专题25.2 求锐角的三角比的值（8大题型+能力提升） 【精英班课程】 2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学第一学期同步培优讲义

2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题25.2 求锐角的三角比的值 知识点一、特殊角的三角比值 利用三角比的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角比值，归纳如下： 锐角 cot 30° 45° 1 1 60° 【方法规律】 (1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角比值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： 、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) ②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 知识点二、锐角三角比之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． (1)互余关系：，； tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA. (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商的关系： 【方法规律】 锐角三角比之间的关系式可由锐角三角比的意义推导得出，常应用在三角比的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 知识点三、用计算器计算特殊锐角三角比的值 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 题型1：求特殊角的三角比 【例1】填空： tan 60°= ______；cot 45°= ______；sin 30°= ______；cos 45°= ______． 【例2】用特殊锐角的三角比填空： （1）______ = ______； （2）______ = ______； （3）______ = ______； （4）______ = ______． 【例3】若sin30°=cosB，那么∠B=________°． 【例4】中，，下列说法正确的是（    ） A．的余切值为 B．的对边与邻边之比为 C．的余弦值 D．的正弦值不确定 【例5】点关于轴对称的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【例6】列各式中正确的个数是（　　） ①②③④． A．4 B．3 C．2 D．1 【例7】如图，在中，，，BC = a．求的三角比的值． 【例8】如图，在中，，，AC = a．求的三角比的值． 题型2：由锐角三角比值求角 【例9】已知 ，则锐角的度数等于（       ） A． B． C． D．或 【例10】已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【例11】若是锐角，且，则cos A = ______． 【例12】李红同学遇到了这样一道题：，你猜想锐角α的度数应是（  ） A． B． C． D． 【例13】如果成立，那么锐角的度数应是（　　） A． B． C． D． 【例14】已知，在中，，cos B =，求tan A的值． 题型3：特殊角的锐角三角比值的混合运算 【例15】计算： ． 【例16】下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【例17】计算：． 【例18】计算：． 【例19】计算：． 【例20】计算：． 题型4：互为余角的锐角三角比；同角，不同名的三角比值问题 【例21】如果，那么与的差（    ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【例22】在中，，若，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【例23】在中，，若，则 ． 【例24】在中，，下列式子中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型5：比较大小问题 【例25】下列不等式，成立的是（ ） A． B． C． D． 【例26】令a=sin60°，b=cos45°，c=tan30°，则它们之间的大小关系是（    ） A．c<b<a B．b<c<a C．b<a<c D．a<c<b 【例27】如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例28】若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例29】已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【例30】已知，则锐角的取值范围是 ． 【例31】已知，化简：． 题型6：判断三角形的形状 【例32】在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，那么△ABC的形状是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【例33】在中，如果，，那么这个三角形一定是（ ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【例34】若，则以为内角的的形状是 ． 【例35】如果，则的形状是 ． 题型7：用计算器计算特殊角的三角比值 【例36】按科学记算器，使显示器显示后，求的值，以下按键顺序正确的是(   ) A． B． C． D． 【例37】用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）： (1)； (2)； (3)； (4)． 一、选择题 1．（2024上海九年级月考）在中，，若，则的值为( ) 2．（24-25徐汇中学九上期中）在中，∠C=90°，∠A=30°，则sinA+sinB的值是    （    ） A．1 B． C． D．4 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 4．（24-25大同中学九上期中）在中，若tanA=1，cosB=，则下列判断最确切的是（    ） A．是等腰三角形 B．是等腰直角三角形 C．是直角三角形 D．是一般锐角三角形 5．观察下列各式：①；②（是锐角）；③，其中成立的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（24-25市北中学九上期中）规定：，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2、 填空题 7． ． 8．（2022秋•浦东新区校级期末）如果sinα＝，那么锐角α＝　． 9．（2024上海九年级一模）计算____． 10．（2024上海九年级一模）计算：_______________． 11．计算=___________． 12．（24-25市北中学九上期中）已知在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，∠C＝_____． 13.（2023·上海金山·一模）若是锐角，，那么锐角等于______ 14．（24-25建平中学九上期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，则∠A＝______度，sinA＝________． 15．（2023秋•长宁区校级期中）在中，若是锐角，，，则　　度． 16．（23-24九年级上·上海杨浦·阶段练习） （选填“”或“”或“”） 17．已知，则锐角的取值范围是 ． 18．（2024九年级上·上海·专题练习）用表示这三个数中最小的数，则 ． 三、解答题 19．（2024九年级上·上海·专题练习）求满足下列条件的锐角： （1）； （2）． 20．（2025·上海普陀·一模）计算：． 21．（2025·上海金山·一模）计算：． 22．（2024秋•徐汇区期末）计算：． 23.（2024九年级上·上海·专题练习）先化简，再求代数式的值，其中，． 24.（2024九年级上·上海·专题练习）△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且，试确定△ABC的形状。 25．（2024九年级上·上海·专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程） (1)的值为（     ）． A． B．1 C． D．2 (2)对于，的正对值的取值范围是 ． (3)如果，，其中为锐角，试求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题25.2 求锐角的三角比的值 知识点一、特殊角的三角比值 利用三角比的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角比值，归纳如下： 锐角 cot 30° 45° 1 1 60° 【方法规律】 (1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角比值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： 、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) ②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 知识点二、锐角三角比之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． (1)互余关系：，； tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA. (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商的关系： 【方法规律】 锐角三角比之间的关系式可由锐角三角比的意义推导得出，常应用在三角比的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 知识点三、用计算器计算特殊锐角三角比的值 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 题型1：求特殊角的三角比 【例1】填空： tan 60°= ______；cot 45°= ______；sin 30°= ______；cos 45°= ______． 【答案】，，， 【解析】主要考察特殊角的锐角三角比值． 【例2】用特殊锐角的三角比填空： （1）______ = ______； （2）______ = ______； （3）______ = ______； （4）______ = ______． 【答案】（1）sin 30°，cos 60°；（2）sin 45°，cos45°； （3） tan45°，cot 45°；（4）sin 60°，cos30°． 【解析】主要考察特殊角的锐角三角比值． 【例3】若sin30°=cosB，那么∠B=________°． 【答案】60 【分析】根据特殊角的三角函数值即可得． 【详解】， ， ， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 【例4】中，，下列说法正确的是（    ） A．的余切值为 B．的对边与邻边之比为 C．的余弦值 D．的正弦值不确定 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【解析】解：∵中，， ∴的余切值为， ∵不一定是直角三角形， ∴的对边与邻边之比不一定为，的余弦值不一定为，的正弦值不确定 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握定义是解题的关键． 【例5】点关于轴对称的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，关于轴对称的点的坐标特征；先求得，，进而根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【解析】解：∵， ∴即 ∴关于轴对称的点的坐标是， 故选：B． 【例6】列各式中正确的个数是（　　） ①②③④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．解题的关键是熟练掌握各个三角函数的定义，以及熟记各个特殊角度的锐角三角函数值，根据各个锐角三角函数的定义和值逐个判断即可，解答④时，要充分利用三角函数的定义． 【详解】解：①，故①错误； ②∵，， ∴；故②正确； ③若，则，故③错误； ④，故④正确； 综上所述，正确的说法有②④，共2个； 故选：C． 【例7】如图，在中，，，BC = a．求的三角比的值． 【答案】，，， 【解析】∵ ∴，， ，． 【总结】本题主要考查特殊角角的三角比的值． 【例8】如图，在中，，，AC = a．求的三角比的值． 【答案】，，，． 【解析】∵，∴，， ，． 【总结】本题主要考查特殊角角的三角比的值． 题型2：由锐角三角比值求角 【例9】已知 ，则锐角的度数等于（       ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据特殊角三角函数值，直接判断的度数即可． 【解析】解：， 锐角的度数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟练掌握常见特殊角三角函数值是解题关键． 【例10】已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可． 【解析】解：∵，为锐角， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查根据三角函数值求角度，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【例11】若是锐角，且，则cos A = ______． 【答案】 【解析】∵，∴，∴． 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及它们之间的关系． 【例12】李红同学遇到了这样一道题：，你猜想锐角α的度数应是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可． 【解析】解： ∴ ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【例13】如果成立，那么锐角的度数应是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【例14】已知，在中，，cos B =，求tan A的值． 【答案】 【解析】∵，且∠B是锐角，∴． ∵， ∴ ∴． 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及它们之间的关系． 题型3：特殊角的锐角三角比值的混合运算 【例15】计算： ． 【答案】0 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：0． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键． 【例16】下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案． 【详解】解：A．，，原式成立，故此选项不合题意； B．，，原式成立，故此选项不合题意； C．，故原式成立，故此选项不合题意； D．，，原式不成立，故此选项符合题意； 故选：D． 【例17】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 先用特殊角的三角函数值化简，然后再进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【例18】计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化，根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化进行化简即可，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【例19】计算：． 【答案】 【分析】先根据分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【例20】计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，涉及二次根式混合运算、分母有理化等知识，先由特殊角的三角函数值求出各部分，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】解： ． 题型4：互为余角的锐角三角比；同角，不同名的三角比值问题 【例21】如果，那么与的差（    ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【答案】B 【分析】，再根据正弦函数随着角的增大而增大进行分析即可． 【解析】∵，正弦函数随着角的增大而增大， ∴当时，， ，即， 故选B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，正弦函数值随着角的增大而增大． 【例22】在中，，若，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】在直角三角形中，求出的度数，即可求． 【解析】解：如图所示，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 【例23】在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的性质一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值可求． 【详解】解：，， ∴， , 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的性质，解题关键是正确理解三角函数的意义，得出一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值． 【例24】在中，，下列式子中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用互为余角的三角函数关系式求解． 【详解】解：利用互为余角的三角函数关系式求解，只有A不一定成立． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，∠A、∠B互为余角，则有cosB＝sin（90°−B）＝sinA成立． 题型6：比较大小问题 【例25】下列不等式，成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A答案，正确应为：； B答案，正确应为：； C答案，正确应为： 【例26】令a=sin60°，b=cos45°，c=tan30°，则它们之间的大小关系是（    ） A．c<b<a B．b<c<a C．b<a<c D．a<c<b 【答案】A 【分析】分别求出a、b、c所对应的值，然后比较它们的大小即可． 【解析】a=sin60°=,b=cos45°=,c=tan30°=， ∵<<， ∴c<b<a. 故选A. 【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握特殊角度的三角函数值是解题的关键. 【例27】如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【详解】解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小，且， ∴． 故选：C． 【例28】若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的性质，根据正弦值随着角度的增大而增大即可求解，掌握锐角三角函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴正弦值随着角度（该角度是为锐角）的增大而增大，，， ∴， 故选：． 【例29】已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案 【详解】解：，， 由可得， 在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键． 【例30】已知，则锐角的取值范围是 ． 【答案】0＜α≤30° 【分析】根据二次根式的性质可得出≤，再由锐角正弦函数的增减性质可得出结论. 【详解】由题意知，故≤，即sin≤sin 30°，由正弦函数是增函数． 知0＜α≤30° 【点睛】本题考查了二次根式的性质和正弦函数的性质，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题关键. 【例31】已知，化简：． 【答案】 【解析】∵， ∴． ∴． 题型6：判断三角形的形状 【例32】在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，那么△ABC的形状是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，可得出∠A和∠B的度数，继而可得出三角形ABC的形状． 【详解】在△ABC中， ∵∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=， ∴∠A=30°，∠B=60°， 则∠A=180°-30°-60°=90°． 故△ABC为直角三角形． 故选B． 【例33】在中，如果，，那么这个三角形一定是（ ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据特殊的三角函数值可知，∠A＝30°，∠B＝60°，即可判断三角形的形状． 【详解】∵ ，， ∴∠A＝30°，∠B＝60°， ∴ ∠A＋∠B＝90°， ∴ 这个三角形一定是直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，属于基础题型． 【例34】若，则以为内角的的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】直接利用非负数的性质得出，进而得出的形状． 【解析】解：∵， ∴，， 则，， ∴， ∴以为内角的的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 【例35】如果，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】根据特殊角的三角函数值以及非负数的性质求解进而根据等边三角形的判定可得答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值以及非负数的性质，也考查了等边三角形的判定． 题型8：用计算器计算特殊角的三角比值 【例36】按科学记算器，使显示器显示后，求的值，以下按键顺序正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据计算器的使用进行按键即可求解． 【解析】解：显示器显示D后，即弧度制； 求的值，需按顺序按下：，，． 故选：C. 【点睛】本题考查了用过计算器计算三角函数，会用科学记算器进行计算是解题关键． 【例37】用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0.7314 (2)0.2164 (3)0.9041 (4) 【分析】利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题考查计算锐角三角函数值，熟练使用计算器是解题的关键． 一、选择题 1．（2024上海九年级月考）在中，，若，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠B，再求∠A，即可求解. 【详解】在中，，若，则∠B=30° 故∠A=60°，所以sinA= 故选：C 【点睛】本题考查的是三角函数，掌握特殊角的三角函数值是关键. 2．（24-25徐汇中学九上期中）在中，∠C=90°，∠A=30°，则sinA+sinB的值是    （    ） A．1 B． C． D．4 【答案】B 【分析】先根据直角三角形的性质求出，再根据特殊角的正弦值进行计算即可得． 【详解】在中，，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、特殊角的正弦值，熟记特殊角的正弦值是解题关键． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角，满足，确定锐角三角函数的增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，随的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案． 【详解】解：角，满足，随的增大而增大，随的增大而减小， 随的增大而增大， A.∵,∴0<<,选项A正确，不合题意； B．∵,∴,选项B正确，不合题意； C．，，，，选项C不正确，符合题意； D．，，，，选项D正确，不符合题意． 故选择：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键． 4．（24-25大同中学九上期中）在中，若tanA=1，cosB=，则下列判断最确切的是（    ） A．是等腰三角形 B．是等腰直角三角形 C．是直角三角形 D．是一般锐角三角形 【答案】B 【分析】先根据正切值、余弦值求出、的度数，再根据三角形的内角和定理可得的度数，然后根据等腰直角三角形的定义即可得． 【详解】、是的内角，且，， ，， ， 是等腰直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的正切值与余弦值、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义，熟记特殊角的正切值与余弦值是解题关键． 5．观察下列各式：①；②（是锐角）；③，其中成立的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值，根据锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【解析】解：由正弦值随着角度的增大而增大可知，故①正确，符合题意； 是锐角， ，故②正确，符合题意； ，故③错误，不符合题意； 综上所述，成立的有①②，共2个， 故选：C． 6．（24-25市北中学九上期中）规定：，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式． 【解析】解：A．，故此结论不正确； B．，故此结论不正确； C．，故此结论正确； D．，故此结论不正确； 故选：C． 2、 填空题 7． ． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数，熟记特殊角的锐角三角函数值是解答此题的关键．将，代入式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：原式， ， 故答案为：． 8．（2022秋•浦东新区校级期末）如果sinα＝，那么锐角α＝　． 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【解答】解：由sinα＝，得 锐角α＝60°， 故答案为：60． 【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 9．（2024上海九年级一模）计算____． 【答案】 【分析】先代入特殊角的三角函数值，然后再进行计算即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、实数乘法运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 10．（2024上海九年级一模）计算：_______________． 【答案】 【分析】根据cos45°=， sin60°=代入运算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值． 11．计算=___________． 【答案】3 【分析】根据特殊角的正切函数值、二次根式的乘法即可得． 【详解】， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了特殊角的正切函数值、二次根式的乘法，熟记特殊角的正切值是解题关键． 12．（24-25市北中学九上期中）已知在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，∠C＝_____． 【答案】75° 【分析】分别根据特殊角的三角函数值求出∠A和∠B的度数，然后根据三角形的内角和定理求得∠C的度数． 【详解】∵sinA＝，cosB＝，∠A、∠B为锐角， ∴∠A＝45°，∠B＝60°， 则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°． 故答案为75°． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 13.（2023·上海金山·一模）若是锐角，，那么锐角等于______ 【分析】由sin45°=可得=45°即可确定． 【详解】解：∵sin45°=，，是锐角 ∴=45°，即=30°． 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值确定=45°成为解答本题的关键． 14．（24-25建平中学九上期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，则∠A＝______度，sinA＝________． 【答案】 30 【分析】根据三角形边的关系，可求出tan∠A的值，从而得出∠A的度数及sinA的值． 【详解】解：∵∠C=90°，3a=b， ∴=，即tan∠A=， ∴∠A=30°， ∴sinA=sin30°=． 故答案为30，. 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系． 15．（2023秋•长宁区校级期中）在中，若是锐角，，，则　　度． 【分析】利用特殊锐角三角函数值求得，的度数，继而求得的度数． 【解答】解：由题意可得，， 则， 故答案为：120． 【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，结合已知条件求得，的度数是解题的关键． 16．（23-24九年级上·上海杨浦·阶段练习） （选填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数大小比较，数字规律探索，根据特殊角的三角函数的正弦与余弦值可得到互余的两角余弦值与正弦值相等，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，从而得出，再进行比较即可． 【详解】解：，，，，，， ，，，， 由此可得，互余的两角余弦值与正弦值相等，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小， ， ， ， 故答案为：． 17．已知，则锐角的取值范围是 ． 【答案】0＜α≤30° 【分析】根据二次根式的性质可得出≤，再由锐角正弦函数的增减性质可得出结论. 【详解】由题意知，故≤，即sin≤sin 30°，由正弦函数是增函数． 知0＜α≤30° 【点睛】本题考查了二次根式的性质和正弦函数的性质，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题关键. 18．（2024九年级上·上海·专题练习）用表示这三个数中最小的数，则 ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 分别得出各个三角函数的值，再比较大小，即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．（2024九年级上·上海·专题练习）求满足下列条件的锐角： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意可得：，则； （2）由题意可得：，则． 【总结】本题主要是对特殊锐角三角比的值的综合运用． 20．（2025·上海普陀·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】解： ． 21．（2025·上海金山·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 根据特殊角的三角函数值和实数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式                                      ． 22．（2024秋•徐汇区期末）计算：． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 23.（2024九年级上·上海·专题练习）先化简，再求代数式的值，其中，． 原式=== 当，=时， 原式====． 24.（2024九年级上·上海·专题练习）△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且，试确定△ABC的形状。 【答案】等边三角形； 25．（2024九年级上·上海·专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程） (1)的值为（     ）． A． B．1 C． D．2 (2)对于，的正对值的取值范围是 ． (3)如果，，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理以及三角形的三边关系等知识． （1）先判断为等边三角形，得到，最后根据新定义求解即可； （2）先根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质得到，最后根据新定义求解即可； （3）过点作于点，则，设，，然后用勾股定理求出、，最后根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， 为等边三角形， ， ， 故选：B； （2）在中，根据三角形的三边关系得：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图，过点作于点，则， ， 设，， 在中，， 是等腰三角形， ， ， 在中，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $