第二十一章 一元二次方程 章末测试卷-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（人教版）

第二十一章章末测试卷 数学九年级上册（人教版） 第二十一章章末测试卷 (本试卷共23道题满分120分考试时间共120分钟) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.一元二次方程2x+3x-4=0的一次项系数是() A.-4 B.-3 C.2 D.3 2.下列方程中，是一元二次方程的是（) A.x+5=0 B.x3-x=0 C.x2-x-1=0 D.xy=1 3.已知x=2是关于x的方程x2-mx-8=0的一个根，则m的值为() A.-3 B.-1 C.2 D.-2 4.用配方法解方程x2-4x-11=0时，配方结果正确的是（) A.(x-2)2=15 B.(x-2)2=7 C.(x-4)2=15 D.(x-4)2-7 5.一元二次方程2x2-4x+3=0根的情况是() A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 6.班级元旦晚会，同学们互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了1560件小礼 物，如果参加这次聚会的人数为：，根据题意可列方程为() A.x(x+1)=1560 B.x(x-1)=1560x2 C.2x(x+1)=1560 D.x(x-1)=1560 7.某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2、3月的总营业额为1000万元， 如果平均每月增长率为x,由题意可列方程() A.200(1+x)2=1000 B.200+200x2x=1000 C.200(1+x)+200(1+x)2=1000 D.200+200(1+x)+200(1+x)2=1000 8.若代数式4x2-2x-5与2x2+1的值互为相反数，则x的值为（) A1或-号 B1或-号 C-1或号 D.1或 9.甲、乙两名同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方 程的两根为-3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和-3，则原方程是() A.x2+4x-15=0 B.x2-4x+15=0 C.x2+4x+15=0 D.x2+x-15=0 1数学 九年级上册（人教版） 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm,BC=6cm,动点 P,Q分别从点A,B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速 度为1cms,点Q的速度为2cms,点Q移动到C点后停止，点P 也随之停止运动，当△PB0的面积为15cm2时，则点P运动的时间 是() 第10题图 A.2s B.3s C.4s D.5s 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.方程x2-3=0的根是 12.已知m是方程x2-x-6=0的一个根，则代数式2m2-2m-11的值是 13.如果关于x的方程x2+3x+a=0有两个相等的实数根，那么a的值是 14.如图是一个数值运算的程序，若输出y的值为2，则输入的值为 输入一 7→平方→12 输出y 第14题图 15.在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程x2+ax=b2（a>0,b>0) 的图解法是：如图1，作Rt△ABC,其中∠ACB=90P,BC=号，AC=b,在斜边上截取BD= 号，则AD的长就是所求方程的正根.根据上述图解法作出关于x的一元二次方程+= 16(a>0)的图解，如图2，若△m=3,则a的值为 S△4cD21 图1 图2 第15题图 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(10分)选择合适的方法解下列方程： (1)x2-x-1=0: (2)x(2x-1)=2(2x-1). ② 第二十一章章末测试卷 17.(8分)小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,b)进入其中时，会得到一个 新的实数2+2b-3.例如把(2，-5)放入其中，就会得到2+2×(-5)-3=-9.现将实数对 (m,-3m)放入其中，得到实数-12，求m的值. 18.(9分)嘉嘉与淇淇两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下： 淇淇： 嘉嘉： 两边同除以(x-3), 移项，得3(x-3)-(x-3)P=0, 提取公因式，得(x-3)(3-x-3)=0. 得3=x-3, 则x-3=0或3-x-3=0, 则x=6. 解得x1=3,x2=0. (1)嘉嘉的解法 淇淇的解法 (两空均填“正确”或“不正确”) (2)请你选择合适的方法尝试解一元二次方程4x(2x+1)=3(2x+1). 19.(8分)为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览 室的投入.已知2022年投入资金2万元，2024年投入资金2.88万元，假定每年投入资金 的增长率相同」 (1)求该社区2022年至2024年投入资金的增长率， (2)如果投入资金年增长率保持不变，求该社区在2025年投入资金多少万元 3 数学 九年级上册（人教版） 20.(8分)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根为1，。， 那么+x=-b,x=￡.一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦 a 达(1540一1603)发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时 可以使解题更为简单.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】 已知一元二次方程x2-3x-2=0两个实数根分别为m,n,求mn+mn2的值.小明给出了 一部分解题思路： 解：.·一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根分别为m,n, .∴.m+n= ，.∴mn ,.∴m2n+mn2=…. (1)请将过程补充完整. 【类比应用】 (2)一元二次方程-x2+mx+1=0的一个根为x=2,则m= ,另一个根为x= 【思维拓展】 (3)关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0有两个实数根，且这两个实数根的平 方和是21，求m的值 21.(8分)某农场要建一个饲养场（矩形ABCD),两面靠墙(AD位置的墙最大可用 长度为27m,AB位置的墙最大可用长度为15m),另两边用木栏围成，中间也用木栏隔 开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1m宽的门（不用木栏）.建成 后木栏总长45m. (1)若饲养场（矩形ABCD)的一边CD长为8m,则另一边BC= m. (2)若饲养场（矩形ABCD)的面积为180m?,求边CD的长 (3)饲养场的面积能达到210吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请 说明理由. H G 第21题图 第二十一章章末测试卷 22.(12分)某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元； 信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元： 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元. 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲、乙两种商品的零售单价 (2)该商店平均每天卖出甲、乙两种商品各500件，经调查发现，甲种商品零售单价 每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m(> 0)元.在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取 的总利润为1000元？ 数学 九年级上册（人教版） 23.（12分)在学习一元二次方程时，我们把b?-4ac叫做一元二次方程根的判别式， 用△表示，即△=b?4c.如果△的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为 整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，△的值一定是一个完全平方数 例如：方程2x2-x-1=0,△=b2-4ac=(-1)2-4x2x(-1)=9=32,4的值是一个完全平方数， 但是该方程的根为=l,=号不都为整数.方程2-6+8=0的两根=2，=4都为整数， 此时△=b2-4aC=(-6)2-4x1×8=4=22,△的值是一个完全平方数.我们定义两根都为整数的一 元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)称为“全整根方程”，代数式4ac-B的值为该“全整根方 4a 程”的“关爱码”，用Q(a,b,c)表示，即Q(a,b,c)=4c-.若另一关于x的一元二 4a 次方程px2+qx+r=0(p≠0)也为“全整根方程”，其“关爱码”记为Q(p,q,r),当满足 Q(a,b,c)-Q(p,q,r)=c时，则称一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程 px2+qx+r=0(p≠0)的“全整根伴侣方程” (1)关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+m=0是一个“全整根方程”. ①当m=2时，该全整根方程的“关爱码”是 ②若该全整根方程的“关爱码”是-1，则m的值为 (2)关于x的一元二次方程x2-(2m-3)x+m2-4m-5=0(m为整数，且4<m<15)是“全 整根方程”，请求出该方程的“关爱码”. (3)若关于x的一元二次方程x2+(1-m)x+m+4=0是x2+(n-1)x-n=0(m,n均为正整 数)的“全整根伴侣方程”，求m-n的值.（直接写出答案）参 考答案 5C6D7.(号，2或号，-2 .[-(2m+1)]2-2(m2-2)=21,解得m1=-4,m2=2.4= 第二十一章章末测试卷 (2m+1)2-4(m2-2)=4m+9≥0，m≥-9 ，m=4不符 1.D2.C3.D4.A5.D6.D7.C8.B 合题意，则m=2. 9.D10.B 21.解：(1)BC=45-8-2×(8-1)+1=24(m).故 山.x=V了，-V了211.￥ 答案为24. (2)设CD=x(0<x≤15)m,则BC=45-x-2(x-1) 14.±V515.6 +1=(48-3x)m,依题意，得x(48-3x)=180,整理， 16.解：(1)a=1,b=-1,c=-1,.△=(-1)2-4× 得x2-16x+60=0,解得x=6,x2=10. 1x-1)=50,x=1±y5,M=1+y5， 当x=6时，48-3x=48-3×6=30(m),30>27,不合 2 2 题意，舍去； 1-V5 2 当x=10时，48-3x=48-3×10=18(m),符合题意. 答：边CD的长为10m. (2)x(2x-1)=2(2x-1),∴.(x-2)(2x-1)=0,x1= (3)不能，理由如下：设CD=y(0<y≤15)m, 1 2,x2 则BC=45-y-20y-1)+1=(48-3y)m,依题意，得y(48 17.解：把(m,-3m)放人魔术盒，得到实数-12,3y)=210,整理，得y2-16y+70=0.4=(-16)2-4×1×70= .m2+2x(-3m)-3=-12,解得m=3. 256-280=-24<0,∴.该方程没有实数根，∴.饲养场的面 18.解：(1)不正确不正确 积不能达到210m2. (2)4x(2x+1)=3(2x+1),4x(2x+1)-3(2x+1)=0, 22.解：(1)假设甲种商品的进货单价为x元， (2+1)(4-3)-0,2x+10或4-30，解得=一7。 乙种商品的进货单价为y元，根据题意，可得 x+y=3, =1, 解得 答：甲、乙零售单 3(x+1)+2(2y-1)=12, y=2. 19.解：(1)设该社区2022年至2024年投人资 价分别为1元和2元 金的增长率为x,依题意，得2(1+x)2=2.88,解得x= (2)甲商品单件利润为(1+1)-1=1，乙商品单件利 0.2=20%,x=-2.2(不合题意，舍去)· 润为22-1)-21，根据题意，得(1-m）50+品×100 答：该社区2022年至2024年投人资金的增长率 +500×1=1000,即2m2-m=0,解得m=0.5或m=0(舍 为20%. 去).答：当m定为0.5元才能使商店每天销售甲、乙 (2)依题意，得2.88×(1+20%)=3.456. 两种商品获取的利润共1000元. 答：该社区在2025年投人资金3.456万元. 23.解：(1)①当m=2时，方程为x2-3x+2=0, 20.解：(1)一元二次方程x2-3x-2=0的两个 实数根分别为m,n,.m+n=3,'mn=-2,∴m+mn2= 则.以3》子，该全整根方程的 Aa 4x1 mn(m+n)=3x(-2)=-6. 关爱码是}，故答案为子 4 (2)一元二次方程-x2+m+1=0的一个根为=2， 设另一个根为，26=m,2g=1,解得7 ②4c-2_4x1xm--m+l)P=-m+2m-1,由题 Aa 4x1 4 m子放答案为号， 意，得-m+2m-1三-1，解得m=-1,m2-3,则当m=-1 22 4 或3时，该全整根方程的“关爱码”是-1，故答案为 (3)设关于x的一元二次方程2+(2m+1)x+m2-2= -1或3. [x+x2=-(2m+1), 0有两个实数根为，， ··这两 (2).x2-(2m-3)x+m2-4m-5=0,∴.b2-4ac=[-(2m- xw2=m2-2. 个实数根的平方和是21，x+x=21=(+2)2-2x2, 3)]2-4×1×(m2-4m-5)=4m+29.4<m<15,∴.45<4m+29< 85 数学 九年级上册（人教版） 89,其中完全平方数有49,64和81，当4m+29=49 解得a=1,.抛物线解析式为y=(x+1)2-4,当x=2时， 时，m=5,当4m+29=64时，m=35(不合题意)，当 =(2+1)2-4=5,当=-4时，y=(-4+1)2-4=5,.这个错 算的y值所对应的x=2,故答案为2. 4m+29=81时，m=13,当m=5时，原方程为x2-7x=0, (2)画出这个二次函数y=x+b+c的图象如图所示. 烟0a,b,0)-出-一早.当m=13时.原方程为 6 -23x+112=0,则Q(a,b,c)=4c-2-4x1x112-232 5 L- 4a 4x1 2 -1- 8头，综上所述，该方程的“关爱码”为-9或斗 4 6L54L32-10123:45:6x (3)方程x2+(1-m)x+m+4=0的“关爱码” 11 Q(a,b,c)=4x1x(m+4)-(1-my=-m2+6m+15 4x1 4 方程x2+(n-1)x-n=0的“关爱码” Qp,9,)=4x1x-n)-(n-12=-n2-2m-1 第18题答图 4×1 4 (3)由图象可知，当y≥5时，x的取值范围是 由题意，得-m+6m+15_-心-2n-l=m+4, x≤-4或x≥2.故答案为x≤-4或x≥2. 4 4 19.解：(1)由题意，得抛物线的顶点B的坐标 .(m+n)(m-n-2)=0,.∴m+n=0或m-n=2.m,n 为(4,3.6)，.可设该抛物线的解析式为y=a(x- 均为正整数，.'m+n=-0不合题意，m-n=2. 4)2+3.6(a≠0).抛物线经过点A(0,2),∴a(0-4)+ 第二十二章章末测试卷 3.6=2.a=0.1.抛物线的解析式为y=-0.1(x-4)2+ 1.C2.D3.B4.B5.D6.D7.C8.C 3.6=0.1x2+0.8x+2. 9.B10.C (2)由题意，结合(1)得y=-0.1(x-4)+3.6, 11.(-1,-3)12.(0,5)13.y=(x-1)2(答 当y=0时，-0.1(x-4)243.6-0.x=10,x2=-2.点C在 案不唯一)14.(2,2)15.13.5 x轴的正半轴，2=-2（舍去），=10.9.6<10< 16.解：(1)y=x2+2+3=(x+1)2+2,.把抛物线 11.2,小李的得分是90分. C:y=x+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移 (3)由题意，可得实心球会砸到警示牌，理由如 5个单位长度得到抛物线C2:y=(x+1-4)2+2-5,即y= 下：令x=9,y=-0.1(9-4)243.6=1.1.1.1<1.2,.实心 (x-3)2-3,抛物线C2的函数关系式为y=(-3)2-3. 球会砸到警示牌 (2)动点P(a,-6)不在抛物线C2上.理由如下： 20.解：(1)设日销量m关于时间t的一次函数为 :抛物线C,的函数关系式为y=(-3)2-3,函数的最小 值为-3.-6<-3，.动点P(a,-6)不在抛物线C2上 m,将1,9g)3.94代人，得-98，解得 3k+b94 17.解：(1)由题意，得S=AB·BC=x(32-2x), k=-2,b=100,故m关于t的函数关系式为m=-2t+ .S=-2x2+32x. 100. (2)a=-2<0,S有最大值.x=-力=-。32 2a2x(-2) (2)设日销售利润为w元，根据题意，得0= 8时，有5k1288时，3有最 425-20(-2+10)=-1546125.70. 大值，最大值是128m2 当t=15时，w有最大值为612.5，故这20天中，第15 18.解：(1)从表格可以看出，当x=-2或x=0 天的日销售利润最大，最大的销售利润是612.5元. 时，y=-3,可以判断(-2，-3)，(0，-3)是抛物线 2L.解：(1)由已知，得OA=0A=8m,0C=8m, 上的两个对称点，(-1，-4)就是顶点，设抛物线顶 AB=6m.故C(0,8),B(-8,6)·设BCB1表达式为 点式y=a(x+1)24,把(0，-3)代入解析式，-3=a-4, =48,由题意，可得a(-848=6,解得a=7 86