6.1.2 乘法公式与事件的独立性课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕事件的独立性与乘法公式展开，从条件概率出发，逐步构建起事件独立性的定义、判定及多事件推广，通过摸球、系统可靠性等真实情境问题，自然衔接知识脉络，形成由浅入深的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，以“不放回摸球是否独立”为例体现数学眼光，用“三次击落概率计算”展现数学思维的逻辑严密性，借助家庭孩子性别问题强化数学语言对现实现象的精准表达。教学设计注重概念辨析与实际应用结合，既帮助学生建立清晰的概率模型意识，又提升教师课堂组织与深度探究能力。

6.1.2 乘法公式与事件的独立性 两个事件的相互独立性可以推广到(＞，∈)个事件的相互独立性，即若事件相互独立，则这个事件同时发生的概率 事件是否发生 事件发生 事件是否发生 事件发生 不影响 不影响 事件与事件相互独立 由条件概率的定义 ,(其中) ① ,(其中) ② 乘法公式 根据乘法公式，可以计算两个事件同时发生的概率. 已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同. （1）先后两次从中不放回地各摸出一球，求两次摸到的均为黑球的概率； （2）从中不放回地摸球，每次各摸一球，求第三次才摸到黑球的概率. 解: 设事件表示“第次摸到的是黑球”，则事件表示“两次摸到的均为黑球”. 由题意知，.于是，根据乘法公式，有 设事件表示“第三次才摸到黑球”，则 由题意可知，，，，根据乘法公式，有 回顾事件独立性的概念我们知道,如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件就叫作相互独立事件. 例如,在试验“连续抛掷一枚均勾的骰子两次,观察每次出现的点数"中,若事件A表示“第一次掷出1点”,事件B表示“第二次掷出l点”,则事件A与B即为相互独立事件.不仅如此,结合古典概型,我们还得出两个相互独立事件同时发生的概率,等于这两个事件发生的概率的积,即. 事件与事件相互独立 事件与事件相互独立 事件（或）是否发生对事件（或）没有影响 从而. 反之，若， ，则； ，则 事件（或）是否发生对事件（或）没有影响 事件与事件相互独立 口袋中有4个黑球和3个白球，这7个球除颜色外完全相同，连摸两次，每次摸一球.记事件表示“第一次摸得黑球”，事件表示“第二次摸得黑球”.在放回摸球和不放回摸球两种情况下，事件与事件是否独立？ 分析放回摸球和不放回摸球这两种情况均可从以下两个方面来判断事件与事件是否独立. 是否成立；是否成立. 解： ①放回摸球：依题意有. 因此，，即放回摸球时事件与事件独立. ②不放回摸球：依题意有.. 因此，，即不放回摸球时事件与事件不独立. 如图，用a，b，c三类不同的元件连接成两个系统.当元件a，b，c都正常工作时，系统正常工作；当元件a正常工作且元件b，c至少有一个正常工作时，系统正常工作; 已知元件a，b，c正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90. （1）求系统正常工作的概率；（2）求系统正常工作的概率. 解： （1）依题意知. （2）依题意知 故系统正常工作的概率为. 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论与的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩. 解： 有两个小孩的家庭，＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，＝{(男，女)，(女，男)}， ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， ＝{(男，女)，(女，男)}， 于是()＝，＝，＝， 由此可知，所以事件不相互独立． 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论与的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩. 解： ＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}， 中含有个基本事件，中含有个基本事件，中含有个基本事件． 于是＝＝，＝＝，＝， 显然有＝＝成立． 从而事件与是相互独立的. 在某次空战中，若甲机先向乙机开火，则击落乙机的概率是0.2；若乙机未被击落，则进行还击，击落甲机的概率为0.3：若甲机未被击落，则再次进攻，击落乙机的概率是0.4，分别计算这几个回合中，甲、乙被击落的概率． 从而P（A2）＝P（A2）＝P（）P（｜）P（A2｜）＝0.8×0.7×0.4＝0.224． 由概率的加法公式可得P（A）＝P（A1∪A2）＝P（A1）＋P（A2）＝0.424． 即这几个回合中，甲、乙被击落的概率分别为0.24、0.424． 解析：设A＝“乙机被击落”，B＝“甲机被击落”，A1＝“乙机第一回合被击落”，A2＝“乙机第二回合被击落”， 由题意知A1，A2互斥，且A＝A1∪A2， 依题意，有P（A1）＝0.2，P（B｜ ）＝0.3，P（A2｜）＝0.4， 由乘法公式可得P（B）＝P（）＝P（）P（B｜）＝0.8×0.3＝0.24． 乘法公式 ,(其中) ① ,(其中) ② 相互独立 事件与事件相互独立 课堂小结 作业：教材189和190页练习题全做． $