专题11.1 整式的乘法2（单项式乘单项式 单项式乘整式 整式乘整式）（10大题型+能力训练） 2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）数学七年级上册

本讲义聚焦整式乘法的核心内容，系统构建从单项式与单项式相乘到整式与整式相乘的完整知识链，层层递进地呈现运算规则、结构特征与实际应用，形成清晰的学习支架。 通过典型例题与变式训练相结合的方式，强化学生对法则本质的理解与灵活运用，体现数学抽象、逻辑推理和模型观念等核心素养。例如在【例20】中引导学生观察(x+p)(x+q)型乘法规律，培养符号意识与归纳能力，既提升课堂思维深度，又便于课后自主复习查漏补缺，助力学生实现从理解到迁移的跃升。

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题11.1 整式的乘法（2） 知识点01：单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 要点归纳： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点02：单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点归纳： （1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点03：整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点归纳： 整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积. 整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 题型一、单项式乘单项式 【例1】计算： ． 【例2】计算： (1) ； (2)． 【例3】计算： (1)；(2)；(3)． 【例4】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型二、由单项式乘单项式求字母的值 【例5】若 ，则求的值． 【例6】如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【例7】若（am＋1bn＋2）•（a2n-1b2m）＝a5b3，则m＋n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．﹣3 题型三、单项式乘整式 【例8】计算： ． 【例9】计算： ． ． 【例10】（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【例11】计算： (1)； (2)； (3)． 【例12】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例13】数学课上，老师讲了单项式乘以整式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（    ） A． B． C． D．1 题型四、整式乘整式 【例14】计算：__________． ． 【例15】计算 (1)； (2)． 【例16】计算： (1)； (2) 【例17】计算： (1)． (2) (3) 【例18】计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例19】已知长方形的面积是，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五、(x+p)(x+q)型整式乘法 【例20】如果，那么m、n的值分别是（    ） A．，12 B．11，12 C．， D．11， 【例21】若，则的值是（   ） A． B． C．5 D．7 【例22】如果，则的值为 ． 【例23】若m、n为整数，且，则a的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 【例24】，则，的值为（    ）. A．， B．， C．， D．， 【例25】【阅读材料】代数式大小的比较 我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． 【解决问题】若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．由的取值而定 题型六、整式乘法混合运算 【例26】计算： （1） （2） （3） （4） 【例27】计算 (1) (2) 【例28】计算： (1)； (2) 题型七、已知整式乘积不含某项求字母的值 【例29】已知式子的计算结果中不含x的一次项，则a的值为 ． 【例30】若的展开式中不含项，则的值是 ． 【例31】若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（     ） A． B．0 C．2 D． 题型八、化简求值 【例32】解方程：； ； 【例33】先化简，再求值：，其中，． 【例34】先化简，再求值：，其中． 【例35】先化简，再求值：，其中，． 【例36】先化简再求值：，其中． 化简求值，求：． 题型九、整式乘整式与图形面积 【例38】如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，则梯形的面积为（   ） A． B． C． D． 【例39】用如图所示的，，类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则，，类卡片一共需要 张． ． 【例40】如图，用两种不同的方法计算大长方形的面积，我们可以验证等式（   ） A． B． C． D． 【例41】某地计划扩建一块边长为米的正方形林地，将一边增加了7米，另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了 平方米． 【例42】通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式．例如，由图1可得等式．小明利用图2完整的图形面积可以得到的等式为（   ） A． B． C． D． 【例43】如图，某小区有一块长为，宽为，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米． (1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积S； (2)若，求出此时绿化的总面积S． 【例44】如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元？ 题型十、整式乘法中的规律性问题 【例45】观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： ①______． ②______． (2)利用整式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简； ． 【例46】阅读∶ 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①； ②； ③； …… (1)[归纳]由此可得∶ (2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算∶ (3)计算∶ 【例47】我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，那么展开式中第四项的系数为（   ） A．8 B．10 C．18 D．20 【例48】我国宋代数学家杨辉发现了 展开式系数的规律： 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 …… 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是 ． 一、选择题 1．（2024秋•静安区校级月考）若单项式和的积为，则的值为　　 A．2 B．30 C． D．15 2．（2024秋•浦东新区校级期中）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 3．下列各式中，计算结果是的是（    ） A． B． C． D． 6．通过计算，比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的算式是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 6．（2024秋•宝山区期末）计算：　　． 8．（2024秋•普陀区校级期末）计算：　　． 9.（2024秋•嘉定区校级期末）计算　　． 10. （2023秋•杨浦区期中）计算：________ 11. （2024秋•奉贤区期中）计算：=_____________________ 12．（2024秋•普陀区期末）计算：　　． 15．（2023春•冷水滩区校级期中）若二项式与相乘，化简后结果中不出现一次项，则的值是 　　． 16．（2024秋•杨浦区期末）已知：，，化简的结果是 　　． 【 ． 17．（2024秋•浦东新区校级期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形．则需要类卡片 　2　张，类卡片 　　张，类卡片 　　张． 18．（2024秋•长宁区校级期中）若、、均为整数，且，则的值为 　　． 三、解答题 19．（1）；        （2）． 20．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【 21．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 22．（2024秋•松江区月考）若的展开式中不含和项，求、的值． ， 23．综合与实践 如图1，长方形的两边长分别为，；如图2．长方形的两边长分别为，．（其中为正整数） ． （1）图1中长方形的面积　　；图2中长方形的面积　　；比较　　（选填“”、“ ”或“” ； （2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等． ①求正方形的边长；（用含的代数式表示） ②试探究：该正方形的面积与图1中长方形的面积的差（即是一个常数，并求出这个常数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题11.1 整式的乘法（2） 知识点01：单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 要点归纳： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点02：单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点归纳： （1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点03：整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点归纳： 整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积. 整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 题型一、单项式乘单项式 【例1】计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方法则、单项式乘以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)﹣2m8n7 (2) 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． （1）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则进行计算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则，先算乘方，再算乘法． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式＝ ＝ ＝． 【例3】计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用单项式乘以单项式的计算法则直接计算即可； （2）先根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算，再利用单项式乘以单项式的计算法则计算即可； （3）先计算幂的乘方与单项式乘单项式，再合并同类项即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【例4】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）直接根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （4）利用整体法及单项式的乘法计算即可． 【解析】（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【点睛】题目主要考查单项式的乘法及积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 题型二、由单项式乘单项式求字母的值 【例5】若 ，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【例6】如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 【例7】若（am＋1bn＋2）•（a2n-1b2m）＝a5b3，则m＋n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．﹣3 【答案】B 【分析】先利用单项式乘单项式法则，可得（am+1bn+2）•（a2n-1b2m）=am+2n•bn+2m+2，从而得到关于m，n的方程组，即可求解． 【解析】解：（am+1bn+2）•（a2n-1b2m）=am+1+2n-1•bn+2+2m=am+2n•bn+2m+2， ∵（am＋1bn＋2）•（a2n-1b2m）＝a5b3， ∴， 两式相加，得3m+3n=6， 解得m+n=2． 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用单项式乘法求字母或代数式的值，熟练掌握单项式乘单项式法则是解题的关键． 题型三、单项式乘整式 【例8】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以整式，根据单项式与整式相乘，先将单项式分别乘以整式的各项，再把所得积相加，即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【例9】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了单项式乘以整式，直接根据单项式乘以整式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为；． 【例10】（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据单项式乘以整式的运算法则计算即可； （2）先计算单项式乘以单项式及整式，然后合并同类项计算即可； （3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以整式即可； （4）先计算单项式乘以整式去括号，然后合并同类项即可． 【解析】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式 ． （4） ． 【点睛】题目主要考查单项式乘以单项式及整式，合并同类项等的运算法则，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 【例11】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用单项式乘整式法则计算； （2）先算积的乘方，再利用单项式乘整式法则计算； （3）先算单项式乘整式，积的乘方，再去括号，合并同类项即可． 【解析】（1）解： ； （2） （3） ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及了单项式乘整式，合并同类项，积的乘方，掌握相应的运算法则，细心计算是解题的关键． 【例12】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，单项式乘整式，熟练掌握相关的运算法则是解题关键． （1）根据单项式乘整式的运算法则进行求解即可； （2）根据单项式乘整式的运算法则进行求解即可； （3）根据单项式乘整式的运算法则进行求解即可； （4）根据单项式乘整式的运算法则进行运算，再合并同类项即可． 【解析】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【例13】数学课上，老师讲了单项式乘以整式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式乘整式，熟知单项式与整式相乘就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得积相加是解答此题的关键． 根据题意列出算式，然后化简求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ． 故选：A． 题型四、整式乘整式 【例14】计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式乘整式、合并同类项是解题关键． 根据整式乘以整式法则、合并同类项法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例15】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算整式乘整式 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用整式乘以整式法则展开计算，再合并同类项即可； （2）利用整式乘以整式法则展开计算，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例16】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算、计算整式乘整式 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． （1）运用整式乘以整式的法则运算即可求解； （2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解； 【详解】（1）解： ； （2） 【例17】计算： (1)． (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算整式乘整式 【分析】本题考查了整式的乘法： （1）根据整式乘整式的运算法则计算，再合并同类项即可； （2）根据整式乘整式的运算法则计算，再合并同类项即可； （3）根据整式乘整式的运算法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【例18】计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接利用整式乘以整式运算法则计算得出答案． （2）直接利用整式乘以整式运算法则、单项式乘整式运算法则计算得出答案． （3）直接利用整式乘以整式运算法则计算得出答案． （4）直接利用整式乘以整式运算法则计算得出答案． 【解析】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了整式的乘法，掌握其计算法则是解题的关键． 【例19】已知长方形的面积是，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次不等式的应用．根据题意得到，则，即可求出k的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 由得： 则， 由，得： 解得 故选：C 题型五、(x+p)(x+q)型整式乘法 【例20】如果，那么m、n的值分别是（    ） A．，12 B．11，12 C．， D．11， 【答案】A 【分析】本题考查整式乘法中整式乘整式，熟练掌握运算法则是解答关键．将原式按整式乘法运算展开，与的每一项一一对应即可． 将左边的整式展开后，与右边的整式对应项系数比较，即可确定m和n的值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，． 故选：A． 【例21】若，则的值是（   ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了整式乘整式，根据，再结合，得出，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 【例22】如果，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘整式，根据即可求解 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 【例23】若m、n为整数，且，则a的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了整式乘整式，熟练掌握整式乘整式法则是解题的关键；根据整式乘整式的运算法则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出a的值． 【详解】解：， ， m、n为整数， ， 或或或， a的值不可能是， 故选：． 【例24】，则，的值为（    ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据整式乘以整式进行计算，即可求解． 【解析】解：∵ ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查了整式乘以整式，熟练掌握整式乘以整式的运算法则是解题的关键． 【例25】【阅读材料】代数式大小的比较 我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． 【解决问题】若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【分析】根据，进行判断即可． 【解析】解：由题意知，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式乘整式．解题的关键在于正确的运算． 题型六、整式乘法混合运算 【例26】计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先计算积的乘方，然后计算单项式乘单项式即可； （2）根据单项式乘整式的计算法则求解即可； （3）根据整式乘整式计算法则求解，然后合并同类项即可； （4）整式乘整式计算法则和单项式乘整式的计算法则求解，然后合并同类项即可. 【解析】解：（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握整式的混合运算计算法则. 【例27】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【知识点】整式乘法混合运算、计算整式乘整式 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算单形式乘以整式，再计算加法即可． （2）先根据整式乘以整式和单项式乘以整式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1） （2） 【例28】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算、计算整式乘整式 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． （1）运用整式乘以整式的法则运算即可求解； （2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解； 【详解】（1）解： ； （2） 题型七、已知整式乘积不含某项求字母的值 【例29】已知式子的计算结果中不含x的一次项，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法中无关问题， 先根据整式乘法法则计算，再整理得出x的一次项，然后根据一次项系数等于0，求出解即可． 【详解】解：. ∵式子的计算结果中不含x的一次项， ∴， 解得． 故答案为：． 【例30】若的展开式中不含项，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了整式乘法中的无关型问题，先根据整式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项得到的展开式，再根据展开式中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：4． 【例31】若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用单项式乘整式的法则进行求解，再结合不含项，则其项的系数为0，从而求解． 【详解】解： ， 结果中不含有项， ， 解得 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了单项式乘整式，合并同类项，解题的关机是熟练掌握相应的运算法则． 题型八、化简求值 【例32】解方程：； 【详解】 ； 【例33】先化简，再求值：，其中，． 【详解】 ． ∵， ∴原式． 【例34】先化简，再求值：，其中． 【答案】，2． 【分析】先将原式根据单项式乘整式的法则进行化简，再将整体代入计算即可． 【解析】解： ， ∵， ∴原式． 【例35】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据整式乘以整式以及整式除以单项式进行计算即可化简，最后代入、的值计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 当，时，原式． 【例36】先化简再求值：，其中． 【答案】，12 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，熟练掌握运算法则是解答的关键．利用整式乘整式和整式除以单项式运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【例37】化简求值，求：． 【答案】，． 【分析】此题考查整式的混合运算，化简求值，先计算整式乘以整式，单项式乘以整式，合并同类项，再计算除法，最后代值计算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： 当时，原式． 题型九、整式乘整式与图形面积 【例38】如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，则梯形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘整式的应用，根据梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形， ∴ ， ∴则梯形的面积为， 故选：D 【例39】用如图所示的，，类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则，，类卡片一共需要 张． 【答案】10 【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果． 【解析】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积：， ，，类卡片一共需要张， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了整式乘整式的运算，找出对应卡片面积的系数，分别对应，即可找出所需卡片数量． 【例40】如图，用两种不同的方法计算大长方形的面积，我们可以验证等式（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式乘整式与图形面积， 根据题意可知大长方形的面积为，等于一个小正方形的面积加上三个长方形的面积再加上两个正方形的面积，可得答案． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：A． 【例41】某地计划扩建一块边长为米的正方形林地，将一边增加了7米，另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了 平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式运算的应用，理解题意，正确列出算式并化简是解题关键．根据题意，可知扩建后增加的面积为，化简即可获得答案． 【详解】解：根据题意，原林地为边长为米的正方形，现将一边增加了7米，另一边增加了4米，则扩建后增加的面积为平方米． 故答案为：． 【例42】通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式．例如，由图1可得等式．小明利用图2完整的图形面积可以得到的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式乘法与图形面积；一方面图2是一个长为，宽为的长方形，另一方面，图2是由一个边长为a的大正方形、两个边长为b的小正方形加三个长为a、宽为b的相同长方形组成，分别计算出面积即可求解． 【详解】解：图2是一个长为，宽为的长方形，其面积为； 图2也是由一个边长为a的大正方形、两个边长为b的小正方形加三个长为a、宽为b的相同长方形组成，其面积为：， 根据面积相等得：； 故选：C． 【例43】如图，某小区有一块长为，宽为，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米． (1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积S； (2)若，求出此时绿化的总面积S． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式加减运算的应用，代数式求值．熟练掌握整式加减运算的应用，代数式求值是解题的关键． （1）由题意得：，计算求解即可； （2）将，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：当时，， ∴当时，绿化的总面积为． 【例44】如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了利用整式解决实际问题，整式的混合运算，代数求值等，解题的关键是掌握整式的各运算法则． （1）根据题意列出代数式，利用整式乘整式进行化简即可； （2）根据题意列出代数式，利用整式乘整式进行化简即可； （3）代数求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：当，时，， （元）， 所以购买所需地砖需要元． 题型十、整式乘法中的规律性问题 【例45】观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： ①______． ②______． (2)利用整式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简； 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的方法即可求解； （2）运用整式乘以整式，再根据整式的运算法则即可求解； （3）根据材料提示，分别计算与的值，再运用整式加减运算即可求解． 【解析】（1）解：根据材料提示， ①． ②． 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 【例46】阅读∶ 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①； ②； ③； …… (1)[归纳]由此可得∶ (2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算∶ (3)计算∶ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式乘法的规律，根据题意找到规律是解题的关键. （1）根据题意得到规律即可； （2）由即可得到答案； （3）设①，则②，①＋②后即可得到答案. 【解析】（1）解：由题意可得， 故答案为： （2）由题意可得， ， ∴ 故答案为： （3）设① 则② ①＋②得， ∴ 【例47】我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，那么展开式中第四项的系数为（   ） A．8 B．10 C．18 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法运算，数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其，解题的关键是能够发现其中的规律．根据图形中的规律，每一行第四项的系数等于上一行第三项与第四项的系数之和，即可求出的展开式中从左起第四项的系数． 【详解】解：通过观察可得除过每行最左侧和最右侧的数字以外，每个数字都等于它的左上方和右上方两个数字之和； ∴每一行第四项的系数等于上一行第三项与第四项的系数之和， 的第四项系数， 的第四项系数， 的第三项系数， ∴的第四项系数， 故选：D． 【例48】我国宋代数学家杨辉发现了 展开式系数的规律： 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 …… 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式乘以整式中的规律探究问题，根据已有等式，推出展开式的系数和为，即可． 【详解】解：的系数和为：； 的系数和为：； 的系数和为：； ∴展开式的系数和是； 故答案为：． 一、选择题 1．（2024秋•静安区校级月考）若单项式和的积为，则的值为　　 A．2 B．30 C． D．15 【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出，即可， 【解答】解：， ，， 解得，， ， 故选：． 【点评】此题考查了单项式乘单项式，关键是求得，的值． 2．（2024秋•浦东新区校级期中）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据单项式乘单项式以及幂的乘方与积的乘方法则分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：、，故本选项错误，不符合题意； 、，故本选项错误，不符合题意； 、，故本选项正确，符合题意； 、，故本选项错误，不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握单项式乘单项式以及幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键． 3．下列各式中，计算结果是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将各项逐一展开合并同类项比较即可得． 【解析】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了整式乘整式，准确的将其展开是解题的关键． 4．（2024秋•闵行区校级月考）若、为整数，且，则不可能是　　 A．7 B．6 C． D． 【分析】根据，、为整数，可得、有6组值，分别计算即可得出的值，从而作出判断． 【解答】解：， ， 即， 、为整数，， ，或，或，或，或，或，， 或或或或或， 即的值为，，，不可能为6， 故选：． 【点评】本题考查了整式乘整式，熟练掌握运算法则是解题的关键，注意不要漏解． 5．已知 ，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的混合运算，利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【解析】解： ， ∵， ∴原式 ． 故选：B． 6．通过计算，比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式乘整式，单项式乘整式，整式运算．要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解． 【解析】解：图1中，阴影部分长宽长方形面积， 阴影部分的面积， 图2中，阴影部分大长方形面积长宽长方形面积长宽长方形面积边长的正方形面积， 阴影部分的面积， ． 故选：B． 2、 填空题 6．（2024秋•宝山区期末）计算：　　． 【分析】先把系数相乘，然后利用同底数幂的乘法计算． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是关键． 8．（2024秋•普陀区校级期末）计算：　　． 【分析】根据单项式乘单项式运算法则，准确计算． 【解答】解：． 故答案为：． 9.（2024秋•嘉定区校级期末）计算　　． 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 10. （2023秋•杨浦区期中）计算：________ 【分析】直接利用积的乘方运算法则、单项式乘单项式分别化简，进而合并同类项得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 11. （2024秋•奉贤区期中）计算：=_____________________ 【分析】根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则、合并同类项法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查的是单项式乘单项式、积的乘方、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键． 12．（2024秋•普陀区期末）计算：　　． 【分析】整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另外一个整式的每一项，再把所得的积相加，根据整式乘整式的法则计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 13．（2024秋•静安区校级月考）若的乘积中不含和项，　　． 【分析】由整式乘以整式进行化简，然后结合不含和项，求出，，即可求出答案． 【解答】解： ， 其结果中不含和项， ，， 解得：，， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查了整式乘以整式、代数式求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 15．（2023春•冷水滩区校级期中）若二项式与相乘，化简后结果中不出现一次项，则的值是 　　． 【分析】利用整式乘以整式法则计算，由结果不出现一次项确定出的值即可． 【解答】解：根据题意得：， 由结果中不出现一次项，得到， 解得：， 故答案为：． 【点评】此题考查了整式乘整式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．（2024秋•杨浦区期末）已知：，，化简的结果是 　　． 【分析】原式利用整式乘整式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：，， 原式． 故答案为：． 【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．（2024秋•浦东新区校级期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形．则需要类卡片 　2　张，类卡片 　　张，类卡片 　　张． 【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量． 【解答】解：长为，宽为的矩形面积为：， 类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为， 需要类卡片2张，类卡片3张，类卡片7张． 故答案为：2；3；7． 【点评】本题考查了整式与整式的乘法运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键．整式与整式相乘，先用一个整式的每一项分别乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加． 18．（2024秋•长宁区校级期中）若、、均为整数，且，则的值为 　　． 【分析】将展开，根据结果得到，，再结合，的范围求出具体值，代入计算可得值． 【解答】解：， 则，， 、、均为整数， ，或，，，或，，， 或， 故答案为：2或或14或． 【点评】本题考查了整式乘法，解题的关键是根据要求求出具体的，值． 三、解答题 19．（1）；        （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了整式的乘法计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 20．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题主要考查了单项式乘整式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 21．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 22．（2024秋•松江区月考）若的展开式中不含和项，求、的值． 【分析】求整式乘整式的展开式为，根据题意可得，，计算求解即可． 【解答】解： ， 展开式中不含和项， ，， 解得：，． 【点评】本题考查了整式乘整式．解题的关键在于正确的运算． 23．综合与实践 如图1，长方形的两边长分别为，；如图2．长方形的两边长分别为，．（其中为正整数） ． （1）图1中长方形的面积　　；图2中长方形的面积　　；比较　　（选填“”、“ ”或“” ； （2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等． ①求正方形的边长；（用含的代数式表示） ②试探究：该正方形的面积与图1中长方形的面积的差（即是一个常数，并求出这个常数． 【分析】（1）根据长方形的面积长宽，求出图1和图2中长方形的面积，再求出它们的面积差，通过比较，求出答案即可； （2）①先求出图1中长方形的周长，然后根据正方形的周长与图1中的长方形周长相等，求出正方形周长，从而求出正方形边长即可； ②由①中所求正方形的边长，从而求出正方形的面积，再求出该正方形的面积与图1中长方形的面积的差即可． 【解答】解：（1）由题意可知： ， ， ， 为正整数， 最小为1， ， ， 故答案为：，，； （2）①图1中长方形的周长为： ， 正方形的周长与图1中的长方形周长相等， 正方形的周长为， 正方形的边长为； ②正方形的面积， ， 该正方形的面积与图1中长方形的面积的差（即是一个常数，这个常数为9． 【点评】本题主要考查了整式乘整式，解题关键是熟练掌握整式乘整式法则、长方形和正方形的面积公式与周长公式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $