精品解析：2021年湖南省株洲第二中学中考第三次模拟考试数学试卷

2021年九年级中考第三次模拟考试数学 注意事项： 1、答题前，请按照要求在答题卡上填写好自己的名字和准考证号． 2、答题时，切记答案要填写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3.考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、单选题（每小题只有一个最符合题意的答案，本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，正确理解中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 4的平方根是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了平方根的定义，根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：4的平方根是， 故选：A． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方法则判断选项A；根据同底数幂相除法则判断选项B；根据完全平方公式判断选项C；根据单项式乘以单项式法则判断选项D即可． 【详解】解：A．，原计算正确，符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握积的乘方法则、同底数幂相除法则、完全平方公式、单项式乘以单项式法则是解题的关键． 4. 某初级中学足球队9名队员的年龄情况如下： 年龄（岁） 人数（人） 则该队队员年龄的中位数是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解． 【详解】解：将该队9名队员年龄按从小到大顺序排列为：14，15，15，15，15，16，16，17，17，其中第5位是15， 因此该队队员年龄的中位数是15， 故选B． 【点睛】本题考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数叫作中位数． 5. 某防疫封控小区进行全员核酸筛查，计划m个人a天完成任务，照这样计算，若减少n个人时，完成工作所要的天数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先表示出一个人每天的工作量是，则个人一天的工作是：，则完成这件工作所要的天数即可表示出来． 【详解】． 故选：C 【点睛】本题主要考查了列代数式，把总工作量当作1，正确表示出一个人每天的工作量是解决本题的关键． 6. 如图，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形的花坛．已知，，，且四边形的顶点E，F分别是边，的中点，则四边形花坛的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵E，F分别是边，的中点，，，， 是的中位线，，， ， ∴四边形花坛的周长（m）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 7. 如图菱形的顶点、的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出的长，进而求出点坐标． 【详解】解：菱形的顶点，的坐标分别为，，，，点在轴上， ，，， 即轴， 在中， 由勾股定理得：， ∴点的坐标， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，根据勾股定理求出的长是解题的关键． 8. 随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（　　） A. 甲种消费卡为元/次 B. C. 点的坐标为 D. 洋洋爸爸准备元钱用于洋洋在该游泳馆消费，选择甲种消费卡划算 【答案】D 【解析】 【分析】由图象，利用待定系数法分别求甲和乙的解析式为，、，进而可判断A、B的正误，根据，解得，则点的坐标为，进而可判断C的正误，将分别代入，甲和乙的解析式，求出各自的，然后比较大小，进而可判断D的正误． 【详解】解：设甲对应的函数解析式为， 点在该函数图象上， ， 解得， ∴甲对应的函数解析式为； ∴甲种消费卡为元次，故选项A不符合题意； 设乙对应的函数解析式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， ∴乙对应的函数解析式为，故选项B不符合题意； 令， 解得， 即点的坐标为，故选项C不符合题意； 当时，甲可消费：次，乙可消费的次数为：次， ∵， ∴洋洋爸爸准备元钱用于洋洋在该游泳馆消费，选择乙种消费卡划算，故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9. 如图，在中，，点是斜边边上一点，以为圆心，为半径作圆，恰好与边相切于点．若，则的半径为（ ） A. B. 9 C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接交于G，由切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到，，进而证明四边形是矩形，得到，，，利用平行线分线段成比例定理求出，则由含30度角的直角三角形的性质可求出，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接交于G， ∵恰好与边相切于点， ∴， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为10， 故选C． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，矩形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的边长是3，得到点的横坐标和点的纵坐标为3，求得，，，根据三角形的面积列方程得到，，作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】正方形的边长是3， 点的横坐标和点的纵坐标为3， ，，， ，， 的面积为， ， 或（舍去）， ，， 作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值， ， ，， ， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，轴对称中最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 分解因式：____________________． 【答案】 【解析】 【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 12. 表示数的点A沿数轴移动3个单位后到达点B，则点B表示的数为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据数轴的特点，数轴从左到右表示的数越来越大，数轴平移的特点是左减右加，从而可以解答本题． 【详解】解：点表示的数是，右移3个单位，得； 点表示的数是，左移3个单位，得， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是利用了数轴上的点右移加，左移减的方法即可得到答案． 13. 据有关部门的疫情数据统计，1000个感染者中有300个是无症状感染者．则从1000个感染者中任意抽查一名感染者，结果是无症状感染者的概率是________． 【答案】0.3## 【解析】 【分析】直接利用概率求法，无症状感染者数量总人数无症状感染者的概率，进而得出答案． 【详解】解：∵1000个感染者中有300个是无症状感染者， ∴从1000个感染者中任意抽查一名感染者，结果是无症状感染者的概率是：． 故答案为：0.3． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键． 14. 如图，是平行四边形边的延长线上一点，，则____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，易证，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 15. 对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定．则计算的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题中的新定义进行计算即可得． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了有理数加减混合运算，绝对值的运算，解题的关键是理解题意． 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，均在网格线的交点上，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，圆周角定理，求余弦，熟练掌握以上知识是解题的关键．连接并延长交于点，连接，则，，利用勾股定理求解的长，再根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接，则，，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度变为 _________ m． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，求出抛物线解析式，再根据水面下降1m，可得，求得对应的，即可求解． 【详解】解：如图，建立直角坐标系， 则顶点，， 可设抛物线解析式： 将代入可得：，解得 抛物线解析式为： 水面下降，即，代入抛物线解析式可得： 解得，即 水面宽变为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是建立直角坐标系，正确求得抛物线解析式． 18. 以下龙湾风景区旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加1个，人均收费降低1元，但人均收费不低于元 根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社元．从中可以推算出该公司参加旅游的人数为_______________． 【答案】40 【解析】 【分析】首先确定是否超过三十人，然后设参加这次旅游的人数为人，根据总费用为元列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴人数超过人． 设参加这次旅游的人数为．依题意可知， 解得：或． 当时，，故应舍去； 即：参加这次旅游的人数为人． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 三、解答题（本大题共8小题，共78分） 19. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查绝对值、零指数幂、负整数指数幂，熟记运算法则是关键．根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 21. 为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教学调整，某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）求抽取了多少名学生的成绩； （2）求样本中学成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整； （3）该校九年级共有1000人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？ 【答案】（1）50名 （2）10名，补全条形统计图见解析 （3）200名 【解析】 【分析】（1）由“良”的人数除以其所占的百分比即可求解； （2）利用“中”所占的百分比乘以样本总人数即可求得“中”的人数，再补全条形统计图即可； （3）利用成绩类别为“优”的人数除以样本总人数求得其所占的百分比，再乘以全校人数即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，（名）， 答：抽取了50名学生的成绩； 【小问2详解】 解：由题意可得，成绩类别为“中”的人数为（名）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：由题意可得，（人）， 答：估算该校九年级共有200名学生的数学成绩达到优秀． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用、用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． 22. 如图，在平行四边形中，连接，E为的中点，延长与的延长线交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质及应用，矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等知识： （1）由四边形是平行四边形，得，而点E是的中点，可得，即知，从而四边形是平行四边形； （2）由，得，， ，四边形是平行四边形，得，从而，即可得四边形的面积为36． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 【小问2详解】 解：由（1）得：四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 答：四边形的面积为36． 23. 太原双塔寺又名永祥寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度． 【答案】舍利塔的高度为51米 【解析】 【分析】易知，，可得，，因为，推出，列出方程求出（米，由，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：由题意可知：，， ， ， 由题意可知：，， ， ，， ， ， 米，米，米， ， （米， ， ， （米， 答：舍利塔的高度为51米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 24. 广州某商店准备购进一批洗发水和电池，每件洗发水的进价比每件电池的进价多4元，商店用800元购进洗发水的数量与用640元购进电池的数量相等． （1）求每件洗发水与每件电池的进价分别是多少？ （2）已知洗发水的销售价为每件26元，电池的销售价为每件20元．若该商店准备购进这两种用品共100件，其中购进洗发水件，那么该商店要获得最大利润应如何进货？最大利润为多少元？ 【答案】（1）20元，16元 （2）购进洗发水38件，电池62件，最大利润476元 【解析】 【分析】（1）设每件洗发水的进价是元，根据用800元购进洗发水的数量与用640元购进电池的数量相等列方程并检验，可得答案； （2）设该商店获得的利润为元，可得，由一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设每件洗发水的进价是元，则每件电池的进价是元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是方程解， ， 每件洗发水的进价是20元，每件电池的进价是16元； 【小问2详解】 设该商店获得的利润为元， 根据题意得， ，随的增大而增大， 当时，取最大值，最大值为（元， （件， 购进洗发水38件，电池62件，该商店获得最大利润476元． 【点睛】本题考查一次函数和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式． 25. 四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接．过点E作，交射线于点F． （1）如图1，若点F在边上，求证：； （2）以为邻边作矩形，连接． ①如图2，若，求的长度； ②当线段与正方形一边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）连接，由正方形的对称性得，再根据四边形的内角和定理可证明，进而证得，得，便可得； （2）①证明得，求出的长度便可； ②分两种情况：或，分别根据四边形的内角和，三角形的内角和求得结果便可． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ， 【小问2详解】 解：①∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵四边形为正方形， ②当时，如图， 当时，如图， ∵， 综上，或． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理、三角形的内角和定理等知识点，关键是作辅助线和证明全等三角形． 26. 如图，抛物线交x轴负半轴于点A，交y轴负半轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，且． （1）求抛物线解析式； （2）证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上总能存在点E，F，使得点E为的中点； （3）直线交抛物线于点G，H，记为点G到直线l的距离，为点H到直线l的距离，判断是否存在最小值，若存在，求出最小值．若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在最小值，最小值为 【解析】 【分析】（1）先求出点B和点D的坐标，得出，再证明，得出，进而得出点A的坐标，将其代入，求出a的值即可； （2）设，，则，将点E的坐标代入得，根据一元二次方程根的判别式得出方程有两个不相等的实数根，即可求证； （3）取的中点M，过M作y轴的平行线，交直线l于点N，过点M作直线l的垂线，垂足为点P，设，将直线m和抛物线联立得到，根据韦达定理得出，进而得出，，则，易得，则，过点G作于，过点H作于，根据梯形的中位线定理得出，根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴， 把把代入代入得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：(负值舍去)， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 证明：设，， ∵点E为的中点， ∴， 整理得：， 将点E的坐标代入得：， 整理得：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴在抛物线上总能存在点E，F，使得点E为的中点； 【小问3详解】 解：在梯形中，点E和点F为中点，连接并延长，交延长线于点G， ∵点F为中点， ∴， ∵四边形为梯形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E和点F为中点， ∴， 即， 取的中点M，过点M作y轴的平行线，交直线l于点N，过点M作直线l的垂线，垂足为点P， 设， 将直线m和抛物线联立得： ， 则， ∴， ∴点M的横坐标为， 把代入得：， ∴， ∵轴， ∴点N的横坐标为， 把代入得：， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 过点G作于，过点H作于， ∵，，， ∴，四边形为梯形， ∴， 则点P为中点， ∴， 即 ， ∵， ∴存在最小值，最小值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数综合，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，梯形的中位线定理，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年九年级中考第三次模拟考试数学 注意事项： 1、答题前，请按照要求在答题卡上填写好自己的名字和准考证号． 2、答题时，切记答案要填写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3.考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、单选题（每小题只有一个最符合题意的答案，本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 4的平方根是（ ） A. B. 2 C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某初级中学足球队9名队员的年龄情况如下： 年龄（岁） 人数（人） 则该队队员年龄的中位数是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 5. 某防疫封控小区进行全员核酸筛查，计划m个人a天完成任务，照这样计算，若减少n个人时，完成工作所要的天数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形的花坛．已知，，，且四边形的顶点E，F分别是边，的中点，则四边形花坛的周长是（　　） A. B. C. D. 7. 如图菱形的顶点、的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 8. 随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（　　） A. 甲种消费卡为元/次 B. C. 点的坐标为 D. 洋洋爸爸准备元钱用于洋洋在该游泳馆消费，选择甲种消费卡划算 9. 如图，在中，，点是斜边边上一点，以为圆心，为半径作圆，恰好与边相切于点．若，则的半径为（ ） A. B. 9 C. 10 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 分解因式：____________________． 12. 表示数点A沿数轴移动3个单位后到达点B，则点B表示的数为______． 13. 据有关部门的疫情数据统计，1000个感染者中有300个是无症状感染者．则从1000个感染者中任意抽查一名感染者，结果是无症状感染者的概率是________． 14. 如图，是平行四边形边延长线上一点，，则____． 15. 对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定．则计算值为______． 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，均在网格线的交点上，则的值是_______． 17. 如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度变为 _________ m． 18. 以下是龙湾风景区旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加1个，人均收费降低1元，但人均收费不低于元 根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社元．从中可以推算出该公司参加旅游的人数为_______________． 三、解答题（本大题共8小题，共78分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教学调整，某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）求抽取了多少名学生的成绩； （2）求样本中学成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整； （3）该校九年级共有1000人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生数学成绩达到优秀？ 22. 如图，在平行四边形中，连接，E为的中点，延长与的延长线交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的面积． 23. 太原双塔寺又名永祥寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度． 24. 广州某商店准备购进一批洗发水和电池，每件洗发水的进价比每件电池的进价多4元，商店用800元购进洗发水的数量与用640元购进电池的数量相等． （1）求每件洗发水与每件电池的进价分别是多少？ （2）已知洗发水的销售价为每件26元，电池的销售价为每件20元．若该商店准备购进这两种用品共100件，其中购进洗发水件，那么该商店要获得最大利润应如何进货？最大利润为多少元？ 25. 四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接．过点E作，交射线于点F． （1）如图1，若点F在边上，求证：； （2）以为邻边作矩形，连接． ①如图2，若，求的长度； ②当线段与正方形一边的夹角是时，直接写出的度数． 26. 如图，抛物线交x轴负半轴于点A，交y轴负半轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，且． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：对于直线l上任意给定一点P，在抛物线上总能存在点E，F，使得点E为的中点； （3）直线交抛物线于点G，H，记为点G到直线l的距离，为点H到直线l的距离，判断是否存在最小值，若存在，求出最小值．若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $