3.4.3 课时3 点到平面的距离课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.4.3 课时3 点到平面的距离 作者编号：、32200 能用向量方法解决点到平面、平行于平面的直线到平面、相互平行的平面间的距离问题. 学习目标 作者编号：、32200 点到平面的距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度.特殊地，当点在平面内时，该点到平面的距离为0.如图，平面 <m></m> 的法向量为 <m></m> ， <m></m> 是平面 <m></m> 内的定点， <m></m> 是平面 <m></m> 外一点，过点 <m></m> 作平面 <m></m> 的垂线 <m></m> ，交平面 <m></m> 于点 <m></m> ，回答下列问题. 问题1：点<m></m>到平面</m>的距离是哪一个线段的长度？ 问题2：从向量投影的角度来看，点</m>到平面<m></m>的距离又是什么？ <m></m> 在直线 <m></m> 上的投影向量 <m></m> 的长度 PQ 新课导入 作者编号：、32200 问题3：根据向量投影的定义，你能得出点到平面</m>的距离的表达式吗？ <m> 课题探究 作者编号：、32200 归纳总结 点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量 ，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度， 即 课题探究 作者编号：、32200 例1 如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'. (1)求证： 是平面A'BD的一个法向量；(2)求点C'到平面A'BD的距离. 解：(1)依据题意有A'(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C'(1,1,1). 课题探究 作者编号：、32200 例1 如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'. (1)求证： 是平面A'BD的一个法向量；(2)求点C'到平面A'BD的距离. 又A'B，A'D 平面A'BD，A'B∩A'D=A'， ∴ ⊥平面A'BD，即 是平面A'BD的一个法向量. ∴点C'到平面A'BD的距离为 课题探究 作者编号：、32200 归纳总结 用向量方法求解点到平面的距离问题的一般步骤 1.确定一个法向量； 2.选择参考向量； 3.确定参考向量在法向量方向上的投影向量； 4.求投影向量的长度. 课题探究 作者编号：、32200 例2 如图，在直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离. 解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D­xyz， 则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，C(0，，0)． 过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝， ∴B(1，2，0)， ∴＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)． 课题探究 作者编号：、32200 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 即即 ∴y＝0，x＝z，不妨取n＝ ＝(0，0，2)， ∴点A1到平面ABE的距离d＝＝＝. ∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离， ∴直线A1B1与平面ABE的距离为. 课题探究 作者编号：、32200 例3 已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离． 解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz， 则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)， ＝(0，1，－1)，＝ ＝(－1，0，0)． 课题探究 作者编号：、32200 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即. 令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1，1，1)． ∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝. ∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于D1到平面A1BD的距离， ∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为. 课题探究 作者编号：、32200 归纳总结 (1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可． (2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可． 课题探究 作者编号：、32200 1..已知平面 的一个法向量 ，点 （ ， ， ）在平面 内，则点 到平面 的距离为( @ 36@ ) A. B. C. D. 2.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．3 D B 当堂检测 作者编号：、32200 3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为( @36@ ) B 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.如何求点到平面的距离？距离公式是什么？ 2.如何求解平行于平面的直线到该平面的距离、相互平行的两个平面间的距离？ 课后小结 作者编号：、32200 A. B. C. D. $$