精品解析：云南省普通高中2024-2025学年高二下学期期末学业水平合格性考试数学试卷

云南省2025年春季学期期末普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效． 参考公式： 如果事件、互斥，那么． 如果事件、相互独立，那么 球的表面积公式：，体积公式：，其中表示球的半径． 柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高． 锥体的体积公式：，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高． 选择题（共66分） 一、选择题：本题共22个小题，每小题3分，共66分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 记虚数单位，复数，则（ ） A. 5 B. C. D. 2 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. （ ） A. B. C. D. 6. 记为虚数单位，则复数在复平面内的对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. （ ） A. B. C. D. 9. 设函数，则（ ） A 10 B. 7 C. 5 D. 3 10. 设函数，则函数的零点所在的区间为（ ） A B. C. D. 11. 在中，内角的对边分别为．若，则（ ） A. 7 B. C. D. 2 12. 某市有大型超市家，中型超市家，小型超市家．为掌握全市超市的营业情况，现按大型超市、中型超市、小型超市进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，则应抽取小型超市（ ） A. 家 B. 家 C. 家 D. 家 13. 函数的最小正周期为（ ） A B. C. D. 1 14. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 15. 已知平面向量，．若，则（ ） A. B. C. D. 16. 若，则为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 17. 下列函数中，既是奇函数，又是减函数的为（ ） A B. C. D. 18. （ ） A. B. C. D. 19. 已知函数．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 20. 某同学在某星期一至星期五在学校练习投篮的时间（单位：分钟）分别为．若这天平均每天练习分钟，则（ ） A. 49 B. 50 C. 53 D. 55 21. 在中，内角的对边分别为．若，则的面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 22. 要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（ ） A. 2100元 B. 1980元 C. 1870元 D. 1760元 非选择题（共34分） 二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分． 23. 某班数学兴趣小组用空间几何体的图案美化教室．图案中有一个球体，它的半径为3cm，则这个球体的体积为___________． 24. 若向量，则___________． 25. 若，则的取值范围为___________． 26. 高三年级某班组织学生到甲、乙两个社区宣讲垃圾分类知识．该班某同学根据班委会规定，通过摸球方式选择到哪个社区宣讲垃圾分类知识．现有一个不透明的袋子中有16个除颜色外大小质地完全相同的球，其中7个白球，9个黑球．该同学从这个袋子中随机摸出1个球．若摸出的是白球，则到甲社区宣讲；若摸出的是黑球，则到乙社区宣讲．该同学到乙社区宣讲垃圾分类知识的概率为___________． 三、解答题：本题共3个小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤． 27. 明天甲地不降雨的概率为，乙地不降雨的概率为．假设明天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响． （1）求明天甲、乙两地都不降雨的概率； （2）求明天甲、乙两地至少有一个地方降雨的概率． 28. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面． （1）若，的面积等于3，求三棱锥的体积； （2）证明：平面． 29. 已知，实数为常数，都为实数，且． （1）若，求的值； （2）若，且，比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省2025年春季学期期末普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效． 参考公式： 如果事件、互斥，那么． 如果事件、相互独立，那么 球的表面积公式：，体积公式：，其中表示球的半径． 柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高． 锥体的体积公式：，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高． 选择题（共66分） 一、选择题：本题共22个小题，每小题3分，共66分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的概念计算. 【详解】， 故选：C. 2. 记为虚数单位，复数，则（ ） A. 5 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数模的计算公式求解. 【详解】复数，则. 故选：A 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】由题可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助同角三角函数基本关系计算即可得. 【详解】. 故选：B. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用向量加减法法则化简即可得. 【详解】由. 故选：D 6. 记为虚数单位，则复数在复平面内的对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】直接写出复数对应的点的坐标，判断其所在象限即可. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为， 位于第二象限. 故选：B 7. （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数换底公式得解. 【详解】， 故选：A 8. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式与指数幂的转化求解即可. 【详解】. 故选：D 9. 设函数，则（ ） A. 10 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数，代入求值. 【详解】. 故选：A 10. 设函数，则函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，求解可得结论. 【详解】令，可得，所以. 故选：A. 11. 在中，内角的对边分别为．若，则（ ） A. 7 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】借助余弦定理计算即可得. 【详解】，则. 故选：B. 12. 某市有大型超市家，中型超市家，小型超市家．为掌握全市超市的营业情况，现按大型超市、中型超市、小型超市进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，则应抽取小型超市（ ） A. 家 B. 家 C. 家 D. 家 【答案】C 【解析】 【分析】直接由分层抽样的定义计算可得. 【详解】由题可知，总体容量，样本容量，所以抽样比， 故应抽取小型超市家. 故选：C. 13. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题结合正弦函数最小正周期计算公式可得答案. 【详解】因，则最小正周期为：. 故选：C 14. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移变换的原则即可得解. 【详解】要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位. 故选：D. 15 已知平面向量，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示直接列方程，解方程即可. 【详解】由已知，，且， 则， 解得， 故选：B 16. 若，则为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据各象限三角函数符号特征判断即可 【详解】由，得角的终边在y轴左侧，即第二或第三象限，或x轴负半轴， 由，得角的终边在第一或第三象限， 所以当时，为第三象限角. 故选：C 17. 下列函数中，既是奇函数，又是减函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合奇函数的定义及常见函数的性质逐项判断即可. 【详解】设，其定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 函数为一次函数，， 所以函数在定义域上是减函数，故A正确； 函数在定义域上是增函数，故B错误； 函数在定义域上是增函数，故C错误； 函数的图象开口向上，对称轴是， 所以函数在上单调递减，在单调递增，故D错误， 故选：A. 18. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式计算即可. 【详解】. 故选：B 19. 已知函数．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知函数得单调性求闭区间上函数值域即可. 【详解】因为是增函数，所以当时，，即， 所以的取值范围为. 故选：D. 20. 某同学在某星期一至星期五在学校练习投篮的时间（单位：分钟）分别为．若这天平均每天练习分钟，则（ ） A. 49 B. 50 C. 53 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的定义求出的值. 【详解】根据平均数的计算公式，可得到这天练习投篮的总时间为分钟； 又因为这天练习投篮的总时间还可以表示为， 所以， 可得， 故选：C 21. 在中，内角的对边分别为．若，则的面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】由平方关系求出，利用三角形面积公式求解. 【详解】，， ， . 故选：A. 22. 要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（ ） A. 2100元 B. 1980元 C. 1870元 D. 1760元 【答案】B 【解析】 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别米，则， 所以水池总造价， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 非选择题（共34分） 二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分． 23. 某班数学兴趣小组用空间几何体的图案美化教室．图案中有一个球体，它的半径为3cm，则这个球体的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由球的体积公式求解即可. 【详解】设球的体积为，由球的体积公式可得： ， 所以这个球的体积为. 故答案为： 24. 若向量，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题可根据向量数量积的坐标运算公式来计算. 【详解】向量，， 根据向量数量积的坐标运算公式可得： 故答案为：. 25. 若，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，则，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 26. 高三年级某班组织学生到甲、乙两个社区宣讲垃圾分类知识．该班某同学根据班委会规定，通过摸球方式选择到哪个社区宣讲垃圾分类知识．现有一个不透明的袋子中有16个除颜色外大小质地完全相同的球，其中7个白球，9个黑球．该同学从这个袋子中随机摸出1个球．若摸出的是白球，则到甲社区宣讲；若摸出的是黑球，则到乙社区宣讲．该同学到乙社区宣讲垃圾分类知识的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式即可求解. 【详解】设该同学到乙社区宣讲垃圾分类知识的概率为， 根据古典概型的概率公式可得，. 故答案为：. 三、解答题：本题共3个小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤． 27. 明天甲地不降雨的概率为，乙地不降雨的概率为．假设明天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响． （1）求明天甲、乙两地都不降雨的概率； （2）求明天甲、乙两地至少有一个地方降雨的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式可得解； （2）根据对立事件的概率公式可求解. 【小问1详解】 设“明天甲地不降雨”为事件，“明天乙地不降雨”为事件，则，， 因为甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，所以事件与事件相互独立， 根据相互独立事件同时发生的概率公式可得，， 所以明天甲、乙两地都不降雨的概率为； 【小问2详解】 设“明天甲、乙两地至少有一个地方降雨”为事件， 因为“甲、乙两地至少有一个地方降雨”的对立事件是“甲、乙两地都不降雨”， 由（1）知“甲、乙两地都不降雨”的概率为， 根据对立事件的概率公式，， 所以明天甲、乙两地至少有一个地方降雨的概率为. 28. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面． （1）若，的面积等于3，求三棱锥的体积； （2）证明：平面． 【答案】（1）3 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据棱锥体积公式直接计算即可， （2）作，利用面面垂直性质可知平面，再由线面垂直判定定理证明可得结论. 【小问1详解】 因为平面， 所以三棱锥是以为高，为底面积的三棱锥， 其体积为. 【小问2详解】 作交于点，如下图所示： 因为平面平面，且平面平面， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 易知平面，， 所以平面. 29. 已知，实数为常数，都为实数，且． （1）若，求的值； （2）若，且，比较与的大小． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，可求的值； （2）由，得是方程的根，又，故，由等号不成立，展开可得结论. 【小问1详解】 ，由，解得. 【小问2详解】 由，得方程，即， 所以是方程的根，有， 由，得， ，故，， 因此， 当且仅当或时取等号， 由于，等号不成立，故， 展开得，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $