精品解析：2025年江苏省镇江市中考数学试题

镇江市2025年中考数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1. 计算的结果是（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题关键．根据有理数的加法法则计算即可得． 【详解】解： ， 故选：C． 2. 使二次根式有意义的 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得． 【详解】解：使二次根式有意义，则， 解得， 故选：A． 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 4. 2024年全市共接待国内游客约55510800人次，其中数据55510800可表示为（ ） A. 55510.8万 B. 5551.08万 C. 555.108万 D. 55.5108万 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，根据，1万解答即可得． 【详解】解：万， 故选：B． 5. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”，熟练掌握主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义即可得． 【详解】解：这个几何体的主视图是， 故选：D． 6. 一组数据：82、80、82、87、90、84、85，它们的中位数是（ ） A. 82 B. 84 C. 85 D. 87 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 先将数据从小到大排序，然后根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：从小到大排序为：80，82，82，84，85，87，90， 中间的数为84， ∴中位数为84． 故选：B． 7. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点 ，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得 的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 8. 已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 9. 如图，直线，直线 分别交于点 ，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线 同侧的点 ，，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 根据作图可知： ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 故选：C． 10. 如图，在等腰三角形中， ，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点 在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ） A. 正东方向 B. 正南方向 C. 正西方向 D. 正北方向 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，掌握方法是解决问题的关键．根据图形旋转方式，可证明皆为等边三角形，可得，根据多边形外角和结论，图形每转动12次后与重合，依此规律解答即可． 【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且， 为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形， ， 此时点在点的正北方． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果汽车加油30升记作升，那么用去油10升，记作_____． 【答案】升 【解析】 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，根据题意准确分析可得结果． 根据加油记作，则用去油记作即可得解． 【详解】汽车加油30升记作升， 用去油10升记作升； 故答案是：升． 12. 如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种，再利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由图可知，任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种， 则当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是， 故答案为：． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握是解题的关键． 根据提公因式法分解因式，根据题意直接提取公因式 即可求解． 【详解】解：， 故答案为． 14. 关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，一元二次方程的，据此计算解答即可． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 15. 用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面图形的镶嵌和密铺，根据两个图形能够密铺，得到每个公共顶点处各角的和为360度，如图，易得， ，进而得到，再根据公共顶点处各角的和为360度，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：如图， 由题意和图（2）可知：， 可得 ∴ 故答案为：． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，， 是的中点，是边上的动点，作，交 于点 ，延长到点，使得．当面积最大时， 的长等于_____． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，取的中点 ，连接 并延长交 于点，证明，得到 ，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：连接，取的中点 ，连接 并延长交 于点， ∵，， 是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵ 为的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的面积最大； 此时 ； 故答案为：2． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点的位置，将三角形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 19. 如图，已知 ，边 与 分别交于点O，M，与交于点N， ．求证： ． 【答案】 证明： ， ， ， ，即 ， 在 和 中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质可得 ，再结合题意得到 ，根据 即可证明 ． 【详解】略 20. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得从袋子中随机摸出2个球的所有等可能的结果，再找出摸出标有数字2和3的两个球的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从袋子中随机摸出2个球共有12种等可能的结果，其中，摸出标有数字2和3的两个球有2种， 则摸出标有数字2和3的两个球的概率为， 答：摸出标有数字2和3的两个球的概率为． 21. 小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处 离地面多高？ 【答案】5尺 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．过点 作于点 ，先证出四边形是矩形，则可得尺，，再设尺，则尺，尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点 作于点 ， 由题意得：，尺，尺，尺， ∴四边形是矩形， ∴尺，， 设尺，则尺，尺， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 即尺， 答：折断处 离地面5尺． 22. 新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 （1）计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到 ）； （2）小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份 不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式 ．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 【答案】（1） （2），的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约万个； 预测我国2025年发明专利申请授权数万个 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意列式求解即可； （2）利用待定系数法求出满足的函数表达式，然后得到的实际意义，然后将代入表达式求解即可． 【小问1详解】 解： ∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为； 【小问2详解】 解：将，代入 得， ， 解得， ∴； 其中的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约 万个； 当时，， ∴预测我国2025年发明专利申请授权数万个． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点 分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点 的横坐标为，点 的坐标为， ， ． （1）求点A、 的坐标和反比例函数的表达式； （2）点 、分别在反比例函数和的图像上，与点、 构成以为边的平行四边形，则点 、的坐标分别为_____、_____． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由 可得，利用对应边成比例及 可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求． （2）由A、B两点坐标可知轴，根据点 、分别在反比例函数和的图像上，设出两点坐标，因为 、与点A、 构成以为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得： ， ， 作轴，轴，如图， ∵ ， ∴ ， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ∵，点 的坐标为， ， ，， ， ， 在反比例函数的图像上，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵ 、分别在反比例函数和的图像上， ∴设，， ∵，， ∴轴，且， ∵ 、与点A、 构成以为边的平行四边形， ∴，且 ，如图， ∴轴，且， ∴ 由②得：， 代入①得： 解得：（舍）， 则 ， ∴． 故答案为：． 24. 如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、 ， 为锐角，连接并延长与交于点 ，点在 的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为 ． （1）求证： 是等腰三角形； （2）在图（2）中作 ，满足 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （3）已知，在你所作的 中，若 ，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵ 是的两条切线，切点是， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 由对顶角相等得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形． （2） 如图， 即为所作． （3） 【解析】 【分析】（1）先根据切线长定理、切线的性质定理可得 ， ，再证出 ，根据等腰三角形的判定可得 ，由此即可得证； （2）先在的延长线上作 ，再过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为 ，由直角三角形的斜边中线的性质即可得 ； （3）过点作 于点 ，过点 作 于点 ，先解直角三角形可得，再设，则 ， ， ，在 中，利用勾股定理可得，则可得，，然后证出 ，根据相似三角形的性质可得的长，最后根据 即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作 于点 ，过点 作 于点 ， ∵ 是的两条切线，切点是， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， 在中，， 设，则 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴在 中，，即， 解得或 （不符合题意，舍去）， ∴，， ∵在等腰 中， ， ， ∴， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质定理、作垂线、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线长定理和解直角三角形的方法是解题关键． 25. 为什么变速自行车会“变速”？ 变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中 处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮． ［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等． （1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是_____． （2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿． 若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？ ［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）． 【答案】［探究]（1），，（2）从动轮的转速为每分钟160圈，“惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致［发现] 更换不同齿数的从动轮或主动轮 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质，旋转的性质，比的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系． ［探究]（1）根据题意，列出代数式，根据等式求出比值即可； （2）借助（1）的结论，根据齿数相等，进行求解即可，观察图中圆旋转的方向，可得“惰轮”的作用； ［发现]根据齿数相等，可选择更换不同齿数的从动轮或主动轮进行变速． 【详解】解：［探究]（1）主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有个， ∵ ∴， 故答案为：，，； （2）从动轮的转速为（圈/分钟）， “惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致， ∴从动轮的转速为每分钟160圈； ［发现]实现自行车“变速”的方法可以是：更换不同齿数的从动轮或主动轮． 26. 在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数 （、为常数）的图像交于点、 （点在点 的左侧），点在直线上，当点满足 时，我们称点是该二次函数图像的 生长点． （1）二次函数的图像如图所示． ①在 的不同取值2、、5中，使该函数图像有 生长点的 的值是_____； ②已知是该函数图像的 生长点，猜想的取值范围，并说明理由． （2）二次函数 （h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的 生长点，求该函数的表达式． 【答案】（1）① ②猜想，理由如下： ∵点在直线上， ∴ ， 由（1）知：当时，此时 ， ∴当时， ，此时直线上不存在点使 ， ∴； 又∵过点作轴的垂线与的图像交于点， 而的最小值为， ∴； ∴； （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，新定义，是解题的关键： （1）①令 ，得到，进而得到，根据新定义，进行讨论即可得出结果； ②点在直线上，得到 ，由①可知，再根据与的图像有2个交点，得到，即可得出结果； （2）把代入函数表达式，得到 ，令 ，得到，分3种情况求解即可． 【小问1详解】 解：①当 时，， ∴， ∴， ∴当时，， 此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使 ，满足题意； 当时， ， ∴当点在线段上时， ，满足题意； 当时， ， ∴直线上不存在点使 ，不满足题意； 综上：使该函数图像有 生长点的 的值是； ②略 【小问2详解】 ∵二次函数 （h、k为常数）的图像经过点， ∴ ； ∵是该函数图像的 生长点， ∴， 当 时，则：， ∴， ∴， ∴， ①当点在线段上时，则： ， ∴ ， 解得， 把代入 ，得： 或 ， 当 时，，满足题意； 当 时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去； ∴； ②当点在点的左侧时，则： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 把 ，代入 ，得：， 此时，符合题意； ∴ ； ③当点在点 的右侧时，则：， ∴ ， ∴ ， 把 ，代入 ，得： ， ∴ 此时，点不在点 的右侧，不符合题意，舍去； 综上：或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇江市2025年中考数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1. 计算的结果是（ ） A. 5 B. C. 1 D. 2. 使二次根式有意义的 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年全市共接待国内游客约55510800人次，其中数据55510800可表示为（ ） A. 55510.8万 B. 5551.08万 C. 555.108万 D. 55.5108万 5. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 一组数据：82、80、82、87、90、84、85，它们的中位数是（ ） A. 82 B. 84 C. 85 D. 87 7. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点 ，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 9. 如图，直线，直线 分别交于点 ，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线 同侧的点 ，，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰三角形中， ，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点 在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ） A. 正东方向 B. 正南方向 C. 正西方向 D. 正北方向 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果汽车加油30升记作升，那么用去油10升，记作_____． 12. 如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是_____． 13. 分解因式：______． 14. 关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 15. 用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于_____． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，， 是的中点， 是边上的动点，作，交 于点 ，延长到点 ，使得．当面积最大时， 的长等于_____． 三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，已知 ，边 与 分别交于点O，M，与交于点N， ．求证： ． 20. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率． 21. 小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点 处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处 离地面多高？ 22. 新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 （1）计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到 ）； （2）小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示 的值随年份 不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式 ．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点 分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点 的横坐标为，点 的坐标为， ， ． （1）求点A、 的坐标和反比例函数的表达式； （2）点 、 分别在反比例函数和的图像上，与点、 构成以为边的平行四边形，则点 、 的坐标分别为_____、_____． 24. 如图（1），过外一点 引的两条切线、，切点是、 ， 为锐角，连接并延长与交于点 ，点 在 的延长线上，过点 作的垂线，与的延长线相交于点 、垂足为 ． （1）求证： 是等腰三角形； （2）在图（2）中作 ，满足 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （3）已知，在你所作的 中，若 ，求 的长． 25. 为什么变速自行车会“变速”？ 变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中 处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮． ［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等． （1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是_____． （2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿． 若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？ ［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）． 26. 在平面直角坐标系中，过点作 轴的垂线与二次函数 （、为常数）的图像交于点 、 （点 在点 的左侧），点 在直线上，当点 满足 时，我们称点 是该二次函数图像的 生长点． （1）二次函数的图像如图所示． ①在 的不同取值2、、5中，使该函数图像有 生长点的 的值是_____； ②已知是该函数图像的 生长点，猜想 的取值范围，并说明理由． （2）二次函数 （h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的 生长点，求该函数的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $