2.3.1抛物线及其标准方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

2.3.1 抛物线及其标准方程 我们在初中学过,一元二次函数y=ax2＋bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,而且知道,斜抛物体在没有空气阻力的情况下,其轨迹是抛物线,如铅球的运行轨迹等,有些拱桥、雷达的天线也是利用抛物线的原理制成的.那么,具有怎样几何特征的曲线是抛物线呢? 如图，在黑板上画出定点F与定直线l，将直尺固定在黑板上，并让其边缘与定直线l重合．把三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘，取一根细绳，其长度与三角板另一条直角边AB相等，细绳的一端固定在三角板顶点A处，另一端固定在定点F处． 用粉笔扣紧绳子，并靠住三角板，让三角板沿着直尺边缘上下滑动，粉笔（动点P）就在画板上描出了一段曲线，即点P的轨迹。 P点的轨迹就是抛物线，始终满足|PF|=| PB| 抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线(不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线． 这个定点F叫作抛物线的焦点； 这条定直线 l 叫作抛物线的准线． F P l O 焦点 准线 如果定点F在定直线l上，那么动点的轨迹为过点F的直线的垂线． • • 观察下面的图形，点A，B，C，D分别是四个圆的圆心，试用数学语言来描述这些点． 由于直线 l 与四个圆都相切，故圆心到圆上一点O的距离与圆心到直线 l 的距离相等，即A，B，C，D到点O的距离与到直线 l 的距离相等，符合抛物线的定义，故点A，B，C，D在以直线 l 为准线，点O为焦点的抛物线上． 抛物线的方程 类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程,你认为应如何建立平面直角坐标系,使所建立的抛物线的方程简单? F M l 焦点 准线 K O 取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与准线l相交于点K, 以线段KF的垂直平分线为y轴,建立如图的平面直角坐标系. x y F M l 焦点 准线 K O x y 设抛物线的焦点到准线的距离为p(p>O),则|KF｜=p,则焦点F（0，0），直线l的方程为x=-p; 设点M（x，y）是抛物线上的任意一点,点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义可知,抛物线上的点M满足 |MF|=d. 因为|MF|=,d=所以， 将上式两边平方并化简,得（p>0）. 以经过焦点F且垂直于准线的直线为x轴，x轴与准线相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系时，得出的方程为（p>0）我们把（p>0）叫作抛物线的标准方程．它的准线方程是 其中p是抛物线的焦点到准线的距离． x y F M l K 抛物线上的任意一点的坐标都满足此方程；反之，可以证明，以方程的解为坐标的点都在抛物线上． 根据下列条件，求抛物线的标准方程： （1）焦点坐标为(2，0)；（2）准线方程为． 解 (1)设抛物线的标准方程为()．其焦点坐标为，根据题意有，故．所以所求抛物线的标准方程为． （2）设抛物线的标准方程为()．则其准线方程为，根据题意有，故．所以所求抛物线的标准方程为． 已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，焦点到准线的距离为，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程． 解 因为抛物线的焦点到准线的距离， 所以所求抛物线的标准方程为， 其焦点坐标为(，0)， 准线方程是． 求下列抛物线的焦点坐标﹑准线方程和焦点到准线的距离： （1） ；（2）． 解：设抛物线的标准方程为()，其焦点坐标为，p是焦点到准线的距离． 由题意知： （1），，焦点坐标，准线方程为，焦点到准线的距离为6． （2），，，焦点坐标，准线方程为，焦点到准线的距离为． 抛物线的定义： 平面内与一个定点F和一条定直线(不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线．这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线 l 叫作抛物线的准线． 抛物线的标准方程：()． 焦点坐标是，准线的方程为．（p是抛物线的焦点到准线的距离） 课堂小结 作业：教材练习题73页全做． 设M为平面内一动点． 当0<k<1时，点M的轨迹为椭圆 当k>1时，点M的轨迹为双曲线 记点M到平面内的定点F和定直线l （l不经过点F）的距离之比为k． M F l H 即： M F l H M F l H $