精品解析：河北省衡水市河北冀州中学2025-2026学年高一上学期开学适应性摸底测试数学试题

高一年级适应性摸底测试数学试题 考试时间：120分钟 试题分数：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算正确的是（　　） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式和指数运算可得. 【详解】由题知，. 故选：B 2. 若多项式因式分解的结果为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算可得、，即可得解. 【详解】，则，，故. 故选：D. 3. 如果抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据顶点式得到顶点坐标，从而得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得抛物线的顶点坐标为， 因为其在第一象限，则，解得. 故选：B. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次函数的性质来确定不等式的解集. 【详解】令，所以或.  解得，.   所以不等式的解集是.   故选：A. 5. 若实数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方可得，由求解即可. 【详解】由于实数满足，则,所以，解得， 故选：B 6. 如图，圆上一点在直径上的射影为，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】在直角三角形中利用射影定理求解即可. 【详解】因为为圆的直径，所以， 又， 由射影定理知：， 所以. 故选：B 7. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移的原则即可得到答案. 【详解】抛物线向左平移3个单位长度， 再向下平移2个单位长度得到. 故选：C. 8. 已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过，，三种情况讨论即可. 【详解】当，，显然符合， 当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合， 当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减，此时需满足 ， 即， 综上实数的取值范围是， 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，可得的符号，根据抛物线的对称轴为，可得的数量关系和，根据抛物线与轴的交点，可确定的取值范围，根据抛物线过点，可得的关系，结合所得结论，逐项判断即可. 【详解】因为抛物线开口向上，所以； 因为抛物线的对称轴为，所以； 因为抛物线与轴的交点在和之间（不包括这两点），所以. 所以，故A正确； 因为抛物线的对称轴为，所以，即，所以，故B错误； 因为抛物线过点，所以， 所以，故C正确； 因为，所以，故D正确. 故选：ACD 10. 下列不等关系正确的是（　　） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若且，则； D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若且，则，所以，故B正确； 对于C，若，，则，所以，故C正确； 对于D，若，当，则，故D不正确. 故选：ABC. 11. 由，可得：，即①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题干所给立方和公式，代入即可验证. 【详解】对于A选项，令,代入立方和公式，正确； 对于B选项，令,代入立方和公式，正确； 对于C选项，令,代入立方和公式，应该为，C选项错误； 对于D选项，令,代入立方和公式，正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式和诱导公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 如图，已知，，，则___________． 【答案】##4.8 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得出，再由求解即可. 【详解】， ， 即，， ， 故答案为： 14. 计算______． 【答案】5 【解析】 【分析】 运用裂项相消求和即可. 【详解】此问题可以看作数列的前50项和. 即. 故答案为：5. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合，集合．求： （1）求，； （2）求，． 【答案】（1），； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集和并集的定义求解； （2）根据交集定义求，再求，再结合（1）结合并集定义求. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 【小问2详解】 因为，， 所以，又， 所以， 由（1），， 所以. 16. 已知关于的一元二次方程的两个根为，其中，且 . （1）求实数的值； （2）求和的值. 【答案】（1）1； （2）3，. 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理及给定条件，建立方程求出. （2）由（1）求出，再借助因式分解计算即得. 【小问1详解】 依题意，，由，得， 则，而，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以； . 17. 用作差比较法判断大小： （1）与的大小 （2）与的大小 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 ， 因为（且只有时取等号）， 所以若，则，即； 若，则，即； 若，则，即. 18. 我们利用一元二次函数的图象及对应的一元二次方程根的情况可以进行一元二次不等式的求解，如图所示一元二次方程有两个不相等的实数根，则一元二次不等式的解为或的解为 例如：解不等式 方程的解为 原不等式的解为或． 求下列一元二次不等式的解 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）或 （2） （3）当时，原不等式的解为：或；当时，原不等式的解为：或；当时，原不等式的解为：或； 【解析】 【分析】(1)由一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系求解即可； (2)由一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系求解即可； (3)讨论的范围，由一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系求解即可。 【小问1详解】 因为,方程的解,, 所以原不等式的解为：或 【小问2详解】 将原不等式转化为：,因为,方程的解,, 所以原不等式的解为： 【小问3详解】 因为,方程的解,, 当时，原不等式的解为：或; 当时，原不等式的解为：或; 当时，原不等式的解为：或; 19. 已知直线经过点和点． （1）求直线的表达式； （2）若点在直线上，以为顶点的抛物线过点，且开口向下． ①求的取值范围； ②当抛物线的二次项系数时，求在上的图象的最高点的坐标． 【答案】（1）； （2）①或；②或. 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入解析式列方程组求解即可； （2）①利用顶点设出抛物线解析式，根据顶点在直线上和抛物线过点求得和的关系，利用一次函数性质求解可得；②求出解析式，根据二次函数性质即可得解. 【小问1详解】 因为直线经过点和点， 所以，解得，所以直线的表达式为. 【小问2详解】 ①设抛物线的解析式为， 又抛物线过点，所以， 因为点在直线上，所以，所以， 当时，不成立，不满足题意； 当时，因为，所以，关于的一元一次方程有负根， 由一次函数性质可知，，即. 综上，的取值范围是或. ②若，则由得或. 当时，，则抛物线在上的图象逐渐下降， 所以图象的最高的横坐标为，纵坐标为， 所以，图象的最高的坐标为. 当时，，则抛物线在上的图象的最高的为顶点， 所以图象的最高的坐标为. 20. 阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． （1）问题解决：请你判断方程是否是连根方程； （2）问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； （3）方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 【答案】（1）是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的解法，求得方程的两个根，结合题设新定义，即可求解； （2）设的两个根为，结合一元二次方程根与系数的关系，列出方程，即可求解； （3）设方程的两个根为，得到，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，可得，解得， 又因为，所以是连根方程． 【小问2详解】 解：因为方程（是常数）是“连根方程”， 设的两个根为， 所以，可得，所以， 解得． 【小问3详解】 解：方程（b、c是常数）是“连根方程”， 设方程的两个根为，且，可得，所以， 因为，可得， 所以之间的关系式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级适应性摸底测试数学试题 考试时间：120分钟 试题分数：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算正确的是（　　） A. 4 B. 2 C. D. 2. 若多项式因式分解的结果为，则的值为（　　） A. B. C. D. 3. 如果抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 若实数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆上一点在直径上的射影为，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 6 D. 7 7. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列不等关系正确的是（　　） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若且，则； D. 若，则 11. 由，可得：，即①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的值为___________． 13. 如图，已知，，，则___________． 14. 计算______． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合，集合．求： （1）求，； （2）求，． 16. 已知关于的一元二次方程的两个根为，其中，且 . （1）求实数的值； （2）求和的值. 17. 用作差比较法判断大小： （1）与的大小 （2）与的大小 18. 我们利用一元二次函数的图象及对应的一元二次方程根的情况可以进行一元二次不等式的求解，如图所示一元二次方程有两个不相等的实数根，则一元二次不等式的解为或的解为 例如：解不等式 方程的解为 原不等式的解为或． 求下列一元二次不等式的解 （1）； （2）； （3）． 19. 已知直线经过点和点． （1）求直线的表达式； （2）若点在直线上，以为顶点的抛物线过点，且开口向下． ①求的取值范围； ②当抛物线的二次项系数时，求在上的图象的最高点的坐标． 20. 阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． （1）问题解决：请你判断方程是否是连根方程； （2）问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； （3）方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $