精品解析：安徽省合肥市经开区锦绣中学2025-2026学年九年级数学上学期9月限时练

安徽省合肥市经开区锦绣中学2025－2026学年 九年级数学上学期9月限时练 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 3. 下列函数中，当时，随的增大而减小的是( ) A. B. C. D. 4. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象如图所示，则它的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象开口向下 C. 图象关于y轴对称 D. 无论x取何值时，y的值总是正的 7. 设点(﹣1，y1)，(2，y2)，(3，y3)是抛物线y=﹣2x2+1上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A. y3＞y2＞y1 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y2＞y3 8. 已知抛物线，当时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的　　 A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当x取x1，x2（）时，函数值相等，则当x取时，函数值为( ) A. B. C. -k D. k 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 抛物线的顶点坐标为________． 12. 已知关于x的函数是二次函数，则a的取值范围是______． 13. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 14. 如图是函数的图象，则k的取值范围是______． 三、解答题（共90分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB＋cosB的值． 17. 某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）． （1）写出y与x的函数关系式 ； （2）求出W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围） 18. 已知正方形的边长为，面积为． （1）求与的函数关系式及的取值范围，并在网格中画出函数图象； （2）根据图象，直接写出当时正方形的边长； （3）根据图象，直接写出x为何值时，． 19. 抛物线是由抛物线如何平移得到的？并说明抛物线的 （1）开口方向、顶点坐标、对称轴； （2）函数的最大值或最小值． 20. 将函数的图象进行适当的上下平移，使得到的新图象经过点，请求出平移的方向和距离． 21. 已知点在抛物线上． （1）求m的值； （2）在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 已知抛物线（如图所示）． （1）填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______； （2）已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省合肥市经开区锦绣中学2025－2026学年 九年级数学上学期9月限时练 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. ，分母有未知数，不是二次函数； B. ，不是整式，不是二次函数； C. ，是一次函数，不是二次函数； D. ，是二次函数； 故选：D． 2. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 【答案】A 【解析】 【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入，得， ∴二次函数解析式为． ∴所给四点中，只有（2，4）满足．故选A． 3. 下列函数中，当时，随的增大而减小的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，根据二次函数的性质和一次函数的性质即可求解． 【详解】解：A. ，，对称轴为轴，开口向下，当时，随的增大而减小，故该选项正确，符合题意； B. ，，随的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； C. ，，对称轴为轴，开口向上，当时，随的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； D. ，，随的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 4. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式． 【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x， ∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆， ∴y与x之间的函数表达式是． 故选：B． 5. 二次函数的图象如图所示，则它的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能根据图形读出正确信息是解此题的关键．根据图象得出二次函数的顶点坐标是，与x轴的交点坐标是和，设二次函数的解析式是，再求出a即可． 【详解】解∶从图象可知∶二次函数的顶点坐标是，与x轴的交点坐标是和， 设二次函数的解析式是， 把代入得∶， 解得∶， 所以， 故选∶C． 6. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象开口向下 C. 图象关于y轴对称 D. 无论x取何值时，y的值总是正的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质，根据解析式，逐项分析，即可求解． 【详解】解：，， ∴函数图象开口向上，对称轴为轴，顶点为，最小值为，故B，D错误，C正确， 在轴的右侧，y随x的增大而增大，故A错误， 故选：C． 7. 设点(﹣1，y1)，(2，y2)，(3，y3)是抛物线y=﹣2x2+1上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A. y3＞y2＞y1 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y2＞y3 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算自变量为﹣1、2、3对应的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】当x=﹣1时，y1=﹣2x2+1=﹣2×（﹣1）2+1=﹣1， 当x=2时，y2=﹣2x2+1=﹣2×22+1=﹣7， 当x=3时，y3=﹣2x2+1=﹣2×32+1=﹣17， 所以y1＞y2＞y3． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 8. 已知抛物线，当时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为y轴，， ∴当时，y有最小值，最小值为0， 当时，y有最大值，最大值为， ∴当时，， 故选：B． 9. 如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象． 【详解】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3， ∴∠AOB=∠A=45°， 如图，记交点分别为C，D， ∵CD⊥OB， ∴， ∴∠OCD=∠A， ∴∠AOD=∠OCD=45°， ∴OD=CD=t， ∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）． 故S与t之间的函数关系的图象应为开口向上的二次函数图象； 故选D． 【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象． 10. 已知二次函数，当x取x1，x2（）时，函数值相等，则当x取时，函数值为( ) A. B. C. -k D. k 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为轴，从而可得，进而求解． 【详解】解：， 抛物线对称轴为轴， ， 将代入得， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标即可 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标是； 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 12. 已知关于x的函数是二次函数，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地形如（，，为常数，）的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴． 解得：． 故答案为：． 13. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 14. 如图是函数的图象，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．抛物线是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．开口大小与有关，越大图象开口越小，越小图象开口越大．其顶点是，对称轴是y轴． 由图可知开口最小，其次，开口最大，根据开口大小与的关系计算即可． 【详解】由图可知开口最小，其次，开口最大， ∴， ∵，开口向下， ∴，， 即，且，， 解得：且， 即， 故答案为：． 三、解答题（共90分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，熟练掌握各特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先求出特殊角的三角函数值，再进行运算即可； （2）先求出特殊角的三角函数值，再进行运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB＋cosB的值． 【答案】. 【解析】 【分析】试题分析：先在Rt△ACD中，由正切函数的定义得tanA=，求出AD=4，则BD=AB﹣AD=8，再解Rt△BCD，由勾股定理得BC==10，sinB=，cosB=，由此求出sinB+cosB=． 【详解】解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°， ∴tanA=， ∴AD=4， ∴BD=AB﹣AD=12﹣4=8． 在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=8，CD=6， ∴BC==10， ∴sinB=，cosB=， ∴sinB+cosB==． 故答案为 考点：解直角三角形；勾股定理． 17. 某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）． （1）写出y与x的函数关系式 ； （2）求出W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围） 【答案】（1）y=300+20x，（2）W=﹣20x2+100x+6000． 【解析】 【分析】（1）利用每天可卖出300个，每降价1元，每天可多卖出20个，进而得出y与x的函数关系式； （2）利用销量×每千克商品的利润=总利润，进而得出答案． 【详解】解：（1）设每个降价x（元），每天销售y（个）， y与x的函数关系式为：y=300+20x； 故答案为y=300+20x； （2）由题意可得，W与x的函数关系式为： W=（300+20x）（60﹣40﹣x） =﹣20x2+100x+6000． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确掌握销量与每千克利润与总利润的关系是解题关键． 18. 已知正方形的边长为，面积为． （1）求与的函数关系式及的取值范围，并在网格中画出函数图象； （2）根据图象，直接写出当时正方形的边长； （3）根据图象，直接写出x为何值时，． 【答案】（1），， 如图， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，画二次函数的图象，求函数值以及自变量的取值范围； （1）根据正方形的面积等于边长的平方，列出函数关系式，写出自变量的取值范围，并画出函数图象，即可求解； （2）根据图象，令，解方程，结合自变量的取值范围取舍解，即可求解； （3）根据函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，，， 1 2 3 …… 1 4 9 …… 【小问2详解】解：根据函数图象可得，当时，； 【小问3详解】 根据函数图象可得，当时，． 19. 抛物线是由抛物线如何平移得到的？并说明抛物线的 （1）开口方向、顶点坐标、对称轴； （2）函数的最大值或最小值． 【答案】（1）抛物线是由抛物线向上平移3个单位长度得到的， 开口向上，顶点坐标为，对称轴是y轴 （2）最小值为3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移． （1）根据二次函数的图象和性质，即可得出答案； （2）根据二次函数的图象和性质，即可得出答案． 【小问1详解】 解：抛物线是由抛物线向上平移3个单位长度得到的， 抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是y轴； 【小问2详解】 解：因为开口向上，所以函数有最小值， 当时，函数有最小值，最小值为3． 20. 将函数的图象进行适当的上下平移，使得到的新图象经过点，请求出平移的方向和距离． 【答案】向下平移个单位 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，设平移后的解析式为，代入，求得，即可求解． 【详解】解：设平移后的解析式为， ∵平移后经过， ∴， 解得：， ∴向下平移个单位． 21. 已知点在抛物线上． （1）求m的值； （2）在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形性质，分类讨论，熟练掌握是解题的关键．分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答。（1）可将点代入抛物线中，可得到m的值；（2）假设存在点P，接下来根据是等腰三角形分情况讨论即可求解. 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ∴． 【小问2详解】 解：存在． ∵， ∴． ∴． ∵是等腰三角形， ∴当时， ∴． 当时， ∵点A在第一象限平分线上， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 当时，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴点P的坐标为或或或． 22. 已知抛物线（如图所示）． （1）填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______； （2）已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标． 【答案】（1）0，1；y轴 （2）或 【解析】 【分析】熟悉抛物线的图象和性质、等边三角形的性质，是正确解答本题的关键． （1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可； （2）设．根据轴于B，点，是等边三角形，得，求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标，即得． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为，对称轴为y轴． 故答案为：0，1；y轴． 【小问2详解】 解：设． ∵轴，垂足为B， ∴． ∵点， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∴ ， 解得，． ∴ ∴点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $