第11章 整式的乘法章节复习提升（12大题型+能力训练） 2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）数学七年级上册

本讲义聚焦七年级数学上册第11章整式的乘除，系统构建从幂的运算到整式乘法、乘法公式、整式除法及综合应用的知识脉络，前后衔接紧密，由基础计算逐步过渡到几何表示与实际问题解决，形成清晰的学习支架。 资料设计亮点突出，体现核心素养导向，如“抽象能力”在例6中通过幂的逆运算引导学生理解指数关系的本质，“推理意识”贯穿例21的不含某项问题分析过程，“应用意识”体现在例46种植田面积计算等真实情境中。课中可辅助教师精准讲解难点，课后便于学生查漏补缺，强化公式变形与逻辑推理能力，提升数学表达与建模水平。

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第11章整式的乘除章节复习提升 考点01：幂的运算 【例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】计算： ．______ 【例3】计算：(1) ．(2)=_________. 【例4】计算： (1) (2) （3）． 【例5】计算 (1)； (2)． (3)． 考点02：幂运算的逆运算 【例6】已知，则的值为 ．【例7】比较大小： ． 【例8】已知，，，那么，，之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【例9】已知，，求的值． 【例10】计算： (1)已知，求n的值． (2)已知，求m的值． 【例11】根据题意，完成下列问题． （1）若，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求x的值． 考点03：整式乘法的计算 【例12】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【例13】计算： ．=________ 【例14】若，则的值为 ． 【例15】如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片 张．    【例16】 【例17】计算：；（2） 【例18】计算： (1)； (2)； (3)． 考点04：整式乘法的看错、不含某项问题 【例19】在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（　　） A．9x2 B．﹣9x2 C．9x D．﹣9x 【例20】若的计算结果中的二次项的系数为，则 ． 【例21】已知将（x3+mx+n）（x2-3x+4）展开的结果不含x3和x2项，求m、n的值． 【例22】若的积中不含有与项． (1)直接写出的值，即___________， ___________； (2)求代数式的值． 【例23】欢欢和乐乐两人共同计算一道整式乘法题：，由于欢欢错把前的加号抄成减号，得到的结果为，乐乐由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为 (1)你能否知道式子中的，的值各是多少？ (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 【例24】在数学课堂上，老师写出一道整式乘法题：．王建由于把第一个多项式中的“”抄成了“”，得到的结果为；李楠由于漏抄了第二个多项式中y的系数，得到的结果为． （1）求正确的a，b的值； （2）计算这道乘法题的正确结果． 考点05：平方差公式 【例25】在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【例26】的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【例27】下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【例28】计算： （1）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab） （2）（﹣y2+x）（x+y2） （3）x（x+5）﹣（x﹣3）（x+3） （4）（﹣1+a）（﹣1﹣a）（1+b2） 【例29】利用整式乘法公式计算 (1)； (2)． 考点06：完全平方公式 【例30】下列式子中，计算正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例31】下列算式中，可用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【例32】若是一个完全平方式，则的值等于 ． ． 【例33】给多项式添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的这个单项式可以是 ．（填一个即可） 【例34】计算： (1)；(2)．(3)． 【例35】综合运用乘法公式计算： (1)； (2)． 考点07：利用乘法公式变形求值 【例36】若，则等于（   ） A． B． C． D． 【例37】已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：（1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值． 【例38】（1）已知，． 求的值； 求的值； （2）已知，求的值． 【例39】完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，求的值． 解：， ， ， ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 类比应用： （3）若，求的值． 考点08：整式乘法与乘法公式的几何表示 【例40】我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（　　） A． B． C． D． 【例41】将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　） A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2 【例42】在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形面积的不同表示方法来解释一些代数恒等式． （1）请写出图1中的几何图形所表示的面积恒等式． （2）请用图2中的正方形与长方形（可重复使用）画出面积等于的长方形． 【例43】综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作可以得到一个公式：__________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【例44】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 【例45】如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． (1)由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题： ①两个正方形，如图3摆放，边长分别为．若，，求的值； ②求图中阴影部分的面积和． 考点09：乘法公式的实际应用 【例46】某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，两块实验田均种植了豌豆幼苗．长方形实验田每排种植（3a﹣b）株，种植了（3a+b）排；正方形实验田每排种植（2a﹣b）株，种植了（2a﹣b）排，其中a＞b＞0． （1）正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株？ （2）当a＝5，b＝2时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？ 【例47】某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． （1）求铺设地砖的面积是多少平方米； （2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？ 考点10：整式的除法 【例48】若，则括号里应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 【例49】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【例50】已知，，则的值为 【例51】（1）若，求的值； （2）已知，，求的值． 【例52】已知多项式2x2﹣4x﹣1除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣1，则这个多项式A＝_____． 考点11：整式的乘除的混合运算与化简求值 【例53】计算： (1)； (2) 【例54】计算： (1)； (2)． 【例55】化简： (1)；(2)． 【例56】计算： (1)；(2)． 【例57】先化简，再求值：，其中，． 【例58】先化简，再求值：其中． 考点12：新定义问题 【例59】给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对，把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于x的二次多项式的特征系数对为__________； (2)求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积； (3)有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积不含项，求a的值； 【例60】规定两数，之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故， 则，即． (1)根据上述规定，填空：_________；_________；_________． (2)计算___________，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数都成立． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第11章整式的乘除章节复习提升 考点01：幂的运算 【例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方运算法则计算即可，掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【例2】计算： ．______ 【答案】【答案】【答案】/ 【例3】计算：(1) ．(2)=_________. 【答案】(1)(2) 【详解】(1)原式； （2） ． 【点睛】本题主要考查了多项式的除法，同底数幂的乘法、积的乘方运算方程等知识，掌握多项式的除法运算法则是解答本题的关键． 【例4】计算： (1) (2) （3）． 【答案】(1) (2) （3） 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相应的同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方法则． 【例5】计算 (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）先算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． (3)原式      ． 考点02：幂运算的逆运算 【例6】已知，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了幂的乘方的运算，同底数幂相乘，先整理得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：8 【例7】比较大小： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了幂的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键．根据幂的乘方的性质，可得，，比较2187和2018的大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为 【例8】已知，，，那么，，之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键． 直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则将原式变形得出答案． 【详解】解∶∵，，， 即， ． 故选：D． 【例9】已知，，求的值． 【答案】 【分析】根据幂的乘方法则可得出，，从而可求出，即得出，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，代数式求值．掌握幂的乘方和同底数幂的乘法法则是解题关键． 【例10】计算： (1)已知，求n的值． (2)已知，求m的值． 【答案】(1)2(2)3 【分析】（1）利用幂的乘 方法则变形得到，即可求解； （2）运用幂的乘方，把底数都化为3的形式，结合同底数幂的乘法，列出关于的方程求解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：； （2）， ， 即， ， 解得． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方等知识．熟练掌握运算法则的逆用是解题的关键． 【例11】根据题意，完成下列问题． （1）若，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求x的值． 【答案】（1）2；（2）8；（3）． 【分析】（1）先逆用同底数幂的乘法公式、同底数幂的除法公式和幂的乘方公式，将转化为的形式，再代入进行计算即可； （2）先求出，再利用幂的乘方公式和同底数幂的乘法公式将转化为的形式，最后代入数值运算即可； （3）先逆用积的乘方公式将转化为，然后得到关于x的一元一次方程后求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； ∴的值为2． （2）∵， ∴， ∴； ∴的值为8． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴x的值为． 【点睛】本题综合考察了同底数幂的乘法公式以及逆用、同底数幂的除法公式的逆用、幂的乘方公式及其逆用、积的乘方公式及其逆用等知识，要求学生能理解并熟记公式，能灵活运用公式对代数式进行变形等，考察了学生对基础知识的理解与公式的掌握，本题蕴含了整体代入的思想方法． 考点03：整式乘法的计算 【例12】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，即可作答． 【详解】解： ， 故选：D 【例13】计算： ．=________ 【答案】【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算． 【详解】(1) ． (2) ； 故答案为：． 【例14】若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】由多项式乘多项式计算得x2＋（b﹣1）x﹣b＝x2＋ax﹣2，根据对应系数相等即可得出答案． 【详解】解：∵（x﹣1）（x＋b）＝x2＋bx﹣x﹣b＝x2＋（b﹣1）x﹣b， ∴x2＋（b﹣1）x﹣b＝x2＋ax﹣2， ∴b﹣1＝a，﹣b＝﹣2， 解得：b＝2，a＝1， ∴a＋b＝3， 故答案为：3． 【例15】如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片 张．    【答案】7 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据长方形的面积＝长×宽，求出长为，宽为的大长方形的面积是多少，然后的系数即为C类卡片的张数． 【详解】解：∵， ∴系数为7， 故需要C类卡片7张， 故答案为：7． 【例16】 【答案】 【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，能灵活运用知识点进行化简是解题的关键． 【例17】计算：；（2） 【答案】（1）3x2−2x；（2）2m-5 【分析】（1）利用整式的混合运算法则求解即可． （2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的运算方法计算即可． 【详解】（1）x⋅2x+x(x−2)=2x2+x2−2x=3x2−2x. （2）（m+1）（m-5）-m（m-6） =m2-5m+m-5-m2+6m =2m-5； 【点睛】此题考查整式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则. 【例18】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 考点04：整式乘法的看错、不含某项问题 【例19】在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（　　） A．9x2 B．﹣9x2 C．9x D．﹣9x 【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案． 【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x， 故选：B． 【例20】若的计算结果中的二次项的系数为，则 ． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式进行计算，根据的二次项的系数为，即可求解． 【详解】解： ∵的二次项的系数为， ∴ 解得：， 故答案为：． 【例21】已知将（x3+mx+n）（x2-3x+4）展开的结果不含x3和x2项，求m、n的值． 【答案】m=-4，n=-12. 【分析】先利用多项式乘法法则把多项式展开，那么原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．由于展开后不含x3和x2项，则含x3和x2项的系数为0，由此可以得到4+m=0，-3m+n=0，解方程组即可以求出m、n． 【详解】解：原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n =x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n． ∵不含x3和x2项， ∴4+m=0，-3m+n=0， 解得m=-4，n=-12. 【点睛】考查了多项式乘多项式，关键是根据多项式相乘法则以及多项式的项的定义解答． 【例22】若的积中不含有与项． (1)直接写出的值，即___________， ___________； (2)求代数式的值． 【答案】(1)1， (2) 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有与项可以求解的值． （2）将的值代入代数式求值即可． 【详解】（1）解： = =， ∵积中不含有与项， ∴，， 解得，． 故答案为：1，． （2）解：当，时， ． 【点睛】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则． 【例23】欢欢和乐乐两人共同计算一道整式乘法题：，由于欢欢错把前的加号抄成减号，得到的结果为，乐乐由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为 (1)你能否知道式子中的，的值各是多少？ (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据由于欢欢抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为，可知，于是①；再根据乐乐由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为，可知常数项是，可知，可得②，解关于①②的方程组即可求、的值； （2）把，的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）根据题意可知： 由于欢欢抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为， 那么， 可得①， 乐乐由于漏抄了第二个多项式中的的系数，得到的结果为， 可知， 即， 可得②， 解关于①②的方程组，可得，； （2）正确的式子：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【例24】在数学课堂上，老师写出一道整式乘法题：．王建由于把第一个多项式中的“”抄成了“”，得到的结果为；李楠由于漏抄了第二个多项式中y的系数，得到的结果为． （1）求正确的a，b的值； （2）计算这道乘法题的正确结果． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可； （2）根据多项式乘以多项式法则求出答案即可． 【详解】（1）根据王建的解法得： ， ∴① 根据李楠的解法的： ， ∴② 联立①②得方程组解得：； （2）这道题的正确解法是：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键． 考点05：平方差公式 【例25】在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式．根据平方差公式判断即可． 【详解】解；A、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； B、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； C、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； D、，可以用平方差公式计算，本选项符合题意； 故选：D． 【例26】的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，平方差公式． 【详解】解： ． 故选：D． 【例27】下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题关键．根据平方差公式的特点逐一判断即可． 【详解】解：A、，二项式中的两项均互为相反数，不符合平方差公式，符合题意； B、，能用平方差公式，不符合题意； C、，能用平方差公式，不符合题意； D、，能用平方差公式，不符合题意； 故选：A 【例28】计算： （1）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab） （2）（﹣y2+x）（x+y2） （3）x（x+5）﹣（x﹣3）（x+3） （4）（﹣1+a）（﹣1﹣a）（1+b2） 【答案】（1）9x2﹣25a2b2；（2）x2﹣y4；（3）5x+9；（4）1+b2﹣a2﹣a2b2． 【分析】（1）利用平方差公式即可求解； （2）利用平方差公式即可求解； （3）首先利用单项式的乘法以及平方差公式计算，然后去括号合并同类项即可求解； （4）首先利用平方差公式计算前两个多项式的乘法，然后利用多项式的乘法计算． 【详解】解：（1）原式＝（﹣3x）2﹣（5ab）2 ＝9x2﹣25a2b2； （2）原式＝x2﹣（y2）2 ＝x2﹣y4； （3）原式＝x2+5x﹣（x2﹣9） ＝x2+5x﹣x2+9＝5x+9； （4）原式＝[（﹣1）2﹣a2]（1+b2） ＝（1﹣a2）（1+b2） ＝1+b2﹣a2﹣a2b2． 【例29】利用整式乘法公式计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，正确计算是解题的关键； （1）将变形为，再根据完全平方公式计算即可； （2）将式子变形为，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点06：完全平方公式 【例30】下列式子中，计算正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘以多项式运算、完全平方公式等知识，关键是能准确运用对应法则进行正确的计算．根据多项式乘以多项式的运算法则以及完全平方公式分别进行计算，即可获得答案． 【详解】解：， ， ， ， ∴所有式子中，计算正确的只有算式④， 故选：A． 【例31】下列算式中，可用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的特征：； 根据完全平方公式逐个判断即可． 【详解】解：A.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误； B.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误； C.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误； D.，能用完全平方公式进行计算，故本选项正确； 故选：D． 【例32】若是一个完全平方式，则的值等于 ． 【答案】5或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式特点是解题的关键，注意完全平方式有两种形式，故不要漏掉答案．根据完全平方公式的特征判断即可得到的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ， 或， 故答案为：5或． 【例33】给多项式添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的这个单项式可以是 ．（填一个即可） 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，可以把和9看作两平方项，则一次项可以为，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 则给多项式添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，添加的这个单项式可以是， 故答案为：或． 【例34】计算： (1)；(2)．(3) 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）； （2） ． （3） 【例35】综合运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式进行化简即可； （2）根据平方差公式将当做整体进行计算，再利用完全平方公式化简． 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键． 考点07：利用乘法公式变形求值 【例36】若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的灵活应用，把等号左边展开后整理为完全平方和公式即可得到m的值． 【详解】解： ， ∴． 故选：A． 【例37】已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：（1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值． 【答案】（1）；（2）2；（3）. 【分析】（1）把a+b＝2两边平方，利用完全平方公式得到a2+2ab+b2＝4，然后把a2+b2＝3代入可计算出ab的值； （2）利用完全平方公式得到（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，然后利用整体代入的方法计算； （3）利用完全平方公式得到a4+b4＝（a2+b2）2﹣2（ab）2，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1）∵a+b＝2， ∴（a+b）2＝4， 即a2+2ab+b2＝4， ∵a2+b2＝3， ∴3+2ab＝4， ∴ab； （2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝4﹣42； （3）a4+b4 ＝（a2+b2）2﹣2a2b2 ＝（a2+b2）2﹣2（ab）2 ＝32﹣2×（）2 ＝9 ． 【例38】（1）已知，． 求的值； 求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（）；；（）． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】（）根据完全平方公式及其变形即可求出答案； 根据完全平方公式及其变形即可求出答案； （）根据完全平方公式及其变形即可求出答案； 本题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）∵，，， ∴ ； ∵，，， ∴ ； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【例39】完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，求的值． 解：， ， ， ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 类比应用： （3）若，求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据完全平方公式变形即可求解； （2）模仿题干解题过程，根据完全平方公式变形即可求解； （3）模仿题干解题过程，根据完全平方公式变形即可求解； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴ ∵， ∴ ∴． 考点08：整式乘法与乘法公式的几何表示 【例40】我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各选项图形所表达的整式运算进行判断、选择． 【详解】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴选项A不符合题意； ∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， ∴选项B符合题意； ∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， ∴选项C不符合题意； ∵（a+x）（b+x）＝a2+ax+bx+x2， ∴选项D不符合题意， 故选：B． 【例41】将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　） A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2 【答案】A 【分析】利用两个图形面积之间的关系进行解答即可． 【详解】解：如图，图甲中①、②的总面积为（a+b）（a﹣b）， 图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故选：A． 【例42】在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形面积的不同表示方法来解释一些代数恒等式． （1）请写出图1中的几何图形所表示的面积恒等式． （2）请用图2中的正方形与长方形（可重复使用）画出面积等于的长方形． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】（1）直接求得矩形的面积，然后再根据矩形的面积=各矩形的面积之和求解即可； （2）利用因式分解得出=（a+b）(2a+3b)，画出长为a+b，宽为2a+3b的矩形即可. 【详解】.(1) (2)如图： 【例43】综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作可以得到一个公式：__________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】（）求出图、阴影部分面积即可求解； （）利用（）中公式即可求解； （）利用（）中公式即可求解； 本题考查了平方差公式几何背景的应用，熟练掌握是解题的关键． 【详解】（1）解：图阴影部分面积为，图阴影部分面积为， 则述操作可以得到一个公式：， 故答案为：； （2）解：由（）得： ； （3）解：原式 ． 【例44】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）根据图中阴影部分面积的两种不同表示方法即可解决问题； （2）根据（1）中的发现即可解决问题； （3）根据（1）中的发现，将将平方差的形式改写成两数之和乘以两数之差的形式即可解； 【详解】（1）解：由题知， 图①中阴影部分的面积为， 图②中阴影部分的面积为， 又图②由图①中的阴影部分剪拼而得， 所以． 故选：B． （2）解：由（1）可知， ， 又，， 所以． 故答案为：3． （3）解：原式 ． 【例45】如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． (1)由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题： ①两个正方形，如图3摆放，边长分别为．若，，求的值； ②求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)①的值为；②图中阴影部分的面积和为 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到，，之间的等量关系式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，可得结论； （2）①利用（1）中关系式计算可得结论； ②利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和， ∴． ∴． 故答案为：； （2）①∵，为正方形，边长分别为， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ②． 考点09：乘法公式的实际应用 【例46】某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，两块实验田均种植了豌豆幼苗．长方形实验田每排种植（3a﹣b）株，种植了（3a+b）排；正方形实验田每排种植（2a﹣b）株，种植了（2a﹣b）排，其中a＞b＞0． （1）正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株？ （2）当a＝5，b＝2时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？ 【分析】（1）根据题意列出算式，计算后即可得出结果； （2）根据题意列出算式，化简后把a＝5，b＝2代入计算，即可得出结果． 【解答】解：（1）由题意得：（3a﹣b）（3a+b）﹣（2a﹣b）2 ＝9a2﹣b2﹣4a2+4ab﹣b2 ＝5a2+4ab﹣2b2， 答：正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗（5a2+4ab﹣2b2）株； （2）由题意得：（3a﹣b）（3a+b）+（2a﹣b）2 ＝9a2﹣b2+4a2﹣4ab+b2 ＝13a2﹣4ab， 当a＝5，b＝2时， 原式＝13×52﹣4×5×2 ＝325﹣40 ＝285， 答：该种植基地这两块实验田一共种植了285株豌豆幼苗． 【例47】某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． （1）求铺设地砖的面积是多少平方米； （2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？ 【分析】（1）长方形空地的面积减去建筑物A、B的面积即可； （2）把a＝2，b＝3时代入计算即可． 【解答】解：（1）铺设地砖的面积为：（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2 ＝24a2+20ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2 ＝22a2+16ab+2b2（平方米）， 答：铺设地砖的面积为（22a2+16ab+2b2）平方米； （2）当a＝2，b＝3时， 原式＝22×22+16×2×3+2×32 ＝202（平方米）， 答：当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是202平方米． 考点10：整式的除法 【例48】若，则括号里应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式的乘除法，根据单项式的除法法则计算即可． 【详解】解：， ∴括号里应填的单项式是， 故选：A． 【例49】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是整式的除法，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【例50】已知，，则的值为 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方计算，先求出，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 【例51】（1）若，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是幂的运算中幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘除法得到，，再解方程即可； （2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为，再代入求值． 【详解】解：（1）， ∴， ， ． （2），， ． 【例52】已知多项式2x2﹣4x﹣1除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣1，则这个多项式A＝_____． 【分析】根据“除式=（被除式-余式）÷商”列式，再利用多项式除单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，计算即可． 【解答】解：由题意可得： 故答案为： 考点11：整式的乘除的混合运算与化简求值 【例53】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据完全平方公式和平方差公式将括号展开后，再合并同类项即可得到答案； （2）原式根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例54】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． （1）根据整式的混合运算法则计算求解，即可解题； （2）根据完全平方公式，以及整式的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例55】化简： (1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项、整式四则混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及整式的乘方、加减乘除混合运算及整式乘法公式等知识，熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键． （1）先计算整式的乘方，再计算整式的乘除运算，最后合并同类项即可得到答案； （2）先由平方差公式、完全平方差公式展开，再去括号，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例56】计算： (1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式四则混合运算、整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式运算的法则和平方差公式是正确解题的关键． （1）根据运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． （2）先计算单项式乘多项式、运用平方差公式计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例57】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，多项式除以单项式，解题的关键是正确化简． 先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，多项式除以单项式的运算法则进行化简，再将，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【例58】先化简，再求值： 其中． 【答案】． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查整式的化简求值．首先根据平方差公式和多项式乘以多项式的法则把括号里的部分展开，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，得到：原式，利用乘法分配律把括号外面的分式与括号里面的各项分另相乘，可得结果为，再把整体代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 考点12：新定义问题 【例59】给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对，把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于x的二次多项式的特征系数对为__________； (2)求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积； (3)有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积不含项，求a的值； 【答案】(1)（3，2，-1）； (2)； (3)-6 【分析】（1）根据定义得到a，b，c的值即可得到答案； （2）根据特征多项式的定义得到两个多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则计算可得答案； （3）根据定义得到特征多项式，计算乘积，根据特征多项式的乘积不含项得到项的系数等于0，由此求出a． 【详解】（1）解：由定义得a=3，b=2，c=-1， ∴二次多项式的特征系数对为（3，2，-1）， 故答案为：（3，2，-1）； （2）有序实数对的特征多项式为， 有序实数对的特征多项式为， ∴（）（） = = = =； （3）有序实数对的特征多项式为， 有序实数对的特征多项式为， ∴（）（）=， ∵乘积不含项， ∴6+a=0， 解得a=-6． 【点睛】此题考查了新定义，多项式乘以多项式的计算法则，以及多项式不含项的应用，正确理解新定义得到多项式是解题的关键． 【例60】规定两数，之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故， 则，即． (1)根据上述规定，填空：_________；_________；_________． (2)计算___________，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数都成立． 【答案】(1)2；0；3 (2),理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）由于，，根据“雅对”的定义可得； （2）设，利用新定义得到，根据同底数幂的乘法得到，然后根据“雅对”的定义得到，从而得到； （3）设：，利用新定义得到，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立． 【详解】（1）∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵ ， ∴ 故答案为：2；0；3； （2）； 理由如下： 设，则， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即，对于任意自然数n都成立． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即 是正整数）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $