专题25.3 解直角三角形（7大题型+能力提升） 【精英班课程】 2025-2026学年 沪教版（五四制）九年级数学第一学期同步培优讲义

2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题25.3 解直角三角形 知识点一 解直角三角形 1.解直角三角形的概念 一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (1) 在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三) (2) 一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长 2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°， （1） 三边之间的关系：.（勾股定理） （2） ∠A＋∠B＝90° （3） 边角之间的关系： ;;; ;;;. 3.解直角三角形的类型和解法 条件 解法步骤 图示 两 边 ①两直角边 由，求； ; ②斜边,一直角边（如） 由，求； ; 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ； ④锐角,对边 如（） ； ⑤斜边,锐角 如（） ； 提示 在直角三角形中,计算边时可用以下口诀: 有斜求对乘正弦,有斜求邻乘余弦,有邻求对乘正切 “有斜求对乘正弦”的意思是在直角三角形中,对一个锐角而言,如果已知斜边长，要求出该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他语句的意思可类推. 4.解非直角三角形 在非直角三角形中,往往通过作三角形的高,构造直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏 30°,45°60°角为原则. 对于复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法构造出直角二角形,使问题转化为解直角三角形 注意： 在选择作哪一条边上的高时，要尽量保留三角形中的特殊角，这样便于进一步计算. 解非直角三角形的方法运用“遇斜化直”的思想求解，先作三角形的高,构造直角三角形,然后利用已知条件分别解这两个直角三角形,即可得出要求的值. 题型01：解直角三角形的基本类型 【例1】在中， ，解直角三角形 （1）c = 8，a = 6，（2）a = 7，b = 9 【例2】（1）中，，AB = 4，AC = ，BC = ______，= ______． （2）在中，，则= ______． （3）在中， ，，b = 9，解这个直角三角形（，，，）． 【例3】在直角三角形中，，，a – b =2，a、b、c是、、所对的边，解这个直角三角形． 【例4】在中，，、、的对边分别是a、b、c，根据下列条件解直角三角形． (1)，； (2)，． 【例5】如图，在中，，D是BC中点，DEAB，垂足为E，tan B = ，AE = 7，求DE的长． 【例6】如图，在中，． (1)已知，，求的长． (2)已知，，求的度数． 【例7】在中，，，． (1)求的度数． (2)求的面积． 题型02：解直角三角形的应用 【例8】如图，的底边上的高为，的底边上的高为，则有（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【例9】如图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，EC = 1，cos B =，则这个菱形的面积是______． 【例10】中，，，角平分线，解这个直角三角形． 【例11】在中，，a、b、c分别是、、的对边，解下列直角三角形： （1），； （2），； 题型03：解非直角三角形 【例12】在等腰中，，如果，那么的值是 ． 【例13】如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为 ． 【例14】如图，已知在中，高、相交于点，，，那么的长为 ． 【例15】如图，若，，，且，则AC等于 ． 【例16】如图，在中，，，中线． (1)求的长； (2)求的值． 题型04：四边形中解直角三角形 【例17】如图，在四边形中，，，，，则的长为 ． 【例18】如图，在菱形中，，． (1)求对角线的长； (2)求的值． 【例19】如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在边上，且． (1)求的长； (2)求的值． 【例20】如图，已知在梯形中，，，，，． (1)求的长； (2)求的正切值． 题型05：网格中解直角三角形 【例21】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【例22】如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点 ，，都在格点上，则的值为 ． 【例23】如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型06：坐标系中解直角三角形 【例24】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，且，则顶点的坐标是 ． 【例25】如图，在平面直角坐标系中，已知点A，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点B的坐标为 ． 【例26】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴，轴上，为边上一点，且，为边上一点，将四边形沿折叠，点的对应点恰好与原点重合，若，则的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例27】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线在第一象限分支交于点，过点作轴的平行线，交轴于点，． (1)求点、的坐标； (2)求的值； (3)求的值． 题型07：解决动点问题 【例28】如图，在矩形中，分别为边上的点，且，将矩形沿直线折叠，得到四边形，点的对应点分别为点（点落在上方），连接，当三点共线时，的长为（    ） A．2 B． C． D．1 【例29】如图，已知，，，是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，线段与分别交于点，如果是直角三角形，那么的长 ． 【例30】已知矩形（），点是边的中点，将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上，那么 ． 一、选择题 1．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，当已知和a时，求c，应选择的关系式是（  ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 4．如图，在中，，，，于D，的平分线交于E，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 6.如图，在中，，是中线，过点A作的垂线，分别交于点E、F．若，，则的长为（    ） A．39 B． C． D．19.5 2、 填空题 7．（2024·上海奉贤·统考一模）在中，，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·上海浦东新·统考一模）在中，，，，则 ． 9．（2024·上海奉贤·统考一模）在中，，（是锐角），，那么的长为 ． 10．在ABC中，，，，那么的长为 ． 11．如图，中，，于点D，若，，则 ． 12．如图，在中，，，，则的长为 ． 13.在直角三角形中，若，则的值为______ 14．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝ ． 15． 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为__________ 16．如图，在矩形中，，，M、N分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为 ． 三、解答题 17.（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，，，解这个直角三角形． 18.（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知：如图，在中，，，，求的长和的正切值． 19.（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知：如图，是的高，，．求． 20．如图，在中，，，，D为线段上一点，并且，求及的值． 21．在中，，、、分别是、、的对边，解下列直角三角形： (1)，； (2)，． 22．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求： （1）线段BE的长； （2）∠ECB的余弦值． 23．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC． （1）求高CD的长； （2）求tan∠EAB的值． 24．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，． (1)若，解这个直角三角形． (2)若，解这个直角三角形（角度精确到）． 25．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，且， (1)求的值； (2)求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题25.3 解直角三角形 知识点一 解直角三角形 1.解直角三角形的概念 一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (1) 在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三) (2) 一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长 2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°， （1） 三边之间的关系：.（勾股定理） （2） ∠A＋∠B＝90° （3） 边角之间的关系： ;;; ;;;. 3.解直角三角形的类型和解法 条件 解法步骤 图示 两 边 ①两直角边 由，求； ; ②斜边,一直角边（如） 由，求； ; 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ； ④锐角,对边 如（） ； ⑤斜边,锐角 如（） ； 提示 在直角三角形中,计算边时可用以下口诀: 有斜求对乘正弦,有斜求邻乘余弦,有邻求对乘正切 “有斜求对乘正弦”的意思是在直角三角形中,对一个锐角而言,如果已知斜边长，要求出该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他语句的意思可类推. 4.解非直角三角形 在非直角三角形中,往往通过作三角形的高,构造直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏 30°,45°60°角为原则. 对于复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法构造出直角二角形,使问题转化为解直角三角形 注意： 在选择作哪一条边上的高时，要尽量保留三角形中的特殊角，这样便于进一步计算. 解非直角三角形的方法运用“遇斜化直”的思想求解，先作三角形的高,构造直角三角形,然后利用已知条件分别解这两个直角三角形,即可得出要求的值. 题型01：解直角三角形的基本类型 【例1】在中， ，解直角三角形 （1）c = 8，a = 6，（2）a = 7，b = 9 【解析】（1）．在中，，则． 利用计算器解得：，． （2）， 在中，，则，利用计算器可得：， ∴． 【例2】（1）在中， ，，b = 9，解这个直角三角形（，，，）． 【答案】，，． 【解析】解：； 在中，，则，解得：； 在中，，则，解得：． （2）中，，AB = 4，AC = ，BC = ______，= ______． 【答案】，． 【解析】解：． 在中，，则， ∴． （3）在中，，则= ______． 【答案】60°． 【解析】解：设，，， ∵，∴为直角三角形． 在中，，则，∴． 【总结】当已知直角三角形的三边比为时，则这个直角三角形中的最小角为30°． 【例3】在直角三角形中，，，a – b =2，a、b、c是、、所对的边，解这个直角三角形． 【答案】，，，，． 【解析】∵在中，， ∴； 又∵， ∴，； 在中，，则，即； ∵a – b =2， ∴， ∴． ∴，． 【总结】当直角三角形中含有30°的锐角时，则三边比为． 【例4】在中，，、、的对边分别是a、b、c，根据下列条件解直角三角形． (1)，； (2)，． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查了解直角三角形，利用勾股定理以及特殊角三角函数值求解是解题的关键． （1）首先利用三角形内角和定理求出，然后解直角三角形求出，然后利用勾股定理求出； （2）根据勾股定理可求得c，然后根据，，可得，的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∴ ∴， ∴． 【例5】如图，在中，，D是BC中点，DEAB，垂足为E，tan B = ，AE = 7，求DE的长． 【答案】． 【解析】解：在中，， 设，则，． ∵D是BC中点，∴． 在中，， 则，解得：． 在中，， 则， 解得：．即DE的长为． 【总结】当同一个锐角在不同的直角三角形中时，可多次运用此锐角的三角比，得到不同的线段的比值． 【例6】如图，在中，． (1)已知，，求的长． (2)已知，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题关键． （1）根据在中，即可求解； （2）根据在中，求得，通过特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， ． （2）解：在中，， ． 【例7】在中，，，． (1)求的度数． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键． （1）根据，，可得，即可求解； （2）结合，得，求得，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，则； （2）∵，， ∴， ∴， ∴． 题型02：解直角三角形的应用 【例8】如图，的底边上的高为，的底边上的高为，则有（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形相关知识，本题理解题意构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题的关键． 分别作出底边上的高为即，底边上的高为即，再利用锐角三角函数分别表示出和即可选出正确答案． 【详解】解：如图，分别作出底边上的高为即，底边上的高为即， 在中，， ， 在中，， ， 故选：A． 【例9】如图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，EC = 1，cos B =，则这个菱形的面积是______． 【难度】★ 【答案】． 【解析】解：在中，cos B =，设，则． ∴， ∴． ∵EC = 1，∴，解得：． ∴． 【例10】中，，，角平分线，解这个直角三角形． 【答案】，，，． 【解析】解：在中，， ∴，∵平分， ∴． ∴，． 在中，，则， ∴． 【例11】在中，，a、b、c分别是、、的对边，解下列直角三角形： （1），； （2），； 【答案】（1），，，； （2），，，． 【解析】解：（1）． 在中，，设，则； ∵，∴，∴． ∴，，． （2）∵，∴， ∴，解得：； 在中，，则． ∴，． 题型03：解非直角三角形 【例12】在等腰中，，如果，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】本题考查求角的正弦值，勾股定理．过点作，根据，不妨设，，设，勾股定理列出方程求出的长，进而求出的长，再根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点作，如图，设， ∵， ∴不妨设，则：， 在中，， 在中，， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【例13】如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为 ． 【答案】/ 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、求角的余弦值 【分析】连接，先利用等腰三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得：，从而可证，最后利用相似三角形的性质求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴或（舍去）， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【例14】如图，已知在中，高、相交于点，，，那么的长为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】此题重点考查同角的余角相等、勾股定理、解直角三角形等知识，正确运用勾股定理、解直角三角形是解题的关键． 根据同角的余角相等得到，由解直角三角形的知识得出和的长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，高、相交于点， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【例15】如图，若，，，且，则AC等于 ． 【答案】 【分析】延长CD与AB交于点E,过点E作交BD于点M，过点A作交CE于点N，证明得到根据等腰三角形的性质得到得到进而求出CE的长度，设 根据列出方程，求出，即可求解. 【详解】延长CD与AB交于点E,过点E作交BD于点M，过点A作交CE于点N， , , 设 解得： 故答案为 【点睛】考查等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键. 【例16】如图，在中，，，中线． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）根据正切值的计算得到等腰，，由为中线，得到，由此即可求解； （2）如图，过点作于点，，，根据勾股定理，正弦值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴等腰， ∵等腰中，， ∴， ∵为中线， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵等腰，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 题型04：四边形中解直角三角形 【例17】如图，在四边形中，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．如图，延长与交于点．先解求出，进而求出，再证明，设，则，利用勾股定理得到方程，解方程求出，从而即可得解． 【详解】解：如图，延长与交于点． 在中，，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴在中，， ∴设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 【例18】如图，在菱形中，，． (1)求对角线的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，灵活运用相关知识是解决问题的关键． （1）连接，交于，在中，解直角三角形求出即可； （2）过点作于，根据菱形的面积公式求出，根据三角函数的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：连接，交于， 四边形是菱形， ，，， 在中， ，， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是菱形，，， 菱形的面积， 过点作于， 则， ， ． 【例19】如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在边上，且． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据等角对等边求边长、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】（1）根据矩形的性质得，，利用勾股定理求得，即可得，结合等腰三角形的性质得即可； （2）过点作垂足为，根据矩形的性质得和，则，即，求得，利用勾股定理求得，即可求得，再次利用解直角三角形即可求得． 【详解】（1）解：在矩形中， ，， 在中，，， ， ， ， ； （2）解：过点作垂足为，如图，   在矩形中， ，， ， ， ∴， ， ∵， ， 在中，，， ， ∵ ， 在中，，， ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的性质和解直角三角形，解题的关键是熟悉矩形的性质和解直角三角形． 【例20】如图，已知在梯形中，，，，，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正弦值求边长、已知余弦求边长、求角的正切值 【分析】（1）由两直线平行同旁内角互补可得，在中，根据即可求出的长，在中，由勾股定理可得，由此即可求出的长； （2）由（1）可得，，由勾股定理可得，可求得，过点作，垂足为点，则，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，在中，根据可求得的长，由勾股定理可得，由此可求得的长，在中，根据可求得的长，然后根据即可求出的正切值． 【详解】（1）解：梯形，，， ， 在中， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得： ； （2）解：由（1）可得：，， ， ， 如图，过点作，垂足为点， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，求角的正切值，已知余弦求边长，已知正弦值求边长，勾股定理，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，线段的和与差等知识点，熟练掌握勾股定理及解直角三角形的相关计算是解题的关键． 题型05：网格中解直角三角形 【例21】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【例22】如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点 ，，都在格点上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了构造直角三角形和勾股定理与网格问题、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键． 【详解】解：如图； 延长 ，作的延长线交于点 ， 根据勾股定理得：，， ∴在中， 故答案为：. 【例23】如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．连接，连接，易知，由勾股定理逆定理可以证明为直角三角形，所以即可得答案． 【详解】如图，连接，连接 由图可知： ∴四边形是平行四边形 在中，有， ∴为直角三角形， 故选：A 题型06：坐标系中解直角三角形 【例24】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，且，则顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，坐标和图形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是构造辅助线，利用解直角三角形求线段长度． 作出辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形分别求出线段和的长度，即可求出点的坐标． 【详解】解： 如图所示，过点作轴，交轴于点， ∵四边形是菱形，且， ， ∵顶点， ∴菱形的长为4， 在中， ， ， ， 则． 故答案为：． 【例25】如图，在平面直角坐标系中，已知点A，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与旋转规律问题，涉及了三角函数、勾股定理以及旋转的性质等知识点，作轴，求出；分别求出将绕点O逆时针旋转一次到六次之后点的坐标，即可找到规律求解． 【详解】解：作轴，如图所示： 由题意得：，， ∴ ∴ ∴， ∴ 将绕点O逆时针旋转一次之后，点与关于轴对称，此时； 将绕点O逆时针旋转二次之后，点落在轴的负半轴上，此时； 将绕点O逆时针旋转三次之后，点与关于原点对称，此时； 将绕点O逆时针旋转四次之后，点与关于轴对称，此时； 将绕点O逆时针旋转五次之后，点落在轴的正半轴上，此时； 将绕点O逆时针旋转六次之后，点回到原始位置，此时； …… 观察可知，六次一个循环， ∵ ∴经过次旋转后，点B的坐标为 故答案为： 【例26】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴，轴上，为边上一点，且，为边上一点，将四边形沿折叠，点的对应点恰好与原点重合，若，则的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，折叠的性质，过作轴于点，则，由四边形是矩形，则，，通过折叠性质可知，，，则，所以，最后通过，，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，则， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 【例27】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线在第一象限分支交于点，过点作轴的平行线，交轴于点，． (1)求点、的坐标； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用以及解直角三角形等，求得交点坐标是解题的关键． （1）令和时，代入解析式得出坐标即可； （2）先确定D点的纵坐标，进一步求得C点的坐标，然后利用待定系数法求得k； （3）作于E，利用勾股定理求得、，利用三角形面积公式求得，然后解直角三角函数即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 将代入，得到：， ∴， 将代入，得到， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴D的纵坐标为2， 把代入得，， ∴， ∵双曲线过点C， ∴； （3）解：作于E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型07：解决动点问题 【例28】如图，在矩形中，分别为边上的点，且，将矩形沿直线折叠，得到四边形，点的对应点分别为点（点落在上方），连接，当三点共线时，的长为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．如图，记与的交点为，延长交于，结合，则，可得，结合，设，则，，可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，，，， 由对折可得：，，， ∴， ∴， 如图，记与的交点为，延长交于， ∴， 由对折可得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 同理：， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【例29】如图，已知，，，是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，线段与分别交于点，如果是直角三角形，那么的长 ． 【答案】或2 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】由三线合一可得，进而求出各边长，然后根据是直角三角形分类讨论，当时或时，画出图形，利用特殊角求解即可． 【详解】解：连接， ∵，是中点， ∴，即， ∵， ∴，，， ∵线段绕点顺时针旋转得到对应线段， ∴， ∴，，， ①当时， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， 此时，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，，∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，旋转的性质，解直角三角形的计算，掌握等腰三角形的性质，解直角三角形的计算，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 【例30】已知矩形（），点是边的中点，将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上，那么 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， ， 将沿翻折，点落到点处， ，，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 点是边的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求角的正切值，矩形的性质，两直线平行内错角相等，折叠的性质，等边对等角，利用邻补角互补求角度，对顶角相等，等角对等边，线段中点的有关计算，全等三角形的判定与性质，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键 一、选择题 1．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用在中，，，得，代入已知条件计算即可． 【解析】解：在中，，，， ∵ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握是解题的关键． 2．在中，，当已知和a时，求c，应选择的关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的性质求解即可． 【解析】在中，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解三角形，解题的关键是熟练运用三角函数的定义求解． 3．在中，，，，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先利用直角三角形的边角间关系，用含的代数式表示出，再利用勾股定理求出． 【解析】解：在中， ， ． ， ． ． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 4．如图，在中，，，，于D，的平分线交于E，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的知识，利用三角函数可得：，，，代入计算即可． 【解析】∵， ∴， ∴、、是直角三角形， ∵， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∵平分，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【解析】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 6.如图，在中，，是中线，过点A作的垂线，分别交于点E、F．若，，则的长为（    ） A．39 B． C． D．19.5 【答案】D 【分析】先求出，，过点D作于点H，再证明是的中位线，则，再利用正切的定义得到，再用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， 设，则， ∵， ∴， 解得 ∴，， 过点D作于点H， ∵在中，，是中线， ∴, ∴ ∴是的中位线， ∴， ∵过点A作的垂线，分别交于点E、F． ∴， ∴， 在中， ， ∴ ∴ 故选：D 【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形中位线、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正切的定义和三角形中位线定理是解题的关键． 2、 填空题 7．（2024·上海奉贤·统考一模）在中，，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切的定义，正切等于对边比邻边，先画出图形，再根据正切三角函数的定义即可得． 【详解】由题意，画出图形如下： 则，即， 解得， 故选：A． 8．（2024·上海浦东新·统考一模）在中，，，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是已知正弦求解三角形的边长，熟记正弦的定义是解本题的关键． 【详解】解：在中， ∵，， ∴由，可得：． 故答案为：8． 9．（2024·上海奉贤·统考一模）在中，，（是锐角），，那么的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点C作于D，先解得到，即可利用勾股定理求出，再解求出，则． 【详解】解：如图所示，过点C作于D， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 10．在ABC中，，，，那么的长为 ． 【答案】6 【分析】根据解三角形可直接进行求解． 【解析】解：∵在ABC中，，，， ∴； 故答案为6． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 11．如图，中，，于点D，若，，则 ． 【答案】 【分析】在和中利用三角函数的定义，求解即可． 【解析】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】此题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 12．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【解析】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 13.在直角三角形中，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查求角的余弦值．根据余弦值的定义邻边比斜边，分为直角边和斜边两种情况进行求解即可． 【详解】解：①当为直角边时， ∵， ∴， ∴； ②当为斜边时， ∵， ∴， ∴． 综上：或； 故选C． 14．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝ ． 【答案】 【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC． 【解析】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝， ∴＝， ∵AB＝2， ∴AC＝6， ∵AC⊥CD， ∴∠ACD＝90°， ∴AD＝＝＝10， ∴cos∠ADC＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长． 15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得． 【解析】解：取格点E，连接AE、BE，如图： 设网格中的小正方形的边长为1， 则BE＝， AE＝， AB=． ∵BE2+AE2＝2+8＝10， AB2＝10， ∴BE2+AE2＝AB2． ∴∠AEB＝90°． 由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°． ∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD， ∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD， ∴∠APD＝∠ABE． 在Rt△ABE中，cos∠ABE＝． ∴cos∠APD＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键． 16．如图，在矩形中，，，M、N分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形与折叠的问题、勾股定理、解直角三角形，设与交于点，由折叠可知 ，，再根据同角的余角相等以及等角的余角相等可得，再设，则，在 中，根据勾股定理列出方程，求出则，，在中，，因此，在中，，以此计算即可求解． 【解析】解：如图，设与交于点． ∵四边形为矩形， ， ∴，，， ∵将四边形沿翻折至四边形， ∴，，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ∴， 在中，，， ∴，， 在 中， ， ， 在 中， ， ， 故答案为：． 三、解答题 17.（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查解直角三角形，利用互余关系求，特殊角的三角函数值求出的值． 【详解】解：在中，，，， ∴，． 18.（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知：如图，在中，，，，求的长和的正切值． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，先根据正弦的定义求出，由勾股定理得出，最后根据正切的定义计算即可得解． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得：， ∴． 19.（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知：如图，是的高，，．求． 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解本题的关键．在直角三角形中，利用30度角的正切求得，然后利用45度角的余弦，求出的长即可． 【详解】解：在中，， ， ， 在中，， ， ． 20．如图，在中，，，，D为线段上一点，并且，求及的值． 【答案】， 【分析】根据锐角三角函数关系得出的长，再利用勾股定理得出的长，即可得出的长，直接利用勾股定理得出的长，再根据锐角三角函数关系得出答案． 【解析】解：在中，， ∵， ∴，， 又∵，， ∴， 在中， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，正确利用锐角三角函数关系求出是解题关键． 21．在中，，、、分别是、、的对边，解下列直角三角形： (1)，； (2)，． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【分析】（1）可求，设，则，即可求解； （2）由，可求，，即可求解． 【解析】（1）解：，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ，，． （2）解：， ， ， 解得：； 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，特殊角三角函数值，三角函数定义，理解解直角三角形和三角函数定义，掌握特殊角三角函数值是解题的关键． 22．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求： （1）线段BE的长； （2）∠ECB的余弦值． 【分析】（1）根据题意，AC＝BC＝6，AD＝2CD，可得AD的长度，根据等腰直角三角形的性质可得AB，由AE＝sin45°•AD的长度，则BE＝AB﹣AE，计算即可得出答案； （2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，EF＝BF＝sin45°•BE，则CF＝BC﹣BF，根据勾股定理可得CE，在Rt△ECF中，由cos∠ECB计算即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，AD＝2CD， ∴AD＝4， ∵∠ACB＝90°， ∴AB6， ∴∠DAE＝45°，DE⊥AB， ∴AE＝sin45°•AD2， ∴BE＝AB﹣AE＝624； （2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图， ∵∠B＝45°， ∴EF＝BF＝sin45°•BE4， ∴CF＝BC﹣BF＝2， ∴CE2， 在Rt△ECF中， cos∠ECB． 【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰直角三角形形的性质，应用等腰直角三角形性质进行计算是解决本题的关键． 23．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC． （1）求高CD的长； （2）求tan∠EAB的值． 【分析】（1）在Rt△BCD中，由已知条件cos∠ABC，即可算出BC的长，根据勾股定理即可得出答案； （2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，可得CD∥EF，由E为BC的中点，可得EF是△BCD的中位线，即可算出EF，DF的长度，即可算出AF＝AD+DF的长度，在Rt△AEF中，根据tan∠EAB即可得出答案． 【解答】解：（1）在Rt△BCD中， ∵cos∠ABC， ∴， ∴BC＝5， ∴CD3； （2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图， ∵EF⊥BD， ∴CD∥EF， ∵E为BC的中点， ∴EF是△BCD的中位线， ∴EF，DF2， ∴AF＝AD+DF＝8+2＝10， 在Rt△AEF中， ∴tan∠EAB15． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键． 24．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，． (1)若，解这个直角三角形． (2)若，解这个直角三角形（角度精确到）． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角函数的定义． （1）通过的正弦值求出的度数，以及的长，再通过直角三角形两个锐角互余求出，通过勾股定理求出线段的长； （2）通过的正切值求出的度数，再通过直角三角形两个锐角互余求出，再通过的正切值设未知数结合勾股定理求出线段和的长度． 【详解】（1）解：在Rt中， ， ． （2）解： ∴， ， ， ∴可设，则， 在Rt中，有， 即，解得（负值已舍去）， ． 25．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，且， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证，则可得，由，可得； （2）过D点作于E点．由得．设，则，，，，． 根据列式可得，再根据勾股定理可得，进而可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵中，，， ∴． （2）解：如图，过D点作于E点， 由得， ， 设，则，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $