5.1 方程-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步练习（人教版2024）

一元一次方程 第五章 第五章 一元一次方程 学习路径 设未知数，根据相等关系列方程 实际问题 一元一次方程 抽象为数学模型 般步骤： 解 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 回归于实际问题 实际问题的解答 检验 一元一次方程的解(x=m) 5.1 方 程 5.1.1从算式到方程（第一课时) 知识梳理@形成联系 【知识点1】方程的概念 ©像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有 的 这样的等式叫作方程 1.下列各式中，是方程的是() A.2x+3 B.5x+6=7 C.3+5=8 D.x-3>5 2.已知式子：①3-4=-1；②2x-5y③1+2x=0;④6x+4y=2;⑤3x2-2x+1=0.其中是等式 的有 ，是方程的有 【知识点2】从实际问题中抽象方程 1.某班有男生25人，比女生的2倍少17人，这个班有女生多少人？设女生人数为x. 则可得方程： 2.甲队有37人，乙队有23人，现在从乙队抽调x人到甲队，使甲队人数正好是乙队人 数的2倍，根据题意，列出方程是 89 数学 七年级上册（人教版） 例题点拨Q素养导向 【例】根据问题，设未知数并列出方程. 从60cm的木条上截去2段同样长的木棒，还剩下10cm长的短木条，截下的每段长为 多少？ 【点拨】设截下的每段长为xcm,根据题意可得等量关系：60cm-截去2段的木棒长= 10cm,根据等量关系列出方程. 夯实四基U达标闯关 1.下列语句叙述正确的是() A.含有未知数的式子是方程 B.等式是方程 C.含有字母x或y的等式叫作方程 D.方程是等式 2.语句“x的3倍比y的号大7”用方程表示为 3.用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，求正方形的边长.设正方形的边长为xcm, 则可列方程为 4.判断下列各式是不是方程，不是的说明理由. 45-3x7-1:(2)2x+5y=3,(3)9-40:(4)3g;(5)2x+3. 5.根据下列情境中的等量关系列出一个等式 (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，0~14岁 人口为n人，占15.21%. (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁 (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分 第5题图 90 一元一次方程 第五章 能力提升睡综合拓展 6.知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般地，数轴上表示数α的点 与原点的距离叫作数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫作绝对值方程.像①lal= 5,②la-3引=5，③la+2=6都叫作绝对值方程.对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出 未知数的值 例如：①lal=la-01=5表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以a-0=5或 a-0=-5,对应的数有两个，分别是5和-5. .lal=5,.a=5或a=-5. ②la-3l=5表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以a-3=5或a-3=-5, 对应的数有两个，分别是8和-2. .la-3l=5,∴.a-3=5或a-3=-5,解得a=8或a=-2. 知识应用： (1)求出下列未知数的值： ①la-6l=2; ②la+7=3. 知识探究： (2)直接写出la-3l+la-51的最小值. 中考链接©真题演练 -·=多 7.(2024.福建)今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快， 第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社 会消费品零售总额.若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程 是() A.(1+4.7%)x=120327 B.(1-4.7%)x=120327 C1447%=120327 D.1-479% =120327 91 数学 七年级上册（人教版） 5.1.1从算式到方程（第二课时) 知识梳理@形成联系 【知识点1】方程的解 ©一般地，使方程 相等的 叫作方程的解. 1.下列方程中，解是=2的方程是() A.3x=x+3 B.-x+3=0 C.5x-2=8 D.2x=6 2.已知=1是方程x+2m=7的解，则m= 【知识点2】一元一次方程的概念 ⊙一般地，如果方程中只含有一个 且含有未知数的式子都是整式，未知数的 次数 这样的方程叫作一元一次方程 1.下列方程是一元一次方程的是() A.x2+3=0 B.x+3=y+2 C.1=4 D.x=-25 2.已知方程x-+2=0是关于x的一元一次方程，则k= 例题点拨：Q素养导向 【例】检验括号里的数是不是方程的解. 3x-8=x-6(x=-1,x=1). 【点拨】把x的值代入方程进行验证即可.本题考查了方程的解的定义，即使方程中使等 号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解。 夯实四基达标闯关 卡s多多 1.若x=-1是方程2x+m-6=0的解，则m的值是(） A.-4 B.4 C.-8 D.8 2.小马虎在做作业，不小心将方程2(x-3)-■=x+1中的一个常数污染了，怎么办？他 翻开书后的答案，发现方程的解是x=9.请问这个被污染的常数是() A.1 B.2 C.3 D.4 3.先填表，再指出方程1700+150x=2450的解 x的值 2 3 6 1700+150x的值 92 一元一次方程 第五章 4.关于x的方程(a+2)x1-2=1是一元一次方程，则a= 5.已知(m2-1)x2+(m+1)x+1=0是关于x的一元一次方程，求m的值. 6.已知方程(m-1)xm-4m=-2是关于x的一元一次方程. (1)求m和x的值. (2)若n满足关系式m+nl=2,求n的值. 7检验括号内的数是不是方程的解：子-子+1=号0 能力提升牌综合拓展 8已知关于x的方程x+子3+号的两个解是3，子 又已知关于的方程+2=4+子的两个解是x4,好子： 2 4 又已知关于x的方程+2=5+2的两个解是x=5,=是 … 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想： 关于x的方程x+2=c+2的两个解是=c,=2.并且小王在老师的帮助下完成了严谨 的证明（证明过程略）.小王非常高兴，他向同学提出如下的问题. (1)关于x的方程x+2=11+2的两个解是x= 11 和x2= (2)已知关于x的方程x+弓=2+品.则x的两个解是多少？ 中考链接©真题演练 一P多e多 9.(2024·海南)若代数式x-3的值为5，则x等于() A.8 B.-8 C.2 D.-2 93 数学 七年级上册（人教版） 5.1.2等式的性质 知识梳理①形成联系 -下E多多 【知识点1】等式的基本事实 ©等式两边可以交换.如果a=b,那么b=a. ◎相等关系可以传递.如果a=b,b=c,那么a=c. 1.如果-1=x,那么x= 2.如果x=y,=2,那么x= 【知识点2】等式的性质 ©等式性质1：等式两边 同一个 结果仍相等 如果 那么 ©等式性质2：等式两边 同一个 或 同一个 结果仍相等， 如果 那么 如果 ,那么 ©等式对称性：如果 那么 ◎等式传递性：如果a=b,b=c,那么 1.把方程】x=1变形为x=2,其依据是( A.等式的性质1B.等式的性质2 C.分式的基本性质 2.已知方程x-2y+3=8,则整式x-2y的值为() A.5 B.10 C.12 D.15 3.在等式0.3x=45两边都 可得到等式=150. 例题点拨Q素养导向 【例】设x,y,c是实数，下列叙述正确的是() A.若x=y,则x+c=y-c B.若x=y,则xc=yC C.若=y,则x=y cc D.若00，则2x=3y 【点拨】根据等式的性质，可得答案.本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等 式的性质求解是解题的关键， 夯实四基L达标闯关 1.若a=b,下列各式：①a+m=b+m;②a-m=b-m;③mm=bm;④a+b=m+m.其中变形正确 的有() 94 一元一次方程 第五章 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.根据等式的性质，下列各式变形正确的是() A.若0=b,则a=b B.若ac=bc,则a=b cC C.若d=b2,则a=b D.若-36，则x=-2 3.如果a=b,那么a,=b,成立时，c应满足的条件是 c-1c-1 4.已知。，△，口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示，根据砝码显 示的质量，求O= 20g O00/ 回DOOO0/△4△/ △△△/ 第4题图 5.利用等式的基本性质，将下面的等式变形为x=c(c为常数)的形式. (1)5x-3=7; 2)7-2=-2+7 6.王老师在黑板上写了一个等式(m-3)x=5(m-3).小明说x=5;小刚说不一定，当x≠5 时，这个等式也可能成立.你认为他俩谁的说法正确？用等式的性质说明理由 能力提升坤综合拓展 7.小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，化0.3为 分数，解决方法是：设x=0.3,即x=0.333…,将方程两边都×10，得10x=3.333…,即10x=3+ 0.3,又因为x=03…,所以10=3+，所以9=3，即x=号，所以03= 31 尝试解决下列各题： (1)把0.i化成分数为 (2)请利用小明的方法，把纯循环小数0.16化成分数. 中考链接©真题演练 P多 8.(2024·攀枝花)幻方，中国古代称为《洛书》，又叫“纵横图”.如图所 3 9 示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则α的值 a 为 第8题图 95号-323+2+名21 例1解：(1）原式=3c2-12a+9-25a2+5a 10=(3a2-25a2)-(12a-5a)+(9-10)=-22a2-7a-1. (2)原式=bc-(2ab-3abc+ab+4abc)=abe- (3ab+abc)=abc-3ab-abc=-3ab. 例2解：新拼的长方形的宽为(-3b),长 为(a-b),∴.其周长为2(a-3b+-b)=4a-86. 1.B2.D 3.(1)5x-y(2)10x2-9y2(3)-2a2-6ab (4)-ab+1 4.(1)）12a2b-6ab2(2)8x2-13xy 5.(1)9x-2y(2）6x2+5x 6.解：(1)2025(2)14(3)原式=6xy+ 2x-2y-6x2y+3x-3y-5y=6x2y-6xy+2x+3x-2y-3y-5y=5x- 10y,又x-2y=3,.原式=5(x-2y)=5x3=15. 7.解：(1)：长方形的长为(6a-2b+24)m,宽 为(b-3a+3)m,∴.(6a-2b+24)-(b-3a+3)=6a-2b+24 b+3a-3=(9a-3b+21)m.答：苗圃的长比宽多(9a-3b+ 21)m.(2)该苗圃的建造总价不随a,b取值的变 化而变化.理由如下：竹篱笆总长为(6a-2b+24)+ 2(b-3a+3)=6a-2b+24+2b-6a+6=30(m),.竹篱笆总 长与a,b的取值无关，.建造总价与a,b的取值无 关.竹篱笆的单价为8元m,.该苗圃的建造总价为 30×8=240(元).答：该苗圃的建造总价为240元。 8.2-19.710.1 4.2整式的加法与减法（第三课时) 知识点：去括号合并同类项1.3x2y-2 2.-x2-7xy+8 例110a+b10b+a(10a+b)(10b+a) 11(a+b)11 倒2解：原式=3-子644子b+ 6+-252+3=-+6+3,因为运算结果中 不含有a的式子，因此，即使小王抄错了a值， 也不影响这道题的运算结果. 例3解：设大圆半径为R,小圆半径依次为 1,2,3,题图1中总周长=2×2mR=4mR.题图2 中总周长=2πR+(2Tr1+2Tr2+2Tr3)=2TR+2T(r1+r2 3)=2R+2TR=4πR,.两种方案所需材料相等. 1.D2.--6y3.解：原式=-7x2-x,当=-2时， 原式=-26. 4.解：原式=-m2+6m+3,当m=-1时，原式=-4. 5.解：原式=5ad2+2a2-2b2-62+3b2-a2+b2,当a=-1, 6号时，原式(-1分1+ 6.解：(1)A+B=22-3x-2,B=2x2-3x-2-3x2+x- 1=-x2-2x-3,A-B=3x2-x+1+x242x+3=4x2+x+4. (2)当x=-1时，原式A-B=7. 7.8-8㎡+8a-5,原式=19 9.(1)2n-1(2)4049 10.解：(1)①③.(2)原式=4mn+4m-8(mn- 参 考答案 3)-6m2+4n+6m2=4mn+4m-8mn+24-6m2+4n+6m2=-4mn+ 4m+4n+24,又(m,n)是“和积等数对”.m+n=mn, .原式=-4mn+4(m+n)+24=-4mn+4mm+24=24. 11.(1)2x+80(2)82848688 12.B13.B14.36 第五章一元一次方程 5.1方 程 5.1.1从算式到方程（第一课时） 知识点1：未知数等式1.B2.①③④ ⑤③④⑤ 知识点2：1.2x-17=252.37+x=2(23-x) 例解：设截下的每段长为xcm,由题意 得，60-2x=10. 1.D2.3x-3=734-24 4.解：(1)不是，因为不含有未知数.(2)是 方程.(3)不是，因为不是等式.(4)是方程. (5)不是，因为不是等式. 5.解：（①）根据题意，列出等式为g4748016 15.21%.(2)根据题意，列出等式为2a+12=40. (3)根据题意，列出等式为a(b+c+d)=ab+ac+ad. 6.解：(1)①.la-6=2,∴.a-6=2或a-6=-2,解 得a=8或a=4.②.la+7=3,∴.a+7=3或a+7=-3,解得 aE-4或ae-10. (2)la-31+la-51表示数a与表示数3和5的点之 间的距离之和..la-3引+la-5l的最小值是2. 7.A 5.1.1从算式到方程（第二课时） 知识点1：左、右两边的值未知数的值 1.C2.3 知识点2：未知数（元）都是11.D2.1 例解：当x=-1时，左边=-3-8=-11，有 边=-1-6=-7，左边≠右边，∴x=-1不是原方程的 解：当x=1时，左边=3×1-8=-5，右边=1-6=-5 左边=右边，x=1是原方程的解.综上所述，x=1 是原方程的解。 1.D2.B 3.填表如下： x的值 2 6 1700+150x 的值 185020002150230024502600 故方程1700+150x=2450的解为x=5. 4.2 5.解：(m2-1)x2+(m+1)x+1=0是关于x的一元一 m-10,解得m=l. 次方程，m+1≠0， 6.解：(1)(m-1)x-4m=-2是关于x的一元一 次方程，m-1≠0且lml=1,解得m=-1,把m=-1代入 (m-1)x-4m=-2,得-2x-4×(-1)=-2,整理得-2x=-6, 解得x=3. (2)由(1)m=-1,.m+nl=2,.-1+nl=2,.-1+ 63 口数学七年级上册（人教版） n=2或-1+n=-2,解得n=3或n=-1. 7解：将y号代人方程左边得，号×最 等品右边为子×昌+1-1=音左边 右边，则)号是方程的解将了0代入方程左边得 0,右边得1，左边≠右边，则y=0不是方程的解. 8.解：(1)根据猜想的结论，则=1，= 2 (2)原方程可以变形为1+弓=+品则x山， -品则=2，是 13 9.A 5.1.2等式的性质 知识点1：1.-12.2 知识点2：加（或减）数（或式子）a=b a±c=bc乘数除以不为0的数a=b actbe a=b (c70)a=b a=b b=a a-c cc 1.B2.A3.乘10 3 例B 1.C2.A3.c≠14.12.5 5.解：(1)5x-3=7,两边同时加上3，得5x=10, 两边同时除以5，得x=2. (2)7-22+7,77-2-72- 2x+7-7, 6.解：小明的说法错误，小刚的说法正确，理由 如下：当m-3=0时，x为任意数；当m-3≠0时，=5. 7解：()) (2)设x=0.i6,即x=0.1616…,将方程两边都 乘100，得100x=16.1616…,即100x=16+0.1616… 又x-01616,10=6+,99=l16,即x=9 0i6-9 8.3 5.2解一元一次方程（第一课时） 知识点：(1)合并同类项(2)系数化为 11.D2.D 例解：(1)合并同类项，得=3.(2)合 并同类项，得2x=6,系数化为1，得x=3. 1.B2.C3.B4.①-5x=5②x=-15.=12 6)x-4(2)m=号3)=45（④）= 10 3 (5)x=-3 7.B 8.解：(1)根据题意，得80x+40x=200,解得x= 多，两车首次相遇时，=号故答案为 (2)①当两车相遇前相距50km时，80x+40x= 20-50,解得x=} ②当两车相遇后首次相距50km时，80x+40x= 2040,解得得 ③当甲车到达B地返回两车相距50km时，80x- 40-20-580,解得x里 答：当x为5或25或15时，两车相距50km. 124 9.解：设所求三个数分别为-x,2x,-4x,由题意 得，-x+2x+(-4x)=768,合并同类项，得-3x=768,解 得x=-256..-x=256,2x=2×(-256)=-512,-4x=-4× (-256)=1024.答：这三个数分别是256，-512,1024. 10.解：设甲便民服务点有工作人员x人，乙便民 服务点有工作人员2x人，x+2x=19+27+20,x=22 .22x2=44(人)，22-19=3（人），44-27=17（人）.答 应往甲便民服务点调3人，往乙便民服务点调17人. 11.解：(1)设两人同时从同一地点出发，同向 而行，经过xmin两人第一次相遇.由题意，得290x 250x=400.合并同类项，得40x=400.系数化为1，得 =10.答：两人同时从同一地点出发，同向而行，经过 10min两人第一次相遇. (2)设两人同时从同一地点出发，相向而行，经 过ymin两人第一次相遇.由题意得，250y+290y=400. 合并同类项，得540=40，系数化为1，得)9答： 两人同时从同一地点出发，相向面行，经过9mn两 人第一次相遇」 12.解：设A,B两地之间的路程为xkm,依题 意得，年41+50660· =20,解得x=4.答：A,B两地 之间的路程为4km. 13.20 5.2解一元一次方程（第二课时) 知识点：变号另一边1.A2.C3.3 例1解：4x-1=2x+5,移项，得4x-2x=1+ 5,合并同类项，得2x=6,系数化为1，得x=3. 例2解：设每位工人每天生产x套纪念品 由题意得，610x+1200=15x·(6-1),解得x= 80,6·10x+1200=6000(套).答：这批纪念品共 有6000套，每位工人每天生产80套纪念品. 1.D2.C3.A4.C5.A6.D 7.号86-4=5439A 10.10x+1=10+x+1811.1 12.(1)x=5(2)x=5(3)x=2(4)x=4 13.解：设七年级(1)班共有x名同学，根据题 意，得3x+25=4x-20,解得x=45.答：七年级(1)班 共有45名同学. 14.解：(1)(-3)*(-2)=(-3)2+2×(-3)×(-2)=9+ 12=21. (2)(-3)*=3x,(-3)242·(-3)x=3x,9-6=3x,=1. 54