专题11.2 乘法公式（9大题型+能力训练） 2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）数学七年级上册

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题11.2 乘法公式 知识点01：平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点02：平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 知识点03：完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点04：完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 题型01：运用平方差公式进行运算 【例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】下列各式中，不能用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 【例3】下列算式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【例4】下列选项中不能运用平方差公式的有（　　） A． B． C． D． 【例5】利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例6】运用平方差公式计算： (1)； (2) 【例7】计算： （1）；                （2）． 【例8】先化简，再求值：，其中． 题型02：利用平方差公式求代数式的值 【例9】已知，那么 ． 【例10】若，则（　　） A．3 B．6 C． D． ． 【例11】若，则的值为 ． 【例12】计算：（结果保留幂的形式）． 【例13】观察规律： ， 若（为正整数），则的值为（    ） A．2012 B．2013 C．2024 D．2025 题型03：平方差公式与几何图形 【例14】数学活动课上，小华将正方形纸片中间剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开（如图①），拼成新的图形（如图②），通过计算两个图形阴影部分的面积可以验证一个乘法公式，这个乘法公式为（   ） A． B． C． D． 【例15】从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述过程能验证的等式是_________； (2)若，求的值； (3)． 【例16】综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 【例17】乘法公式的探究及应用： (1)如图1所示，可以求出阴影部分的面积是_____________（写成两数平方差的形式）． (2)若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是______________（写成多项式乘法的形式）． (3)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_____________． (4)应用所得的公式计算： 题型04：运用完全平方公式进行运算 【例18】的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【例19】的运算结果是（    ） A． B． C． D． 【例20】计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【例21】计算： (1)；(2)；(3) 【例22】计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【例23】（24-25七年级上·上海静安·期末）计算：． 【例24】（24-25七年级上·上海·期中）利用乘法公式计算： 题型05：利用乘法公式进行简便运算 【例25】运用乘法公式计算：． 【例26】利用乘法公式计算． 【例27】计算： 【例28】用简便方法计算： (1)； (2)． 题型06：求完全平方式中的字母系数 【例29】如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 【例30】已知整式是一个完全平方式，则符合M的整式有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例31】若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（   ） A．21 B．19 C．21或 D．或19 【例32】已知：化简的结果中不含项和项． (1)求的值； (2)式子是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，说明理由． 题型07：通过对完全平方公式变形求值 【例33】若，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【例34】已知，，求与的值． 【例35】已知，，求的值． 【例36】已知，求的值． 【例37】已知，，，那么的值等于（   ） A．6 B．3 C．2 D．0 【例38】已知m满足． (1)求的值． (2)求的值． 【例39】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）若满足，求的值． 题型08：完全平方公式在几何图形中的应用 【例40】某学习小组学习《整式的乘除》这一章后，共同研究课题，用4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b拼成不同的图形．在研究过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大正方形．如图，利用面积不同表示方法验证了下面一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【例41】如图，边长为的正方形，将它的边长增加，根据图形可以说明公式：（   ） A． B． C． D． 【例42】观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（    ） A． B． C． D． 【例43】数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图②的大正方形． (1)仔细观察图①、图②，请你写出代数式，，之间的等量关系是________． (2)根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值； ③已知，求的值． 【例44】如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于________； (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法①________，方法②________； (3)观察图②，你能写出，，这三个代数式之间的等量关系吗？ (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 【例45】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．数学 活动课上，老师展示了如图1的长方形纸片，它是一个长为， 宽为的长方形，沿图 中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1： ；方法2： ； (2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是 ； (3)结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： 已知，，求 的值； 已知，求的值． 题型09：整式的混合运算 【例46】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【例47】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例48】（23-24七年级上·上海静安·期中）已知，求的值 【例49】（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：已知，求代数式的值． 一、选择题 1.（2023秋·上海黄浦·七年级统考期中）下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024秋闵行·七年级期中）计算：（    ） A． B． C． D． 3.（2024秋·上海浦东新·七年级校考期中）下列等式中，能成立的是（　　） A． B． C． D． 4.（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）多顶式是一个完全平方式，则的值为（　　） A．11 B． C． D．11或 5．（2024秋·上海松江七年级校考期中）已知，则的值是：（   ） A． B． C． D． 6．（2024秋西南模范中学七年级校考期中）不论x，y为何有理数，x2+y2﹣10x+8y+45的值均为（　　） A．正数 B．零 C．负数 D．非负数 2、 填空题 7．（24-25七年级上·上海普陀·期末）计算： ． 8．（24-25七年级上·上海·期中）简便运算： ． 9．（2023春·江苏连云港·七年级统考期中）计算： ． 10.（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）计算： ． 11.（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）已知，，那么 ． 12.（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算： ． 13.（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）计算： ． 14．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）已知、均为实数，且，，则 ． 15．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果关于的整式是完全平方式，那么 ． 16.（2023春·安徽宿州·七年级统考期末）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出之间的等量关系 ．    17．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，则阴影部分的面积是 ． 18．已知，则 ． 19．已知．则多项式的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，则＋＝ ；当＋＝40时，则图3中阴影部分的面积 ． 三、解答题 21．运用乘法公式计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 22．（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算：． 23．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： 24．（23-24七年级上·上海崇明·期末）计算：． 25．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算：． 26．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值． 27．（1）若，求的值； （2）若，，求的值． 28.（24-25九年级上·山东德州·期末）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 30.（24-25八年级上·吉林长春·期末）完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若x满足，求的值． 解：设，则，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若x满足，求的值； (3)如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子（即长方形）．以为边分别向外作正方形、正方形，并在物，其种植面积和为，则长方形院子的面积为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题11.2 乘法公式 知识点01：平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点02：平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 知识点03：完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点04：完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 题型01：运用平方差公式进行运算 【例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【例2】下列各式中，不能用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A. =y2-x2，∴不符合题意； B. ，∴不符合题意； C. ∴不符合题意； D. ，不能用平方差公式进行计算，∴符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 【例3】下列算式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 【详解】解：A、不符合平方差公式的形式，故不符合题意； B、原式，不符合平方差公式的形式，故不符合题意； C、原式，符合平方差公式的形式，故符合题意； D、原式，不符合平方差公式的形式，故不符合题意． 故选：C． 【例4】下列选项中不能运用平方差公式的有（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果． 【解析】解：A．∵ ， ∴选项A能运用平方差公式，不合题意； B．，不能运用平方差公式，符合题意； C．∵ ， ∴选项C能运用平方差公式，不合题意； D．∵ ， ∴选项D能运用平方差公式，不合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 【例5】利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）利用平方差公式进行计算即可得解； （2）利用平方差公式进行计算即可得解； （3）二次利用平方差公式进行计算即可得解； （4）先把第一项和第三项利用平方差公式计算，然后再次利用平方差公式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【例6】运用平方差公式计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是平方差公式的灵活应用，熟记平方差公式是解本题的关键； （1）逐步利用平方差公式计算即可； （2）逐步利用平方差公式计算即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 【例7】计算： （1）；                （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了乘法公式和整式的运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【例8】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【解析】解： ． 当时，原式． 题型02：利用平方差公式求代数式的值 【例9】已知，那么 ． 【答案】17 【分析】对已知等式变形，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握是解题的关键． 【例10】若，则（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式即可求解． 【解析】解：∵， ∴，则， 解得：或（舍）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根据平方差公式求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式：． 【例11】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据平方差公式进行分解，再计算能约分的直接约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方差公式的应用，有理数的混合运算，解题关键是巧用平方差公式达到简化计算的目的． 【例12】计算：（结果保留幂的形式）． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，先添加因式，然后连续多次运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式 【例13】观察规律： ， 若（为正整数），则的值为（    ） A．2012 B．2013 C．2024 D．2025 【答案】C 【思路引导】本题考查了利用平方差公式的规律类运算，理解规律和掌握平方差公式是解题关键. 根据题目中式子的特点，利用平方差公式分解因式，然后约分即可求得答案. 【规范解答】解：∵ 解得： 故选：C． 题型03：平方差公式与几何图形 【例14】数学活动课上，小华将正方形纸片中间剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开（如图①），拼成新的图形（如图②），通过计算两个图形阴影部分的面积可以验证一个乘法公式，这个乘法公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用代数式表示拼接前、后的面积可得答案． 【详解】解：阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 故选：A． 【例15】从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述过程能验证的等式是_________； (2)若，求的值； (3)． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积． （1）根据图形面积相等即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：上述过程能验证的等式是， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ∴； （3）解： ． 【例16】综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，平方差公式的灵活运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）分别用代数式表示图形中阴影部分的面积即可； （2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可； （3）把原式化为，再依次利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：图形中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，也可以拼成底为，高为的平行四边形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）原式 ． （3）原式 ． 【例17】乘法公式的探究及应用： (1)如图1所示，可以求出阴影部分的面积是_____________（写成两数平方差的形式）． (2)若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是______________（写成多项式乘法的形式）． (3)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_____________． (4)应用所得的公式计算： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】此题考查了本题考查了平方差公式的几何推导和应用. （1）根据题意得出阴影部分面积后整理可得； （2）根据矩形的面积公式计算即可； （3）根据阴影部分面积相同列等式即可； （4）根据平方差的公式进行分析计算即可． 【规范解答】（1）阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积； 故答案为； （2）长方形的宽为，长为，面积=长×宽， 故答案为； （3）由（1）、（2）得到， 故答案为； （4）由（3）得到， ∴ = = =. 题型04：运用完全平方公式进行运算 【例18】的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式展开求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【例19】的运算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式．变形后根据完全平方公式计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【例20】计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可； （3）运用完全平方公式进行计算即可； （4）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【例21】计算： (1)；(2)；(3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式展开计算即可； （2）利用完全平方公式展开计算即可； （3）利用完全平方公式展开计算即可． 【解析】（1） . （2） （3） 【例22】计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可； （4）先提出负号，再完全平方公式计算即可； 【解析】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握这一公式的特征是解题的关键． 【例23】（24-25七年级上·上海静安·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算完全平方公式和多项式乘以多项式，然后合并即可． 【详解】 ． 【例24】（24-25七年级上·上海·期中）利用乘法公式计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了乘法公式，先把原式变形为，再利用乘法公式求解即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 题型05：利用乘法公式进行简便运算 【例25】运用乘法公式计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．根据平方差公式求出，然后进行计算即可． 【详解】解： ． 【例26】利用乘法公式计算． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行简便计算．根据算式中数字的特点把写成的形式，然后运用平方差公式展开，得到：原式，去括号合并同类项可得结果． 【详解】解： ． 【例27】计算： 【答案】1 【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差公式变形，则原式等于，进行解答即可． 【详解】解： ． 【例28】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)90000 (2)10000 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟记公式的形式是解题关键． （1）将原式写成，利用完全平方公式即可求解； （2）将原式写成，利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型06：求完全平方式中的字母系数 【例29】如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征即可得出答案． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：A． 【例30】已知整式是一个完全平方式，则符合M的整式有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式．根据完全平方公式得到或，然后把等式右边展开，从而得到M的值． 【详解】解：∵整式是一个完全平方式， ∴或， 即或， ∴或． 则符合M的整式有3个， 故选：C． 【例31】若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（   ） A．21 B．19 C．21或 D．或19 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，先得出完全平方式为，再将其展开，则有，计算出k的值即可． 【详解】解：∵多项式是关于、的完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：C． 【例32】已知：化简的结果中不含项和项． (1)求的值； (2)式子是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，说明理由． 【答案】(1)， (2)式子不是完全平方式，理由见解析 【思路引导】（）根据多项式乘以多项式的运算法则化简式子，再根据结果中不含项和项，得出项和项的系数为，解方程即可求解； （）把（）所得结果代入式子即可说明； 本题考查了多项式乘以多项式不含某项的问题，完全平方式，正确计算是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式 ， ∵化简的结果中不含项和项， ∴，， 解得，； （2）解：式子不是完全平方式，理由如下： 由（）得，，， ∴， ∴式子不是完全平方式． 题型07：通过对完全平方公式变形求值 【例33】若，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式可知，，据此可得的值，进而得出则的值． 【详解】， 即， 解得， ， 故选：B． 【例34】已知，，求与的值． 【答案】25，57 【分析】本题考查了整式乘法的完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．根据完全平方公式的变形整体求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【例35】已知，，求的值． 【答案】 【分析】可求．从而可求，可得，即可求解． 【解析】解：， ， 即． 又， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变式计算，掌握完全平方公式是解题的关键． 【例36】已知，求的值． 【答案】 【分析】先依据等式的基本性质将已知等式转化为含有的形式，再利用完全平方公式的变形把待求值式子转化为含有的形式，然后整体代入求值即可得答案． 【解析】解：∵， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查等式的性质及完全平方公式，熟练利用完全平方公式正确变形是解题关键． 【例37】已知，，，那么的值等于（   ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据，，，分别求出、、的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成． 【解析】解：∵，，， ∴， ， ， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求出、、的值，然后利用完全平方公式将变形成是解题关键． 【例38】已知m满足． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式利用完全平方公式化简，计算即可确定出原式的值； （2）原式利用完全平方公式变形，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：设，， 可得，， ， ，即， 则； （2）解：设，，可得， ， ， 则． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键． 【例39】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）若满足，求的值． 【答案】8 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用以及非负数的性质，先配方得到，进而得出，，再求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵． 题型08：完全平方公式在几何图形中的应用 【例40】某学习小组学习《整式的乘除》这一章后，共同研究课题，用4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b拼成不同的图形．在研究过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大正方形．如图，利用面积不同表示方法验证了下面一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积小正方形的面积个矩形的面积，据此求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积小正方形的面积个矩形的面积， ∴． 故选：B． 【例41】如图，边长为的正方形，将它的边长增加，根据图形可以说明公式：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 本题依据大正方形的面积的不同表示方法，即可得到等式，进而得到本题答案． 【详解】解：由题可得，大正方形由2个小正方形和2个长方形组成，即大正方形的面积；大正方形边长为，大正方形的面积； ∴， 故选：B． 【例42】观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式乘法与几何的应用，理解题意，能用代数式表示图中阴影部分的面积是解答的关键． 【详解】解：左图中阴影部分的面积为， 右图中阴影部分的面积为， ∴相应的代数恒等式为， 故选：C． 【例43】数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图②的大正方形． (1)仔细观察图①、图②，请你写出代数式，，之间的等量关系是________． (2)根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值； ③已知，求的值． 【答案】(1) (2)①3；②；③ 【思路引导】本题主要考查完全平方公式，数形结合及灵活应用是解题的关键． （1）分别用表示出图①和图②，从而即可得出等式； （2）①通过（1）中的结论变形即可求解； ②设，，则，，利用（1）中结论求解即可； ③设，通过等量代换及（1）中的结论即可求解． 【规范解答】（1）解：图②大正方形得面积为，它由图①中种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成的， ∴图②大正方形的面积为， ∴； （2）解：①， ． ． ， ； ②设，，则，， ∵， ∴， 解得， 故； ③设，则，． ， ， ， ， ， 即， ． 【例44】如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于________； (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法①________，方法②________； (3)观察图②，你能写出，，这三个代数式之间的等量关系吗？ (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4)4 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，读懂题意，找到所求的量的等量关系是解题关键． （1）由题意可知，剪裁后的小长方形的长为，宽为，即可得到答案； （2）用两种不同方法表示出阴影面积即可； （3）结合（2）所得式子，即可得到答案； （4）根据（3）中的等量关系计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，剪裁后的小长方形的长为，宽为， 则图②中的阴影部分的正方形的边长等于， 故答案为： （2）解：方法①阴影的面积为边长的正方形面积，即； 方法②阴影的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积，则， 故答案为：；； （3）解：根据图②里图形的面积关系，可得； （4）解：由（3）中的等量关系可知， ． 【例45】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．数学 活动课上，老师展示了如图1的长方形纸片，它是一个长为， 宽为的长方形，沿图 中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1： ；方法2： ； (2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是 ； (3)结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： 已知，，求 的值； 已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①24；② 【思路引导】（1）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积即可； （2）由（1）两种方法所表示的面积相等可得答案； （3）①由（2）的结论代入计算即可；②设，，得，，利用完全平方公式变形得，代值计算即可得答案． 【规范解答】（1）解：方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去4个长，宽为的长方形面积，即； 故答案为：，； （2）由（1）得，， 故答案为：； （3）①，， ； ②设，， ， ， ， ， ， ， ． 题型09：整式的混合运算 【例46】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）先用平方差公式分解因式，合并后用多项式乘多项式计算； （2）先用积的乘方的逆运算，再用平方差公式计算，最后用完全平方公式计算； （3）两次用平方差公式计算，最后用完全平方公式计算； （4）用平方差公式、完全平方公式计算，最后合并同类项； （5）先用平方差公式分解因式，合并后用单项式乘以单项式计算； （6）先用积的乘方的逆运算，再用平方差公式计算，最后用完全平方公式计算； 【解析】（1） . （2） （3） （4） . （5） . （6） 【点睛】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式，掌握这两种公式的熟练应用，在因式分解和计算中的相互变换应用是解题关键 【例47】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先利用完全平方公式计算，去括号，再合并同类项； （2）先利用完全平方公式、平方差公式计算，去括号，再合并同类项； （3）先利用完全平方公式、平方差公式计算，去括号，再合并同类项； （4）先利用完全平方公式、平方差公式计算，去括号，再合并同类项． 【解析】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查整式的加减和乘法运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 【例48】（23-24七年级上·上海静安·期中）已知，求的值 【答案】 【分析】原式利用平方差公式、完全平方公式化简，去括号合并后得到最简结果，然后将整体代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，将化简结果适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键． 【例49】（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，原式利用完全平方公式，平方差公式以及多项式乘以多项式法则计算得到最简结果，再把已知等式代入计算即可求出值．掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 一、选择题 1.（2023秋·上海黄浦·七年级统考期中）下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式的特点要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，只有具备以上特点才能进行运算，即可求解． 【详解】解：A．，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B．，能用平方差公式计算，故本选项符合题意； C．，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D．不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解此题的关键． 2．（2024秋闵行·七年级期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将式子乘以，值不变，然后运用平方差公式计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 3.（2024秋·上海浦东新·七年级校考期中）下列等式中，能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可作出判断． 【详解】解：A、 ，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项正确； D、，故选项错误． 故选：C 【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟记公式是解题的关键． 4.（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）多顶式是一个完全平方式，则的值为（　　） A．11 B． C． D．11或 【答案】D 【思路引导】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 根据完全平方式的结构特征，确定中间项的系数，进而求出k的值． 【规范解答】解：∵为完全平方式， ∴ ∴ ∴或， 故选：D． 5．（2024秋·上海松江七年级校考期中）已知，则的值是：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据完全平方公式即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选． 6．（2024秋西南模范中学七年级校考期中）不论x，y为何有理数，x2+y2﹣10x+8y+45的值均为（　　） A．正数 B．零 C．负数 D．非负数 【答案】A 【解析】因为x2+y2－10x+8y+45=, 所以x2+y2－10x+8y+45的值为正数, 故选A. 2、 填空题 7．（24-25七年级上·上海普陀·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海·期中）简便运算： ． 【答案】39996 【分析】本题考查了平方差公式，牢记平方差公式的结构特点是解题的关键．利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（2023春·江苏连云港·七年级统考期中）计算： ． 【答案】 【分析】先变形为，再用平方差公式计算，最后计算减法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握用平方差公式进行简便计算是解题的关键． 10.（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）计算： ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了乘法公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 11.（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）已知，，那么 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 12.（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算： ． 【答案】/ 【思路引导】本题可先根据平方差公式计算，再根据单项式乘多项式法则计算，最后合并同类项得到结果． 本题主要考查了平方差公式和单项式乘多项式法则，熟练掌握平方差公式以及单项式乘多项式法则是解题的关键． 【规范解答】解： 故填： 13.（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）计算： ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键． 14．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）已知、均为实数，且，，则 ． 【答案】11 【思路引导】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，代入计算即可得． 【规范解答】解：∵，， ∴ ， 故答案为：11． 15．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果关于的整式是完全平方式，那么 ． 【答案】2或． 【分析】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．根据完全平方式等于两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，可得答案． 【详解】解：∵ ∴ 解得或． 故答案为：2或． 16.（2023春·安徽宿州·七年级统考期末）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出之间的等量关系 ．    【答案】 【分析】分别求出图2中大正方形，阴影及小长方形的面积，即可得到等式． 【详解】解：图2中大正方形的面积为，阴影图形的面积为，四个小长方形的面积为， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式与几何图形，正确理解图形的构成及计算每部分的面积是解题的关键． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练运用利用整体思想是解题的关键． 17．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，则阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为6，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为3． 故答案为：． 18．已知，则 ． 【答案】0 【分析】将变形得到，从而利用完全平方式的非负性求得x,y的值，代入求值即可 【解析】解： ∴ ∴原式= 故答案为：0 【点睛】本题考查利用完全平方公式求值，掌握公式结果正确计算是本题的解题关键. 19．已知．则多项式的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解即可，关键在于灵活思维，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键． 【解析】由题意可知，，， ， 故选：D． 20．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，则＋＝ ；当＋＝40时，则图3中阴影部分的面积 ． 【答案】 34 20 【分析】①分别用代数式表示出和，利用完全平方公式的变形化简，即可求得； ②利用两个正方形的面积减去2个三角形的面积即得,运用①中的结论，即可求得． 【解析】①， ＋＝ ＋＝ ② ＋＝=40 ， 故答案为：34；20． 【点睛】本题考查了完全平方公式，几何图形的面积，整式的乘法，熟悉完全平方公式是解题的关键． 三、解答题 21．运用乘法公式计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）根据平方差公式，可得答案； （2）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案； （3）根据完全平方公式，可得答案； （4）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案． 【解析】解：（1）原式＝[（3x−5）＋（2x＋7）][（3x−5）−（2x＋7）] ＝（3x−5＋2x＋7）（3x−5−2x−7） ＝（5x＋2）（x−12） ＝； （2）原式＝[（x＋y）＋1][（x＋y）−1] ＝−1 ＝； （3）原式＝ ＝−6（2x−y）＋9 ＝； （4）原式＝ ＝． 【点睛】本题考查了完全平方公式，利用了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解题关键． 22．（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，先利用平方差公式与完全平方公式计算整式的乘法运算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 23．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是乘法公式的应用，整式的混合运算，先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可． 【详解】解： ； 24．（23-24七年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和单项式乘以多项式的计算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 25．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，涉及到平方差公式和完全平方公式的应用．按平方差公式特点，把原式变形为，展开后再利用完全平方公式，即可得到结果． 【详解】解： ． 26．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，多形式与多项式的乘法计算，先根据完全平方公式求出，，然后根据多相式的乘法法则把化简后代入计算即可． 【详解】解：当，时 原式 ． 27．（1）若，求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）25；（2）3 【分析】（1）先根据，得到求出x、y的值，然后代值计算即可； （2）只需要得到即，由此求解即可． 【解析】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式． 28.（24-25九年级上·山东德州·期末）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)9 (2)当为4时，多项式有最小值，最小值是 (3)当时，多项式有最小值，最小值是2 【思路引导】本题考查了配方法，完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的非负性是解题的关键． （1）根据完全平方式的定义，添加常数项，把原式配成完全平方式即可； （2）仿照示例，把变形为，从而得到结果； （3）根据题意，把原式变形为，可得到结果． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：， ， ∴当时，代数式有最小值， 答：当为4时，多项式有最小值，最小值是； （3）解： ， ， ， ∴当时，多项式有最小值，最小值是2． 30.（24-25八年级上·吉林长春·期末）完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若x满足，求的值． 解：设，则，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若x满足，求的值； (3)如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子（即长方形）．以为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为，则长方形院子的面积为______． 【答案】(1)12 (2)5 (3)1200 【思路引导】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据，并将已知条件代入计算即可； （2）设，则，利用计算即可； （3）设米，米，则，再根据完全平方公式的变形求出即可解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，解得：． （2）解：设，则， ． （3）解：设米，米，则， ，， ，解得：． ∴长方形院子的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $