负数的实际应用 1．（25-26七年级上·山西临汾·开学考试）学校对六年级男生进行了“1分钟跳绳”的体育测验，每分钟135次为优秀，小军跳了140次，成绩记作，小虎跳了128次，记作 ，小龙跳了169次，记作 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查正负数的意义，解题的关键是理解题意． 根据正负数的意义及题意可直接进行求解． 【规范解答】解：小虎跳了128次，记作；小龙跳了169次，记作； 故答案为：，． 2．（21-22七年级上·河南商丘·期末）生活情境·营业额某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示． 请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长% (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年 1 月和 4 月比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪个月？ 【答案】(1)3月、5月、6月 (2)今年1月和4月的营业额与去年1月和4月的营业额相比降低 (3)1月，2月，4月 【思路引导】本题考查了正数和负数，解题的关键是： （1）根据正数表示增长，可得负数表示降低； （2）根据正数表示增长，可得负数表示降低； （3）根据正数表示增长，可得负数表示降低． 【规范解答】（1）解：由正数表示增长，得该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，3月、5月、6月是增长的． （2）解：由负数表示降低，得今年1月和4月的营业额与去年1月和4月的营业额相比降低． （3）解：今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的有1月、2月、4月． 易错考点02：有理数的分类 3．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．一个数前面加上“﹣”号这个数就是负数 B．非负数就是正数 C．正数和负数统称为有理数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【思路引导】本题考查了有理数的分类的知识，根据负数的定义和有理数的分类判断即可． 【规范解答】解：A、一个负数前面加上“﹣”号，这个数就是正数，原说法错误，故选项A不符合题意， B、非负数就是正数和0，故选项B错误，不符合题意， C、有理数包括正数、0和负数，故选项C错误，不符合题意， D、0既不是正数也不是负数，正确，故选项D符合题意， 故选：D． 4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）把下面的有理数填在相应的大括号里： 15，，0，，，，，． 正数集合：{                         …}； 负数集合：{                         …}； 整数集合：{                         …}． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握正数，负数，整数的定义． 根据正数，负数，整数的定义求解即可． 【规范解答】解：正数集合：{15，，， …}； 负数集合：{，，，， …}； 整数集合：{15，0，，， …}． 易错考点03：带“非”字的有理数 5．（24-25七年级上·四川德阳·期中）下列各数：，，，，，，，，，，，． 其中正分数有 个，非负整数有 个． 【答案】 【思路引导】本题考查有理数的分类． 分别找出正分数和非负整数，确定个数即可． 【规范解答】解：正分数有：，， 非负整数有：，，，，， ∴正分数有个，非负整数有个， 故答案为：，． 6．（24-25七年级下·重庆永川·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，，，； 整数集合：_______________________________________； 正数集合：______________________________________； 负分数集合：____________________________________； 非负有理数集合：_________________________________． 【答案】见解析 【思路引导】此题考查了有理数的分类．熟练掌握有理数的分类是关键．根据分母为1的数是整数，可得整数集合，根据大于零的数是正数，可得正数集合；根据小于零的分数是负分数，可得负分数集合，根据非负有理数包括正数和零，可得答案． 【规范解答】解：整数集合：，，； 正数集合：，，，； 负分数集合：，，； 非负有理数集合：，，，，． 易错考点04：用数轴上的点表示有理数 7．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 【答案】(1)4 (2)数轴表示见解析， 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点间的距离计算，有理数与数轴，化简多重符号和求一个数的绝对值： （1）根据题意可得点A与原点的距离为3，那么从点A的位置向右数3格即为原点位置，据此画出原点，再求出点B表示的数即可； （2）先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【规范解答】（1）解：如图所示， 点B表示的数是， 故答案为：； （2）解：，，，， 有理数，，，在数轴上表示如图： 由数轴可知：． 8．（19-20七年级上·吉林四平·期中）（1）将下列各数填入相应的圈内：，，0，，，．    （2）说出这两个圈的重叠部分表示的是什么数的集合______； （3）在如图所示的数轴上表示出这些数，并用“”把它们连接起来．    【答案】（1）见解析 （2）正整数 （3），数轴见解析 【思路引导】本题考查了有理数的分类，用数轴表示有理数，有理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据正数，整数的概念填写即可； （2）由题意可知，重叠部分既是整数又是正数，从而推出答案为正整数； （3）先在数轴上表示出各数，然后用“”连接起来即可． 【规范解答】解：（1）如图所示：    （2）由题意可知，重叠部分既是整数又是正数，那么重叠部分为正整数的集合； 故答案为：正整数； （3）如图所示，下图为所求：    用“”把它们连接起来为：． 易错考点05：利用数轴比较有理数的大小 9．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来：， ，，，． 【答案】数轴见解析， 【思路引导】本题主要考查了有理数与数轴，解题的关键是把已知各数先计算出来．先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【规范解答】解： ，，， 数轴表示如下： ． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）现已知数轴上的点、、、、、分别表示，，，，，，运用数轴解决下面问题． (1)把各点画在数轴上，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来； (2)直接写出、和、两点之间的距离． 【答案】(1)见解析， (2)、两点之间的距离为，、两点之间的距离为 【思路引导】本题考查数轴． （1）根据数轴上各点表示的数把点、、、、、分别表示在数轴上，按照从左到右的顺序把各点表示的数写出来，并用“”连接即可； （2）分别求出两点所表示数的差的绝对值即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： ； （2）解：，， ∴、两点之间的距离为，、两点之间的距离为． 易错考点06：数轴上两点之间的距离 11．（24-25七年级上·四川德阳·期中）点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数互为相反数，若点B所表示的数为n，点A与点B之间的距离为2，则点D所表示的数为 ．（请用含有n的式子表示）． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查数轴上点之间的距离，根据给定点B和点与点之间距离求得点A，利用点、表示的数互为相反数即可求得点D． 【规范解答】解：∵点所表示的数为，点与点之间的距离为2， ∴点A所表示的数为， ∵点、表示的数互为相反数， ∴点所表示的数为． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，0，10，点C是数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点C到A、B两点的距离相等，点C表示的数为_______，点C在数轴______（填“正”或“负”）半轴； (2)数轴上是否存在点C，使得点C到点A的距离恰好是点A到点B距离的？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)2；正； (2)或 【思路引导】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键； （1）根据点C到A、B两点的距离相等，求得点A、B间的距离，再用点B表示的数减去A、B两点间距离的一半即可得到点C表示的数； （2）由A、B两点的距离为16，可知以，再根据点和点的位置关系，分两种情况讨论，利用数轴上两点之间的距离公式求解即可． 【规范解答】（1）解：因为点C到A、B两点的距离相等，点A，B在数轴上表示的数分别为，10， 所以， ， 所以点C表示的数为， 所以点C在数轴正半轴， 故答案为：2；正； （2）解：存在； 因为点A、B间的距离为：，点C到点A的距离恰好是点A到点B距离的， 所以， ①当点C在点A的左边时，点C表示的数为：， ②当点C在点A的右边时，点C表示的数为：； 综上所述，x的值为：或 . 易错考点07：数轴上点的平移（动点问题) 13．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，圆的周长是4个单位长度，均匀分布0、1、2、3四个数字，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查数轴，理解数轴表示数的方法以及圆周上数字与数轴上的数的对应关系是正确解答的关键．根据数轴表示的方法以及所呈现的规律进行解答即可． 【规范解答】解：起始时，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合， 顺时针旋转1周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，即， 顺时针旋转2周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，即， 顺时针旋转3周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，即， 顺时针旋转4周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，即， 由于， 所以数轴上的数将与圆周上的数字2重合， 故选：C． 14．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)画出数轴，标出A，B，C三点在数轴上的位置，并写出A，B，C三点表示的数； (2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？ (3)若蚂蚁从点D出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D表示的数． 【答案】(1)见解析，4，6， (2)向左，4个单位 (3) 【思路引导】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴上的点与数的对应关系． （1）画出数轴并标出A，B，C三点即可求解； （2）根据（1）中所画数轴写出即可； （3）根据正负数在轴上的意义“向右为正，向左为负”来解答． 【规范解答】（1）如图： A，B，C三点表示的数分别为4，6，； （2）点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了4个单位长度得到的； （3）点D表示的数为． 易错考点08：数轴上找原点 15．（24-25七年级上·山东聊城·期中）如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的倍，那么数轴的原点是，，，中的哪个点?（         ） A．点 B．点 C．点或点 D．点或点 【答案】C 【思路引导】本题考查的知识点是数轴上找原点、用数轴上的点表示有理数，解题关键是熟练掌握数轴的相关知识点． 依题得：，分别假设数轴的原点是，，，，判断是否满足题意即可． 【规范解答】解：依题得：， 当数轴的原点是点时，，，不满足 当数轴的原点是点时，，，不满足； 当数轴的原点是点时，，，满足； 当数轴的原点是点时，，，满足； 综上，点或点都有可能是数轴的原点． 故选：． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上． (1)若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为___________； (2)若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为___________； (3)若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置． 【答案】(1)B； (2)C； (3)见解析 【思路引导】此题主要考查了相反数与数轴之间的对应关系，有一定的综合性，要求学生首先正确理解题意，才能利用数形结合的思想解题． （1 ）（2 ）根据相反数的定义可求原点； （3 ）根据相反数的定义可求原点，再在数轴上表示出原点O的位置即可． 【规范解答】（1）解：若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B； 故答案为：B； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C； 故答案为：C． （3）如图所示： 易错考点09：数轴上整点覆盖问题 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 【答案】C 【思路引导】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时. 【规范解答】解：、 起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整数点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整数点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整数点包括起点到终点共个. 、起点不在整数点： 若线段起点在两个整数点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整数点从到，共个. 综上，线段盖住的整数点个数为或. 故选：. 18．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 【答案】2 【思路引导】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键． 根据数轴的特点，数形结合分析即可求解． 【规范解答】解：根据数轴的特点，墨迹盖住的整数有，，共2个， 故答案为：2 ． 易错考点10：数轴上的规律探究 19．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【思路引导】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【规范解答】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上． 点对应的数轴上的数可能为2021， 故选：B． 20．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了数轴上的规律探索； 根据圆的滚动可得四个字母一循环，被整除后余3，从点与数字0对应开始计算，然后即可求解； 【规范解答】解：圆的周长为4个单位长度， 个数字为一个循环， ∵点与数字0对应，， 对应的字母是． 故选：A． 易错考点11：化简多重符号 21．（21-22七年级上·广西柳州·期末）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． ，，0，， 【答案】图象见解析， 【思路引导】本题考查了数轴．化简和，再在数轴上将每个数表示出来，根据数轴上左边的数小于右边的数即可用“”把这些数连接起来． 【规范解答】解：，， 在数轴上，各个数表示为： ∴ ． 22．（24-25七年级上·河南新乡·期中）在数轴上把下列各数表示出来，并用“<”连接各数． 【答案】图见解析， 【思路引导】此题主要考查了有理数的比较大小，以及数轴，关键是掌握当数轴方向朝右时，左边的数总比右边的数小． 首先化简各数，再在数轴上表示出各数，再根据当数轴方向朝右时，左边的数总比右边的数小，用“＜”连接即可． 【规范解答】解：， 在数轴上数表示各数，如图所示： ∴． 易错考点12：相反数的应用 23．（2023·广东广州·一模）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较．从数轴得出，，据此判断即可． 【规范解答】解：由题意可知，，且，如图， ， 观察四个选项，选项B符合题意． 故选：B． 24．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据数轴可知，且，然后逐项分析即可． 【规范解答】解：由数轴可知，，且， ∴，结论A正确，符合题意； ，故结论B错误，不符合题意； ，故结论C错误，不符合题意； ，故结论D错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数轴、相反数、绝对值、利用数轴比较有理数大小等知识，解题的关键是理解数轴上左边的数小于右边的数以及绝对值的几何意义． 易错考点13：绝对值的几何意义 25．（24-25七年级上·湖北黄石·阶段练习）数轴上表示有理数，，的点如图所示． (1)填空：____，____； (2)在图中的数轴上表示，，； (3)将，，，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由数轴可得，，再由绝对值的意义即可得解； （2）由数轴可得，，，从而可得，，，再表示在数轴上即可； （3）根据数轴比较大小即可． 【规范解答】（1）解：由数轴可得：，， ∴，； （2）解：由数轴可得：，，， ∴，，， ∴在图中的数轴上表示，，如图所示： （3）解：由数轴可得：． 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知a、b是有理数，，且，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查绝对值，数轴表示数，理解绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法是正确解答的前提．根据绝对值的意义，结合两数的大小关系，进行判断即可． 【规范解答】解：由于，即a为非正数，b为非负数， 又∵， ∴，且， 在数轴上表示a、b大致如下： 故选：C． 易错考点14：绝对值非负性 27．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）已知，求式子的值． 【答案】9 【思路引导】本题考查了绝对值的非负性，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 先根据绝对值的非负性求出的值，然后把求得的的值代入计算即可． 【规范解答】解： ，，，． ，，． ，，． ，，， ． 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）给出下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①③ 【思路引导】本题主要考查了绝对值的相关知识，掌握绝对值的相关知识是解题的关键．按照绝对值的相关知识逐一分析即可． 【规范解答】解：①若，则a为负数，由负数的绝对值是它的相反数可知：，故正确； ②若，a与b不一定相等，故错误； ③若，由于为非负数，则，故正确； 综上，正确的有：①③． 故答案为：①③． 易错考点15：绝对值的其他应用 29．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10，3；②，； (2)1或3； (3)不变，5． 【思路引导】（1）①根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；②根据数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动进行求解即可得到结果； （2）由（1）②得t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，则，再由，可得，由此求解即可； （3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，即可得出线段的长度． 【规范解答】（1）解：①由题意得：，线段AB的中点C为， 故答案为：10，3； ②数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动． t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，； （3）解：不发生变化，理由如下： ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式． 30．（24-25八年级上·四川乐山·开学考试）下面说法正确的有（    ） （1）互为相反数的两数的绝对值相等； （2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； （3）若，则； （4）若，则． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4） 【答案】A 【思路引导】依次分析每个说法，根据相反数、绝对值的性质判断其正确性．本题主要考查相反数和绝对值的性质，熟练掌握“互为相反数的两数绝对值相等、正数和的绝对值等于本身、负数的绝对值等于其相反数”是解题的关键． 【规范解答】解：（1）互为相反数的两个数到原点的距离相等，而绝对值是数在数轴上所对应点到原点的距离 互为相反数的两数的绝对值相等，（1）说法正确． （2）正数的绝对值是它本身，的绝对值是（也等于本身 ），负数的绝对值是它的相反数（不等于本身 ） 一个数的绝对值等于本身，这个数是正数或，即不是负数，（2）说法正确． （3）当时，；当时，（因为是负数，是正数，正数大于负数 ） 若，则，（3）说法正确． （4）当，时， ，但，， （4）说法错误． 故选：A ． 易错考点16：有理数大小比较 31．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来． 3.5，，2，，，0.5 【答案】见解析， 【思路引导】本题考查了有理数大小的比较．利用数轴，根据在数轴上表示的数，右边的总比左边的大，用不等号连接起来． 把各个数表示在数轴上，根据数轴上表示的数，右边的数总大于左边的数，用“”连接起来即可． 【规范解答】解：如数轴所示 ∴． 32．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）比较下列两数大小，结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了比较有理数的大小．根据正数大于负数、两个负数,绝对值大的反而小进行解答即可． 【规范解答】解：A、 ，，则该选项正确； B、，，，，，，则该选项错误； C、，，则该选项正确； D、，， ， 则该选项正确； 故选：B． 易错考点17：有理数的加减混合运算 33．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）计算：． 【答案】9 【思路引导】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是利用加法交换律和结合律． 利用加法交换律和结合律，把同分母的分数结合在一起，分别计算后再求和． 【规范解答】解： ． 34．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）规定一种新运算“”，即，例如，根据规定完成下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)0 【思路引导】（1）根据计算即可，相当于； （2）先计算为，再计算即可； 本题考查了有理数的加减法，解题的关键是找准a，b对应的值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 易错考点18：有理数加减中的简便运算 35．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【思路引导】（1）按有理数减法法则计算即可； （2）按有理数加减法法则计算即可； （3）将分母相同的先进行相加即可； （4）先将分数化为小数，并去掉绝对值符号和括号，再进行计算即可． 本题考查了有理数的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 36．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据加法交换率和结合律简便计算； （2）根据加法交换率和结合律简便计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 易错考点19：有理数加减混合运算的应用 37．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）中秋节期间，子涵和妈妈一块去商场购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼共计枚．回家后子涵很仔细地看了看标签和有关说明，把8枚月饼的质量称重后统计列表如表（单位：克）： 序号 质量（克） (1)子涵为了简化运算，选取了一个恰当的基准质量，这个基准质量是_______克． (2)依据这个基准质量，子涵把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出表格（不完整）： 序号 质量（克） 　  　  　  　  　  请补全表格，并计算这枚月饼的平均质量． 【答案】(1) (2)表格见解析；这枚月饼的平均质量为克 【思路引导】本题主要考查了正数和负数，有理数的混合运算的实际应用，根据题意列式计算是解题关键． （1）根据（2）中的第、个计数即可求解； （2）根据（1）中的基准质量为克即可补全表格，再根据（2）中正负计数即可求解平均质量． 【规范解答】（1）解：根据（2）中第个重量记作，第个重量记作， 这个基准质量是（克）． 故答案为：． （2）解：根据（1）中的基准质量为克， 第个重量，记作， 第个重量，记作， 第个重量，记作， 第个重量，记作， 第个重量，记作， 补全表格如下： 序号 质量（克）         这枚月饼的平均质量为：（克）． 38．（2025七年级上·浙江·专题练习）井冈山是红色革命旅游圣地，据统计2020年9月30日到井冈山旅游的人数为1万人，十一黄金周期间（共6天），井冈山每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 人数变化（万人） (1)请判断十一黄金周期间游客人数最多和最少的各是哪一天？它们相差多少万人？ (2)求十一黄金周期间去井冈山旅游的总人数． 【答案】(1)十一黄金周期间游客人数最多是10月3日，最少的是10月1日；它们相差万人 (2)十一黄金周期间去井冈山旅游的总人数是万人 【思路引导】此题考查了有理数的正负数概念、运算、比较等知识解决实际问题的能力，关键是能利用正负数的概念，准确列出算式并计算、比较． （1）求出十一黄金周期间每天的游客数量进行比较； （2）每天的游客数量进行求和即可． 【规范解答】（1）解：（1）（万人）， （万人）， （万人）， （万人）， （万人）， （万人）， 又， 且（万人）， ∴十一黄金周期间游客人数最多是10月3日，最少的是10月1日；它们相差万人， 答：十一黄金周期间游客人数最多是10月3日，最少的是10月1日；它们相差万人； （2） （万人）， 答：十一黄金周期间去井冈山旅游的总人数是万人． 易错考点20：根据点在数轴的位置判断式子的正负 39．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如下图所示． (1)试判断a，b，c的符号，并比较它们的绝对值的大小． (2)若，，，试计算与的值． 【答案】(1)，，， (2)， 【思路引导】本题考查有理数与数轴，绝对值，代数式求值，判断出a，b，c的符号是解题的关键． （1）直接根据数轴上的点位置即可判断； （2）根据a，b，c的符号及绝对值，得出a，b，c的值，代入计算即可． 【规范解答】（1）解：由数轴可知，，，，． （2）解： ，，，，，， ，，， ，． 40．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，有理数的加减法运算，相反数．根据数轴确定有理数的大小关系是解题的关键． 【规范解答】解：由数轴得，， ∴， ∴B正确，符合题意；A、C、D均错误，不符合题意， 故选：B． 易错考点21：有理数乘除混合运算 41．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)20 (4) 【思路引导】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据有理数的乘除混合运算法则求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 42．（2025七年级上·江苏南通·专题练习）计算，能简算的要用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)7 (2)39 (3) (4)8 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，解决此题的关键是注意计算的正确性；根据有理数的运算步骤先乘除后加减，有括号的先算括号里面的，一步步进行计算即可； 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 易错考点22：有理数乘除中的简便运算 43．（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，要注意使用运算律进行简便运算. （1）使用乘法交换律进行简便运算； （2）使用乘法交换律进行简便运算； （3）先确定符号以及统一为假分数形式，再使用乘法交换律进行简便运算； （4）先确定符号以及统一为假分数形式，再使用乘法交换律进行简便运算； 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 44．（25-26七年级上·全国·周测）计算：． 【答案】10 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，先利用乘法分配律计算，然后求和，最后运算除法解答即可． 【规范解答】解：原式 ． 易错考点23：有理数四则混合运算 45．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 解法：原式． 解法：原式的倒数为 ，所以原式． (1)上述解法中，你认为解法 是错误的； (2)计算：． 【答案】(1)① (2) 【思路引导】本题考查分数混合运算，解题的关键是掌握分数相关的运算法则． （1）由除法没有分配律可得，解法①是错误的； （2）求出，可得． 【规范解答】（1）解：观察可得，解法①是错误的，除法没有分配律． （2）解：原式的倒数为 ； ∴ 46．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查有理数的混合运算． （1）把分数化为小数，按照加法交换律计算即可； （2）按照乘法分配律计算即可； （3）按照运算法则计算即可； （4）按照运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 易错考点24：有理数四则混合运算的实际应用 47．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）2024年中考的第一天，为了考生出行方便，出租车司机张华从家出发，在东西走向的大道上免费接送考生，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)若出发地记为0，最后一名考生被送到目的地时，张华在出发地的什么方向，距离出发地点多少千米？ (2)若出租车耗电量为度/千米，张华出发前仪表盘显示电量充足，共13度电，当他送完最后一名考生后，能否顺利开车回家？为什么？ 【答案】(1)张华在出发地的西边，距离出发地点25千米 (2)不能，见解析 【思路引导】此题主要考查了正数与负数，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．也考查了绝对值的意义和有理数的混合运算． （1）直接将所有数据相加得出答案即可； （2）先算出所有记录数的绝对值与25的和，再乘以度/千米，再与13度电比较即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得： ，                      故张华在出发地的西边，距离出发地点25千米. （2）解： （度）度， 则当他送完最后一名考生后，不能顺利开车回家. 48．（20-21七年级上·陕西商洛·期末）身体健康是人生最大的财富．小张老师是某中学“教师跑团”的成员之一，天天坚持跑步锻炼，他每天以3000米为标准，超过记为正数，不足记为负数．下表记录了小张老师上周的跑步情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 跑步情况 (1)小张老师星期三跑了______米； (2)上周小张老师跑步最多的一天比最少的一天多跑了多少米？ (3)若小张老师跑步的平均速度为200米/分钟，则上周他用了多少分钟跑步锻炼？ 【答案】(1)2800 (2)多跑了750米 (3)分钟 【思路引导】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据星期三跑步情况为，且结合每天以3000米为标准，超过记为正数，不足记为负数，进行列式计算，即可作答． （2）跑步最多的一天是星期日，跑步最少的一天是星期五，再进行列式计算，即可作答． （3）先运算总的跑步路程，再除以速度，得出上周他跑步锻炼的时间，即可作答． 【规范解答】（1）解：（米）， ∴小张老师星期三跑了2800米； （2）解：（米）， 答：上周小张老师跑步最多的一天比最少的一天多跑了750米； （3）解：（米）， （分钟） 答：上周他用了108.5分钟跑步锻炼． 易错考点25：数轴上的翻折 49．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： (1)数轴上10表示的点与___________表示的点重合． (2)若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2023次后，数轴上表示点的数与折叠后的哪个数重合？ 【答案】(1) (2)、两点表示的数是、 (3)正方形滚动次后，数轴上表示点的数与折叠后的重合 【思路引导】本题考查了数轴上两点的距离，数字类规律探究； （1）先求出和的中点，再根据对称列式计算即可求解； （2）根据中点定义求出的一半，然后分别列式计算即可； （3）根据边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，正方形滚动一次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动、4次后顶点A落在表示的点处，即可求出正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：在数轴上表示的点与表示的点重合， 数轴上表示的点与表示的点的中点是表示的点． 数轴上表示的点与表示的点重合． 故答案为； （2）数轴上、两点之间的距离为， ， ， 点表示的数为， 点表示的数为． 答：、两点表示的数是、； （3）边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处， ∴正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示7的点处 正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示的点处 规律是：正方形滚动第（是正整数）次、第次时，点落在数轴上表示的点处 正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处， 此时，点距离数轴上2表示的点的距离为：， 正方形滚动次后，数轴上表示点的数与折叠后的重合． 50．（22-23七年级上·吉林·阶段练习）已知在纸面上有一数轴如图，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数； (2)在数轴上画出与点A的距离为2的点（用不同于A、B的其他字母表示），并写出这些点表示的数； (3)折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①10表示的点与数________表示的点重合； ②若数轴上M、N两点之间的距离为2018（点M在点N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数是多少？ 【答案】(1)点A表示的数为1，点B表示的数为 (2)见解析 (3)①；②点M表示的数为，点N表示的数为 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数： （1）根据数轴上点的位置即可得到答案； （2）根据数轴上两点距离计算公式得到与点A距离为2的点表示的数为或3，据此在数轴上表示出对应的点即可； （3）①先求出折叠中心为2，再根据与10重合的数到折叠中心的距离等于10到折叠中心的距离进行求解即可； ②根据题意可得点M和点N到折叠中心的距离都为1012，据此根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【规范解答】（1）解：由数轴可知，点A表示的数为1，点B表示的数为； （2）解：∵点A表示的数为1， ∴与点A距离为2的点表示的数为或3， 如图所示，点C和点D即为所求； （3）解：①∵折叠纸面，在数轴上表示的点与表示5的点重合， ∴折叠中心为， ∴数轴上表示10的点与表示的点重合， 故答案为：； ②∵数轴上M，N两点之间的距离为2018（点M在点N的左侧），且M，N两点经折叠后重合， ∴点M和点N到折叠中心的距离都为1009， ∴点M表示的数为，点N表示的数为． 易错考点26：乘方运算的符号规律 51．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）将，，从小到大排列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据乘方法则计算各数，根据有理数大小比较的法则比较即可． 本题考查的是有理数的大小比较、有理数的乘方，掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小是解题的关键． 【规范解答】解：，，， ， ． 故选：B． 52．（24-25七年级上·山东济宁·期中）已知，则的值是 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【规范解答】解：， ，， ，， ． 故答案为：1． 易错考点27：乘方的应用 53．（25-26七年级上·全国·课后作业）某种金属元素铋会进行衰变，每次在一个周期里，衰变的量是上一次量的一半，铋的周期（半衰期）是1小时，设原有1克未衰变的铋，则1小时后有0.5克发生了衰变，再过1小时又有0.25克发生了衰变，衰变一直按照这种规律发生下去，请问5小时后，共有 克铋发生了衰变． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是理解题意，列出算式． 将每个小时的衰变量相加，计算可得结果． 【规范解答】解：由题意可得： ， 故答案为：． 54．（21-22六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在我国古代著名哲学著作《庄子•天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取一半，万世不竭．”这句话的大意是：“一尺长的木棒，第一天取一半，第二天取走剩下的一半，以后每天取走前一天所剩下的一半．这样下去，永远也取不尽．”按上面的取法，从星期一算起，到星期五，这根木棒还剩下 尺． 【答案】 【思路引导】本题主要考查分数乘法的应用及乘方的意义，找出题中变化规律是解题的关键，根据变化利用分数乘法的意义求得剩下的长度即可． 【规范解答】解：第一天截取后剩余的长度为：（尺）； 第二天截取后剩余的长度为：（尺）； 第三天截取后剩余的长度为：（尺）； …… 第五天截取后剩余的长度为：（尺）． 故答案为： 易错考点28：用科学记数法表示绝对值大于1的数 55．（2025·江西新余·三模）据商务部消息，年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至月日，今年全国 电动自行车售旧、换新各万辆，超过年总和．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【规范解答】解：万， 故选：． 56．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）据贵阳市疾控中心统计，截至2023年10月30日，贵阳市已有3100000余人完成流感疫苗接种，将数字3100000用科学记数法表示，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【思路引导】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【规范解答】解：， 根据科学记数法的表示形式可知，n的值为6． 故选：B． 易错考点29：将用科学记数法表示的数变回原数 57．（25-26七年级上·全国·课后作业），全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2月9日，的累计下载量已超过亿次，周活跃用户规模高达人．其中表示的原数中，7的后面有 个零． 【答案】6 【思路引导】本题主要考查了科学记数法表示绝对值较大的数，解题的关键是对科学记数法表示的数进行还原． 对科学记数法表示的数进行还原即可． 【规范解答】解：，即原数7的后面有6个0． 故答案为：6． 58．（2025七年级上·全国·专题练习）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2000000 (2)603000 (3) 【思路引导】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法，正确确定a，n的值是解题的关键．科学记数法的表示形式为，n的值为整数，当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，当原数的绝对值小于1时，n为负整数． （1）利用科学记数法的法则解答即可； （2）利用科学记数法的法则解答即可； （3）利用科学记数法的法则解答即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴的原数为2000000； （2）解：∵， ∴的原数为603000； （3）解：∵， ∴的原数为． 易错考点30：算 “24” 点 59．（25-26七年级上·全国·单元测试）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片上数字是 、 ，乘积的最大值为 ． 简要说明你这样选的原因： (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片上数字是 、 ，商的最小值为 ． 简要说明你这样选的原因： (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片上数字是 、 、 、 ，写出完整算式及运算过程． 【答案】(1)，，15，原因见解析 (2)，3，，原因见解析 (3)，，3，0，算式及运算过程见解析 【思路引导】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）这5个数两两相乘，结果可为正、负或零，要乘积最大，结果一定是正数；而积为正，只能是正正相乘或负负相乘，即或，所以选，； （2）这5个数选两个相除，结果可为正、负或零．要商最小，结果一定是负数，而商为负，只能异号两数相除，负数的绝对值越大反而越小，所以商的最小值是． （3）我抽取的4张卡片上数字是：，，3，0，首先用减去3，构造出；然后用与的乘积加上0即可． 【规范解答】（1）解：我抽取的2张卡片上数字是，，乘积的最大值为：． 这5个数两两相乘，结果可为正、负或零，要乘积最大，结果一定是正数；而积为正，只能是正正相乘或负负相乘，即或，所以选，； （2）解：我抽取的2张卡片上数字是、3，商的最小值为：． 这5个数选两个相除，结果可为正、负或零．要商最小，结果一定是负数，而商为负，只能异号两数相除，负数的绝对值越大反而越小，所以商的最小值是； （3）解：我抽取的4张卡片上数字是：，，3，0， ． 故答案为：，，3，0． 60．（25-26七年级上·全国·单元测试）有一种“二十四点”游戏，其规则：任取4个有理数，把它们进行加、减、乘、除四则运算（每个数用且只能用一次），可以用括号，使其结果为24，如1，2，3，4，可作运算． (1)有理数4，5，7，8，你能算出24吗？ (2)有理数4，5，，，你能算出24吗？ (3)有理数3，，7，中，把它们算出24． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的信息和要求写出一个算式使其结果为24； （2）根据题意写出一个算式使其结果为24； （3）根据题意写出一个算式使其结果为24． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 易错考点31：含乘方的有理数混合运算 61．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了有理数的加减混合运算，含乘方的有理数混合运算，有理数的乘法分配律，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则计算求解，即可解题； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则计算求解，即可解题； （4）根据有理数的乘法分配律计算求解，即可解题． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 62．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算，乘法运算律，绝对值等运算，解题的关键是掌握各运算法则． （1）运用乘法对加法的分配律进行计算即可； （2）先进行乘方和绝对值的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 易错考点32：程序流程图与有理数计算 63．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，按照如下程序进行计算，当输入的时，输出的y的值为 ． 【答案】13 【思路引导】本题主要考查了根据程序进行有理数的混合运算，熟练掌握运算规则是解题的关键．先判断输入的是奇数还是偶数，再根据程序对应的运算规则计算的值． 【规范解答】解：∵是偶数， ∴按照偶数的运算规则计算： 故答案为：． 64．（25-26七年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2025次输出的结果为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查有理数与程序运算问题，从程序中找到规律是解题的关键．根据流程图以及整式的运算即可求出答案． 【规范解答】解：由题意得，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为 ， 第三次输出的结果为 ， 第四次输出的结果为 ， 第五次输出的结果为， …… ∴从第三次开始，第奇数次输出的结果是，第偶数次输出的结果是， ∵2025是奇数， ∴第2025次输出的结果为， 故答案为：． 易错考点33：求一个数的近似数 65．（22-23七年级上·湖北黄石·期中）兴龙公司今年种植的猕猴桃获得大丰收，星期六兴龙公司卖给了某客商10箱猕猴桃．若每标准箱猕猴桃的净重为5千克，超过标准数的部分记为“”，不足标准数的部分记为“”，兴龙公司卖给了该客商10箱猕猴桃记录如下：；；；；；；；0；；． (1)请计算这10箱猕猴桃的总重为多少千克？ (2)如果猕猴桃的价格为9元/千克，兴龙公司出售这10箱猕猴桃共收入多少元？（精确到1元） (3)若都用这种纸箱装，兴龙公司的猕猴桃共能装约2000箱，按照目前这个价格，把猕猴桃全部出售，兴龙公司大约能收入多少元？（精确到万位） 【答案】(1)52千克 (2)468元 (3)元 【思路引导】此题主要考查了有理数混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法，确定这10个数的和，再计算这10箱猕猴桃的总重量； （2）根据总收入总重量单价，列出算式，然后计算即可得解； （3）求出1箱猕猴桃的总价，乘以2000即可得． 【规范解答】（1）解：（千克）． （千克）． 答：这10箱猕猴桃的总重为52千克． （2）解：（元）． 答：兴龙公司出售这10箱猕猴桃共收入468元． （3）解：（元）， 元元． 答：兴龙公司大约能收入元． 66．（24-25七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）（精确到个位） ； （2）（精确到十分位） ； （3）（精确到） ． 【答案】 0 【思路引导】本题主要考查近似数的求法，掌握最后一位所在的位置就是精确度，注意保留数位上的0不能去掉． （1）精确到个位，就看小数点后面第一位，利用“四舍五入”法解答即可； （2）精确到十分位，即保留小数点后面第一位，看小数点后面第二位，利用“四舍五入”法解答即可； （3）精确到，就看千分位，利用“四舍五入”法解答即可． 【规范解答】解：（1）（精确到个位）； 故答案为：0； （2）（精确到十分位）； 故答案为：； （3）（精确到）； 故答案为：． 易错考点34：求近似数的精确度 67．（24-25七年级上·全国·期中）用四舍五入法取近似值： （精确到；0.23精确到 位；精确到 位 【答案】 1.895 百分位 百位 【思路引导】本题考查的是按照精确度确定近似数，掌握“按照四舍五入的方法根据精确度确定近似数”是解本题的关键.取近似数，精确到哪一位，就是对下一位进行四舍五入． ①精确到0，001，就把万分位上的数字进行四舍五入即可； ②小数保留两位小数，就是精确到百分位； ③用科学记数法表示的数，是确定精确到哪位，首先要把这个数还原成一般的数，然后看其中的最后一个数字在还原的数中是什么位，则用科学记数法表示的数就精确到哪位． 【规范解答】解：， 0.23精确到了百分位， ∵， ∴精确到了百位． 故答案为：①1.895；②百分位；③百位． 68．（2025七年级上·浙江·专题练习）下列各数精确到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要考查小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数． 精确到，即保留小数点后面第二位，然后利用“四舍五入”法解答，所以只要看选项中保留的小数是不是二位数即可． 【规范解答】解：A、，保留到小数点后面第三位，即精确到千分位，不符合题意； B、，保留到小数点后面第一位，即精确到十分位，不符合题意； C、，保留到小数点后面第二位，即精确到百分位，符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 易错考点35：近似数推断取值范围 69．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如果一个数省略亿位后面的尾数得到的近似数是4亿，将这个数的最大值减去最小值所得的结果记为a，那么a是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了亿以内的数的近似数，根据四舍五入可知一个数省略亿位后面的尾数得到的近似数是4亿，最大的数是，最小的数是，即可作答． 【规范解答】解：∵一个数省略亿位后面的尾数得到的近似数是4亿， ∴最大的数是，最小的数是， ∴， 故选：A 70．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【近似数】一个三位小数四舍五入到百分位约是2.96，这个三位小数最大是 ． 【答案】2.964 【思路引导】本题考查用“四舍五入”方法对小数的大小进行判断．根据“四舍五入”进行解答即可． 【规范解答】解：要使这个三位小数最大，就要用“四舍”，所以千分位上最大是4， 所以这个三位小数最大是2.964． 故答案为：2.964． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数及其运算（易错题考点集训） 【35个高频易错考点 共70题】 易错考点01：正负数的实际应用 2 易错考点02：有理数的分类 3 易错考点03：带“非”字的有理数 3 易错考点04：用数轴上的点表示有理数 3 易错考点05：利用数轴比较有理数的大小 4 易错考点06：数轴上两点之间的距离 5 易错考点07：数轴上点的平移（动点问题) 5 易错考点08：数轴上找原点 6 易错考点09：数轴上整点覆盖问题 7 易错考点10：数轴上的规律探究 7 易错考点11：化简多重符号 7 易错考点12：相反数的应用 8 易错考点13：绝对值的几何意义 8 易错考点14：绝对值非负性 9 易错考点15：绝对值的其他应用 9 易错考点16：有理数大小比较 10 易错考点17：有理数的加减混合运算 11 易错考点18：有理数加减中的简便运算 11 易错考点19：有理数加减混合运算的应用 12 易错考点20：根据点在数轴的位置判断式子的正负 13 易错考点21：有理数乘除混合运算 14 易错考点22：有理数乘除中的简便运算 14 易错考点23：有理数四则混合运算 15 易错考点24：有理数四则混合运算的实际应用 16 易错考点25：数轴上的翻折 17 易错考点26：乘方运算的符号规律 18 易错考点27：乘方的应用 18 易错考点28：用科学记数法表示绝对值大于1的数 18 易错考点29：将用科学记数法表示的数变回原数 18 易错考点30：算 “24” 点 19 易错考点31：含乘方的有理数混合运算 20 易错考点32：程序流程图与有理数计算 21 易错考点33：求一个数的近似数 21 易错考点34：求近似数的精确度 22 易错考点35：近似数推断取值范围 22 易错考点01：正负数的实际应用 1．（25-26七年级上·山西临汾·开学考试）学校对六年级男生进行了“1分钟跳绳”的体育测验，每分钟135次为优秀，小军跳了140次，成绩记作，小虎跳了128次，记作 ，小龙跳了169次，记作 ． 2．（21-22七年级上·河南商丘·期末）生活情境·营业额某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示． 请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长% (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年 1 月和 4 月比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪个月？ 易错考点02：有理数的分类 3．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．一个数前面加上“﹣”号这个数就是负数 B．非负数就是正数 C．正数和负数统称为有理数 D．0既不是正数也不是负数 4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）把下面的有理数填在相应的大括号里： 15，，0，，，，，． 正数集合：{                         }； 负数集合：{                         }； 整数集合：{                         }． 易错考点03：带“非”字的有理数 5．（24-25七年级上·四川德阳·期中）下列各数：，，，，，，，，，，，． 其中正分数有 个，非负整数有 个． 6．（24-25七年级下·重庆永川·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，，，； 整数集合：_______________________________________； 正数集合：______________________________________； 负分数集合：____________________________________； 非负有理数集合：_________________________________． 易错考点04：用数轴上的点表示有理数 7．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 8．（24-25七年级上·吉林四平·期中）（1）将下列各数填入相应的圈内：，，0，，，．    （2）说出这两个圈的重叠部分表示的是什么数的集合______； （3）在如图所示的数轴上表示出这些数，并用“”把它们连接起来．    易错考点05：利用数轴比较有理数的大小 9．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来：， ，，，． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）现已知数轴上的点、、、、、分别表示，，，，，，运用数轴解决下面问题． (1)把各点画在数轴上，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来； (2)直接写出、和、两点之间的距离． 易错考点06：数轴上两点之间的距离 11．（24-25七年级上·四川德阳·期中）点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数互为相反数，若点B所表示的数为n，点A与点B之间的距离为2，则点D所表示的数为 ．（请用含有n的式子表示）． 12．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，0，10，点C是数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点C到A、B两点的距离相等，点C表示的数为_______，点C在数轴______（填“正”或“负”）半轴； (2)数轴上是否存在点C，使得点C到点A的距离恰好是点A到点B距离的？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 易错考点07：数轴上点的平移（动点问题) 13．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，圆的周长是4个单位长度，均匀分布0、1、2、3四个数字，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)画出数轴，标出A，B，C三点在数轴上的位置，并写出A，B，C三点表示的数； (2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？ (3)若蚂蚁从点D出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D表示的数． 易错考点08：数轴上找原点 15．（24-25七年级上·山东聊城·期中）如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的倍，那么数轴的原点是，，，中的哪个点?（         ） A．点 B．点 C．点或点 D．点或点 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上． (1)若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为___________； (2)若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为___________； (3)若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置． 易错考点09：数轴上整点覆盖问题 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 18．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 易错考点10：数轴上的规律探究 19．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 20．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 易错考点11：化简多重符号 21．（24-25七年级上·广西柳州·期末）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． ，，0，， 22．（24-25七年级上·河南新乡·期中）在数轴上把下列各数表示出来，并用“<”连接各数． 易错考点12：相反数的应用 23．（2023·广东广州·一模）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是(   ) A． B． C． D． 易错考点13：绝对值的几何意义 25．（24-25七年级上·湖北黄石·阶段练习）数轴上表示有理数，，的点如图所示． (1)填空：____，____； (2)在图中的数轴上表示，，； (3)将，，，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来． 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知a、b是有理数，，且，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　） A． B． C． D． 易错考点14：绝对值非负性 27． （24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）已知，求式子的值． 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）给出下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．其中正确的有 （填序号）． 易错考点15：绝对值的其他应用 29．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 30．（24-25八年级上·四川乐山·开学考试）下面说法正确的有（    ） （1）互为相反数的两数的绝对值相等； （2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； （3）若，则； （4）若，则． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4） 易错考点16：有理数大小比较 31．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来． 3.5，，2，，，0.5 32．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）比较下列两数大小，结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 易错考点17：有理数的加减混合运算 33． （25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）计算：． 34．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）规定一种新运算“”，即，例如，根据规定完成下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 易错考点18：有理数加减中的简便运算 35．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 36．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 易错考点19：有理数加减混合运算的应用 37．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）中秋节期间，子涵和妈妈一块去商场购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼共计枚．回家后子涵很仔细地看了看标签和有关说明，把8枚月饼的质量称重后统计列表如表（单位：克）： 序号 质量（克） (1)子涵为了简化运算，选取了一个恰当的基准质量，这个基准质量是_______克． (2)依据这个基准质量，子涵把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出表格（不完整）： 序号 质量（克） 　  　  　  　  　  请补全表格，并计算这枚月饼的平均质量． 38．（2025七年级上·浙江·专题练习）井冈山是红色革命旅游圣地，据统计2020年9月30日到井冈山旅游的人数为1万人，十一黄金周期间（共6天），井冈山每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 人数变化（万人） (1)请判断十一黄金周期间游客人数最多和最少的各是哪一天？它们相差多少万人？ (2)求十一黄金周期间去井冈山旅游的总人数． 易错考点20：根据点在数轴的位置判断式子的正负 39．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如下图所示． (1)试判断a，b，c的符号，并比较它们的绝对值的大小． (2)若，，，试计算与的值． 40．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 易错考点21：有理数乘除混合运算 41．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (4) ； (4)． 42．（2025七年级上·江苏南通·专题练习）计算，能简算的要用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 易错考点22：有理数乘除中的简便运算 43．（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)． (2)． (4) ． (4)． 44． （25-26七年级上·全国·周测）计算：． 易错考点23：有理数四则混合运算 45．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 解法：原式． 解法：原式的倒数为 ，所以原式． (1)上述解法中，你认为解法 是错误的； (2)计算：． 46．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 易错考点24：有理数四则混合运算的实际应用 47．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）2024年中考的第一天，为了考生出行方便，出租车司机张华从家出发，在东西走向的大道上免费接送考生，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)若出发地记为0，最后一名考生被送到目的地时，张华在出发地的什么方向，距离出发地点多少千米？ (2)若出租车耗电量为度/千米，张华出发前仪表盘显示电量充足，共13度电，当他送完最后一名考生后，能否顺利开车回家？为什么？ 48．（20-21七年级上·陕西商洛·期末）身体健康是人生最大的财富．小张老师是某中学“教师跑团”的成员之一，天天坚持跑步锻炼，他每天以3000米为标准，超过记为正数，不足记为负数．下表记录了小张老师上周的跑步情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 跑步情况 (1)小张老师星期三跑了______米； (2)上周小张老师跑步最多的一天比最少的一天多跑了多少米？ (3)若小张老师跑步的平均速度为200米/分钟，则上周他用了多少分钟跑步锻炼？ 易错考点25：数轴上的翻折 49．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： (1)数轴上10表示的点与___________表示的点重合． (2)若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2023次后，数轴上表示点的数与折叠后的哪个数重合？ 50．（22-23七年级上·吉林·阶段练习）已知在纸面上有一数轴如图，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数； (2)在数轴上画出与点A的距离为2的点（用不同于A、B的其他字母表示），并写出这些点表示的数； (3)折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①10表示的点与数________表示的点重合； ②若数轴上M、N两点之间的距离为2018（点M在点N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数是多少？ 易错考点26：乘方运算的符号规律 51．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）将，，从小到大排列正确的是（　　） A． B． C． D． 52．（24-25七年级上·山东济宁·期中）已知，则的值是 ． 易错考点27：乘方的应用 53．（25-26七年级上·全国·课后作业）某种金属元素铋会进行衰变，每次在一个周期里，衰变的量是上一次量的一半，铋的周期（半衰期）是1小时，设原有1克未衰变的铋，则1小时后有0.5克发生了衰变，再过1小时又有0.25克发生了衰变，衰变一直按照这种规律发生下去，请问5小时后，共有 克铋发生了衰变． 54．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在我国古代著名哲学著作《庄子•天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取一半，万世不竭．”这句话的大意是：“一尺长的木棒，第一天取一半，第二天取走剩下的一半，以后每天取走前一天所剩下的一半．这样下去，永远也取不尽．”按上面的取法，从星期一算起，到星期五，这根木棒还剩下 尺． 易错考点28：用科学记数法表示绝对值大于1的数 55．（2025·江西新余·三模）据商务部消息，年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至月日，今年全国 电动自行车售旧、换新各万辆，超过年总和．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 56．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）据贵阳市疾控中心统计，截至2023年10月30日，贵阳市已有3100000余人完成流感疫苗接种，将数字3100000用科学记数法表示，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 易错考点29：将用科学记数法表示的数变回原数 57．（25-26七年级上·全国·课后作业），全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2月9日，的累计下载量已超过亿次，周活跃用户规模高达人．其中表示的原数中，7的后面有 个零． 58．（2025七年级上·全国·专题练习）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)； (2)； (4) ． 易错考点30：算 “24” 点 59．（25-26七年级上·全国·单元测试）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片上数字是 、 ，乘积的最大值为 ． 简要说明你这样选的原因： (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片上数字是 、 ，商的最小值为 ． 简要说明你这样选的原因： (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片上数字是 、 、 、 ，写出完整算式及运算过程． 60．（25-26七年级上·全国·单元测试）有一种“二十四点”游戏，其规则：任取4个有理数，把它们进行加、减、乘、除四则运算（每个数用且只能用一次），可以用括号，使其结果为24，如1，2，3，4，可作运算． (1)有理数4，5，7，8，你能算出24吗？ (2)有理数4，5，，，你能算出24吗？ (3)有理数3，，7，中，把它们算出24． 易错考点31：含乘方的有理数混合运算 61．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3) ； (4)． 62．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）计算： (1)． (2)． 易错考点32：程序流程图与有理数计算 63．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，按照如下程序进行计算，当输入的时，输出的y的值为 ． 64．（25-26七年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2025次输出的结果为 ． 易错考点33：求一个数的近似数 65．（22-23七年级上·湖北黄石·期中）兴龙公司今年种植的猕猴桃获得大丰收，星期六兴龙公司卖给了某客商10箱猕猴桃．若每标准箱猕猴桃的净重为5千克，超过标准数的部分记为“”，不足标准数的部分记为“”，兴龙公司卖给了该客商10箱猕猴桃记录如下：；；；；；；；0；；． (1)请计算这10箱猕猴桃的总重为多少千克？ (2)如果猕猴桃的价格为9元/千克，兴龙公司出售这10箱猕猴桃共收入多少元？（精确到1元） (3)若都用这种纸箱装，兴龙公司的猕猴桃共能装约2000箱，按照目前这个价格，把猕猴桃全部出售，兴龙公司大约能收入多少元？（精确到万位） 66．（24-25七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）（精确到个位） ； （2）（精确到十分位） ； （3）（精确到） ． 易错考点34：求近似数的精确度 67．（24-25七年级上·全国·期中）用四舍五入法取近似值： （精确到；0.23精确到 位；精确到 位 68．（2025七年级上·浙江·专题练习）下列各数精确到的是（    ） A． B． C． D． 易错考点35：近似数推断取值范围 69．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如果一个数省略亿位后面的尾数得到的近似数是4亿，将这个数的最大值减去最小值所得的结果记为a，那么a是（   ） A． B． C． D． 70．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【近似数】一个三位小数四舍五入到百分位约是2.96，这个三位小数最大是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $