专题11.1 整式的乘法1（同底幂相乘 幂的乘方 积的乘方）（9大题型+能力训练）【精英班课程】2025-2026学年沪教版(五四制)七年级数学上册

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题11.1 整式的乘法（1） 知识点01：同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am•an＝am+n（m，n是正整数）． 2、法则推广：同底数幂的乘法的性质也适用于三个及以上的的同底数幂相乘，即am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等； ②a可以是单项式，也可以是多项式； ③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 知识点02：幂的乘方 1、幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am n（m，n是正整数）． 2、法则推广：幂的乘方的性质可推广为: [（am）]p＝am n p（m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【注意】①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点03：积的乘方 1、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即（ab）n＝an bn（n是正整数） 2、法则推广：积的乘方的性质也适用于三个及以上的因式的积的乘方，即（ab c）n＝an bn c n （m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】①在进行积的乘方运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项，特别地，当底数中含有“﹣”号时，应将其视为“﹣1”，作为一个因式参与运算. ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 题型01：同底数幂相乘 【例1】计算（   ） A． B． C． D． 【例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【例3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02：同底数幂乘法的逆用 【例4】已知，，则等于（   ） A． B． C． D．1 【例5】若，，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．36 【例6】可以写成（　　） A． B． C． D． 【例7】若，其中为大于2的整数，则与的数量关系为（    ）． A． B． C． D． 题型03：幂的乘方 【例8】下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例9】等于(　　) A．0 B． C． D． 【例10】若，则 ． 【例11】计算： 【例12】计算：． 【例13】计算：． 【例14】计算： (1)； (2)； (3) (4) 【例15】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型04：幂的乘方的逆用 【例16】已知，，则的值为（   ） A．7 B．9 C．10 D．20 【例17】若，均为正整数，且，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 【例18】若为正整数，，求的值． 【例19】若，则m的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例20】（1），，求的值 （2）若，求的值 【例21】已知，，求 (1)； (2)． 【例22】计算： (1)若，求的值； (2)已知．求m的值． 题型05：利用幂的乘方比较大小 【例23】比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【例24】比较大小： 【例25】比较大小： ． 【例26】已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例27】阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 题型06：积的乘方 【例28】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例29】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例30】已知，，则 ． 【例31】计算：． 【例32】化简求值：，其中，． 题型07：积的乘方逆用 【例33】若，，则的值为 ． 【例34】计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例35】计算：（　　） A． B．1 C． D． 【例36】计算：等于（   ） A．2 B． C． D． 【例37】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 题型08：幂的混合运算 【例38】计算： (1) (2) 【例39】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型09：新定义问题 【例40】如果，那么我们规定：，例如，因为，那么我们就说，； (1)请根据上述定义，填空： ______；______；______； (2)已知，，，且，求的值． 【例41】如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)（理解）根据上述规定，填空：________，________； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若（且），求的值． 一、选择题 1．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3.下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则x的值为（　　） A．17 B．16 C．15 D．14 2、 填空题 5.计算： ． 6.，，则 ． 7.已知，则 ． 8.如果，那么的值为 ． 9.已知，，，则，，的大小关系是 ． 10. ． 11． ． 12．若，则 ． 13．若， 则 ． 14.若，则n的值为 ． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17.（1），，求的值． （2）若，，求的值． 18.若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求的值． (2)若，，用含的代数式表示． 19.若，用x的代数式表示y，则 ． 20.已知，，，请用含a，b，c的式子表示下列代数式： (1) (2) (3) 21．若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 22.在等式的运算中规定：若且，，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 23.幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： （1）已知：，求的值． （2）已知：，求的值． 24.在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则的大小关系是 （填“”或“”）． 解：；，且， ， ， (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质： ； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (2)比较的大小； (3)比较与的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题11.1 整式的乘法（1） 知识点01：同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am•an＝am+n（m，n是正整数）． 2、法则推广：同底数幂的乘法的性质也适用于三个及以上的的同底数幂相乘，即am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等； ②a可以是单项式，也可以是多项式； ③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 知识点02：幂的乘方 1、幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am n（m，n是正整数）． 2、法则推广：幂的乘方的性质可推广为: [（am）]p＝am n p（m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【注意】①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点03：积的乘方 1、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即（ab）n＝an bn（n是正整数） 2、法则推广：积的乘方的性质也适用于三个及以上的因式的积的乘方，即（ab c）n＝an bn c n （m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】①在进行积的乘方运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项，特别地，当底数中含有“﹣”号时，应将其视为“﹣1”，作为一个因式参与运算. ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 题型01：同底数幂相乘 【例1】计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘，根据同底数幂相乘的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 【例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （5）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【解析】（1） ． （2） ． （3） ． （4） （5） ． 【例3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题； （2）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题； （3）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题； （4）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题； 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 题型02：同底数幂乘法的逆用 【例4】已知，，则等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】题主要考查同底数幂的乘法法则的逆运用，掌握是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 【例5】若，，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，得，解答即可． 本题考查了同底数幂的乘法的逆应用，熟练掌握公式的逆应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：C． 【例6】可以写成（　　） A． B． C． D． 此题主要考查了同底数幂的乘法运算，直接利用同底数幂的乘法的逆运算直接得出答案． 解：， 故选：C． 【例7】若，其中为大于2的整数，则与的数量关系为（    ）． A． B． C． D． 本题考查了同底数幂的乘法的逆运算．熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算是解题的关键． 根据，判断作答即可． 解：由题意知，， 故选：A． 题型03：幂的乘方 【例8】下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 【例9】等于(　　) A．0 B． C． D． 先分别进行幂的乘方运算，然后合并同类项即可得出答案． 解：原式． 故选：A． 【例10】若，则 ． 本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法和解一元一次方程，根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则和解一元一次方程步骤，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：由， ∴， 解得， 故答案为：． 【例11】计算： 本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算；先定符号再计算． 解： 【例12】计算：． 【答案】 【分析】本题考查幂的混合运算，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方运算法则计算，最后合并即可． 【详解】解：原式 ． 【例13】计算：． 【答案】 【分析】先进行积的乘方运算，再进行单项式乘单项式的运算求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查积的乘方，单项式乘单项式．熟练掌握积的乘方，单项式乘单项式的运算法则，是解题的关键． 【例14】计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的四则运算，解决本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方及积的乘方运算法则， （1）先计算同底数幂的乘法及幂的乘方，再合并同类项即可； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可； （3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘除法即可； （4）利用幂的乘方运算法则计算，再利用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【例15】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方运算法则进行计算，然后合并同类项即可求解； （3）根据幂的乘方运算法则进行计算即可求解； （4）根据幂的乘方运算法则进行计算，然后合并同类项即可求解． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了幂的乘方运算以及合并同类项，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 题型04：幂的乘方的逆用 【例16】已知，，则的值为（   ） A．7 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【分析】此题考查了同底数幂乘法和幂的乘方．逆用同底数幂乘法和幂的乘方法则得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：D 【例17】若，均为正整数，且，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，解二元一次方程，代数式求值，先把转化为，转化为，进而得，得到，由此得到，根据，均为正整数，得到或，即或，求出的值，再代入到中计算即可求解，灵活运用幂的运算法则是解题的关键． 解：∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，均为正整数， ∴或， ∴或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上，的值为或， 故选：． 【例18】若为正整数，，求的值． 【答案】50 【分析】本题考查了幂的乘方和幂的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先由幂的乘方运算法则将化为，再由幂的乘方逆运算将其化为，再代入求值即可． 【详解】解： ． 【例19】若，则m的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂相乘，逆用幂的乘方，同底数幂相乘可得，得到，求解即可． 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【例20】（1），，求的值 （2）若，求的值 本题主要考查了同底数幂乘法计算及其逆运算，幂的乘方计算及其逆运算，解二元一次方程组 （1）根据幂的乘方的逆运算法和幂的乘方计算法则得到，，进而得到方程组，解方程组即可得到答案； （2）先计算出，再根据进行求解即可． 解：（1）∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 【例21】已知，，求 (1)； (2)． 【答案】(1)241 (2)5400 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得； （2）先根据同底数幂乘法的逆用可得，再根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 【例22】计算： (1)若，求的值； (2)已知．求m的值． 【答案】(1)81 (2)2 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）易得，利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算即可； （2）逆用幂的乘方，再利用同底数幂的乘法法则进行计算，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 题型05：利用幂的乘方比较大小 【例23】比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，根据，整理得，，，再比较底数的大小，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ∵， ∴， 故选：C 【例24】比较大小： 【答案】＜ 【分析】根据两数的特点，先把他们变成底数分别是8和9，指数为4的形式，然后再比较大小． 【详解】，； ∵8＜9，∴，∴＜． 故答案为＜． 【点睛】本题考查了比较乘方的大小．解答本题的关键是把它们转化为指数相同的乘方的形式． 【例25】比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，利用作差法求出，据此可得答案． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：． 【例26】已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将、、转化为同底数幂的形式，再比较指数大小．本题主要考查了幂的乘方运算法则，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故选：A． 【例27】阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较底数的大小即可； （3）根据，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （3）解：∵，， 又∵， ∴． 题型06：积的乘方 【例28】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方运算，可将括号内的视为，再根据计算求解即可． 【详解】解；， 故选：A． 【例29】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方，掌握运算法则是解题关键．积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解：， 故选：A． 【例30】已知，，则 ． 【思路点拨】 利用幂的乘方与积的乘方的法则，进行计算即可解答．本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解题的关键． 【解题过程】 解：，， ， 故答案为：6． 【例31】计算：． 本题考查幂的运算，合并同类项，掌握相应的运算法则是关键．先进行积的乘方，幂的乘方运算，同底数幂乘法，最后合并同类项即可． 解： ． 【例32】化简求值：，其中，． 本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 解： ， 当时，原式． 题型07：积的乘方逆用 【例33】若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方展开，然后整体代入计算解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例34】计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是幂的乘方运算，积的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，把原式化为，再进一步计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【例35】计算：（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，解题关键是掌握积的乘方的逆用． 直接利用积的乘方的逆用求解． 【详解】解： ， 故选：C． 【例36】计算：等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握运算法则的灵活运用． 根据同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【例37】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的运算，积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用乘方的定义得出 ，再利用积的乘方的逆运算法则计算即可． 【详解】解： , 故选：A． 题型08：幂的混合运算 【例38】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用积的乘方、幂的乘方分别运算，再合并同类项即可； （）根据整式的乘除运算法则去括号，再合并同类项即可； 本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例39】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)0； (6)． 【分析】（1）先运算幂的乘方，然后利用同底数的幂的乘法运算解题； （2）先运算幂的乘方，然后合并解题即可； （3）先运算幂的乘方，同底数的幂的乘法，然后合并解题即可； （4）先运算积的乘方，然后利用同底数的幂的乘法运算解题； （5）先运算幂的乘方，然后同底数的幂的乘法，最后合并解题即可； （6）先运算幂的乘方，然后同底数的幂的乘法，最后合并解题即可． 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式； （6）原式． 【点睛】本题主要考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 题型09：新定义问题 【例40】如果，那么我们规定：，例如，因为，那么我们就说，； (1)请根据上述定义，填空： ______；______；______； (2)已知，，，且，求的值． 【答案】(1)2，6，4； (2)． 【分析】（1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案； （2）根据新定义可得，，，然后利用同底数幂的乘法法则求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ， 故答案为：2，6，4； （2）解：∵，，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了有理数的乘方、新定义、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则，正确理解新定义是解题的关键． 【例41】如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)（理解）根据上述规定，填空：________，________； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若（且），求的值． 【答案】(1)3，4 (2)见解析 (3)80 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． （1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据规定的运算可得，，，结合同底数幂的乘法法则计算即可； （3）设，，，根据规定的运算和同底数幂乘法的逆用进行求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3，4； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （3）解∶设，，，且， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 一、选择题 1．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：∵，错误， 故A不合题意． ∵，正确， ∴B合题意． ∵，错误， ∴C不合题意． ∵，错误， ∴D不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项对各选项判断作答即可． 【详解】解：A中，故不符合要求； B中，故不符合要求； C中，故符合要求； D中，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项等知识．熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项是解题的关键． 3.下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及同底数幂的除法公式即可得出答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的运算的四个公式：同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握公式解决本题的关键． 4．已知，则x的值为（　　） A．17 B．16 C．15 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 2、 填空题 5.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 6.，，则 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂乘法的逆用，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法法则是解本题的关键．同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 7.已知，则 ． 【答案】40 【分析】根据同底数幂的乘法的逆用计算即可． 【详解】． 故答案为：40． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法的逆用，代数式求值．掌握同底数幂的乘法的逆用法则是解题关键． 8.如果，那么的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了幂的乘方运算、同底数幂相乘，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据幂的乘方运算可得，再利用同底数幂相乘的运算法则化简，结合即可解答． 【详解】解： ， ， ． 故答案为：16． 9.已知，，，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算．解题的关键是利用幂的乘方运算对各式变形，变成底数相同的形式． 根据幂的乘方的逆运算变形得到，，进而比较求解即可． 【详解】解：∵，，， ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 10. ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 11． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握积的乘方幂的乘方运算法则成为解题的关键． 先根据积的乘方幂的乘方运算法则化简，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练的掌握幂的运算法则对题干进行适当变形是解决本题关键． 根据幂的运算即可解答出． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：6． 13．若， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了两个非负数的和为零的性质，积的乘方逆用，求代数式的值；根据两个非负数的和为零则它们均为零，可求得a与b的值，把a与b的值代入代数式中即可求得结果． 【详解】∵，，且 ∴， 即， ∴， 当，时， 故答案为：． 14.若，则n的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了幂的乘方逆应用，同底数幂的乘法的逆应用，根据已知，正确变形计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：2． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由同底数幂的乘法法则计算即可； （2）由同底数幂的乘法法则计算即可； （3）由同底数幂的乘法法则计算即可； （4）参照同底数幂的乘法法则计算即可． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握法则是解题的关键． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题； （2）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题； （3）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题； （4）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题； 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】本题考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 17.（1），，求的值． （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握幂的乘方、同底数幂乘法的性质； （1）根据幂的乘方和同底数幂乘法的性质，计算得、，通过列二元一次方程组并求解即可； （2）根据同底数幂乘法的性质，得，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， ∴； （2）， ∵，， ∴． 18.若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求的值． (2)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． （1）由题意得出，即可得出答案； （2）将代入可得答案． 【详解】（1）解：． ， ， ； （2）解：， ， ． 19.若，用x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算．熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 20.已知，，，请用含a，b，c的式子表示下列代数式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂旳乘法，积的乘方与幂的乘方，掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可； （2）根据幂的乘方与积的乘方的运算即可； （3）根据幂的乘方与积的乘方的运算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2），， ； （3），， ． 21．若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把化为底数为2的幂，解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答； （3）由可得，再根据幂的乘方运算法则解答即可． 【解析】（1）解： ， ， 解得； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握利用同底数幂的乘法、幂的乘方及其逆运算对式子进行变形是关键． 22.在等式的运算中规定：若且，，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则把两边底数为成一样，再根据题目规定解答即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把变形为，进而得到，据此即可解答； （3）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23.幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： （1）已知：，求的值． （2）已知：，求的值． 【思路点拨】 本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的逆用、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）利用幂的乘方、积的乘方的逆用变形，得到，即，求解即可； （2）利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则变形，得到，求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 24.在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则的大小关系是 （填“”或“”）． 解：；，且， ， ， (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质： ； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (2)比较的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】 本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据，，进行求解即可； （3）根据，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $