专题11.3 整式的除法（9大题型+能力训练） 2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）数学七年级上册

本讲义聚焦整式除法的核心知识，系统构建同底数幂的除法法则、单项式除以单项式、整式除以单项式的运算规则，并延伸至混合运算与实际应用，形成由基础到综合的学习支架，前后衔接紧密，逻辑清晰。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、思维与语言三大核心素养。例如通过例题引导学生从具体数值中抽象出幂的运算规律，培养符号意识和推理能力；在“墨水遮挡”类问题中激发探究兴趣，发展创新意识；借助生活情境如长方形面积求宽、卡片拼图等，强化数学建模与表达能力。课中便于教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，实现从理解到迁移的闭环学习。

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题11.3 整式的除法 一、同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 要点：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或整式. 要点：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 二、单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 要点：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式. 三、整式除以单项式法则 整式除以单项式：先把整式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 要点：（1）由法则可知，整式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，整式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 题型一、同底数幂的除法运算 【例1】（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ． 【答案】 【分析】（1）根据同底数幂的除法计算法则求解即可； （2）根据同底数幂的除法计算法则求解即可； （3）根据即可得到； （4）根据即可得到； （5）根据同底数幂的除法计算法则求解即可． 【解析】解：（1）； （2）； （3）∵， ∴； （4）∵， ∴； （5）． 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【例2】计算： ． 【答案】． 【分析】根据同底数幂的乘法法则及除法法则计算即可解答． 【解析】． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则及除法法则，熟练运用法则是解决问题的关键． 【例3】若，则 ． 【答案】2 【分析】利用幂的乘方以及同底数幂的除法即可求解． 【解析】解： ， ， ， ． 故答案为：2． 【例4】计算：． 【答案】 【分析】先根据有理数乘方运算法则将原式化简，再根据同底数幂的除法法则计算即可． 【解析】解： ． 【点睛】本题考查整式的除法运算，掌握相应的运算法则是解题的关键． 【例5】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法和除法，解答本题的关键是掌握幂的乘方运算法则． （1）原式利用积的乘方以及同底数幂的除法法则进行计算，即可得到结果； （2）原式利用积的乘方以及同底数幂的乘法和除法法则进行计算，即可得到结果． 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 【例6】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂的乘除法进行计算即可； （2）根据幂的乘方和同底数幂的乘除法进行计算即可． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 题型二、同底数幂除法的逆用 【例7】若，，则的值是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算求出，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出即可得到答案． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【例8】已知，求的值. 【答案】m=2 【分析】将变形为以2为底的幂进行比较列出方程计算即可； 【解析】解：∵ 又∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了幂的运算，灵活进行幂之间的转化是解题的关键. 【例9】已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆运用同底数幂的除法的性质解答即可； （2）逆运用幂的乘方与同底数幂的除法进行计算即可得解． 【解析】（1）解：，， ； （2），， ． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键． 【例10】已知，，，求的值． 【答案】 【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法和除法进行计算即可． 【解析】解：∵，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 【例11】已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出字母、、之间的数量关系为______． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘、除法逆运算进行解答即可； （3）根据 ，结合幂的乘方，同底数相乘法则即可得出结论． 【解析】（1）解：∵=3， ∴； （2）解：∵=3，=8，=72， ∴； （3）解：∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了同底数的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法等知识，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 题型三、计算单项式除以单项式 【例12】__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂除法法则计算即可． 【详解】． 故答案为：． 【例13】计算： ． 【答案】 【详解】原式 故答案为： 【例14】的运算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则解题即可得到答案． 【详解】解：， 故选D． 【例15】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查整式的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键．整式的除法运算法则：单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式；多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加． （1）根据单项式除以单项式的计算方法计算即可； （2）根据单项式除以单项式的计算方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例16】计算： (1)； (2)；(3). 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用单项式除以单项式法则进行计算即可； （2）利用单项式除以单项式法则进行计算即可； （3）先计算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】（1） （2） （3） 题型四、整式除以单项式 【例17】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的计算，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解； ， 故答案为：． 【例18】与单项式的积是的多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的除法，掌握除法法则是解题的关键．根据题意求即可得出答案． 【详解】依题意：． 故答案为： 【例19】计算： ． 【答案】/ 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【例20】 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式，解题的关键是掌握多项式除以单项式的运算法则． 根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例21】已知长方形面积为，它的一边长为x，则这个长方形另外一边长为 ． 【答案】/ 【详解】解：一个长方形的面积为，一边长为x， 它的另一边长为：， 故答案为：． 【例22】有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为，则宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式除法的应用．用长方形的面积除以长可得． 【详解】解：宽为： ． 故选：C． 【例23】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了多项式与单项式的除法，多项式除以单项式用多形式的每一项分别与单项式相除即可． （1）用多形式的每一项分别与单项式相除即可 （2）用多形式的每一项分别与单项式相除即可 【详解】（1）原式 ； （2）原式= ． 【例24】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查整式的混合运算： （1）根据多项式除以单项式的法则以及整式加减的运算法则进行计算即可； （2）根据多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【例25】（1）计算： （2）计算：． （3）计算：． （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式． （4）原式． 【例26】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【详解】解： ． 当，时，原式． 题型五、整式的混合运算与求值 【例27】化简：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式计算括号内的，再计算除法可得结果． 【解析】解：原式 ． 【例28】先化简，再求值：，其中a、b满足 【答案】， 【分析】根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案． 【解析】解：原式 ， ∵， ∴，， ∴，， 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 【例29】先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解： ， 当时，原式． 【例30】先化简，再求值：，其中a、b满足 【答案】，62 【详解】解：原式 ． ， ，即， ， 解得， 则原式． 【例31】先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中m满足． 【答案】(1)，0 (2)，10 【详解】（1）解：， ， 当时，原式． （2）解： ， ∵， ∴， ∴原式． 题型六：求整式除法运算中的未知项 【例32】整式A与单项式的积为，则整式A为 ． 【答案】 【分析】直接利用整式除以单项式运算法则计算得出答案． 【解析】解：∵整式A与单项式的积为， ∴整式A为： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【例33】一个整式除以，商为，这个整式为 ． 【答案】 【分析】把商乘以可以得这个整式． 【解析】解∶由题意，得这个整式为∶ 故应填∶． 【例34】已知整式除以一个整式，得商式为，余式为，求这个整式是 ． 【答案】 【分析】根据整式的加减运算及乘除运算法则即可求出答案． 【解析】由题意可知： 故答案为： 【点睛】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算以及加减运算． 【例35】小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，被墨汁遮住的一项是 ， 故选：A． 【例36】已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，细心的小明同学计算正确，那么小明计算出的值为______． 【答案】 【分析】根据题意得出，即可求出多项式，进而求出． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【例37】小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是及中间的“”，污染后习题形式如下：    ，小明翻看了书后的答案是“”，你能够复原这个算式吗?请你试一试． 【答案】复原后的算式为 【分析】先根据被除式的首项和商式的首项可求得除式，然后根据除式乘商式等于被除式求解即可． 【详解】解：对应的结果为：， 除式为：， 根据题意得：， 复原后的算式为． 题型八、整式除法的应用 【例38】已知的面积为，一边长为，则这条边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式除以单项式的应用，直接利用面积的2倍除以这条边的边长列式计算即可． 【解析】解：由题意得这条边上的高为 ； 故答案为：． 【例39】如图，小明制作了一些类、类、类卡片，其中两类卡片都是正方形，类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备类卡片 张． 【答案】25 【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式乘以乘以多项式，单项式除以单项式，正确理解题意是解题的关键．先计算大长方形的面积为，而卡片的面积为，即可确定需要25张卡片． 【详解】解：， 而卡片的面积为， ∴， ∴小明需要准备类卡片25张， 故答案为：25． 【例40】如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地．    (1)用含有，的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） (2)若，，求出绿化部分的总面积． 【答案】(1)绿化部分的总面积为平方米 (2)绿化部分的总面积为13200平方米 【详解】（1）解：绿化部分的总面积 平方米． 答：绿化部分的总面积为平方米． （2）当，时， 原式（平方米）． 答：绿化部分的总面积为13200平方米． 【例41】小颖家住房的结构如图所示（单位：米）， (1)由图可知卧室的面积为 平方米． (2)小颖打算把卧室以外的部分铺上地砖，请你帮她算一算至少需要多少平方米的地砖？若某种地砖价格为元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ 【答案】(1) (2)平方米，元 【详解】（1）解：根据图示，卧室的长为米，宽为（米）， ∴卧室的面积为：（平方米）， 故答案为：； （2）解：客厅的面积为：（平方米）， 厨房的长为（米），宽为米，则面积为（平方米）， 卫生间的长为米，宽为（米），则面积为（平方米）， ∴（平方米）， ∴卧室以外的部分的面积为平方米， ∵某种地砖价格为元/平方米， ∴（元）， ∴购买所需地砖至少需要元． 【例42】如图（1）中的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图中的杯子中，那么请用整式运算的知识列式表示一共需要多少个这样的杯子结果要化简；并计算出当，时所需杯子的数目．    【答案】，个 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，利用圆柱体的容积等于底面积乘以高，以及杯子的数量等于瓶子的容积除以杯子的容积，列出代数式，再将，代入，求值即可．掌握的列出代数式是解题的关键． 【详解】解：由题意，得 ． 当，时， 原式 个． 题型九：综合提升 【例43】已知，． (1)化简M，N． (2)当，时，比较M和N的大小． (3)小康认为的值与a的取值无关，你认为小康的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)小康认为是正确的，理由见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及完全平方公式，平方差公式，代数式求值，整式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）利用整式的混合运算法则分别化简即可； （2）将，代入；即可比较大小； （3）利用整式的加减运算法则化简，即可说理． 【详解】（1）解： ； ． （2）解：当，时，， ， ∵， ∴； （3）解：小康认为是正确的，理由如下： ∵；， ∴， ∵结果中不含， ∴小康认为的值与a的取值无关是正确的． 【例44】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 一、选择题 1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式除以单项式法则：系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除，进行计算即可 本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握单项式除以单项式法则：系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除． 【详解】解： 故选：A 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． 【详解】 解： ； 故选：D． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，则“★”所表示的单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式除以单项式，掌握此运算法则是关键；由乘除法的关系得，利用单项式除以单项式的法则进行即可． 【详解】解：由题意得：； 故选：C． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个长方形的面积为，它的长为，则它的宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：一个长方形的面积为，长为， 长方形的宽为：． 故选：D． 5．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用单项式除以单项式得运算法则． 【解析】解：A、，运算正确，不符合题意； B、，运算正确，不符合题意； C、，运算错误，符合题意； D、，运算正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式，解题的关键是掌握同底数幂的除法，底不变，指数相减． 6．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算的结果是（        ）． A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【解析】解： ， ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，整式混合运算法则以及完全平方公式是解答本题的关键． 2、 填空题 7．（24-25七年级上·上海静安·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，除法以及幂的乘方等知识点，解题的关键是准确掌握并运用幂的运算法则． 先根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算整个式子． 【详解】 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：a． 9．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）已知，，求的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方知识的逆运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．逆运用同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方知识进行求解． 【详解】解：，， ， 故答案为： 10．（24-25七年级上·上海嘉定·期中） ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则计算即可得到答案． 【详解】解：原式， 故答案为： ． 11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的计算，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·四川乐山·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据完全平方公式展开，再合并同类项，然后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·上海青浦·期中）若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用可求出，进一步可得：，，，进一步可求出，，，相加即可求出． 【详解】解：由题意可知： ， ∴， ∴，，， 解之得：，，， ∴． 故答案为： 15．（23-24七年级上·上海杨浦期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的除法、积的乘方和代数式求值等知识，熟练掌握单项式的除法法则是解题的关键． 根据积的乘方运算法则和单项式的除法法则求出m，n的值，即可求出的值． 【详解】解：左边 ， ， ， ，， 解得，， ∴． 故答案为：． 16.（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查幂的混合运算，涉及幂的乘方的逆用和同底数幂的除法的逆用，运用相关公式的计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·河南焦作·期末）一个长方形的面积为，若这个长方形的宽为，则长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是多项式除以单项式的应用，本题利用长方形的面积除以宽即可得到长方形的长． 【详解】解：长方形的长为：； 故答案为： 18．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，小明制作了一些类、类、类卡片，其中两类卡片都是正方形，类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备类卡片 张． 【答案】25 【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式乘以乘以多项式，单项式除以单项式，正确理解题意是解题的关键．先计算大长方形的面积为，而卡片的面积为，即可确定需要25张卡片． 【详解】解：， 而卡片的面积为， ∴， ∴小明需要准备类卡片25张， 故答案为：25． 三、解答题 19．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式的乘除，先计算积的乘方，再计算单项式的乘除即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20．（23-24七年级上·上海宝山·期末）计算： 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式法则和合并同类项法则计算即可． 【详解】解： = =． 【点睛】此题考查的是整式的混合运算，掌握多项式除以单项式法则和合并同类项法则是解题关键． 21．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，以单项式除以单项式的算法按系数、同底数幂、被除式中单独有的字母三个步骤进行的：①系数相除——有理数的除法；②相同字母相除——同底数幂的除法；③只在一个被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式，计算即可． 【详解】解：． 22．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘除混合运算，先算出积的乘方，再运算单项式除以单项式，以及多项式乘单项式，最后合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 23．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】2 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，先算乘方，再算乘法，最后算除法即可． 【详解】解： ． 24．（23-24七年级上·上海金山期中）先化简再求值：求代数式的值，其中． 【答案】； 【详解】解： ， 当时，原式． 25．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，非负性，熟练掌握相关运算法则，正确的化简，是解题的关键：先利用整式的混合运算法则进行化简，再根据非负性求出的值，然后代值计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题11.3 整式的除法 一、同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 要点：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或整式. 要点：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 二、单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 要点：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式. 三、整式除以单项式法则 整式除以单项式：先把整式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 要点：（1）由法则可知，整式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，整式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 题型一、同底数幂的除法运算 【例1】（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ． 【例2】计算： ． 【例3】若，则 ． 【例4】计算：． 【例5】计算： (1)； (2)． 【例6】计算： (1)； (2)． 题型二、同底数幂除法的逆用 【例7】若，，则的值是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【例8】已知，求的值. 【例9】已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【例10】已知，，，求的值． 【例11】已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出字母、、之间的数量关系为______． 题型三、计算单项式除以单项式 【例12】__________． 【例13】计算： ． 【例14】的运算结果是（    ） A． B． C． D． 【例15】计算： (1)； (2)． 【例16】计算： (1)； (2)；(3). 题型四、整式除以单项式 【例17】计算： ． 【例18】与单项式的积是的多项式是 ． 【例19】计算： ． 【例20】 ． 【例21】已知长方形面积为，它的一边长为x，则这个长方形另外一边长为 ． 【例22】有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为，则宽为（   ） A． B． C． D． 【例23】计算： (1)； (2)． 【例24】计算： (1)； (2)． 【例25】（1）计算： （2）计算：． （3）计算：． （4）计算：． 【例26】先化简，再求值：，其中，． 题型五、整式的混合运算与求值 【例27】化简：． 【例28】先化简，再求值：，其中a、b满足 【例29】先化简，再求值：，其中． 【例30】先化简，再求值：，其中a、b满足 【例31】先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中m满足． 题型六：求整式除法运算中的未知项 【例32】整式A与单项式的积为，则整式A为 ． 【例33】一个整式除以，商为，这个整式为 ． 【例34】已知整式除以一个整式，得商式为，余式为，求这个整式是 ． 【例35】小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（    ） A． B． C． D． 【例36】已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，细心的小明同学计算正确，那么小明计算出的值为______． 【例37】小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是及中间的“”，污染后习题形式如下：    ，小明翻看了书后的答案是“”，你能够复原这个算式吗?请你试一试． 题型七、整式除法的应用 【例38】已知的面积为，一边长为，则这条边上的高为 ． 【例39】如图，小明制作了一些类、类、类卡片，其中两类卡片都是正方形，类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备类卡片 张． 【例40】如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地．    (1)用含有，的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） (2)若，，求出绿化部分的总面积． 【例41】小颖家住房的结构如图所示（单位：米）， (1)由图可知卧室的面积为 平方米． (2)小颖打算把卧室以外的部分铺上地砖，请你帮她算一算至少需要多少平方米的地砖？若某种地砖价格为元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ 【例42】如图（1）中的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图中的杯子中，那么请用整式运算的知识列式表示一共需要多少个这样的杯子结果要化简；并计算出当，时所需杯子的数目．    题型八：综合提升 【例43】已知，． (1)化简M，N． (2)当，时，比较M和N的大小． (3)小康认为的值与a的取值无关，你认为小康的说法正确吗？请说明理由． 【例44】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 一、选择题 1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，则“★”所表示的单项式是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个长方形的面积为，它的长为，则它的宽为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算的结果是（        ）． A． B． C．1 D． 2、 填空题 7．（24-25七年级上·上海静安·期末）计算： ． 8．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 9．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）已知，，求的值为 ． 10．（24-25七年级上·上海嘉定·期中） ． 11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 12．（24-25八年级上·四川乐山·期末）计算： ． 13．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）化简 ． 14．（24-25七年级上·上海青浦·期中）若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则_____． 15．（23-24七年级上·上海杨浦期中）已知，则的值为 ． 16.（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，，那么的值为 ． 17．（24-25八年级上·河南焦作·期末）一个长方形的面积为，若这个长方形的宽为，则长为 ． 18．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，小明制作了一些类、类、类卡片，其中两类卡片都是正方形，类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备类卡片 张． 三、解答题 19．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）计算：． 20．（23-24七年级上·上海宝山·期末）计算： 21．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）计算：． 22．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 23．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 24．（23-24七年级上·上海金山期中）先化简再求值：求代数式的值，其中． 25．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）先化简，再求值：，其中，满足． 1 学科网（北京）股份有限公司 $