精品解析：浙江温州鹿城区温州市第十二中学2025_2026学年八年级上学期开学考试数学试卷

2025~2026学年浙江温州鹿城区温州市第十二中学初二上学期开学考试数学试卷 一、选择题 1. 下列代数式中，属于分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式的识别，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，根据定义求解即可. 【详解】解：A选项的分母是数字3，不含字母，属于整式； B选项的分母是字母，符合分式的定义； C选项是多项式，没有分母，属于整式； D选项的分母是数字7，不含字母，属于整式； 综上，只有B选项是分式； 故选：B． 2. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 3. 已知三角形的两边长分别为和8，则第三边的长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系可得第三边长，再解可得第三边的范围，然后可得答案． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴ 第三边长 ， 即 第三边长， ∴第三边的长可以是， 故选：C． 4. 如图，当，与不平行时，则下列角中与相等的角是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，找到相等关系的角是解题的关键．由平行线的性质，可知与相等的角有． 【详解】解：∵，与不平行， ∴， 故答案为： 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方；逐一验证各选项的正确性即可. 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选D． 6. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式分解为几个整式乘积的形式；需逐一验证各选项是否满足等式成立且符合因式分解的形式. 【详解】A.左边是的乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法而非因式分解，不符合题意； B.左边可提取公因式，得到，等式成立且符合因式分解的定义，符合题意； C.右边为乘积与常数项的和，未完全转化为乘积形式，不符合因式分解，不符合题意； D.，故不符合题意； 故选：B. 7. 如图，是的中线，是的中线，是的中线，如果的面积是，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．根据三角形中线的性质可得，，，由此即可得． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵的面积是， ∴的面积为， 故选：C． 8. 如图，在中， 是的角平分线，是的高线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，根据三角形的内角和定理可求解的度数，再利用角平分线的定义可求解的度数，由三角形的高线可得，利用三角形的内角和定理可求解的度数，进而可求得的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐人，车空出来；每车坐人，多出人无车坐，问人数和车数各多少？设共有人，辆车，则可列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设共有人，辆车， 由题意可得，， 故选：． 10. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与另一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，涉及对顶角相等、外角性质等知识，由平行线的性质可表示出，结合对顶角相等可表示出，再利用外角的性质可求得的度数．解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系． 【详解】解：如图所示： 由题意可知， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取公因式即可得到结果． 【详解】原式， 故答案为：． 12. 若关于x的分式方程有增根，则增根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根．分式方程的最简公分母等于0时的未知数的值就是分式方程的增根．据此求出x的值即可．熟练掌握增根的定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴最简公分母为， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，垂直平分，交边于点E，交边于点D，若，的周长为14，则的周长为 _____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得出，即可求出的周长． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵，的周长为14， ∴， ∴的周长为， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解题关键是掌握线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等． 14. 如图，在直角中，是的角平分线，若的面积为6，则的长为 __________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过点D作于点E，由角平分线的性质定理可得出，再根据三角形面积即可得出，进而可得出． 【详解】解：过点D作于点E， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1至4组的频数分别为13、9、8、10，则第5组的频率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求频率，先求出第5组的频数，再根据频率频数总数进行求解即可． 【详解】解：， ∴第5组的频率是， 故答案为：． 16. 在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，则的度数是______________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分情况讨论当为锐角三角形时，利用同角的余角相等推出，根据对顶角相等和已知条件求出度数，即可求出度数；当为钝角三角形时，根据垂直定义，利用同角的余角相等求证，从而求出度数，最后结合邻补角定义即可求出度数． 【详解】解：当为锐角三角形时，即为锐角，如图所示， ，， ，， ， ， ． 当为钝角三角形时，即为钝角，如图所示， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了三角形的高，对顶角的性质以及余角和邻补角，解题的关键在于考虑三角形的形状以及熟练掌握相关性质定理． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查单项式乘多项式，零指数幂与负整数指数幂； （1）根据单项式乘多项式运算法则计算即可； （2）先根据零指数幂与负整数指数幂化简，再计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 解方程（组）： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】题目主要考查解分式方程及二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）根据解分式方程的一般方法步骤求解即可； （2）利用代入消元法求解即可． 【小问1详解】 解： 经检验，是原方程的解； 【小问2详解】 解：由①得， 把代入②，解得， 把代入①，解得， 方程组的解为：． 19. 先化简，再从，0，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式． 20. 如图，交于点，，点在线段上，，． （1）求证∶； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据，可得，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，可得，根据三角形外角的性质，可得，再由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，在三角形中，过点作交于点，若，求线段的长度． 【答案】3 【解析】 【分析】证明即可解答．本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质． 【详解】解： 是等腰直角三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 22. 如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）连接，求证：． 【答案】（1） 证明：作，垂足为点 平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） 平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） （等量代换） （2） 证明：，（已知） ，（垂直的意义） 在和中， （全等三角形对应角相等） 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）过点E作于点H，利用角平分线的性质即得证； （2）通过证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，，点在边上，交的延长线于． （1）若是的角平分线，说明与的数量关系； （2）若点同时在的垂直平分线上，求证； （3）若，是的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】（1） （2） 证明：∵点同时在的垂直平分线上， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用直角三角形的性质得到，即可得出结论； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （3）通过证明得到，再通过证明得到，等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵是△的角平分线， ∴， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年浙江温州鹿城区温州市第十二中学初二上学期开学考试数学试卷 一、选择题 1. 下列代数式中，属于分式的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三角形的两边长分别为和8，则第三边的长可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，当，与不平行时，则下列角中与相等的角是（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是的中线，是的中线，是的中线，如果的面积是，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中， 是的角平分线，是的高线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐人，车空出来；每车坐人，多出人无车坐，问人数和车数各多少？设共有人，辆车，则可列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与另一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 因式分解：______． 12. 若关于x的分式方程有增根，则增根是___________． 13. 如图，在中，垂直平分，交边于点E，交边于点D，若，的周长为14，则的周长为 _____． 14. 如图，在直角中，是的角平分线，若的面积为6，则的长为 __________ ． 15. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1至4组的频数分别为13、9、8、10，则第5组的频率是___________． 16. 在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，则的度数是______________． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程（组）： （1）； （2）． 19. 先化简，再从，0，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 20. 如图，交于点，，点在线段上，，． （1）求证∶； （2）若，，求的度数． 21. 如图，在三角形中，过点作交于点，若，求线段的长度． 22. 如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）连接，求证：． 23. 如图，在中，，点在边上，交的延长线于． （1）若是的角平分线，说明与的数量关系； （2）若点同时在的垂直平分线上，求证； （3）若，是的角平分线，直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $