3.4.3 课时3 点到平面的距离 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.4.3 课时3 点到平面的距离 作者编号：、32200 能用向量方法解决点到平面、平行于平面的直线到平面、相互平行的平面间的距离问题. 学习目标 作者编号：、32200 某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的一个点P处,要想使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计? 新课导入 作者编号：、32200 思考1：点到平面的距离是什么？ 点到平面的距离就等于过这点向平面所作垂线段的长度. 思考2：如何利用向量方法求点到平面的距离？ 可以通过一个向量在法向量方向上作投影向量的方法来求解距离. 新知讲解 作者编号：、32200 问题：设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量，如何求平面α外一点P到平面α的距离？ 过点P作PP′⊥平面α，垂足为P′， 则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离， 而 ∴向量 在法向量n0方向上的投影向量的长度 就等于线段PP′的长度. 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量 ，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度， 即 新知讲解 作者编号：、32200 例1:已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离． 解：以C为坐标原点，CB，CG所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 由题意可知G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)， ∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)， ＝(0，－2，0)． 设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)． 新知讲解 作者编号：、32200 由得 ∴ 令y＝1，则n＝(－1，1，－3)， 故点B到平面EFG的距离为d＝＝＝. 例1:已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离． 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 用向量法求点面距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系. (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标. (3)求向量：求出相关向量的坐标(<m>，α内两不共线向量，平面α的法向量n). (4)求距离d＝...</m>... 新知讲解 作者编号：、32200 例2:在单位正方体ABCD-A'B'C'D'中，点M是侧面ABB'A'的中心.判断直线C'M与平面ACD'是否平行.若平行，请证明你的结论，并求直线C'M到平面ACD'的距离；若不平行，请说明理由. 分析：平面ACD'截正方体得一个三角形，如图.点C'不在该三角形内，所以C'M 平面ACD'.进一步研究二者的位置关系可以考虑平面ACD'的法向量与 是否垂直. 解：以点D为原点，DA，DC，DD'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 由正方体的棱长为1，得 新知讲解 作者编号：、32200 设n=(x,y,z)是平面ACD'的一个法向量，则 取x=1，得y=z=1，故n=(1,1,1). ∴ ∥平面ACD'. ∴C'M∥平面ACD'. ∴直线C'M上任意一点到平面ACD'的距离都相等，都等于直线C'M到平面ACD'的距离. 又C'M 平面ACD'， 新知讲解 作者编号：、32200 ∴点C'到平面ACD'的距离为 即直线C'M到平面ACD'的距离为 例2:在单位正方体ABCD-A'B'C'D'中，点M是侧面ABB'A'的中心.判断直线C'M与平面ACD'是否平行.若平行，请证明你的结论，并求直线C'M到平面ACD'的距离；若不平行，请说明理由. 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 对于“求解平行于平面的直线到该平面的距离、相互平行的两个平面间的距离的问题”转化为“求直线或平面上一点到另一平面的距离”. 新知讲解 作者编号：、32200 例3:已知向量 ，对任意的实数a，b，当向量 的长度最小时，求a，b的值. 换句话说，当a，b变化时，点M是平面xOy内的动点. 分析：记向量 由平面向量基本定理可知，对任意的a，b，向量 都在 所确定的平面xOy内， 反之，平面xOy内的任意向量都可以用 来表示， 新知讲解 作者编号：、32200 解：如图， 由点到平面距离的定义，当且仅当n⊥平面xOy时，线段MY的长度最短. 要使向量 的长度最小,也就是线段MY的长度最短. 这时 例3:已知向量 ，对任意的实数a，b，当向量 的长度最小时，求a，b的值. 新知讲解 作者编号：、32200 例3:已知向量 ，对任意的实数a，b，当向量 的长度最小时，求a，b的值. 由 得 解得 ∴向量 的长度最小时， 新知讲解 作者编号：、32200 1.已知点A(－1，1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量n＝(1，－1，1)，则点A到平面α的距离为________． 2.已知平面 的一个法向量 ，点 在平面 内， 若点 到 的距离为 ，则 ( @12@ ) A. B. C. 或 D. 或16 C 当堂检测 作者编号：、32200 3.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为( ) B 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.如何求点到平面的距离？距离公式是什么？ 2.如何求解平行于平面的直线到该平面的距离、相互平行的两个平面间的距离？ 课堂小结 作者编号：、32200 A. B. C. D. $$