重难点04： 相似三角形的动点问题 【精英班课程】2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义（沪教版）

该初中数学讲义围绕“相似三角形的动点问题”构建系统知识体系，通过思维导图清晰呈现四大基本模型（A字型、共边共角型、一线三等角型、一线三垂直型），并用表格对比不同题型中分类讨论的逻辑路径，帮助学生理清从识别对应角到列式计算的完整解题链条，突出中考高频考点与核心方法的内在联系。 讲义的亮点在于“分类思想”与“数形结合”的深度融合，如例1中先找固定角再以动角为标准分两种情况讨论，体现数学思维的严谨性；例3借助几何直观画图辅助分析，强化空间观念；例13在二次函数背景下探究动点相似三角形，融合建模意识与运算能力。每道例题均配有解题步骤拆解和易错提示，基础薄弱生可依模板模仿练习，优等生能拓展探究多解情形，教师据此实现精准诊断与分层指导，助力课堂高效复习。

2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点04 相似三角形的动点问题 知识点一、基本模型 模型1 A、8字模型 模型2 共边共角型（母子型或B型） 模型3 一线三等角型 模型4 一线三垂直型 知识点二、相似三角形如何分类 若与相似，理论上应有六种可能情况，但在中考中，6种情况未免过于复杂，所以题目中一般都还会隐含（或明示）着其中一组对应角关系，于是就只需讨论两种情况是否可能，并解出相关结果．先找一组角相等，然后以一个变化的角作为分类标准：分别等于固定三角另外两个角。 知识点三、解题思路与解题步骤 第一步 分类：寻找或证明两个三角形中一定相等的两个角； 第二步 画图 第三步 列式计算（利用勾股定理、三角比、相似、面积等） 第四步 检验 题型一：三角形中动点产生的相似三角形 【例1】（2023徐汇一模）如图，已知在中， ， ，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为上一点， ，过点E作，垂足为点G，交射线于点F． (1)如果点D为边的中点，求的正切值； (2)当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式及x的取值范围； (3)连接，如果与相似，求线段的长． 【例2】 （2024-2025学年浦东新区建平中学月考）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC·BD，AB＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，连接DF （1）求证：AE＝AC； （2）设，，求关于的函数关系式及其定义域； （3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长． 【例3】（2024上海浦东新区一模）如图，在中，，，，点D是斜边上的动点，连接，垂直平分交射线于点F，交边于点E． (1)如图，当点D是斜边上的中点时，求的长； (2)连接，如果和相似，求的长； (3)当点F在边的延长线上，且时，求的长． 【例4】(2023-24九上·上海闵行区·期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是射线BC上的一个动点，过点B作BE⊥DA，垂足为点E，延长BE交射线CA于点F，设BD＝x，AF＝y． (1)如图1，当点C是线段BD的中点时，求tan∠ADB的值； (2)如图2，当点D在BC的延长线上，求y关于x的函数解析式及其定义域． (3)当AE＝3EF时，求△ABD的面积． 题型二：平行四边形中动点产生的相似三角形 【例5】(23-24上海松江区九亭第二中学·期中)已知：如图，在平行四边形中，，，，E为上一动点，作，射线交射线于点G． (1)如图1当时，求的长； (2)如图2，当点G在线段上时，射线交射线于点F，设，，求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【例6】（2024兰生学校九年级上月考）已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠C，点E是射线AD上一点，点F是射线DC上一点，且满足∠BEF＝∠A． （1）如图1，当点E在线段AD上时，若AB＝AD，在线段AB上截取AG＝AE，联结GE．求证：GE＝DF； （2）如图2，当点E在线段AD的延长线上时，若AB＝3，AD＝4，cosA＝，设AE＝x，DF＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域； （3）记BE与CD交于点M，在（2）的条件下，若△EMF与△ABE相似，求线段AE的长． 题型三：特殊平行四边形中动点产生的相似三角形 【例7】（2023上·上海静安·九年级市北初级中学期中）在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 【例8】(23-24九上·上海闵行区·期中)在矩形中，，．点P是射线上的动点，联结； (1)如图1，当交于点E时，求的值； (2)如图2，当点P在边上时（与端点B，C不重合），过点P作的垂线，交于点F，交于点G．设，，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)将沿直线翻折，点B落在点Q处，直线交边于点M，当时，求的长． 【例9】（2024·上海嘉定·二模）在菱形中，，点在射线上，连接、． (1)如图，当点是边的中点，求的正切值； (2)如图，当点在线段的延长线上，连接与边交于点，如果，的面积等于，求的长； (3)当点在边上，与交于点，连接并延长与的延长线交于点，如果，与以点、、所组成的三角形相似，求的长． 题型四：梯形中动点产生的相似三角形 【例10】（复旦二附中2024-2025学年上期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），联结DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，联结EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设AE＝x，DH＝y． （1）求证：△ADE∽△CDF，并求∠EFD的正切值； （2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结BG，当△BGE与△DEH相似时，求x的值． 【例11】(24-25青浦区五浦汇实验学校·期中)如图，已知，，，，点是射线上一个动点，联结，作于点E，联结，过点E作垂线交线段于点F． (1)设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (2)当时，若，求的值； (3)若是等腰三角形，直接写出的值． 【例12】(24-25上海普陀区期中)已知在等腰梯形中，，，，，，P是对角线上的一个动点，且，与射线、射线分别交于点E、点G． (1)如图1，当点E与点D重合时，求的长； (2)如图2，当点E在的延长线上时，设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域： (3)当线段时，求的长． 题型五：二次函数压轴题中动点产生的相似三角形 【例13】（2023·上海浦东新·校考一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是坐标原点，已知点的坐标是，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点在轴上方的抛物线上，且，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标． 【例14】（2023·上海·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是，；    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P在x轴上方的抛物线上，且，求点P的坐标； (3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标． 1．（2024-2025学年上嘉定区期末）如图1，在中，，过点作，垂足为点，点在边上（不与点重合），点是边上的点，且满足，设． (1)求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，求证：； (3)设点是的中点，连接并延长交边于点，当与相似时，求的值． 2．（2023嘉定区期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直，，四边形ABCD的周长是16，点E是在AD延长线上的一点，点F是在射线AB上的一点，∠CED＝∠CDF． （1）如图1，如果点F与点B重合，求∠AFD的余切值； （2）如图2，点F在边AB上的一点．设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式并写出它的定义域； （3）如果BF：FA＝1：2，求△CDE的面积． 3.（2025·上海奉贤·一模）如图，矩形中，，点E在射线上，点F在射线上，且，射线与对角线交于点G，与射线交于点M． (1)当点E在线段上时，求的正切值； (2)当G是中点时，求的值； (3)当，且与相似时，直接写出的长． 4．（2024·上海松江·二模）如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）． 　　 (1)当是的中点时，求证：； (2)当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； (3)延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 5．(24-25九上·上海嘉定区部分学校·期中)如图，在矩形中，，点E是线段上一点，，F是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为． (1)若，则k的值是_____ (2)若时，求y关于x的函数解析式. (3)在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点G，求此时k的值. 6. （浦东模范中学2024-2025学年上月考）如图，在梯形中，且，，，点是边上一动点，交延长线于点，与相交于点． （1）求边上高的值； （2）如图（2），设，，求关于的函数关系式，并写出定义域； （3）连接，当与相似时，求的长． 7．（2023上·上海普陀·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线分别交于轴、轴上的两点，抛物线的顶点为点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求证：； (3)连接交轴于点，点是轴上一动点，若与点组成的三角形相似，求点的坐标． 8．（2023·上海徐汇·上海市第四中学校考一模）如图，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，若恰好在抛物线上，求点的坐标； (3)过点P作轴分别交直线，抛物线于点Q，C，连接．若以点B、Q、C为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点04 相似三角形的动点问题 知识点一、基本模型 模型1 A、8字模型 模型2 共边共角型（母子型或B型） 模型3 一线三等角型 模型4 一线三垂直型 知识点二、相似三角形如何分类 若与相似，理论上应有六种可能情况，但在中考中，6种情况未免过于复杂，所以题目中一般都还会隐含（或明示）着其中一组对应角关系，于是就只需讨论两种情况是否可能，并解出相关结果．先找一组角相等，然后以一个变化的角作为分类标准：分别等于固定三角另外两个角。 知识点三、解题思路与解题步骤 第一步 分类：寻找或证明两个三角形中一定相等的两个角； 第二步 画图 第三步 列式计算（利用勾股定理、三角比、相似、面积等） 第四步 检验 题型一：三角形中动点产生相似三角形 【例1】（2023徐汇一模）如图，已知在中， ， ，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为上一点， ，过点E作，垂足为点G，交射线于点F． (1)如果点D为边的中点，求的正切值； (2)当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式及x的取值范围； (3)连接，如果与相似，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）过点D作于H，解直角三角形求出，即可解决问题． （2）如图2中，过点A作，延长交于T，直线交于K，交的延长线于R．想办法证明，再证明，可得，推出，可得结论． （3）利用与相似，可得或，由此构建方程求出，当点F在下方时，同法可求． 【详解】（1）解：如图1中，过点D作于H， ，， ， ，，， ， ， ． （2）解：如图2中，过点A作，延长交于T，直线交于K，交的延长线于R． ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图3中，连接，作于H． ，， ， 与相似， 与相似， 或， 或， 整理得：或， 解得：，或， 或， 当点F在下方时，同理可求，， 综上所述，满足条件的的值为或或． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 【例2】 （2024-2025学年浦东新区建平中学月考）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC·BD，AB＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，连接DF （1）求证：AE＝AC； （2）设，，求关于的函数关系式及其定义域； （3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意可证得，，即∠EAB=∠CAB，则可得，故AE＝AC． （2）可证得，故有，在中由勾股定理有，联立后化简可得出，BC的定义域为． （3）由（1）（2）问可设，，，，若△ABC与△DEF相似时，则有和两种情况，再由对应边成比例列式代入化简即可求得x的值． 【小问1详解】 ∵AB2＝BC·BD ∴ 又∵∠ACB＝∠DAB＝90° ∴ ∴∠ADB=∠CAB 在Rt△EBA与Rt△ABD中 ∠AEB=∠DAB=90°，∠ABD=∠ABD ∴ ∴∠ADB=∠EAB ∴∠EAB =∠CAB 在Rt△EBA与Rt△CAB中 ∠EAB =∠CAB AB=AB ∠ACB＝∠AEB＝90° ∴ ∴AE=AC 【小问2详解】 ∵∠ACB=∠FEB=90°，∠F=∠F ∴ ∴ ∴ 在中由勾股定理有 即 代入化简得 由（1）问知AC=AE，BE=BC=x 则 式子左右两边减去得 式子左右两边同时除以得 ∵ ∴ 在中由勾股定理有 即 ∴ 移项、合并同类项得， 由图象可知BC的取值范围为． 【小问3详解】 由（1）、（2）问可得 ，，， 当时 由（1）问知 即 则 化简 约分得 移向，合并同类项得 则或（舍） 当时 由（1）问知 即 则 化简得 约分得 移项得 去括号得 移向、合并同类项得 则或（舍） 综上所述当△ABC与△DEF相似时， BC的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及证明，全等三角形的判定及证明，勾股定理，需熟练掌握相似三角形和全等三角形的判定及性质，本题解题过程中计算过程较复杂繁琐，耐心细致的计算是解题的关键． 【例3】（2024上海浦东新区一模）如图，在中，，，，点D是斜边上的动点，连接，垂直平分交射线于点F，交边于点E． (1)如图，当点D是斜边上的中点时，求的长； (2)连接，如果和相似，求的长； (3)当点F在边的延长线上，且时，求的长． 【答案】(1)； (2)和相似，的长为或5 (3)的长是 【分析】（1）连接，，由，，，得，，而D是中点，，知，从而，证明，可得，，解得，，即可得； （2）分两种情况：①当时，设，则，有，解得；②当时，设，则，可得，解得，即可得出答案； （3）连接，过D作于K，由，有，设，则，在中，得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，，如图： ∵，，， ∴，， ∵D是中点， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵D是中点，， ∴， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 解得，， ∴； （2）①当时，如图： 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； ②当时，如图： 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上所述，和相似，的长为或5； （3）连接，过D作于K，如图： ∴， ∴， ∴， 即， 设，则， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴的长是． 【点睛】本题考查直角三角形中的相似问题，涉及勾股定理及应用，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及应用． 【例4】(2023-24九上·上海闵行区·期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是射线BC上的一个动点，过点B作BE⊥DA，垂足为点E，延长BE交射线CA于点F，设BD＝x，AF＝y． (1)如图1，当点C是线段BD的中点时，求tan∠ADB的值； (2)如图2，当点D在BC的延长线上，求y关于x的函数解析式及其定义域． (3)当AE＝3EF时，求△ABD的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）在中，，， ∴， 如图1，过点作，垂足为， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵是线段的中点， ∴， ∴， 在中， （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图2，过点作，交于点， ∵，， ∵，，，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴， ∴ （3）情况一：当点在的延长线上时， 在与中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 情况二：当点在的边上时， 在与中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. 同（2），如图5，过点作交的延长线于点， 可求得   ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述或 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正切值，求函数解析式和定义域，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 题型二：平行四边形中动点产生相似三角形 【例5】(23-24上海松江区九亭第二中学·期中)已知：如图，在平行四边形中，，，，E为上一动点，作，射线交射线于点G． (1)如图1当时，求的长； (2)如图2，当点G在线段上时，射线交射线于点F，设，，求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)16 (2) (3)的长为或或． 【分析】（1）根据，求出，由勾股定理求出，再求出，根据，得出，即可求出答案； （2）证明，得出，作，由，得出，进而得出，根据勾股定理得出，从而得出，即可得出答案，当时，求出x的值，即可得出取值范围； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作， 由（1）可得：， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，即时，， ∴， 综上，． （3） 分三种情况： ①当时，， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据等腰三角形三线合一，， ∴ ∴， ∴； ②当时， ，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，   过A作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，注意（3）要分情况讨论． 【例6】（2024兰生学校九年级上月考）已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠C，点E是射线AD上一点，点F是射线DC上一点，且满足∠BEF＝∠A． （1）如图1，当点E在线段AD上时，若AB＝AD，在线段AB上截取AG＝AE，联结GE．求证：GE＝DF； （2）如图2，当点E在线段AD的延长线上时，若AB＝3，AD＝4，cosA＝，设AE＝x，DF＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域； （3）记BE与CD交于点M，在（2）的条件下，若△EMF与△ABE相似，求线段AE的长． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）在射线AB上截取AH＝AE，联结EH，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可； （3）记EH与BC相交于点N，分∠AEB＝∠EMF或∠AEB＝∠EFM两种情况进行解答即可． 【解答】解：（1）∵AG＝AE， ∴． ∵AD∥BC， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝2∠C， ∴， ∴∠AGE＝∠C， ∵AD∥BC， ∴∠D+∠C＝180°，又∠BGE+∠AGE＝180°， ∴∠BGE＝∠D， ∵∠BEF+∠FED＝∠A+∠GBE， ∵∠BEF＝∠A， ∴∠FED＝∠GBE， 又AB＝AD，AG＝AE， ∴BG＝ED， ∴△GBE≌△DEF（ASA）， ∴GE＝DF； （2）在射线AB上截取AH＝AE，联结EH， ∵∠HBE＝∠A+∠AEB，∠DEF＝∠BEF+∠AEB，又∠BEF＝∠A， ∴∠HBE＝∠DEF． ∵AD∥BC， ∴∠EDC＝∠C，∠A+∠ABC＝180°． ∵AH＝AE， ∴， 又∠ABC＝2∠C， ∴∠H＝∠C， ∴∠H＝∠EDC， ∴△BHE∽△EDF， ∴． 过点H作HP⊥AE，垂足为点P． ∵，AE＝AH＝x， ∴，，， ∴， ∵AB＝3，AD＝4，AE＝x，DF＝y， ∴， ∴； （3）记EH与BC相交于点N． ∵△EMF∽△ABE，∠BEF＝∠A， ∴∠AEB＝∠EMF，或∠AEB＝∠EFM， 若∠AEB＝∠EMF，又∠AEB＜∠EMF，矛盾， ∴此情况不存在， 若∠AEB＝∠EFM，∵△BHE∽△EDF， ∴∠BEH＝∠EFM， ∴∠AEB＝∠BEH， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∴∠BEH＝∠EBC， ∴BN＝EN＝BH＝x﹣3， ∵AD∥BC， ∴， ∴， ∴， ∴线段AE的长为． 【点评】本题属于相似三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 题型三：特殊平行四边形中动点产生相似三角形 【例7】（2023上·上海静安·九年级市北初级中学期中）在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 【答案】(1)； (2)；的值为或. 【分析】()证明，利用相似三角形的性质求解； ()证明，可得，推出，由，推出，由此构建关系式，可得结论； 分两种情形：当点在线段的延长线上；当点在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，且点不可能在线段上， ∴与相似有两种可能: 当点在线段的延长线上 (如图中) ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当点在线段的延长线上 (如图中)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的值为或. 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【例8】(23-24九上·上海闵行区·期中)在矩形中，，．点P是射线上的动点，联结； (1)如图1，当交于点E时，求的值； (2)如图2，当点P在边上时（与端点B，C不重合），过点P作的垂线，交于点F，交于点G．设，，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)将沿直线翻折，点B落在点Q处，直线交边于点M，当时，求的长． 【答案】(1) (2)（） (3)的长为 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，，证明，则，，即，解得，，根据，计算求解即可； （2）如图1，作于点H，证明，则，，即，解得，，证明，则，由，可得，设，则，则，解得，，由，可得，解得，，进而可得（）． （3）由，，可得，，由题意知，分①点M在延长线上，②点M在边上，两种情况求解：①当点M在延长线上时，如图2，作于点N，证明，则，进而可得；②当M在边上时，如图3，作于点N，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴； （2）解：如图1，作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，即，解得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，解得，， ∵， ∴，解得，， ∴（）． （3）解：∵，， ∴，， 由题意知，分①点M在延长线上，②点M在边上，两种情况求解： ①当点M在延长线上时，如图2，作于点N， ∴，， 由翻折得，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； ②当M在边上时，如图3，作于点N， ∴，， 同理，，， ∴． 综上：的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正切，全等三角形的判定与性质，折叠的性质．解题的关键在于利用相似三角形的判定与性质确定线段之间的数量关系． 【例9】（2024·上海嘉定·二模）在菱形中，，点在射线上，连接、． (1)如图，当点是边的中点，求的正切值； (2)如图，当点在线段的延长线上，连接与边交于点，如果，的面积等于，求的长； (3)当点在边上，与交于点，连接并延长与的延长线交于点，如果，与以点、、所组成的三角形相似，求的长． 【答案】(1)的正切值是 (2) (3) 【分析】（1）如图，连接，根据菱形的性质，结合已知判定是等边三角形，证明 ，后利用正切函数计算即可； （2）取的中点M，连接，结合(1)的解答，利用平行线的性质，三角形面积的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理计算即可； （3）过作点，垂足为，判定相似三角形的对应关系，结合等腰三角形的判定和性质，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵点是边的中点， ∴，， ∴，   又， ∴，   设， ∴，， 在中，， ∴的正切值是． （2）解：取的中点M，连接， 由（1）可知：，， ∵， ∴， ∴ 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵的面积等于 ∴ ∵与是同高的，设这个高为 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴ ， ∴． （3）过作点，垂足为 由（1）得：是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵与以点、G、组成的三角形相似 ∴点只能与点G对应， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：，（舍去， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，正切函数，勾股定理，解方程，熟练掌握正切函数，三角形相似，勾股定理是解题的关键． 题型四：梯形中动点产生相似三角形 【例10】（复旦二附中2024-2025学年上期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），联结DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，联结EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设AE＝x，DH＝y． （1）求证：△ADE∽△CDF，并求∠EFD的正切值； （2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结BG，当△BGE与△DEH相似时，求x的值． 【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝∠DCB＝90°，根据余角的性质得到∠ADE＝∠CDF，由相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答； （3）根据相似三角形的性质分两种情况解答． 【解答】解：（1）∵∠ADE+∠CDE＝90°，∠CDF+∠CDE＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF， 在Rt△EAD与Rt△FCD中， ， ∴△FAD∽△FCD， ∴， ∴tan∠EFD＝， （2）由（1）可知FC＝2EA＝6x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴△FCH∽△FBE， ∴， ∴， 可得：y＝（0＜x＜3）； （3）BE＝2﹣x，DH＝y，EH＝， ∴， ∴EG＝， ∵∠BEG＝∠DHE， 若△BEG∽△DHE，则有两种情况， 第一种： ∵∠EGB＝∠HED， ∴， ∴， 即， 解得：x＝， 第二种： ∵∠EGB＝∠HDE， ∴， ∴， 即， 解得：x＝1.2． 综上所述，x的值为． 【点评】本题考查了相似综合题，综合运用了相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，矩形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【例11】(24-25青浦区五浦汇实验学校·期中)如图，已知，，，，点是射线上一个动点，联结，作于点E，联结，过点E作垂线交线段于点F． (1)设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (2)当时，若，求的值； (3)若是等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1)y关于x的函数解析式为；函数的定义域为 (2) (3)x的值为或或4 【分析】（1）先证明，得；再证明，得， 则有，即可求得y关于x的函数解析式；当点F与点A重合时，B、E、D三点共线，由相似求得，从而求得函数的定义域； （2）由及三角形外角性质得，从而有，则有；由有，则得，由建立关于x的方程即可求得x的值； （3）由（1）知，则当是等腰三角形时，也是等腰三角形；就是等腰三角形的情况，分三种情况：①，则由（2）易求得x的值；②，则，由相似三角形的性质即可求解；③，则有，进而得，则，由（1）中函数关系式求得，此时P、E两点重合；综合起来即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 即y关于x的函数解析式为； 当点F与点A重合时，B、E、D三点共线，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由于点F在线段上，则， ∴函数的定义域为； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴；由 ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； ∵， ∴， 即； ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∵， ∴； （3）解：由（1）知，则当是等腰三角形时，也是等腰三角形； 就是等腰三角形的情况，分三种情况： ①当时，如图， 则； ∵， ∴， ∴， 由（2）知，； 但，不合题意，故； ②当时，如图，则， 在中，由勾股定理得：； ∵， ∴，即； ∴， 即； ③当时，则有， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ∵ ∴； 此时P、E两点重合； 综上，x的值为或或4． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，求函数关系式，勾股定理，解直角三角形，涉及分类讨论思想的运用；证明三角形相似是解题的关键． 【例12】(24-25上海普陀区期中)已知在等腰梯形中，，，，，，P是对角线上的一个动点，且，与射线、射线分别交于点E、点G． (1)如图1，当点E与点D重合时，求的长； (2)如图2，当点E在的延长线上时，设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域： (3)当线段时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或． 【分析】（1）证明，可得 ，从而可得答案； （2）证明，则，由此即可求解； （3）分两种情况考虑，当点在线段上时，作交于点，当点在的延长线上时，先求解的长，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴，则 ， 即， ∴． （2）解：设，， ∵， ∴， ∵， ∴，则，即， ∴， ∵点E在的延长线上， ∴， ∴． （3）解：分两种情况考虑： ①如图所示，当点在线段上时， 作交于点，由（），同理可得， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即，解得， ∴． ②如图所示，当点在的延长线上时， 同①可得， ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查等腰梯形的性质，三角形相似的判定和性质，列函数解析式，掌握等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 题型五：二次函数压轴中中动点产生相似三角形 【例13】（2023·上海浦东新·校考一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是坐标原点，已知点的坐标是，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点在轴上方的抛物线上，且，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据正切可得点坐标，根据待定系数法求出函数关系式即可； （2）根据正切，可设点P的横坐标为x，则纵坐标为，根据图像上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，解方程可得答案； （3）根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴C点坐标为：， , ∵ ∴ ∵在负半轴， ∴ 把和代入得： 解得： ∴抛物线的函数表达式为： （2）∵， ∴ ∵点P在x轴上方 设点P的横坐标为x，则纵坐标为， ∴， 解得：(舍去)或 当时， ∴点P的坐标为； （3）设点D的坐标为， ∵ ∴ ∴为的锐角三角形， ∴也是锐角三角形， ∴， ∴ ∵ ①当时，，则， ∴，即点， ②当时，，则， ∴，即点， 综上所述，或 【点睛】本题考查二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，三角函数，根据三角函数转化为线段的比值是解题的关键，注意分类讨论时不要遗漏情况． 【例14】（2023·上海·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是，；    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P在x轴上方的抛物线上，且，求点P的坐标； (3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据正切函数，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据正切函数，可得P点坐标，根据图像上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案； （3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于y的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴，即点A的坐标为， 又∵， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式是； （2）解：∵， ∴， ∵点P在x轴上方， 设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为， ∴， 得（舍去）或， 当时， ∴点P的坐标为； （3）解：如图，    设点D的坐标为， ∵，， ∴， ∴为的锐角三角形， ∴也是锐角三角形， ∴点D在点C的上方， ∴， ∴， ∵，，， ①如果，则， ∴，即点， ②如果则， ∴，即点． 综上分析可知：符合条件的点D的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用正切函数得出P点坐标是解题关键，又利用图像上的点满足函数解析式得出P点坐标；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出关于y的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 1．（2024-2025学年上嘉定区期末）如图1，在中，，过点作，垂足为点，点在边上（不与点重合），点是边上的点，且满足，设． (1)求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，求证：； (3)设点是的中点，连接并延长交边于点，当与相似时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）设，则，在结合等腰三角形的性质即可推出结论； （2）过点作于点，过作于点，证明，得出，可推出结论； （3）分两种情况①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】（1）证明：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过点作于点，过作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵与相似， ①当时，如图所示 则， ∴， ∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了等边对等角，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质等知识点．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（2023嘉定区期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直，，四边形ABCD的周长是16，点E是在AD延长线上的一点，点F是在射线AB上的一点，∠CED＝∠CDF． （1）如图1，如果点F与点B重合，求∠AFD的余切值； （2）如图2，点F在边AB上的一点．设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式并写出它的定义域； （3）如果BF：FA＝1：2，求△CDE的面积． 【分析】（1）设AB＝3k，则AC＝4k，由勾股定理求出BC＝＝5k，由四边形ABCD的周长求出k＝1，求出AM的长，则可得出答案； （2）证明△CDE∽△DAF，由相似三角形的性质得出，得出AD＝BC＝5，DE＝x﹣5，DC＝AB＝3，AF＝3﹣y，由比例线段可得出答案； （3）分两种情况：①当点F在边AB上，②当点F在AB的延长线上，求出AF的长，由相似三角形的性质及三角形面积公式可得出答案． 【解答】解：（1）如果点F与点B重合，设DF与AC交于点M， ∵AC⊥CD， ∴∠DCA＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠CAB＝∠DCA＝90°， 在Rt△CAB中，设AB＝3k， ∵， ∴AC＝4k， ∴BC＝＝5k， ∵四边形ABCD的周长是16， ∴2（AB+BC）＝16， 即 2（3k+5k）＝16， ∴k＝1， ∴AB＝3，BC＝5，AC＝4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AM＝CM＝AC＝2， ∴cot∠AFD＝； （2）解：∵CD∥AB， ∴∠EDC＝∠FAD，∠CDF＝∠AFD， ∵∠CED＝∠CDF， ∴∠CED＝∠AFD， ∴△CDE∽△DAF， ∴， 由题意，得AD＝BC＝5，DE＝x﹣5，DC＝AB＝3，AF＝3﹣y， ∴， ∴y＝﹣， 定义域是：5＜x≤． （3）解：点F在射线AB上都能得到：△CDE∽△DAF， ∴， ①当点F在边AB上， ∵BF：FA＝1：2，AB＝3， ∴AF＝2， 由题意，得S△DAF＝AF•AC， ∵AC＝4， ∴S△DAF＝×2×4＝4， ∴， ∴S△CDE＝， ②当点F在AB的延长线上， ∵BF：FA＝1：2，AB＝3， ∴AF＝6， 由题意，得S△DAF＝AF•AC， ∴S△DAF＝AF•AC＝12， ∴， ∴S△CDE＝． 综上所述，△CDE的面积是或． 【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 3.（2025·上海奉贤·一模）如图，矩形中，，点E在射线上，点F在射线上，且，射线与对角线交于点G，与射线交于点M． (1)当点E在线段上时，求的正切值； (2)当G是中点时，求的值； (3)当，且与相似时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)； (3)当，且与相似时，的长为或． 【分析】（1）先证明，推出，得到，再证明，得到，再利用正切函数的定义即可求解； （2）证明点四点共圆，得到点是矩形的中心，再证明四边形是菱形，设，则，再设，则，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，当点E在线段上时，设，则，证明，推出，再证明，利用相似三角形的性质列式计算可求得的长；当点E在延长线上时，证明，利用相似三角形的性质列式计算可求得的长． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，，， 由（1）得， ∴点四点共圆， ∴， ∵G是中点， ∴点是矩形的中心， ∴点三点共线， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴平行四边形是菱形， ∴， 设，则， 再设，则， 在中，，即， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴，当点E在线段上时， ∵， ∴当时，， ∵点四点共圆， ∴， ∴， 设， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴； 当点E在延长线上时， ∵， ∴当时，， 同理点四点共圆， ∴， ∵， ∴，， 设， 同理得， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴； 综上，当，且与相似时，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，解一元二次方程，勾股定理，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 4．（2024·上海松江·二模）如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）． 　　 (1)当是的中点时，求证：； (2)当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； (3)延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，PF的长度不变， (3)能相似， 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质及判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的比值关系等知识点，灵活运用角的等量关系建立边的比值关系是解题的关键． （1）利用斜边的中线是斜边的一半的性质和矩形的性质，通过角的等量代换得到即可； （2）通过角的等量代换和相似三角形的判定方法证出，即可根据比值关系求解； （3）连接，过点作，垂足为，通过角的等量代换和边的比值关系判定出四边形是矩形，然后再利用角的等量代换证出，当时（均为钝角）时，可得到，从而得到，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：∵，为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的长度不变，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）连接，过点作，垂足为，如图所示： ∴，， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴当时（均为钝角），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．(24-25九上·上海嘉定区部分学校·期中)如图，在矩形中，，点E是线段上一点，，F是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为． (1)若，则k的值是_____ (2)若时，求y关于x的函数解析式. (3)在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点G，求此时k的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明，由相似三角形的性质得到，再把与的值代入得到关于的方程，求解即可； （2）由（1）知：，当时，代入即可； （3）根据题意可得的最大值是3，再由（1）知：，根据二次函数的最值可得，当时，的最大值是，从而得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，设的长为，的长为， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：； （2）解：由（1）得， ∴当， ∴； （3）解：∵在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点， ∴的最大值是3， 由（1）知：， 当时，即，有最大值， 当时，的最大值是， ∴， ∴． ∴此时的值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，求函数关系式，直角三角形两锐角互余，二次函数的最值． 6. （浦东模范中学2024-2025学年上月考）如图，在梯形中，且，，，点是边上一动点，交延长线于点，与相交于点． （1）求边上高的值； （2）如图（2），设，，求关于的函数关系式，并写出定义域； （3）连接，当与相似时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，函数关系式，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用勾股定理可得，由即可求解； （2）根据题意，证明，得到，设，则，，解得，即，再证明，得到，整理得，由此即可求解； （3）如图所示，设交于点，可得，分类讨论：当时，，得；当时，，得；由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 解得，，即， ∵， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 当点与点重合时， ∵，且， ∴四边形是菱形，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，设交于点， ∵，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式有意义， ∴； 当时，， ∴， 如图所示，连接并延长交于点， ∵，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， 由（2）可知， ∴，整理得，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴； 综上所述，的长为或． 7．（2023上·上海普陀·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线分别交于轴、轴上的两点，抛物线的顶点为点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求证：； (3)连接交轴于点，点是轴上一动点，若与点组成的三角形相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出B和C的坐标，运用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）求出顶点D的坐标，然后求出，即可证明结论； （3）求出直线的解析式，然后计算出点的坐标，然后分两种情况：和计算解题． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为， 令，则，解得， ∴点B的坐标为， 把，代入得 ，解得：， ∴； （2）解：， ∴点D的坐标为， 过点D作垂直于点F，连接， 则点F的坐标为， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴；    （3）设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴， 令，则， ∴点E的坐标为， ∴， ，， ， ∵， ∴当时，， 即，解得， ∴， ∴点P的坐标为， 当时，， 即，解得， ∴， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图像和解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线够构造直角三角形是解题的关键． 4．（2023·上海徐汇·上海市第四中学校考一模）如图，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，若恰好在抛物线上，求点的坐标； (3)过点P作轴分别交直线，抛物线于点Q，C，连接．若以点B、Q、C为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）将，代入，即可求解． （2）设，过点D作x轴垂线交于点N，可证明，则，将D点代入抛物线解析式得，求得或． （3）分当和时，两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， ∴，， ∴． （2）解：设， 如图，过点D作x轴垂线交于点N， ∵， ∴,， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，解得或， ∴或． （3）解：∵， ∴是直角三角形，且， ∵以点B、Q、C为顶点的三角形与相似， ∴也是直角三角形， 显然， 当时，此时，如图， ∵抛物线的对称轴为， ∴点C的横坐标为1， ∴点P的坐标为； 当时，此时，如图，设与x轴交于点E， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点C的横坐标为， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象及性质，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $