5.1.2等式的性质 课时作业 2025-2026学年人教版七年级数学上册

第五章 一元一次方程 § 5.1.2 等式的性质 课时作业 【知识解读】 等式的性质1： 等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等. 如果a=b，那么a±c=b±c. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果a=b，那么ac=bc； 如果a=b（c≠0），那么 a/c=b/c . 利用等式的性质解简单的一元一次方程的一般步骤： 第一步：利用等式的性质1，将方程左右两边同时加(或减)同一个数(或式子)，使方程逐步转化为一边只有含未知数的项，另一边只有常数项的形式； 第二步：利用等式的性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数(或乘未知数系数的倒数)，即将未知数的系数化为1，从而求出方程的解. 【题型练习】 一、单选题 1．已知，则下列式子：①；②；③；④．其中一定成立的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①③④ 2．下列运用等式的性质，变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由得， B．由得， C．由得， D．由得， 4．下列正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 6．在匀速直线运动中，物体的路程s、速度v、时间t之间的关系为，去分母得，那么其变形的依据是（   ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．等量代换 D．无法确定 7．利用等式的基本性质，将变形为（为常数）的形式，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如果、均为正数，且，那么（    ） A． B． C． D．不能确定 9．由等式得到等式，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 10．如图，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2025个格子中的数为（   ） 3 … A．3 B． C．2 D． 二、填空题 11．（1）若，则_________． 这是根据等式基本性质_________，等式的两边________． （2）若，则________． 这是根据等式基本性质__________，等式的两边_________． （3）若，则_______． 这是根据等式基本性质________，等式的两边_________． 12．一名同学把“等式①”按照如图所示的程序做了变形： 小明认为：等式①②③依次为；；． 以上等式中，符合题意的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 13．已知与互为相反数，那么 ． 14．学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 因为2个苹果+1个梨＝5个梨 所以2个苹果＝4个梨……（      ） 因为2个苹果＝400克 2个苹果＝4个梨 所以4个梨＝400克……（      ） 15． 如果，，那么( )，( )． 三、解答题 16．判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质． (1)如果，那么； (2)如果，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么． 17．在学习等式的基本性质后，有不少同学对策式进行变形后，得出“”的错误结论，但都找不到错误原因，你能帮助他们找到原因吗？错误的解答过程如下：解：将等式变形，得（第一步） 所以（第二步） ． (1)等式变形产生错误的步骤是第 步． (2)产生错误的原因是什么？ (3)对于等式基本性质的应用，你认为还需要注意什么？写出一点即可． 18．利用等式的性质解方程，并检验． (1)； (2)． 19．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 20． 已知等式，你能比较和的大小吗？ 21．已知，利用等式的性质，求： (1)和的值； (2)的值． 22．（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． 23．20个质量分别为1，2，3，…，19，20克的砝码放在天平两边，正好达到平衡． (1)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡 ； (2)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ § 5.1.2 等式的性质 课时作业 解析版 一、单选题 1．已知，则下列式子：①；②；③；④．其中一定成立的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查的是等式的基本性质，熟知等式的基本性质是解答此题的关键． 根据等式的基本性质对四个小题进行逐一分析即可． 【详解】解：①∵，∴，符合题意； ②∵，∴，符合题意； ③∵，∴，不符合题意； ④∵，∴，不符合题意． 故选：A． 2．下列运用等式的性质，变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．根据等式基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，原结论正确，不符合题意； B、若，则，原结论正确，不符合题意； C、若，则，原结论正确，不符合题意； D、若，则需要时，才成立，原结论错误，符合题意． 故选：D． 3．下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由得， B．由得， C．由得， D．由得， 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【详解】本题考查了等式的性质． 逐一验证每个选项的变形是否符合等式的基本性质，如移项变号、等式两边同乘同除等． 【分析】解：A：，移项得，，原变形错误； B：，两边同乘2得，原变形错误； C：，移项得 ，，原变形正确； D：，两边同除以2得，原变形错误； 故选：C． 4．下列正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了绝对值的意义，等式的性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，∴，故A错误； B．∵，∴，故B错误； C．当时，、无意义，∴式子不成立，故C错误； D．∵ 且分式有意义（隐含），两边同乘 c 得，故D正确； 故选：D． 5．如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的性质，结合图形得出1个三棱锥个球，1个正方体个球是解题的关键． 根据图①，图②中得到三种物体的关系，然后根据图③中的摆放方式即可得出答案． 【详解】解：由图①可得个球个正方体个球个三棱锥， 则个正方体个三棱锥个球， 由图②可得3个球+3个正方体=2个三棱锥个正方体， 则1个正方体个三棱锥个球， 那么2个正方体个三棱锥个球个三棱锥个球， 故1个三棱锥个球， 那么个正方体=个三棱锥个球个球个球个球， 由图③可得天平左边为个球个正方体个三棱锥个球个球个球个球， 则天平右边应放个球， 故选：D． 6．在匀速直线运动中，物体的路程s、速度v、时间t之间的关系为，去分母得，那么其变形的依据是（   ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．等量代换 D．无法确定 【答案】B 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质． 从到的变形是通过等式两边同时乘或除以同一个数（）实现的，这符合等式的性质2． 【详解】解：∵，等式两边同时乘以（）得到， ∴其变形的依据是等式的性质2（等式两边同时乘或除以同一个不为零的数，等式仍成立）． 故选：B． 7．利用等式的基本性质，将变形为（为常数）的形式，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等式的性质1 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式两边同时减去同一个数等式仍然成立是解题的关键 根据等式的基本性质解答即可． 【详解】解：， ， ． 故选C． 8．如果、均为正数，且，那么（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】有理数大小比较、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质及有理数大小的比较．根据等式的性质得出，即可比较与的大小． 【详解】解：∵， ∴等式两边同时乘以，得， ∵、均为正数， ∴， 故选：B． 9．由等式得到等式，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，若使等式成立，则需使等号两侧同时乘以的式子不为零即可解得. 【详解】解：∵由等式可得到等式， ， 解得. 故选：B ． 10．如图，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2025个格子中的数为（   ） 3 … A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、等式的性质1 【分析】本题考查了数字的变化类规律，解决本题的关键是找出等量关系，列出方程，求出a、b、c的值．根据表格中的任意三个相邻格子中所填整数之和都相等列出方程，求出a、b、c的值，再找出规律即可求解． 【详解】解：根据题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴格子中的数字为：、3、、、3、 ∴格子中的数为3个数一个循环， ∴， ∴第2025个格子中的数为：． 故选：B． 二、填空题 11．（1）若，则_________． 这是根据等式基本性质_________，等式的两边________． （2）若，则________． 这是根据等式基本性质__________，等式的两边_________． （3）若，则_______． 这是根据等式基本性质________，等式的两边_________． 【答案】（1）5，1，同时加上5（2），1，同时加上（3）3，2，同时乘以3 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；根据等式的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）若，则， 这是根据等式基本性质1，等式的两边同时加上5， 故答案为：5，1，同时加上5； （2）若，则． 这是根据等式基本性质1，等式的两边同时加上， 故答案为：，1，同时加上． （3）若，则． 这是根据等式基本性质2，等式的两边同时乘以3； 故答案为：3，2，同时乘以3． 12．一名同学把“等式①”按照如图所示的程序做了变形： 小明认为：等式①②③依次为；；． 以上等式中，符合题意的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【知识点】整式加减的应用、等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式性质，先根据等式两边都除以5，即得等式①为，然后依次得出等式②和等式③，即可得出答案． 【详解】解：由题知等式①两边都乘5，得， 等式两边都除以5，即得等式①为； 等式①两边都减2，得等式②为， 把与的两边分别相加，得等式③为； 综上分析可知：符合题意的个数为3个． 故选：A． 13．已知与互为相反数，那么 ． 【答案】 2 【知识点】相反数的应用、等式的性质1 【分析】本题考查相反数，等式的性质，根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，由此列出方程并求解即可. 【详解】解：因为 与 互为相反数， 所以 ， 即 ， 整理得 ， 因此 ； 故答案为：2. 14．学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 因为2个苹果+1个梨＝5个梨 所以2个苹果＝4个梨……（      ） 因为2个苹果＝400克 2个苹果＝4个梨 所以4个梨＝400克……（      ） 【答案】A ，B 【知识点】等式的性质1 【分析】本题主要考查了数学基本事实应用，根据2个苹果+1个梨个梨，等号两边都去掉1个梨得出2个苹果＝4个梨，运用了等式的性质；2个苹果＝400克，2个苹果＝4个梨，可得4个梨＝400克，运用了等量的等量相等，由此可得结论． 【详解】解：2个苹果+1个梨个梨， 等号两边都去掉1个梨得出2个苹果＝4个梨，运用了等式的性质； 2个苹果＝400克，2个苹果＝4个梨，可得4个梨＝400克， 运用了等量的等量相等； 故答案为：A，B． 15．如果，，那么( )，( )． 【答案】 3 12 【知识点】等式的性质1 【分析】本题考查了等量代换，用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）叫等量代换，据此解答． 【详解】解：如果，， 则， 那么，， 故答案为：3，12． 三、解答题 16．判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质． (1)如果，那么； (2)如果，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的基本性质：①等式两边同时加上（减去）同一个数，等式仍然成立；②等式两边同时乘以（除以）同一个不为0数，等式仍然成立，熟记等式的基本性质是解决问题的关键． （1）由等式的基本性质1逐项验证即可得到答案； （2）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案； （3）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案； （4）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案． 【详解】（1）解：正确． 等式两边都加上同一个数，结果仍相等．依据：等式性质1； （2）解：正确． 等式两边都除以同一个不为0的数，结果仍相等．依据：等式性质2； （3）解：正确． 等式两边都乘同一个数，结果仍相等．依据：等式性质2； （4）解：正确． 由知，等式两边都乘以同一个不为0的数，结果仍相等．依据：等式性质2． 17．在学习等式的基本性质后，有不少同学对策式进行变形后，得出“”的错误结论，但都找不到错误原因，你能帮助他们找到原因吗？错误的解答过程如下：解：将等式变形，得（第一步） 所以（第二步） ． (1)等式变形产生错误的步骤是第 步． (2)产生错误的原因是什么？ (3)对于等式基本性质的应用，你认为还需要注意什么？写出一点即可． 【答案】(1)二 (2)没考虑的情况 (3)等式两边必须是相同的操作（同加同减，同乘同除），且是同一个数或同一个式子，等式两边同时除以一个数时，要确保这个数不能为0（答案不唯一，合理即可） 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查等式的性质，理解并掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据等式的性质判定即可； （2）根据等式的性质判定即可； （3）根据等式的性质判定即可． 【详解】（1）解：等式变形产生错误的步骤是第二步， 故答案为：二； （2）解：在第二步中，等式两边同时除以，没有考虑的情况，当时，根据等式的性质2，这不合理， ∴错误原因：没考虑的情况； （3）解：运用等式的性质时，等式两边必须是相同的操作（同加同减，同乘同除），且是同一个数或同一个式子，等式两边同时除以一个数时，要确保这个数不能为0（答案不唯一，合理即可）． 18．利用等式的性质解方程，并检验． (1)； (2)． 【答案】(1)是原方程的解 (2)是原方程的解 【知识点】判断是否是方程的解、等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程，方程的解，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的性质，给等式的两边同时减即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （2）先根据等式的性质，给方程两边同时加可得，至此，再给方程两边同时乘以即可求出x的值，最后将x的值代入方程检验即可． 【详解】（1）解：两边都减8，得． 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边， 左边右边． 所以是原方程的解； （2）解：两边都加上4，得． 即， 两边同乘以，得， 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边，左边＝右边． 所以是原方程的解． 19．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的基本性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先等式两边同加上4，再等式两边同除以5即可； （2）先等式两边同减去3，再等式两边同乘以2即可； （3）先等式两边同减去1，再等式两边同除以即可； （4）先等式两边同减去，再等式两边同除以3即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 20．已知等式，你能比较和的大小吗？ 【答案】 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断． 【详解】解：能，理由： 等式两边同时加4，得， 等式两边同时减去，得， 等式两边同时除以3，得， ∴． 21．已知，利用等式的性质，求： (1)和的值； (2)的值． 【答案】(1)，7 (2)16 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】题目主要考查等式的性质及求代数式的值，熟练掌握等式的性质是解题关键． （1）根据题意，得，再由等式的性质求解即可； （2）将原式整理，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 在左右两边同时乘b，得， 在左右两边同时除以，得， 在等式，左右两边同时加3，得，即， 在左右两边同时加b，得； （2）， 由（1）知，， 故原式． 22．（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． 【答案】（1）；（2）见解析 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 直接利用等式的性质和等式的性质解题即可． 【详解】解：（1）等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得．故． （2）去括号，得． 等式两边都加上，得． 等式两边都减去，得． 等式两边都除以，得． 即． 23．20个质量分别为1，2，3，…，19，20克的砝码放在天平两边，正好达到平衡． (1)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡 ； (2)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等式的性质1 【分析】本题主要考查了等式的性质1．弄清天平两边正好达到平衡，每边的质量和为105克是解题的关键． （1）将砝码①，③，…，⑳放在天平一边，砝码②，④，…，19克放在天平另一边，根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，两边每次取质量和为21克的偶数个砝码即可； （2）将砝码①，②，…，14克放在天平一边，砝码15克，16克，17克，18克，19克，⑳放在天平另一边，根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡． 【详解】（1）解：天平一边是砝码①，③，…，⑳，天平另一边是砝码②，④，…，19克，两边每次取质量和为21克的偶数个砝码； （2）解：天平一边是砝码①，②，…，14克，天平另一边是砝码15克，16克，17克，18克，19克，20克，从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $