第1章 丰富的图形世界（18个高频易错考点训练 共54题）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册章节复习培优专项训练

第1章 丰富的图形世界（易错题考点集训） 【18个高频易错考点 共54题】 易错考点01：常见的几何体 1 易错考点02：组合几何体的构成 4 易错考点03：立体图形的分类 6 易错考点04：几何体中的点、棱、面 7 易错考点05：点、线、面、体四者之间的关系 10 易错考点06：平面图形旋转后所得的立体图形 11 易错考点07：从不同方向看几何体 14 易错考点08：几何体展开图的认识 16 易错考点09：由展开图计算几何体的表面积 18 易错考点10：由展开图计算几何体的体积 20 易错考点11：正方体几种展开图的识别 23 易错考点12：正方体相对两面上的字 25 易错考点13：含图案的正方体的展开图 27 易错考点14：求展开图上两点折叠后的距离 29 易错考点15：补一个面使图形围成正方体 33 易错考点16：截一个几何体 34 易错考点17：平面图形形状的识别 35 易错考点18：用七巧板拼图形 37 易错考点01：常见的几何体 1．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）观察如图所示的8个几何体． (1)按序号写出各自几何体的名称： ； ；   ； ； (2)在以上几何体中，是柱体的有 ；含曲面的有 （填序号）． 【答案】(1)圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； (2)；． 【思路引导】本题主要考查了认识立体图形，掌握常见几何体的特点是解题的关键． （）根据几何体的特点回答即可； （）根据平面和曲面的区别回答即可． 【规范解答】（1）解：按序号写出各自几何体的名称：圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； 故答案为：圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； （2）解：在以上几何体中，是柱体的有；含曲面的有， 故答案为：；． 2．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）如图，观察下列几何体并回答问题： (1)n棱柱有__________个面、__________条棱、__________个顶点，n棱锥有__________个面、__________条棱、__________个顶点； (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人归纳总结发现，多面体的面数F、顶点个数V以及棱的条数E之间存在着一定的数量关系． ①继续观察如图所示多面体，并把表格填写完整： 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E） 图① 图② 图③ ②分析表格中的数据，你能发现F、V、E三者之间有何关系 ． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【思路引导】本题主要考查了棱柱和棱锥， 对于（1），根据棱柱的面数比侧面数多2，棱数是侧面数的3倍，顶点数是侧面数的2倍；再根据棱锥的面数比侧面多1，棱数是侧面数的2倍，顶点数比侧面数多1，可解答； 对于（2），分别数出面数，顶点数，棱数，可解答①，再根据三个数的关系解答②. 【规范解答】（1）解：n棱柱有个面，条棱，个顶点，n棱锥有个面，条棱，个顶点； 故答案为：；；；；；； （2）解①：图①的面数为7个，顶点数为9个，棱数为14条； 图②的面数为6个，顶点数为8个，棱数为12条； 图③的面数为7个，顶点数为10个，棱数为15条； 列表如下： 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E） 图① 7 9 14 图② 6 8 12 图③ 7 10 15 ②表格中的数据，你能发现F，V，E三者之间的关系为：. 故答案为：. 3．（2025七年级上·全国·专题练习）观察如下图所示的图形，回答下列各题： (1)按平面图形和立体图形分类． (2)把立体图形按柱体、锥体、球体分类． (3)指出各面都是平面的立体图形． 【答案】(1)平面图形：①②④⑤⑦，立体图形：③⑥⑧⑨⑩ (2)柱体：③⑥⑧；锥体：⑩；球体：⑨ (3)各面都是平面的立体图形：③⑥ 【思路引导】本题主要考查点、线、面、体的基本知识，可以根据平面图形、立体图形进行解答， （1）根据平面图形与立体图形的定义解决； （2）根据柱体、锥体、球的定义可得结论； （3） 结合立体图形的面的定义，即可解决． 【规范解答】（1）解：平面图形：①②④⑤⑦，立体图形：③⑥⑧⑨⑩； （2）柱体：③⑥⑧；锥体：⑩；球体：⑨； （3）各面都是平面的立体图形：③⑥． 易错考点02：组合几何体的构成 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 【答案】题图①由正方体、圆柱、圆锥组成；题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成；题图③由五棱柱、球组成． 【思路引导】此题考查了立体图形的识别，明确常见立体图形的特征是解答此题的关键；仔细分析给出的三个立体图形，结合常见的立体图形的特征即可解答题目． 【规范解答】解：题图①由正方体、圆柱、圆锥组成； 题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成； 题图③由五棱柱、球组成． 5．（2025·江苏南京·一模）玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解． 【规范解答】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱， 上半部分的体积为：， 下半部分的体积为：， 故杯中水的体积为：， 故答案为：． 6．（2024七年级上·云南·专题练习）在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为 ． 【答案】10 【思路引导】本题考查由小正方体堆砌的几何体的体积，用小正方体的体积乘以个数即可得出结果． 【规范解答】解：由图可知，第1层有1个，第二层有3个，第三层有6个，共10个小正方体， ∴此几何体的体积为； 故答案为：10． 易错考点03：立体图形的分类 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下图中各几何体的特征，回答下列问题： 将上述几何体按如下两种方式进行分类（请填写序号）： （1）按形状来划分，柱体有 ，球体有 ，锥体有 ； （2）按几何体有无顶点来划分， 为一类，几何体有顶点； 为一类，几何体无顶点． 【答案】 ①②④ ③ ⑤ ①②⑤ ③④ 【思路引导】本题考查几何体的分类，掌握知识点是解题的关键． （1）根据柱体，球体，锥体的定义，即可解答； （2）根据柱体，球体，锥体的特征，即可解答 【规范解答】解：（1）由柱体，球体，锥体的定义，可按形状来划分，柱体有①②④，球体有③，锥体有⑤； （2）由柱体，球体，锥体的特征，可按几何体有无顶点来划分，①②⑤为一类，几何体有顶点；③④为一类． 故答案为：①②④；③；⑤；①②⑤；③④． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，一个由圆柱和圆锥组成的立体组合容器中盛满水，如果将这个容器里面的水全部倒入一种底面直径为，高为的圆柱形水杯中（每个水杯都倒满）、一共需要多少个这样的杯子?（容器厚度忽略不计） 【答案】一共需要55个这样的杯子 【思路引导】本题考查的是圆柱与圆锥的体积的计算，先求解圆锥与圆柱的总体积，再除以杯子的体积即可得到答案. 【规范解答】解：， ， 所以这个立体组合容器的容积为． 杯子的容积为． ． 答：一共需要55个这样的杯子． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）将图中的几何体分类，柱体有 ，锥体有 （填序号）． 【答案】 （1）（2）（3） （5）（6） 【思路引导】本题考查了几何体的分类，几何体一般分为柱体、锥体和球，首先要明确柱体，锥体的概念和定义，然后根据图示进行解答． 【规范解答】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有：（1）、（2）、（3）； 锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有（5）、（6）． 故答案为：（1）、（2）、（3）；（5）、（6）． 易错考点04：几何体中的点、棱、面 10．（25-26七年级上·海南·开学考试）工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有 个，2个面涂色的有 个． 【答案】 4 20 【思路引导】本题考查了正方体的特征，解题的关键是根据大正方体的组成及涂色面的情况，分析不同涂色面小正方体的位置和数量． 先确定大正方体的棱长，再根据3个面涂色和2个面涂色小正方体的位置特点，分别计算其数量． 【规范解答】3个面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，由于贴地的面不涂色，所以只有上面的4个顶点处的小正方体是3个面涂色的：（个）， 2个面涂色有： （个） 所以3个面涂色的小正方体木块有4个，2个面涂色的有20个． 故答案为：4；20． 11．（25-26七年级上·全国·周测）图是一个直七棱柱，它的底面边长都是2cm，侧棱长是5cm．观察这个棱柱，请回答下列问题： (1)这个七棱柱共有多少个面？它们分别是什么形状？这个七棱柱的侧面积是多少？ (2)这个七棱柱共有多少条棱？它们的长度和是多少？ (3)这个七棱柱共有多少个顶点？ (4)通过对七棱柱的观察，你能说出n棱柱共有几个顶点？几条棱？几个面吗？ 【答案】(1)9，上、下两个底面是七边形，侧面是长方形， (2)21， (3)14 (4)，， 【思路引导】本题考查了棱柱的基本特征，包括面、棱、顶点的数量及侧面积计算，解题的关键是理解直棱柱的结构特点，明确n棱柱中面、棱、顶点数量的规律． （1）直棱柱的面包括上下两个底面和侧面，底面为n边形时侧面有n个；侧面积为底面边长乘侧棱长再乘侧面数量． （2）n棱柱的棱包括上下底面的棱和侧棱，分别计算各类棱的数量和长度再求和． （3）n棱柱的顶点数量为底面顶点数的2倍． （4）通过七棱柱的特征归纳n棱柱面、棱、顶点的数量规律． 【规范解答】（1）解：这个七棱柱共有个面；上下两个底面是七边形，7个侧面是长方形． 侧面积为． 答：共有9个面，上、下两个底面是七边形，侧面是长方形，侧面积是． （2）解：这个七棱柱共有条棱；上下底面的棱各有7条，每条长，侧棱7条，每条长． 棱长和为． 答：共有条棱，棱长和是． （3）解：这个七棱柱共有个顶点． 答：共有个顶点． （4）解：n棱柱共有个顶点；共有条棱；共有个面． 答：n棱柱共有个顶点，条棱，个面． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察如图所示的几何体，回答下列问题： (1)填写表格： 图形名称 底面边数 侧面数 侧棱数 顶点数 图① 三棱柱 图② 四棱柱 图③ 六棱柱 (2)根据（1）中的结果，猜想棱柱的侧面数、侧棱数、顶点数与棱柱的底面边数之间的关系． (3)根据（2）中的猜想，直接写出二十棱柱的侧面数、侧棱数和顶点数． 【答案】(1)见解析； (2)棱柱的侧面数=棱柱的底面边数，棱柱的侧棱数=棱柱的底面边数，棱柱的顶点数=棱柱的底面边数×2； (3)20，20，40． 【思路引导】本题考查了多面体尤其是棱柱的基本概念和属性，包括底面边数、侧面数、侧棱数及顶点数之间的关系，以及通过观察具体实例归纳一般规律的能力．解题的关键在于准确识别和计算给定几何体的各项数值，进而发现并应用棱柱的底面边数与侧面数、侧棱数、顶点数之间的固定关系，即棱柱的侧面数和侧棱数均等于其底面边数，而顶点数则是底面边数的两倍． （1）通过观察几何体的特征来确定各项数值； （2）根据（1）的结果找规律； （3）利用（2）得出的规律计算． 【规范解答】（1）解：填表如下： 图形名称 底面边数 侧面数 侧棱数 顶点数 图① 三棱柱 3 3 3 6 图② 四棱柱 4 4 4 8 图③ 六棱柱 6 6 6 12 （2）棱柱的侧面数=棱柱的底面边数，棱柱的侧棱数=棱柱的底面边数，棱柱的顶点数=棱柱的底面边数 （3）二十棱柱的侧面数是20、侧棱数是20、顶点数是40． 易错考点05：点、线、面、体四者之间的关系 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）图中的几何体由 个面围成，面和面相交形成 条线，线与线相交形成 个点． 【答案】 9 16 9 【思路引导】本题考查点、线、面、体的关系，仔细观察图形，侧面有几个，底面有几个，面和面相交形成几条线，线与线相交形成几个点解答即可． 【规范解答】解：图中的几何体由9个面围成，面和面相交形成16条线，线与线相交形成个9点， 故答案为：9，16，9． 14．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）向空中扔一块小石子，小石子经过的路线用数学知识解释为点动成线．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，中国历来有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时．随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象用数学知识解释为 ． 【答案】线动成面 【思路引导】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 【规范解答】解：根据题意，这种现象可以用数学原理解释为：线动成面． 故答案为：线动成面． 15．（23-24七年级上·重庆秀山·期末）数学知识在生活中应用广泛，同学们用过如图这种折扇吧，因为它折起来便于携带，所以深受人们的喜爱、折扇展开的过程运用的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 【答案】B 【思路引导】本题考查了点、线、面、体，从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体，点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．根据线动成面即可得出答案． 【规范解答】解：折扇展开的过程运用的数学原理是线动成面． 故选：B． 易错考点06：平面图形旋转后所得的立体图形 16．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）如图，有一个长，宽的长方形纸板，现将长方形一条边所在直线为轴旋转一周，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一条边所在直线为轴旋转． 方案二：以较短的一条边所在直线为轴旋转． 请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大．（结果保留） 【答案】方案二得到的几何体的体积大，理由见解析． 【思路引导】本题考查了面动成体，根据长方形旋转是圆柱，再由圆柱的体积公式计算，然后比较可得答案，掌握知识点的应用是解题关键． 【规范解答】解：由题意可得长方形旋转可以得到圆柱， ∴方案一：，方案二：， ∵， ∴方案二得到的几何体的体积大． 17．（25-26七年级上·全国·周测）如图，有一个长、宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转一周，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． (1)上述操作能形成的几何体是________，说明的事实是___________ (2)请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积较大． 【答案】(1)圆柱体，面动成体 (2)方案一 【思路引导】本题考查了面动成体，圆柱的体积公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据面动成体解答即可； （2）先分别求出两个方案所得几何体的体积再比较大小即可． 【规范解答】（1）解：上述操作能形成的几何体是圆柱体，说明的事实是面动成体； 故答案为：圆柱体，面动成体； （2）解：方案一得到的几何体的体积为：， 方案二得到的几何体的体积为：， ， 方案一得到的几何体的体积较大． 18．（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图，是一个直角梯形．（π取） (1)将梯形以所在直线为轴旋转一周可以得到一个立体图形，求这个立体图形的体积． (2)如果将梯形以所在直线为轴旋转 一周可以得到一个新的立体图形，它的体积是多少？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积、面动成体等知识点，能根据题干还原出这个立体图形的形状是解题的关键． （1）以为轴将梯形旋转一周，得到的立体图形可以看成是高为、底面半径为的圆柱和一个高为、底面半径为的圆锥的体积和；再根据圆柱和圆锥的体积计算公式求解即可． （1）以为轴将梯形旋转一周，得到的立体图形可以看成是高为、底面半径为的圆柱中间挖去一个高为、底面半径为的圆锥的体积和；再根据圆柱和圆锥的体积计算公式求解即可． 【规范解答】（1）解： ． 答：这个立体图形的体积是． （2）解： ． 答：这个立体图形的体积是． 易错考点07：从不同方向看几何体 19．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）将去掉一个正方体后，从左边看到的图形不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的知识点是从左边看图形，解题关键是理解不同角度看立方体会得到不同的图形． 想象去除某一正方体后，从左边看得到的图形，对选项逐个排除即可得解． 【规范解答】解：选项，去掉上面的小正方体后，从左边看到的图形即为选项； 选项，去掉前面一行的小正方体后，从左边看到的图形即为选项； 选项，去掉后面一行右边的小正方体后，从左边看到的图形即为选项； 选项，无法通过去掉一个正方体，从左边看得到选项． 故选：． 20．（2025七年级上·山东日照·专题练习）一些完全相同的小立方块搭成一个几何体，这个几何体从正面和从上面看所得的形状图均如图所示，小立方体的排列方式可能有 种． 【答案】57 【思路引导】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据这个几何体从正面和从上面看所得的形状，得出各个位置小立方块的层数，再根据不同的排列，得出每列的情况数，最后得出所有情况数即可． 【规范解答】解：根据这个几何体从正面和从上面看所得的形状图可知： 最左边这一个正方形位置处，只有一个； 中间2个位置处，后面有2层，前面有1层；后面有1层，前面有2层；后面有2层，前面有2层，因此中间一列共3种情况； 右边三个位置处：①有1个位置处有3层，另外两个位置处都是1层，根据不同的排列顺序，有3种情况； ②有1个位置处有3层，另外两个位置处都是2层，根据不同的排列顺序，有3种情况； ③有1个位置处有3层，一个位置处有1层，一个位置处有2层，根据不同的排列顺序有6种情况； ④有2个位置处有3层，另外两个位置处有2层，根据不同的排列顺序有3种情况； ⑤有2个位置处有3层，1个位置处有1层，根据不同的排列顺序有3种情况； ⑥3个位置处都有3层，只有1种情况； 因此右边一列的情况数有（种）； 所以小立方体的排列方式可能情况数有：（种）． 故答案为：57． 21．（25-26七年级上·全国·期末）在平整的桌面上，由若干个大小相同的棱长为的小立方块搭成一个几何体，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．    (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体的表面(不包括底面)喷上红色的漆，求需要喷漆的面积是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查从不同方向看几何体、求几何体的表面积， （1）根据从上面看到的几何体的形状，画出从正面和左面看到的形状即可作图； （2）根据立体图形的表面个数及正方形的面积公式求解． 【规范解答】（1）如图所示：    （2）解：需要喷漆的面积是． 答：需要喷漆的面积是． 易错考点08：几何体展开图的认识 22．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）如图是一个几何体的展开图． (1)写出该几何体的名称 ； (2)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的表面积和体积． 【答案】(1)长方体 (2)表面积为，体积为 【思路引导】本题主要考查了几何体的展开与折叠，求长方体的表面积和体积． 对于（1），根据展开图可知该几何体有6个面，4个侧面，2个底面，即可得出几何体的名称； 对于（2），根据展开图可知是一个长为6，宽为2，高为6的四棱柱，再根据体积和表面积公式得出答案． 【规范解答】（1）解：该几何体有6个面，4个侧面，2个底面， 所以几何体是长方体； 故答案为：长方体； （2）解：长方体的长为6，宽为2，高为6， 所以长方体的表面积是； 长方体的体积是． 23．（25-26七年级上·四川广元·开学考试）（如图）一个长方体的展开图，已知A、C、E、F四个面的面积之和是，且B面是一个边长的正方形．如果A面是长方体底面，那么( )面是长方体上面；这个长方体的体积是( )． 【答案】 E 32 【思路引导】本题主要考查长方体的性质，长方体展开图以及长方体的体积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解答相对面可通过长方体的展开图特征即可求解，长方体的体积可根据题干给出的B面为正方形的边长获取长方体的高，长方体的长和宽根据A、C、E、F四个面的面积之和可推导，最后再用长方体的体积公式求出结果． 【规范解答】根据长方体的展开图的特征可知，如果A面是长方体底面，则E面是长方体上面． ∵B面是一个边长为的正方形， ∴长方体的宽和高均为B面的边长， 则， 由图可知，A、C、E、F四个面是四个完全相同的长方形， ∴每个长方形的面积为，宽为， 根据长方形的面积公式推导可得：长方形的长为，且为长方体的长， 则． 故答案为：E，． 24．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【思路引导】本题考查长方体的展开图，长方体的容积． 由长方体的展开图，可知长方体的长，宽，高，代入长方体的容积公式计算即可． 【规范解答】解：根据长方体的展开图，可知长方体的高是，宽是，长是， 长方体的容积是， 故选：D． 易错考点09：由展开图计算几何体的表面积 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的五棱柱的底面边长都是，侧棱长． (1)这个五棱柱有多少个侧面？侧面形状分别是什么？ (2)这个五棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)5，长方形； (2)． 【思路引导】本题考查了认识立体图形，根据五棱柱的特征计算即可得解，熟练掌握五棱柱的特征是解此题的关键． （1）根据五棱柱特征直接得出结论； （2）根据五个侧面面积相同，用一个面的面积乘以5求出结论． 【规范解答】（1）解：这个五棱柱有5个侧面，5个侧面形状都是长方形． （2）． 故这个五棱柱的所有侧面的面积之和是． 26．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）如图，把一个棱长为6的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去7个小正方体），所得到的几何体的表面积是（   ） A．288 B．144 C．72 D．48 【答案】A 【思路引导】本题考查几何体表面积．根据题意可知周边的六个挖空的正方体每个面减少了1个小正方形，增加了4个小正方形，则每个面的正方形个数为12个，再利用面积公式即可得到本题答案． 【规范解答】解：如图所示，周边的六个挖空的正方体每个面减少了1个小正方形，增加了4个小正方形，则每个面的正方形个数为12个， ∵每个小正方形的边长为2， ∴表面积为． 故选：A． 27．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是一个六棱柱，它的底面边长都是，侧棱长． (1)这个棱柱共有______个顶点； (2)这个棱柱共有______条棱，所有的棱长的和是______； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和为______． 【答案】(1)12 (2)18， (3) 【思路引导】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握n棱柱有个顶点，有个面，有条棱． （1）由n棱柱有个顶点即可求解； （2）由n棱柱有条棱求解可得； （3）将侧面长方形的面积乘以长方形的个数即可得． 【规范解答】（1）解：（1）六棱柱有12个顶点； 故答案为：12． （2）这个棱柱有18条棱， 所有的棱长的和是． 故答案为：18，． （3）这个棱柱的所有侧面的面积之和是， 故答案为：． 易错考点10：由展开图计算几何体的体积 28．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如图1是一个长方体纸盒的表面展开图，纸片厚度忽略不计，数据如图所示，这个盒子的容积为 ． （2）如图2是某几何体的展开图． ①这个几何体的名称是 ； ②求这个几何体的体积（取3.14）． 【答案】（1）6；（2）①圆柱；② 【思路引导】本题考查由长方体、圆柱体展开图求其体积．解答此题的关键是根据长方体的表面展开图，得出其长、宽、高的长度，根据圆柱体的底面半径，高；进而根据长方体和圆柱体的体积计算公式进行解答． 【规范解答】解：（1）根据图形知：长为：3；宽为：2；高为：1 故长方体体积为：， 故答案为：6； （2）①圆柱 ②根据图形知：半径为：5，高为：20 故圆柱体的体积为： 故答案为：. 29．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）（一）实践准备 李老师带领七一班综合实践小组进行废物再利用的数学制作活动，他们准备用废弃的宣传单制作纸盒（有盖或无盖）． （二）操作探究 （1）如图是“乐研组”制作的一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面分别标有“南，阳，值，得，三，顾”六个字，则“阳”相对面的文字是_________ （2）“爱数组”准备制作一个无盖的正方体纸盒，则下列_________（填字母）图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． A．            B． C．            D． （三）尝试应用 （3）如图2，这是一张长为、宽为的长方形包装纸，现要制成牛奶盒子．上下各留宽度均为的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身．如图3，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多．把图3中的包装纸折成图4中的牛奶盒子，想要装下的牛奶是否能成功？为什么？ 【答案】（1）得；（2）C；（3）能成功，见解析 【思路引导】本题主要考查了正方体与长方体展开图的认识，熟知正方体与长方体展开图的特点是解题的关键． （1）正方体展开图中，相对的面的中间一定隔着一个面，据此特点求解即可； （2）制作一个无盖的正方体纸盒，则该纸盒的展开图有5个小正方形，据此可得答案； （3）求出牛奶盒身的宽，再分别求出①和②的宽，进而求出牛奶盒的容积即可得到结论． 【规范解答】解：（1）由正方体展开图的特点可得“阳”相对面的文字是“得”； （2）∵制作一个无盖的正方体纸盒， ∴该纸盒的展开图有5个小正方形， ∴四个选项中只有C选项符合题意； （3）能成功，理由如下： 牛奶盒身的宽为， 已知②号长方形的宽比①号多， 则①号长方形的宽为， 所以②号长方形的宽为， 此时牛奶盒子的容积为． ∵， ∴装下的牛奶能成功． 30．（24-25七年级上·山东日照·期末）小明在数学活动课中制作了一个长方体包装纸盒（图1），图2是该包装盒平面展开图（粘贴部分忽略不计），相关数据如图2所示，经过测量得出该包装纸盒的长比宽多． (1)设长方体的宽为，则长为______，高为______（都用含的代数式表示）； (2)求长方体包装盒的体积． 【答案】(1)，，或 (2)长方体包装盒得体积是 【思路引导】（1）设长方体的宽为，由长比宽多，得到长为 ，用总长为时，则高为，用总长为时，则高为，解答即可． （2）根据题意，得，解得，后根据体积公式解答即可． 本题考查了长方体的展开图，体积计算，熟练掌握展开图是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设长方体的宽为，由长比宽多，则长为 ， 用总长为时，则高为， 用总长为时，则高为， 故答案为：，，或． （2）解：根据题意，得， 解得 长：，高：． 答：长方体包装盒得体积是． 易错考点11：正方体几种展开图的识别 31．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）如图所示，图①为一个棱长为3的正方体，图②为图①的表面展开图（每个面表示的数字写在外表面上），请根据要求回答问题： (1)如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x＝ ，y＝ ； (2)如果面“3”是上面，面“5”是后面，则右面是 （填0或1或x或y）； (3)图①中，点P为所在棱的中点，在图②中找到点P的位置，并求出图②中三角形ABP的面积． 【答案】(1)， (2) (3)图见解析， 【思路引导】本题考查了正方体的展开图， 三角形的面积计算，解题的关键是掌握正方体展开图中相隔一个面的两个面互为对面，相对的面不相邻以及三角形的面积公式． （1）根据两个面相隔一个面是对面，对面的和是，可得答案； （2）根据邻面，对面的关系，可得答案； （3）根据展开图面与面的关系，可得的位置，根据三角形的面积公式，可得答案． 【规范解答】（1）解：如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则： ， 解得，． 故答案为：，； （2）解：如果面“”是上面，面“”是后面，则右面是“”． 故答案为：； （3）解：如图，点即为所求，， 即的面积为 ． 32．（24-25六年级下·上海·开学考试）下面有4个正方体，只有一个是用下图的纸片折叠而成的，这个正方体是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了正方体侧面展开图，解题的关键是展开空间想象能力． 根据正方体的侧面展开图特点一一排除即可． 【规范解答】解：由原图可知，三角形的对面是实心圆， ∴选项A、B不符合题意； 由原图可知，空心圆和三角形相邻， C选项，若左侧面为三角形的话，则右侧面为实心圆；若底面为三角形的话，则上面为实心圆； ∴该选项不符合题意， D.该选项符合题意； 故选：D． 33．（25-26七年级上·全国·课后作业）将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，应剪去（   ） A．1或2或3 B．3或4或5 C．4或5或6 D．1或2或6 【答案】D 【思路引导】本题考查了展开图折叠成几何体，根据正方体的展开图中每一个面都有唯一的对面，可得答案． 【规范解答】解：1的对面可能是7，2的对面可能是7，2的对面可能是4，6的对面可能是4， 将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，应剪去1或2或6， 故选：D． 易错考点12：正方体相对两面上的字 34．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）如图，是同一个正方体（每个面上标有数字）的两种表面展开图，根据图1，在图2中填出另外3个面上的数． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了正方体相对两个面上的数字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【规范解答】解：由图1得， 1与4相对，2与6相对，3与5相对， 如图所示： 35．（24-25七年级上·陕西咸阳·开学考试）一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，“保”字对面的字是（   ） A．绿 B．色 C．碳 D．低 【答案】C 【思路引导】本题考查了正方体的展开图形，熟练掌握是解题的关键．正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【规范解答】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴在此正方体上与“保”字相对的面上的汉字是“碳”． 故选：C． 36．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，如果把每个骰子点数是4的一面放在桌子上，那么其它五个可以看到的面上的数字的和是17，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是 ，最小是 ． 【答案】 46 28 【思路引导】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，可以培养动手操作能力和空间想象能力．观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把三个正方体的数字1的面放在一起，另外一个数字2和数字1的面放在一起；要使能看到的纸盒面上的数字之和最小，则把两个正方体写有数字6的面放在一起，把写有数字5的面和写有数字6的面放在一起，然后根据露出的面上的数字求和即可． 【规范解答】解：∵把每个骰子点数是4的一面放在桌子上， ∴每个骰子朝上的一面的点数为3， 根据题意得：露在外面的数字之和最大值为： ， 最小值为：， 故答案为：46；． 易错考点13：含图案的正方体的展开图 37．（24-25七年级上·河南焦作·期末）如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查由展开图还原立方体，根据展开图确定正方体的相邻面是解题的关键． 根据正方体的展开图逐项判断即可解答． 【规范解答】解：根据正方体的表面展开图，可知该正方体可能为： 故选：D． 38．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段重合的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查正方体展开图．根据题意利用正方体展开图特点并结合空间想象能力即可得到本题答案． 【规范解答】解：将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒，则和重合，和重合，和重合． 故选：A． 39．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）一个长方体的每个面上都标注了字母，如图是该长方体的表面展开图，请根据要求回答问题： (1)如果A在长方体的底部，那么哪一面会在上面？ (2)如果面F在前面，从左面看是B面，那么哪一面会在上面？ (3)如果从右面看是面C，面D在后面，那么哪一面会在上面？ 【答案】(1)F (2)E (3)F 【思路引导】此题考查了正方体相对面上的字，正方体的展开图， 根据正方体相对面的特点求解即可． 【规范解答】（1）解：∵A和F是相对面上的字 ∴如果A在长方体的底部，那么F会在上面； （2）解：如果面F在前面，从左面看是B面，那么E会在上面； （3）解：如果从右面看是面C，面D在后面，那么F会在上面． 易错考点14：求展开图上两点折叠后的距离 40．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，先展开，三角形的一条直角边为，另一边为，勾股定理计算即可． 【规范解答】如图，根据题意，得，， 则， 故答案为：4． 41．（21-22七年级上·北京海淀·期末）在科幻世界里有各种造型奇特的小山．如图1是一座三棱锥小山，侧面展开图如图2所示，每个侧面完全相同．一只小狐狸在半山腰点M处想饱览四周风景，它沿路径“”绕小山一周最终以最短路径到达山脚A处．当小狐狸沿侧面的路径运动时，若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”；若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”． （1）当时，在图2中画出从点M沿侧面环绕一周到达山脚点A处的最短路径，并判断在侧面、侧面上走的是上坡路还是下坡路? （2）如果改变小山侧面顶角的大小，（1）中的结论是否发生变化呢?请利用量角器，刻度尺等工具画图探究，并把你的结论填入下表； 情形 度数 侧面 侧面 1 15° 2 30° （3）记，随着逐渐增大，在侧面、侧面上走的这两段路上下坡变化的情况为__________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）随着逐渐增大，在侧面始终是下坡路，侧面先下坡，在某一位置平缓，然后再上坡. 【思路引导】（1）连接，进而根据题意确定上坡路和下坡路； （2）根据题意画出图形，进而根据（1）的方法填表即可； （3）根据三个图形的情况分析，即可得出结论 【规范解答】（1）如图，连接，                                根据题意，在侧面上走的是上坡路、侧面上走的是下坡路 （2）                                           情形 度数 侧面 侧面 下坡路 下坡路 上坡路 下坡路         （3）随着逐渐增大，在侧面始终是下坡路，侧面先下坡，在某一位置平缓，然后再上坡. 【点睛】本题考查了立体图形侧面展开图，两点之间线段最短，线段长短的比较，理解题意是解题的关键． 42．（24-25七年级上·山东青岛·单元测试）某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 【答案】最短路线有2条，作图见解析． 【思路引导】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是把正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【规范解答】解：将正方体的面展开，作出线段AM， 经过测量比较可知，最短路线有2条， 如图所示： 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． 易错考点15：补一个面使图形围成正方体 43．（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【规范解答】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 44．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 种选法． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共4种． 【规范解答】解：如图所示：共4种． 45．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图．（填出两种答案） 【答案】见详解 【思路引导】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握正方体侧面展开图的形状是解题关键．直接利用正方体侧面展开图的形状分析得出答案． 【规范解答】解：如图所示： （答案不唯一）． 易错考点16：截一个几何体 46．（25-26七年级上·全国·周测）图①为一个长方体，其内部是一个形状规则的空心几何体，用一个平行于底面的截面自下而上截这个长方体依次得到如图②所示的截面图，则这个长方体内空心部分的几何体可能为 ． 【答案】圆锥 【思路引导】本题考查截面的知识，熟练掌握截一个几何体并灵活运用是解决本题的关键；知识点为截一个几何体：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫截面，由截面形状去想象几何体与给一个几何体想象它的截面是一个互逆的思维过程， 要根据所给截面形状仔细分析，展开想象．通过观察可发现：在长方体内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆、点；根据圆的变化规律即可想象出该几何体的形状． 【规范解答】解：观察截面图特征：从图②中可以看到，平行于底面的截面是圆形，并且随着截面自下而上移动，圆形的面积逐渐变小，最后变成一个点； 当平面从圆锥底面逐渐向上移动时，由于圆锥的形状是从底面逐渐收缩到顶点，所以截面圆的半径会逐渐减小，其面积也随之逐渐变小，当平面经过圆锥顶点时，截面就变成一个点，这与图②所呈现的截面变化情况是相符的； 故答案为：圆锥． 47．（24-25七年级上·四川成都·期中）用一个平面去截一个几何体，若截面形状是长方形（包括正方形），那么该几何体不可能是（    ） A．圆柱 B．五棱柱 C．圆锥 D．正方体 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了截一个几何体，明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关是解题的关键．根据圆柱、正方体、圆锥、五棱柱的特点判断即可． 【规范解答】解；A、用垂直于底面的一个平面截圆柱截面为矩形，与要求不符； B、五棱柱的截面可以是长方形，与要求不符； C、圆锥由一个平面和一个曲面，用一个平面去截圆锥，截面不可能是四边形，因此不可能是长方形，与要求相符； D、正方体的截面可以是长方形，与要求不符． 故选：C． 48．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的几何体是由一个正方体截去后形成的，这个几何体是由 个面围成的，其中正方形有 个，长方形有 个． 【答案】 8 2 4 【思路引导】本题考查了对立体几何图形的认识，正确观察图形是解决本题的关键 ． 根据观察图形，通过观察由正方体截去后形成的几何体即可确定面的数量以及形状 ． 【规范解答】解：由图形可知，几何体的正面有2个长方形，和2个侧面，2个长方形的上面， 1个正方形的底面和1个正方形的后面， ∴共有8个面， 其中正方形有2个，长方形有4个 故答案为：①8；②2；③4 ． 易错考点17：平面图形形状的识别 49．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形： （填序号）． 立体图形： （填序号）． 【答案】 ②④⑤⑥ ①③⑦ 【思路引导】本题主要考查了平面图形和立体图形的识别，各个部分不都在同一平面内的为立体图形，各个部分在同一平面内的为平面图形，据此可得答案． 【规范解答】解：由题意得，平面图形有②④⑤⑥，立体图形有①③⑦， 故答案为：②④⑤⑥；①③⑦． 50．（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，现有三种不同型号的卡片共12张，其中有3张边长为3的正方形型卡片，有4张长为3，宽为2的长方形型卡片，有5张边长为2的正方形型卡片．我们可以选取一些卡片，无重叠，无缝隙地拼成不同形状的长方形，那么能拼成面积最大的长方形的面积是 ． 【答案】63 【思路引导】本题考查的是几何图形的拼接，理解题意，得到新的长方形的长与宽即可得到答案． 【规范解答】解：根据题意得：新的长方形的长为：，宽为； 如图， ∴最大面积为， 故答案是：63； 51．（2024七年级上·全国·专题练习）在长方形、长方体、三角形、球、圆中，多边形有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了平面图形以及多边形的概念， 根据多边形的定义逐个判断解答即可． 【规范解答】长方形和三角形是多边形． 故选：D． 易错考点18：用七巧板拼图形 52．（24-25七年级上·山东烟台·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．把一副七巧板按如图所示进行至编号，至号分别对应着七巧板的七块，如果编号的面积等于，则由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于 ． 【答案】40 【思路引导】本题考查七巧板，关键是掌握七巧板中各图形之间的面积关系．根据七巧板中各图形之间的面积关系分别得出每个部分的面积，即可求解． 【规范解答】解：的面积等于， 和的面积为，的面积为，的面积为， 由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于． 故答案为：． 53．（2025·福建宁德·二模）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 【答案】B 【思路引导】该题考查了七巧板，根据图1和图2分析即可解答． 【规范解答】解：根据图1可得：①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 根据图2可知空白部分为长方形，则④、⑥、⑦、①四部分可以组成长方形， 故图1中没用上的那一块七巧板是⑤， 故选：B． 54．（2025·河北沧州·模拟预测）七巧板游戏是将一个正方形分割成七块． 然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形． 如图1是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． (1)设正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 （填数字）； (2)图2是用该七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形、请在图中用粗实线画出各块拼板的轮廓线（不用写号码）； (3)请从图1的七巧板之中选五块板拼接成一个正方形，在图3中画出拼接后的示意图（标上号码），要求无重叠无缝隙，并写出该正方形的面积． 【答案】(1)4，6，7 (2)见解析 (3)见解析，正方形的面积为8． 【思路引导】本题考查了正方形的性质，概率公式，七巧板，三角形的面积，熟练掌握七巧板是解题的关键． （1）先计算出各个图块的面积，可得出答案； （2）根据题意用七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形即可； （3）依据题意，在图2中画出拼接后的示意图，再计算出面积即可． 【规范解答】（1）解：正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 图形块1，2的面积为：， 图形块3的面积为：， 图形块4的面积为：， 图形块5的面积为：， 图形块6的面积为：， 图形块7的面积为：， 面积为2的图形块有4，6，7， 故答案为：4，6，7； （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， 正方形的面积为8． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 丰富的图形世界（易错题考点集训） 【18个高频易错考点 共54题】 易错考点01：常见的几何体 1 易错考点02：组合几何体的构成 3 易错考点03：立体图形的分类 4 易错考点04：几何体中的点、棱、面 5 易错考点05：点、线、面、体四者之间的关系 6 易错考点06：平面图形旋转后所得的立体图形 7 易错考点07：从不同方向看几何体 9 易错考点08：几何体展开图的认识 10 易错考点09：由展开图计算几何体的表面积 11 易错考点10：由展开图计算几何体的体积 12 易错考点11：正方体几种展开图的识别 14 易错考点12：正方体相对两面上的字 15 易错考点13：含图案的正方体的展开图 15 易错考点14：求展开图上两点折叠后的距离 17 易错考点15：补一个面使图形围成正方体 19 易错考点16：截一个几何体 19 易错考点17：平面图形形状的识别 20 易错考点18：用七巧板拼图形 20 易错考点01：常见的几何体 1．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）观察如图所示的8个几何体． (1)按序号写出各自几何体的名称： ； ；   ； ； (2)在以上几何体中，是柱体的有 ；含曲面的有 （填序号）． 2．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）如图，观察下列几何体并回答问题： (1)n棱柱有__________个面、__________条棱、__________个顶点，n棱锥有__________个面、__________条棱、__________个顶点； (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人归纳总结发现，多面体的面数F、顶点个数V以及棱的条数E之间存在着一定的数量关系． ①继续观察如图所示多面体，并把表格填写完整： 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E） 图① 图② 图③ ②分析表格中的数据，你能发现F、V、E三者之间有何关系 ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）观察如下图所示的图形，回答下列各题： (1)按平面图形和立体图形分类． (2)把立体图形按柱体、锥体、球体分类． (3)指出各面都是平面的立体图形． 易错考点02：组合几何体的构成 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 5．（2025·江苏南京·一模）玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 6．（2024七年级上·云南·专题练习）在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为 ． 易错考点03：立体图形的分类 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下图中各几何体的特征，回答下列问题： 将上述几何体按如下两种方式进行分类（请填写序号）： （1）按形状来划分，柱体有 ，球体有 ，锥体有 ； （2）按几何体有无顶点来划分， 为一类，几何体有顶点； 为一类，几何体无顶点． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，一个由圆柱和圆锥组成的立体组合容器中盛满水，如果将这个容器里面的水全部倒入一种底面直径为，高为的圆柱形水杯中（每个水杯都倒满）、一共需要多少个这样的杯子?（容器厚度忽略不计） 9．（2024七年级上·全国·专题练习）将图中的几何体分类，柱体有 ，锥体有 （填序号）． 易错考点04：几何体中的点、棱、面 10．（25-26七年级上·海南·开学考试）工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有 个，2个面涂色的有 个． 11．（25-26七年级上·全国·周测）图是一个直七棱柱，它的底面边长都是2cm，侧棱长是5cm．观察这个棱柱，请回答下列问题： (1)这个七棱柱共有多少个面？它们分别是什么形状？这个七棱柱的侧面积是多少？ (2)这个七棱柱共有多少条棱？它们的长度和是多少？ (3)这个七棱柱共有多少个顶点？ (4)通过对七棱柱的观察，你能说出n棱柱共有几个顶点？几条棱？几个面吗？ 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察如图所示的几何体，回答下列问题： (1)填写表格： 图形名称 底面边数 侧面数 侧棱数 顶点数 图① 三棱柱 图② 四棱柱 图③ 六棱柱 (2)根据（1）中的结果，猜想棱柱的侧面数、侧棱数、顶点数与棱柱的底面边数之间的关系． (3)根据（2）中的猜想，直接写出二十棱柱的侧面数、侧棱数和顶点数． 易错考点05：点、线、面、体四者之间的关系 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）图中的几何体由 个面围成，面和面相交形成 条线，线与线相交形成 个点． 14．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）向空中扔一块小石子，小石子经过的路线用数学知识解释为点动成线．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，中国历来有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时．随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象用数学知识解释为 ． 15．（23-24七年级上·重庆秀山·期末）数学知识在生活中应用广泛，同学们用过如图这种折扇吧，因为它折起来便于携带，所以深受人们的喜爱、折扇展开的过程运用的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 易错考点06：平面图形旋转后所得的立体图形 16．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）如图，有一个长，宽的长方形纸板，现将长方形一条边所在直线为轴旋转一周，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一条边所在直线为轴旋转． 方案二：以较短的一条边所在直线为轴旋转． 请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大．（结果保留） 17．（25-26七年级上·全国·周测）如图，有一个长、宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转一周，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． (1)上述操作能形成的几何体是________，说明的事实是___________ (2)请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积较大． 18．（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图，是一个直角梯形．（π取） (1)将梯形以所在直线为轴旋转一周可以得到一个立体图形，求这个立体图形的体积． (2)如果将梯形以所在直线为轴旋转 一周可以得到一个新的立体图形，它的体积是多少？ 易错考点07：从不同方向看几何体 19．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）将去掉一个正方体后，从左边看到的图形不可能是（   ）． A． B． C． D． 20．（2025七年级上·山东日照·专题练习）一些完全相同的小立方块搭成一个几何体，这个几何体从正面和从上面看所得的形状图均如图所示，小立方体的排列方式可能有 种． 21．（25-26七年级上·全国·期末）在平整的桌面上，由若干个大小相同的棱长为的小立方块搭成一个几何体，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．    (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体的表面(不包括底面)喷上红色的漆，求需要喷漆的面积是多少？ 易错考点08：几何体展开图的认识 22．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）如图是一个几何体的展开图． (1)写出该几何体的名称 ； (2)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的表面积和体积． 23．（25-26七年级上·四川广元·开学考试）（如图）一个长方体的展开图，已知A、C、E、F四个面的面积之和是，且B面是一个边长的正方形．如果A面是长方体底面，那么( )面是长方体上面；这个长方体的体积是( )． 24．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．64 易错考点09：由展开图计算几何体的表面积 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的五棱柱的底面边长都是，侧棱长． (1)这个五棱柱有多少个侧面？侧面形状分别是什么？ (2)这个五棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 26．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）如图，把一个棱长为6的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去7个小正方体），所得到的几何体的表面积是（   ） A．288 B．144 C．72 D．48 27．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是一个六棱柱，它的底面边长都是，侧棱长． (1)这个棱柱共有______个顶点； (2)这个棱柱共有______条棱，所有的棱长的和是______； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和为______． 易错考点10：由展开图计算几何体的体积 28．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如图1是一个长方体纸盒的表面展开图，纸片厚度忽略不计，数据如图所示，这个盒子的容积为 ． （2）如图2是某几何体的展开图． ①这个几何体的名称是 ； ②求这个几何体的体积（取3.14）． 29．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）（一）实践准备 李老师带领七一班综合实践小组进行废物再利用的数学制作活动，他们准备用废弃的宣传单制作纸盒（有盖或无盖）． （二）操作探究 （1）如图是“乐研组”制作的一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面分别标有“南，阳，值，得，三，顾”六个字，则“阳”相对面的文字是_________ （2）“爱数组”准备制作一个无盖的正方体纸盒，则下列_________（填字母）图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． A．            B． C．            D． （三）尝试应用 （3）如图2，这是一张长为、宽为的长方形包装纸，现要制成牛奶盒子．上下各留宽度均为的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身．如图3，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多．把图3中的包装纸折成图4中的牛奶盒子，想要装下的牛奶是否能成功？为什么？ 30．（24-25七年级上·山东日照·期末）小明在数学活动课中制作了一个长方体包装纸盒（图1），图2是该包装盒平面展开图（粘贴部分忽略不计），相关数据如图2所示，经过测量得出该包装纸盒的长比宽多． (1)设长方体的宽为，则长为______，高为______（都用含的代数式表示）； (2)求长方体包装盒的体积． 易错考点11：正方体几种展开图的识别 31．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）如图所示，图①为一个棱长为3的正方体，图②为图①的表面展开图（每个面表示的数字写在外表面上），请根据要求回答问题： (1)如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x＝ ，y＝ ； (2)如果面“3”是上面，面“5”是后面，则右面是 （填0或1或x或y）； (3)图①中，点P为所在棱的中点，在图②中找到点P的位置，并求出图②中三角形ABP的面积． 32．（24-25六年级下·上海·开学考试）下面有4个正方体，只有一个是用下图的纸片折叠而成的，这个正方体是：（   ） A． B． C． D． 33．（25-26七年级上·全国·课后作业）将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，应剪去（   ） A．1或2或3 B．3或4或5 C．4或5或6 D．1或2或6 易错考点12：正方体相对两面上的字 34．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）如图，是同一个正方体（每个面上标有数字）的两种表面展开图，根据图1，在图2中填出另外3个面上的数． 35．（24-25七年级上·陕西咸阳·开学考试）一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，“保”字对面的字是（   ） A．绿 B．色 C．碳 D．低 36．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，如果把每个骰子点数是4的一面放在桌子上，那么其它五个可以看到的面上的数字的和是17，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是 ，最小是 ． 易错考点13：含图案的正方体的展开图 37．（24-25七年级上·河南焦作·期末）如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（    ） A． B． C． D． 38．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段重合的线段是（   ） A． B． C． D． 39．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）一个长方体的每个面上都标注了字母，如图是该长方体的表面展开图，请根据要求回答问题： (1)如果A在长方体的底部，那么哪一面会在上面？ (2)如果面F在前面，从左面看是B面，那么哪一面会在上面？ (3)如果从右面看是面C，面D在后面，那么哪一面会在上面？ 易错考点14：求展开图上两点折叠后的距离 40．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 41．（21-22七年级上·北京海淀·期末）在科幻世界里有各种造型奇特的小山．如图1是一座三棱锥小山，侧面展开图如图2所示，每个侧面完全相同．一只小狐狸在半山腰点M处想饱览四周风景，它沿路径“”绕小山一周最终以最短路径到达山脚A处．当小狐狸沿侧面的路径运动时，若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”；若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”． （1）当时，在图2中画出从点M沿侧面环绕一周到达山脚点A处的最短路径，并判断在侧面、侧面上走的是上坡路还是下坡路? （2）如果改变小山侧面顶角的大小，（1）中的结论是否发生变化呢?请利用量角器，刻度尺等工具画图探究，并把你的结论填入下表； 情形 度数 侧面 侧面 1 15° 2 30° （3）记，随着逐渐增大，在侧面、侧面上走的这两段路上下坡变化的情况为__________． 42．（24-25七年级上·山东青岛·单元测试）某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 易错考点15：补一个面使图形围成正方体 43．（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 44．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 种选法． 45．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图．（填出两种答案） 易错考点16：截一个几何体 46．（25-26七年级上·全国·周测）图①为一个长方体，其内部是一个形状规则的空心几何体，用一个平行于底面的截面自下而上截这个长方体依次得到如图②所示的截面图，则这个长方体内空心部分的几何体可能为 ． 47．（24-25七年级上·四川成都·期中）用一个平面去截一个几何体，若截面形状是长方形（包括正方形），那么该几何体不可能是（    ） A．圆柱 B．五棱柱 C．圆锥 D．正方体 48．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的几何体是由一个正方体截去后形成的，这个几何体是由 个面围成的，其中正方形有 个，长方形有 个． 易错考点17：平面图形形状的识别 49．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形： （填序号）． 立体图形： （填序号）． 50．（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，现有三种不同型号的卡片共12张，其中有3张边长为3的正方形型卡片，有4张长为3，宽为2的长方形型卡片，有5张边长为2的正方形型卡片．我们可以选取一些卡片，无重叠，无缝隙地拼成不同形状的长方形，那么能拼成面积最大的长方形的面积是 ． 51．（2024七年级上·全国·专题练习）在长方形、长方体、三角形、球、圆中，多边形有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 易错考点18：用七巧板拼图形 52．（24-25七年级上·山东烟台·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．把一副七巧板按如图所示进行至编号，至号分别对应着七巧板的七块，如果编号的面积等于，则由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于 ． 53．（2025·福建宁德·二模）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 54．（2025·河北沧州·模拟预测）七巧板游戏是将一个正方形分割成七块． 然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形． 如图1是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． (1)设正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 （填数字）； (2)图2是用该七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形、请在图中用粗实线画出各块拼板的轮廓线（不用写号码）； (3)请从图1的七巧板之中选五块板拼接成一个正方形，在图3中画出拼接后的示意图（标上号码），要求无重叠无缝隙，并写出该正方形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $