第十五讲 指数函数知识总结与题型归纳 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦指数函数的核心知识体系，从定义、图像性质到定义域值域、单调性、比较大小及奇偶性层层递进，构建清晰的知识脉络。通过“定义辨析—图象识别—性质应用—综合探究”的学习支架，帮助学生建立从具体到抽象的认知路径，实现对指数函数本质的深度理解。 资料设计突出数学眼光与思维的融合运用，以例题为载体引导学生观察图像特征、抽象函数关系，如例6通过多图对比提炼“底大幂大”规律，体现几何直观与逻辑推理的协同作用。变式训练紧扣课标要求，强化运算能力与模型意识，例如第4题将方程解的存在性转化为函数图像交点问题，提升学生用数学语言表达现实情境的能力。课中便于教师精准施教，课后助力学生查漏补缺，是落实核心素养导向教学的理想素材。

第十五讲 指数函数知识总结与题型归纳 知识再现 1．指数函数的定义 一般地，函数(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量. 指数函数定义解读： (1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x；(3)系数：ax的系数是1. 2.指数函数图像及性质 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 3.方法技巧与总结 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 4.函数性质比较 指数函数①、②③、④的图象如下图所示 则，总结：第一象限：底大幂大（底大图高） 题型一 指数函数的定义 例1：(1)下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.，其中指数函数的个数(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：(1)形如“(a>0，且a≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B. 例2.若函数是指数函数，且，则＝________，＝________. [解析]　设(a>0，且a≠1)， ∵，∴a2＝9，a＝3，即f(x)＝3x.∴f(－2)＝3－2＝，f(1)＝3.[答案]　　3 例3.函数（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（　　） A．（0，－3） B．（0，－2） C．（1，－3） D．（1，－2） 解析：令x－1＝0，则x＝1，此时，y＝a0－3＝－2，∴图象过定点（1，－2）．故选：D． 例4：函数是指数函数，则（ ） A．或 B． C． D．且 解析：由指数函数定义知，同时，且，所以解得，故选：C 变式训练 1.若函数是指数函数，则________. 解析：由是指数函数， 可得解得. 2.下列函数：①；②；③；④；⑤.其中一定为指数函数的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：形如且为指数函数， 其解析式需满足①底数为大于0，且不等于1的常数，②系数为1，③指数为自变量， 所以只有②是指数函数，①③④⑤都不是指数函数，故选：B. 3.已知指数函数图像经过点，则_____. 解析：设指数函数为（且），由题意得，解得， 所以，故．答案：． 题型二 指数函数的图象 例5：函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 解析：由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项； 分析可知： 函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.故选：D 例6：如图，是指数函数①、②③、④的图象，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】∵当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数， 当底数大于0小于1时是定义域内的减函数， 由图可知、为增函数，则大于1. 、为减函数，则大于0小于1. 当时，对应的函数值依次为①、②③、④， 由图知，当时，对应函数值由下到上依次是②①④③，得， 所以正确选项为B故选:B． 例7：在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得， 所以一次函数与x轴交于，与y轴交于，故排除B选项； 对于A选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故A选项不正确； 对于D选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故D选项不正确； 对于C选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故C选项正确； 故选：C. 例8：画出函数的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质. 【答案】见解析【解析】 ，其图象是由两部分组成的：一是把的图象向右平移1个单位长度，取的部分；二是把的图象向右平移1个单位长度，取的部分，如图中实线部分所示。 由图象可知，函数有三个重要性质. ①对称性：图象的对称轴为直线. ②单调性：在上单调递减，在上单调递增. ③函数的值域：. 变式训练 1.函数的图象可能是 （ ） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 ①当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则A错误； 又时，，则函数过点，故B错误； ②当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则D错误； 又时，，则函数过点，故C正确； 故选：C 2．如图，曲线①②③④分别是指数函数，，，的图像，则实数a、b、c、d的大小关系满足（ ） A． B． C．； D．． 【答案】B 【解析】作出直线，此时与各函数的交点的纵坐标即为对应的底数，如图， 所以，故选：B 3．函数y＝2－|x|的大致图象是(　　) [解析]　y＝2－|x|＝画出图象，可知选C.[答案]　C 4．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________． [解析]　作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0. [答案]　[1，＋∞)∪{0} 题型三：指数函数的定义域与值域 例9.函数y＝的定义域是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，0] C．[0，＋∞) D．(0，＋∞) [解析]　由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.[答案]　C 例10:求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）定义域：，值域：，减区间：；（2）定义域：，值域：，减区间：和；（3）定义域：R，值域：，增区间：，减区间：；（4）值域，减区间：，增区间： 【解析】（1）由得，所以定义域为，又， 所以，，所以值域中， 在上是减函数，所以的减区间是； （2）由得，所以定义域是， 又，所以值域是， 在和上都是增函数， 所以的减区间是和； （3）定义域是，又，所以值域中， 在上递增，在上递减， 所以的增区间，减区间是； （4）定义域是，令，由，所以， ，所以，值域， 又在上递减，在上递增，而是减函数， 所以的减区间是，增区间． 例11：设. （1）求的值域； （2）证明为上的增函数. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 解析：（1）因为，所以，所以，即的值域为； （2）任取、，且．则 所以,所以为上的增函数 变式训练 1．若x满足不等式，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 解析：由可得， 因为在上单调递增，所以即，解得：， 所以，即函数的值域是，故选：B. 2．下列函数值域为(0，＋∞)的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析：∵1－x∈R，∴∈(0，＋∞)，故选D.[答案]　D 3.求下列函数的定义域、值域. （1）y＝； （2）y＝4x－2x＋1. 【答案】（1）定义域为R；值域为(0，1)；（2）定义域为R；值域为. 解析：（1）∵对一切x∈R，3x≠－1；∴函数的定义域为R； ∵y＝＝1－；又∵3x>0，1＋3x>1； ∴0<<1，∴－1<－<0；∴0<1－<1，∴值域为(0，1). （2）函数的定义域为R；y＝(2x)2－2x＋1＝2＋； ∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值； 同时y可以取一切大于的实数；∴值域为. 4．已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的最大值和最小值． [解]　设t＝3x，∵－1≤x≤2，∴≤t≤9，则f(x)＝g(t)＝－(t－3)2＋12，故当t＝3，即x＝1时，f(x)取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，f(x)取得最小值－24. 题型四：指数型函数的单调性 例12：已知函数，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 解析：可知函数为减函数，由，可得， 整理得，解得，所以不等式的解集为．故选B. 例13.函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 解析：设，在单调递增，在单调递减， 在单调递增， 根据“同增异减”可得，函数的单调递减区间是.故选：A. 例14.（1）求函数的单调区间； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）单调递增区间为，单调递减区间为。 解析：（1）令，则为单调递减函数， 因为在上递减，在上递增， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 因为为递减函数，所以当时，，当时，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 变式训练 1.已知函数，则函数的单调递增区间是___________． 解析：令，得函数定义域为， 则在上递增，在递减． 又因为函数为减函数，所以函数的单调递增区间是． 2.已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：可知函数在R上单调递增，所以； 对称轴，即；临界点处，即； 综上所述：故选：B 3.已知函数 （1）若，求的单调区间； （2）若的最大值为3，求实数的值； （3）若的值域是，求实数的值 解析：（1）函数的递减区间是，递增区间是（2）（3）0 【解析】（1）当时，， 令，由于在上单调递减，在上单调递增， 而在上为减函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 即函数的单调递减区间是，单调递增区间是． （2）令，则， 为的最大值为3，所以的最小值为， 当时，，无最大值； 当时，有，解得，所以当的最大值为3时，实数的值为1． （3）由指数函数的性质，知要使的值域为， 应使的值域为． 当时，，值域为，符合题意； 当时，为二次函数，其值域不为，不符合题意． 故当的值域是时，实数的值为0． 4.已知函数 （1）求的单调区间； （2）若的最大值为，求a的值 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）2. 解析：（1）令，则原函数化为，无论a取何值，在上单调递减，在上单调递增，又是单调递减的， 因此的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）在上递增，在上递减，在处取最大值， ，，． 题型五：比较大小 方法总结：①“同低构指”即相同底数，构造指数函数，再结合函数单调性比较大小 ②“同指构幂”，即相同指数，构造幂函数，再结合函数单调性比较大小 ③和“1”比与和“0”比 例15：设则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 由在区间是单调减函数可知，，又，故选. 例16.已知，则（ ） A. B. C. D. 解析：选A 变式训练 1.已知，，，则（ ） A． B． C． D． 解析：根据函数单调递减知：； 根据函数单调递增知：，故.故选：. 2.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 解析：由，，， 则，，又，， 则，即，所以．故选：D． 3.设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：因为， 且， 在上递增， 所以，即，综上： 故选：A 题型六：指数型函数的奇偶性 例17：设函数，其中． （1）若，且为R上偶函数，求实数m的值； （2）若，且在R上有最小值，求实数m的取值范围； （3），，解关于x的不等式． 【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析. 解：（1），所以， 所以，检验，此时，， 所以，为偶函数； （2），令，则在上有最小值， 所以，得； （3），所以，所以， 因为，，所以． ①，即，解集为R；②，即，解集为． 例18：已知定义域为的函数是奇函数． （1）求，的值； （2）用定义证明在上为减函数； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围． 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）. 解：（1）为上的奇函数，，可得 又 ，解之得 经检验当且时，，满足是奇函数． （2）由（1）得， 任取实数、，且 则 ，可得，且 ，即，函数在上为减函数； （3）根据（1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数． 不等式恒成立，即 也就是：对任意的都成立． 变量分离，得对任意的都成立， ，当时有最小值为 ，即的范围是． 变式训练 1.已知定义域为的函数，是奇函数. （1）求，的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 解析：（1）因为是上的奇函数， 所以，即，解得. 从而有.又由知，解得. 经检验，当时，，满足题意 （2）由（1）知， 由上式易知在上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式等价于. 因为是上的减函数，由上式推得. 即对一切有，从而，解得. 2.已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. （1）求该函数的解析式，并画出图象； （2）判断该函数的奇偶性和单调性. 【答案】（1），图象见解析；（2）为偶函数，在上为减函数，在上为增函数. 【解析】（1）由题意知，，， ，∴，图象如图： （2）∵，∴，为偶函数， 又，∴在上为减函数，在上为增函数． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $第十五讲指数函数知识总结与题型归纳 知识再现 1.指数函数的定义 一般地，函数y=a (a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量. 指数函数定义解读： (1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x;(③)系数：a的系数是1. 2.指数函数图像及性质 y=a* 0<a<1 a>1 a-(1,a) 1(1,a) a- O1 x 图 象 ①定义域R,值域(0，+∞) 性 ②a°=1，即时x=0,y=1,图象都经过(0，)，点 质 ③a=a,即x=1时，y等于底数a ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a>1;x>0时，0<a<1 x<0时，0<a<1;x>0时，a>1 ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 3.方法技巧与总结 (1)当底数大小不定时，必须分“a>1”和“0<a<1”两种情形讨论. (2)当0<a<1时，x>+o，,y→0；a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快。 当a>1时x→+o,y→0；a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快. ()指数画载y=口与=（白的因象关于）轴对称。 a 4.函数性质比较 指数函数①y=a、②y=b③y=c、④y=d的图象知下图所示 第1页共17页 0 则0<b<a<1<d<c,总结：第一象限：底大幂大（底大图高） 题型一指数函数的定义 例1：下列函数：①y=2·3；②y=3+；③y=3；④y=x3.,其中指数函数的个数(） A.0B.1C.2 D.3 例2若函数(w是指数函数，且f2)=9，则f八-2)=，f0= 例3函数少=a-3 (a>0,且a≠1)的图象恒过定点(） A.(0,-3) B.(0,-2)C.(1,-3) D.(1,-2) 例4：函数y=(a-2)Pa是指数函数，则() A.a=1或a=3B.a=1C.a=3D.a>0且a≠1 变式训练 第2页共17页 1.若函数y=(a2-3a+3列a是指数函数，则a= 2.下列函数：①y=3；②y=6;③y=62；④y=8+1;⑤y=6.其中一定为指数 函数的有(） A.0个B.1个C.2个D.3个 3.已知指数函数图像经过点（2)，则f(2)=— 题型二指数函数的图象 例5：函数f(m)=a心的图像如图所示，其中a,b为常数，则下列结论正确的是(） 第3页共17页 A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0 创6：如图，是指数函数@y=a、②y=b广③y=c、④y=“的图象，则(） 0 A.a<b<l<c<b B.b<a<l<d<e C.I<a<b<e<d D.a<b<l<d<e 例7：在同一平面直角坐标系中，指数函数y=a'(a>0且a≠l)和一次函数y=a(x+1)的图 第4页共17页 像关系可能是() 乳· 例8：画出函数y=2的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质 变式训练 1.函数y=a-a(a>0,a≠1)的图象可能是() 第5页共17页 2.如图，曲线①②③④分别是指数函数y=a,y=b，y=c，y=d的图像，则实数 a、b、c、d的大小关系满足() ①② ③/④ 0 A.a<b<c<d B.b<a<d<cC.d<c<b<a;D.c<d<a<b. 3.函数y=2的大致图象是() 4.方程|2-11=a有唯一实数解，则a的取值范围是 第6页共17页 题型三：指数函数的定义域与值城 例9.函数y=的定义域是() A.(-∞，0)B.(-∞，0C.[0,+∞)D.(0,+∞) 例10：求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间. (1)fy=-3*z; (3)f(x)=2-2+3; ④-日号+1*e2) 倒：说到=名 第7页共17页 ①求的值城； (2)证明八)为R上的增函教 变式训练 x-2 。若满足不等式2≤4，则函数2的值城是) D.[2,+o) 2.下列函数值域为(0，十∞)的是() A.y=42xB.y=C.=V3-1 3.求下列函数的定义域、值域。 第8页共17页 3 (1)y=1+3; (2)y=4-2*+1. 4.已知一1≤x≤2，求函数fx)=3十2×3*+1-9的最大值和最小值. 题型四：指数型函数的单调性 创：巴点食四-得。则不等式0-4>回骑每来) A（4,) Bl,4c4 D0,4) 例13.函数y=5+43 的单调递减区间是（) A.2,+ ）B.←，21C.←oD.L+w 第9页共17页 x2-6x+17 例14.(1)求函数少 的单调区间； +11 的单调区间. 变式训练 1.已知西教f)=宁，则画数的草拥递增区同是 a-1,x≤1 2已知函鼓f四= 2x2-ar+a,x>1是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（) 4.02) B.43)C.2,3)D.4 第10页共17页