第17讲：对数运算【知识梳理+9个题型梳理+方法总结】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【第17讲：对数运算】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、核心定义 1.指数-对数互化 若（），则（真数，底数为对数有意义条件）。 2.特殊对数 常用对数： 自然对数：（） 二、基础运算公式（必记） 1.特殊值公式 1.1（） 1.2（）（特例：，） 2.对数恒等式 2.1（） 2.2（） 3.四则运算法则（） 3.1积的对数： 3.2商的对数： 3.3幂的对数：（） 3.4根式的对数：（为正整数） 3.5倒数的对数： 4.换底公式 4.1基本形式：（） 4.2推论：（） 三、拓展核心公式（常考） 3.1跨底数幂变换：（） 3.2连锁换底：（且均≠1） 3.3交叉变形：（） 四、常考结论（高频） 1.单调性与大小比较 底数范围 单调性 大小关系（） 单调递增 单调递减 同真数规律：时，底数越大值越大；时，底数越大值越小（底大图低）。 2.特殊关系与不等式 2.1 2.2：时；时 2.3：时；时 五、易错点（必避） 1.无“对数分配律”： 2.忌错变形：， 3.必验定义域：真数，底数且 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：对数的概念与判断】 【解题策略】 一、核心前提（判断必用） 对数（含，）有意义的2个条件： 1.底数：（底数固定，无需额外判）； 2.真数：（所有对数必判）。 二、3类高频题型解题速览 题型1：判断对数是否有意义 核心：底数+真数双验证 步骤： 1.拆“底数”“真数”（真数是对数后整体）； 2.判底数：（含字母解不等式）； 3.判真数：（含字母解不等式）； 4.双条件同时满足则有意义。 题型2：判断对数表达式正误 核心：对照公式+避误区 步骤： 1.定位表达式涉及的公式（积/商/幂法则、换底等）； 2.查公式适用条件（如需）； 3.排常见错： 忌“分配律”：； 忌错乘除：，； 4.不确定时用特殊值验证（如）。 题型3：判断对数命题真假 核心：拆要素+用性质+举反例 步骤： 1.拆命题：明确对数的底数、真数及涉及的性质（单调性、定义域等）； 2.验性质： 单调性：增，减，且定义域是“真数>0”； 大小比较：先判，再按底数单调性定关系； 定义域：直接解“真数>0”对比命题； 3.假命题用反例证（如“”，取，）。 三、解题口诀（速记） 1.有意义：底数正且≠1，真数>0双满足； 2.表达式：积商幂有法则，加减无分配，错变形要规避； 3.命题判：拆要素验性质，反例证假最直接。 例题精选 【例题1】（2023高一·上海·专题练习）在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·全国·周测）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【相似题2】【多选】（25-26高一上·全国·课后作业）使对数式有意义的a的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【相似题3】【多选】（22-23高一下·湖北武汉·开学考试）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2：指数对数的互化】 【解题策略】 一、互化核心公式（必记） 若，则： （关键：3个条件+“指数式↔对数式”双向转换） 二、高频题型解题步骤 1.求数值（如求或） 解题关键：直接对号互化 步骤： ①找指数式/对数式中的； ②代入互化公式计算（例：→设→）。 2.解方程（如或） （1）同底型（如或） 步骤： ①互化（或直接用“同底则指数/真数相等”）； ②解方程； ③验条件（）。 （2）不同底型（如或） 步骤： ①统一底数（用换底公式，如）； ②互化为同底方程； ③求解+验条件。 3.求定义域/值域（如求定义域） 解题关键：互化后抓“真数/指数值范围” 步骤： ①对数→互化为指数（如→）； ②列不等式（如→）； ③得定义域/值域。 4.证明等式（如证明） 步骤： ①设对数式为未知数（如设）； ②互化为指数式（）； ③代入左边（），等式成立。 三、易错点（避坑） 1.必验条件：（解方程后漏验必错）； 2.互化对应：指数式中“底数→对数底数，指数→对数值，结果→真数”，别错位； 3.0/1特殊值：，（高频用，记熟）。 四、做题口诀 “互化先看三条件，对号入座找a/x/N； 解方程先验范围，证等式设元最简便。” 例题精选 【例题1】（25-26高三上·天津·阶段练习）已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 【例题2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 【例题3】（25-26高三上·浙江·开学考试）已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课前预习）若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 【相似题2】（25-26高一上·全国·课前预习）若（，且），则（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高二下·天津·期末）若，则 【题型3：对数的运算】 【解题策略】 一、通用解题步骤（先做这3步） 1.定定义域：先确保所有对数的真数>0、底数>0且≠1（不满足则无意义，直接排除）； 2.选公式：根据式子结构选对应公式（积/商/幂法则、换底公式、恒等式）； 3.简运算：从复杂项入手（如根式、负指数），逐步化简，最后合并结果。 二、分题型解题策略 题型1：基本运算法则应用（化简/求值） 策略：“拆复杂，凑特殊值” ①拆幂/根式：，； ②凑、等特殊值（如）。 题型2：换底公式应用（跨底运算） 适用场景：式子含不同底数的对数（如）； 策略：“统一底数，优先换为常用/自然对数” ①统一为或（如）； ②用推论：、（快速化简）。 题型3：与指数结合的运算（指对混合） 策略：“指对互化，用恒等式” ①用或（如）； ②指数化对数或对数化指数（如化为，再代入运算）。 题型4：含参数的运算（求参数值/范围） 策略：“先定范围，再列等式/不等式” ①列参数的定义域条件（如需）； ②化简后列等式（如得，结合得）； ③注意参数范围对结果的筛选（排除不符合定义域的解）。 三、避坑关键（必记） 1.忌“分配律”：； 2.忌忽略定义域：先定范围再运算，避免最后求错解； 3.换底后分母不为0：（即）。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习） . 【例题2】（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）求值： (1)； (2)． 【例题3】（25-26高三上·河南周口·阶段练习）计算下列各式的值. (1)； (2)； (3)已知，，计算的值. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·江西·阶段练习）已知，若，且，则关于的不等式的解集为 ． 【相似题2】（2025高三·北京·专题练习） . 【相似题3】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）； （2）； （3）已知，求的值． 【题型4：对数的换底公式】 【解题策略】 一、先抓核心公式与推论（必记） 1.基本公式：（条件：） 2.高频推论（直接用，省步骤）： 倒数关系： 跨幂变形：（） 连锁换底： 二、分题型解题策略（对应场景+步骤） 题型1：不同底数对数化简/求值（最常用） 适用场景：式子含2个及以上不同底数（如、） 解题步骤： ①优先选“常用对数（）”或“自然对数（）”统一底数（计算方便，不易错）； ②若有“底数为幂”的对数（如），直接用“跨幂变形推论”化简，无需完整换底； ③约分化简（中间相同对数项可抵消，如）。 题型2：非特殊对数值计算（无计算器） 适用场景：求、等非特殊值的近似值 解题步骤： ①换底为“常用对数（）”（已知近似值：，，）； ②代入公式计算（如）。 题型3：对数等式证明（中档题） 适用场景：证明、等 解题步骤： ①从“左边复杂端”入手（避免两边同时推，易混乱）； ②用换底公式转化为同底数对数（优先选）； ③约分化简，逐步向“右边简单端”靠拢（如证明：左=）。 题型4：含参数的对数问题（求参数值/范围） 适用场景：如、有意义求 解题步骤： ①先列“定义域条件”（底数>0且≠1，真数>0，如需满足）； ②用换底公式将对数方程/不等式转化为代数形式（如）； ③筛选“符合定义域的解”（排除无效值，如虽满足代数解，但不满足底数>0，需舍去）。 三、避坑关键（3个必注意点） 1.定义域优先：所有步骤前先验证“底数>0且≠1，真数>0”，否则后续计算无意义； 2.分母不为0：换底后分母，即（需同步检查）； 3.推论别乱用：跨幂变形中，（分母不能为0）。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·上海·期中）若，则 .（用表示） 【例题3】（2025·上海崇明·三模）已知，则 ． 相似练习 【相似题1】（2025·吉林·模拟预测）求值： . 【相似题2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，若，则（   ） A． B．3 C．6 D．9 【相似题3】（2025高二·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)已知，试用表示． 【题型5：对数恒等式的证明】 例题精选 【例题1】（22-23高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 【例题2】（23-24高一·上海·课堂例题）设均为正数，且均不为1.求证：. 【例题3】（24-25高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【相似题2】（23-24高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（21-22高一下·广西崇左·阶段练习）求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【题型6：对数运算的实际应用】 【解题策略】 一、通用解题流程（先走这5步） 1.定模型：根据实际场景识别数学模型（如增长/衰减用指数模型，测量用对数定义模型）； 2.找已知：提取题目中已知量（如初始值、最终值、时间、参考值），明确待求量； 3.列方程：将已知量代入模型，列出含待求量的等式； 4.转对数：用“指对互化”“对数运算法则”将方程转化为可解的对数形式（消去指数，分离待求量）； 5.验意义：求解后验证结果是否符合实际（如时间>0、浓度>0、利率>0）。 二、分场景解题策略（高频3类） 场景1：增长/衰减问题（如人口、细菌、放射性物质） 核心模型 指数增长：（初始量，增长率，时间，时刻量） 指数衰减：或（为衰减系数，自然对数模型常用） 解题步骤（以“求时间”为例） ①代入已知量：如“初始细菌，增长率，求达到的时间”，列方程：； ②简化方程：两边同除，得； ③取对数转化：两边取常用对数（）或自然对数（），用幂法则展开：； ④求解待求量：（用已知近似值）； ⑤验实际意义：（时间为正，符合实际）。 避坑点 增长率/衰减率需化为小数（如20%→0.2，不能直接代20）； 衰减模型中、，避免符号错误。 场景2：测量类问题（pH值、声强级、地震震级） 核心模型（均为对数定义型） 1.pH值（溶液酸碱度）：（为氢离子浓度，单位：mol/L，）； 2.声强级（分贝dB）：（为实际声强，为参考声强，）； 3.地震震级（里氏震级）：（为地震波振幅，为标准振幅，）。 解题步骤（以“求氢离子浓度”为例） ①代入已知：如“某溶液pH=3.5，求”，列方程：； ②变形解对数：移项得； ③指对互化：（用）； ④验实际意义：，符合浓度要求。 避坑点 公式中的“负号”“系数”别漏（如pH带负号，声强级乘10）； 参考值为固定值，题目未给时直接用标准值（如）。 场景3：复利与投资问题（如存款、理财） 核心模型（复利公式） （最终本息和，本金，年利率（小数），每年复利次数，年数） 特殊情况（年利率复利）：，公式简化为。 解题步骤（以“求年数”为例） ①代入已知：如“本金，年利率，每年复利1次，求本息和的时间”，列方程：； ②简化方程：两边同除，得； ③取对数求解：两边取自然对数（），得，故年； ④验实际意义：，符合时间要求。 避坑点 年利率需化为小数（如5%→0.05，不能代5）； 复利次数：“每年1次”，“每半年1次”，“每月1次”，别错认。 三、核心技巧与避坑总结 1.模型记准：区分“指数模型（求时间/率）”和“对数定义模型（求物理量，如pH）”，别混淆公式； 2.对数选对：求“整数指数”用（如用），求“自然指数（）”用（如衰减模型）； 3.近似值用熟：常用、、、，避免计算错； 4.实际意义优先：解出的时间、浓度、利率需为正，否则舍去（如求增长率得负，说明是衰减，需调整模型）。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）某种生物的数量与时间（单位：天）之间的关系为：，其中表示该生物的初始数量，已知经过10天后，种群数量变为原来的2倍.求至少经过多少天，使该生物数量超过初始数量的10倍（参考数据：）（    ） A．23 B．24 C．33 D．34 【例题2】（25-26高三上·甘肃·阶段练习）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（   ） A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 【例题3】（25-26高三上·山东淄博·阶段练习）围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有4000多年的历史.围棋最早被称为“弈”或“棋”后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来.南北朝时候，棋盘定型为现在的19道棋盘（即棋盘上有纵横各19条线段将棋盘分成361个交叉点）.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·河南·阶段练习）研究表明地震释放的能量（单位：焦耳）与震级之间满足（为常数）.若5.5级地震所释放的能量为焦耳，8级地震所释放的能量为焦耳，则6级地震所释放的能量为（    ）（取） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 【相似题2】（25-26高三上·上海·开学考试）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则 ． 【相似题3】（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）数学家从实际生活中发现如下现象，在大量的十进制随机数据中，以开头的数出现的概率为.若，则的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【题型7：对数运算的新文化题型】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·江西景德镇·期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2024·四川眉山·一模）世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k= 【例题3】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，．则的值是（    ） A．145 B．857 C．150 D．243 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海金山·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 【相似题2】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）17世纪初，约翰•纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系､纳皮尔的对数､牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计的最高位的数值为 真数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.30103 0.47712 0.60206 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 1.000 【相似题3】（2023·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 【题型8：对数的比较大小】 【解题策略】 一、核心依据（先记牢，再做题） 对数大小比较的本质是对数函数单调性，关键看底数范围： 当时，在上单调递增（真数大→对数值大）； 当时，在上单调递减（真数大→对数值小）。 *注：所有比较前，先验证真数>0、底数>0且≠1（无意义的对数直接排除）。* 二、分题型解题策略（高频4类+新增方法） 题型1：同底对数比较（最基础，直接用单调性） 策略：“定底数→判单调→比真数” 解题步骤： 1.确定对数的公共底数，判断范围（或）； 2.根据底数范围确定单调性（递增/递减）； 3.比较两个真数的大小（需保证真数>0）； 4.结合单调性，由“真数大小”推“对数值大小”。 *例：比较与：底（递增），真数→。* 题型2：同真数对数比较（“底大图低”规律） 策略：“同真数看底数，分范围用规律” 核心规律： 若真数：底数越大，对数值越小（底大图低）； 若真数：底数越大，对数值越大（底大图高）。 解题步骤： 1.确定两个对数的公共真数，判断范围（或）； 2.套用“底大图低/高”规律，或用换底公式转化为同底（如，通过分母符号判断大小）； 3.得出结论。 *例：比较与：真数（底大图低），底→。* 题型3：不同底不同真数比较（找“中间量”+新增方法） 策略：“优先找中间量（0/1），区间相同用转化法/糖水不等式/扩大倍数法” 常用中间量： 0（对应，真数=1时对数值为0）； 1（对应，真数=底数时对数值为1）。 解题步骤： 1.将两个对数分别与“0”或“1”比较，判断其所在区间（如、、）； 2.若区间不同，直接通过中间量定大小（如甲>1，乙<1→甲>乙）； 3.若区间相同，可选择以下3种方法： 方法1：换底公式统一底数（原方法）：转化为同底对数，用单调性比较； 方法2：糖水不等式法（适用于型，）； 方法3：扩大倍数法（适用于分子分母可凑同的情况）。 新增方法详解 方法2：糖水不等式法（核心公式+应用） 糖水不等式：若且，则（“加糖变甜，比值变大”）。 适用场景：比较与（，底和真数均差1的对数）。 应用步骤： ①用换底公式将对数化为分数：，； ②令，，（因，故且）； ③套用糖水不等式：，而，故。 例：比较与：直接用结论→（无需复杂计算）。 方法3：扩大倍数法（核心思路+应用） 核心思路：给两个对数的“分子分母”同乘一个公共倍数，凑出相同的分子或分母，再比较大小。 适用场景：对数换底后分数的分子/分母有公倍数（如与）。 应用步骤： ①换底为常用对数：，； ②扩大公共倍数（此处乘）：得到与； ③用均值不等式判断：，故，即。 例：比较与：扩大后比较与，同理得。 题型4：含参数的对数比较（分类讨论底数） 策略：“分底数范围（和），再结合真数” 解题步骤： 1.明确参数为“底数”（如与）还是“真数”（如与）； 2.若参数为底数：分和两类讨论单调性，再比较真数； 例：比较与： 当（递增）：→； 当（递减）：→； 3.若参数为真数：先定底数范围（已知或隐含），再按单调性比较参数（需保证真数>0）； 4.综合两类情况，写出结论。 三、避坑关键（5个必注意） 1.定义域优先：比较前先确认所有对数的真数>0、底数>0且≠1（如比较与，需先定）； 2.单调性别搞反：尤其时，真数越大，对数值越小（易与混淆）； 3.中间量选对：优先用0或1（计算简单），复杂情况再用2、等； 4.糖水不等式适用条件：仅当对数为型（）时直接用，其他类型需先转化； 5.扩大倍数法注意符号：若对数为负（如），扩大后需变号比较（如，扩大2×3=6后→不成立，需先取绝对值）。 四、速记口诀 同底看单调，真数定大小； 同真看底数，N大底大图低； 不同找中间（0/1），区间相同有三法： 换底统一、糖水凑、扩大倍数比先后； 参数分两类（a>1和0<a<1），讨论要周到。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·云南红河·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·贵州·阶段练习）已知指数函数，，，若，，满足，且，，均大于，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（25-26高一上·新疆·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·湖北·阶段练习）若实数满足，则的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知，则，，的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【题型9：对数运算结合基本不等式】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·云南·期中）若，则的最小值为（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 【例题2】（25-26高三上·上海虹口·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【例题3】（2025高一·上海·专题练习）已知，则的最小值是 . 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·陕西渭南·阶段练习）若，则的最小值为 . 【相似题2】（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【相似题3】（25-26高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三上·山东泰安·期中）已知，，，且，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．12 2．（24-25高一下·浙江·期中）的值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高一下·湖南娄底·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 5．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知，则 . 6．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知，，则 .（用数字作答） 7．（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，且，则t的值为 ； 8．（25-26高一上·全国·课后作业）通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则 9．（24-25高三下·上海静安·期中）已知，则 ．（请用含的代数式表达） 三、解答题 10．（25-26高一上·河南南阳·期中）（1）求值：； （2）求值：； （3）已知，求的值. 11．（24-25高一下·河北保定·期中）（1）计算：； （2）计算； （3）已知，求的值. 12．（23-24高一下·江苏南通·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. （3）已知，，试用，表示. 13．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 14．（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，试用表示. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【第17讲：对数运算】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、核心定义 1.指数-对数互化 若（），则（真数，底数为对数有意义条件）。 2.特殊对数 常用对数： 自然对数：（） 二、基础运算公式（必记） 1.特殊值公式 1.1（） 1.2（）（特例：，） 2.对数恒等式 2.1（） 2.2（） 3.四则运算法则（） 3.1积的对数： 3.2商的对数： 3.3幂的对数：（） 3.4根式的对数：（为正整数） 3.5倒数的对数： 4.换底公式 4.1基本形式：（） 4.2推论：（） 三、拓展核心公式（常考） 3.1跨底数幂变换：（） 3.2连锁换底：（且均≠1） 3.3交叉变形：（） 四、常考结论（高频） 1.单调性与大小比较 底数范围 单调性 大小关系（） 单调递增 单调递减 同真数规律：时，底数越大值越大；时，底数越大值越小（底大图低）。 2.特殊关系与不等式 2.1 2.2：时；时 2.3：时；时 五、易错点（必避） 1.无“对数分配律”： 2.忌错变形：， 3.必验定义域：真数，底数且 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：对数的概念与判断】 【解题策略】 一、核心前提（判断必用） 对数（含，）有意义的2个条件： 1.底数：（底数固定，无需额外判）； 2.真数：（所有对数必判）。 二、3类高频题型解题速览 题型1：判断对数是否有意义 核心：底数+真数双验证 步骤： 1.拆“底数”“真数”（真数是对数后整体）； 2.判底数：（含字母解不等式）； 3.判真数：（含字母解不等式）； 4.双条件同时满足则有意义。 题型2：判断对数表达式正误 核心：对照公式+避误区 步骤： 1.定位表达式涉及的公式（积/商/幂法则、换底等）； 2.查公式适用条件（如需）； 3.排常见错： 忌“分配律”：； 忌错乘除：，； 4.不确定时用特殊值验证（如）。 题型3：判断对数命题真假 核心：拆要素+用性质+举反例 步骤： 1.拆命题：明确对数的底数、真数及涉及的性质（单调性、定义域等）； 2.验性质： 单调性：增，减，且定义域是“真数>0”； 大小比较：先判，再按底数单调性定关系； 定义域：直接解“真数>0”对比命题； 3.假命题用反例证（如“”，取，）。 三、解题口诀（速记） 1.有意义：底数正且≠1，真数>0双满足； 2.表达式：积商幂有法则，加减无分配，错变形要规避； 3.命题判：拆要素验性质，反例证假最直接。 例题精选 【例题1】（2023高一·上海·专题练习）在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 【例题2】（25-26高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 【例题3】（24-25高一上·全国·周测）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 【相似题2】【多选】（25-26高一上·全国·课后作业）使对数式有意义的a的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】要使有意义，则解得或． 【相似题3】【多选】（22-23高一下·湖北武汉·开学考试）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用对数函数的定义列出关于a的不等式组，求解即可. 【详解】要使有意义，则，解得或， 所以a的取值范围是. 故选：BC. 【题型2：指数对数的互化】 【解题策略】 一、互化核心公式（必记） 若，则： （关键：3个条件+“指数式↔对数式”双向转换） 二、高频题型解题步骤 1.求数值（如求或） 解题关键：直接对号互化 步骤： ①找指数式/对数式中的； ②代入互化公式计算（例：→设→）。 2.解方程（如或） （1）同底型（如或） 步骤： ①互化（或直接用“同底则指数/真数相等”）； ②解方程； ③验条件（）。 （2）不同底型（如或） 步骤： ①统一底数（用换底公式，如）； ②互化为同底方程； ③求解+验条件。 3.求定义域/值域（如求定义域） 解题关键：互化后抓“真数/指数值范围” 步骤： ①对数→互化为指数（如→）； ②列不等式（如→）； ③得定义域/值域。 4.证明等式（如证明） 步骤： ①设对数式为未知数（如设）； ②互化为指数式（）； ③代入左边（），等式成立。 三、易错点（避坑） 1.必验条件：（解方程后漏验必错）； 2.互化对应：指数式中“底数→对数底数，指数→对数值，结果→真数”，别错位； 3.0/1特殊值：，（高频用，记熟）。 四、做题口诀 “互化先看三条件，对号入座找a/x/N； 解方程先验范围，证等式设元最简便。” 例题精选 【例题1】（25-26高三上·天津·阶段练习）已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用指数、对数的关系可得：,代入求解即可. 【详解】由题可得：,所以 故选：A 【例题2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 【答案】(1) (2)9 (3)2 【分析】根据对数与指数的互化，结合指数的运算性质逐一求解； 【详解】（1）由，得； （2）由，得，所以； （3）因为，所以，所以. 【例题3】（25-26高三上·浙江·开学考试）已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【分析】根据指对数转化，再应用指数运算律计算求解. 【详解】因为，所以，又因为， 所以，所以， 则. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课前预习）若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】B 【分析】将对数式化成指数式，运算得解. 【详解】由题知，解得. 故选：B. 【相似题2】（25-26高一上·全国·课前预习）若（，且），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值. 【详解】由对数的概念知，故，即. 故选：A. 【相似题3】（24-25高二下·天津·期末）若，则 【答案】/ 【分析】根据指对数的运算，即可求解. 【详解】由可得，故， 故， 故答案为: 【题型3：对数的运算】 【解题策略】 一、通用解题步骤（先做这3步） 1.定定义域：先确保所有对数的真数>0、底数>0且≠1（不满足则无意义，直接排除）； 2.选公式：根据式子结构选对应公式（积/商/幂法则、换底公式、恒等式）； 3.简运算：从复杂项入手（如根式、负指数），逐步化简，最后合并结果。 二、分题型解题策略 题型1：基本运算法则应用（化简/求值） 策略：“拆复杂，凑特殊值” ①拆幂/根式：，； ②凑、等特殊值（如）。 题型2：换底公式应用（跨底运算） 适用场景：式子含不同底数的对数（如）； 策略：“统一底数，优先换为常用/自然对数” ①统一为或（如）； ②用推论：、（快速化简）。 题型3：与指数结合的运算（指对混合） 策略：“指对互化，用恒等式” ①用或（如）； ②指数化对数或对数化指数（如化为，再代入运算）。 题型4：含参数的运算（求参数值/范围） 策略：“先定范围，再列等式/不等式” ①列参数的定义域条件（如需）； ②化简后列等式（如得，结合得）； ③注意参数范围对结果的筛选（排除不符合定义域的解）。 三、避坑关键（必记） 1.忌“分配律”：； 2.忌忽略定义域：先定范围再运算，避免最后求错解； 3.换底后分母不为0：（即）。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习） . 【答案】 【分析】根据对数的运算法则及指数对数恒等式计算可得. 【详解】. 故答案为： 【例题2】（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数幂的运算法则计算即可求解； （2）利用对数的运算法则化简计算即可得解. 【详解】（1）原式； （2）原式. 【例题3】（25-26高三上·河南周口·阶段练习）计算下列各式的值. (1)； (2)； (3)已知，，计算的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数运算和对数运算法则直接求解即可； （2）根据对数运算法则直接化简求解即可； （3）利用对数表示出，代入所求式子，结合对数运算法则求解即可. 【详解】（1）. （2）. （3），，，， . 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·江西·阶段练习）已知，若，且，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据对数运算公式进行换元，解方程可得，结合，可得与，代入不等式，解不等式即可. 【详解】因为，所以， 解得或， 又，所以，则，则，即． 又，所以，， 即原不等式为，解得或， 故答案为：. 【相似题2】（2025高三·北京·专题练习） . 【答案】 【分析】直接根据指数与对数的运算法则及基本性质进行化简求值. 【详解】原式 故答案为： 【相似题3】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）； （2）； （3）已知，求的值． 【答案】（1）3；（2）16；（3） 【分析】（1）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解. （2）根据指数幂的运算以及对数的运算性质，化简求值，即可求解. （3）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解. 【详解】（1）原式 ． （2）由于，， ， 因此原式． （3）由条件． 由，得， 所以，化简得 所以， 得或（舍去），从而可得． 【题型4：对数的换底公式】 【解题策略】 一、先抓核心公式与推论（必记） 1.基本公式：（条件：） 2.高频推论（直接用，省步骤）： 倒数关系： 跨幂变形：（） 连锁换底： 二、分题型解题策略（对应场景+步骤） 题型1：不同底数对数化简/求值（最常用） 适用场景：式子含2个及以上不同底数（如、） 解题步骤： ①优先选“常用对数（）”或“自然对数（）”统一底数（计算方便，不易错）； ②若有“底数为幂”的对数（如），直接用“跨幂变形推论”化简，无需完整换底； ③约分化简（中间相同对数项可抵消，如）。 题型2：非特殊对数值计算（无计算器） 适用场景：求、等非特殊值的近似值 解题步骤： ①换底为“常用对数（）”（已知近似值：，，）； ②代入公式计算（如）。 题型3：对数等式证明（中档题） 适用场景：证明、等 解题步骤： ①从“左边复杂端”入手（避免两边同时推，易混乱）； ②用换底公式转化为同底数对数（优先选）； ③约分化简，逐步向“右边简单端”靠拢（如证明：左=）。 题型4：含参数的对数问题（求参数值/范围） 适用场景：如、有意义求 解题步骤： ①先列“定义域条件”（底数>0且≠1，真数>0，如需满足）； ②用换底公式将对数方程/不等式转化为代数形式（如）； ③筛选“符合定义域的解”（排除无效值，如虽满足代数解，但不满足底数>0，需舍去）。 三、避坑关键（3个必注意点） 1.定义域优先：所有步骤前先验证“底数>0且≠1，真数>0”，否则后续计算无意义； 2.分母不为0：换底后分母，即（需同步检查）； 3.推论别乱用：跨幂变形中，（分母不能为0）。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换底公式结合指数与对数间的运算，求得或，代入，即可化简求得结果. 【详解】由题知，， 则 ，可得或， 所以或， 若，又， 则，所以， 则或（舍去），，； 若，又， 则，所以， 则或（舍去）， 所以， 综上，. 故选：B 【例题2】（25-26高一上·上海·期中）若，则 .（用表示） 【答案】 【分析】利用对数换底公式和对数的运算性质化简计算即得. 【详解】因，则. 故答案为： 【例题3】（2025·上海崇明·三模）已知，则 ． 【答案】1 【分析】先把指数式化为对数式求出的值，再利用对数的运算性质即可求解. 【详解】由已知，则， 所以. 故答案为：1. 相似练习 【相似题1】（2025·吉林·模拟预测）求值： . 【答案】8 【分析】利用换底公式及对数的运算法则计算． 【详解】， 故答案为：8. 【相似题2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，若，则（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】A 【分析】将指数式化为对数式，利用换底公式代入运算得解. 【详解】由题知，所以，， 故，解得． 故选：A. 【相似题3】（2025高二·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)已知，试用表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）、（2）利用对数法则计算出答案即可； （3）利用指数式化为对数式、换底公式进行化简即可. 【详解】（1） . （2） . （3）由，得， 由，得， 所以 ． 【题型5：对数恒等式的证明】 例题精选 【例题1】（22-23高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【详解】设，显然， 则，可得， 所以. 【例题2】（23-24高一·上海·课堂例题）设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】运用换底公式证明即可. 【详解】由题意，根据换底公式，，命题得证. 【例题3】（24-25高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析； 【分析】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【详解】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 【相似题2】（23-24高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 【相似题3】（21-22高一下·广西崇左·阶段练习）求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）运用对数的运算法则即可求解； （2）运用对数的换底公式即可证明. 【详解】（1）， ， ， （2）证明：设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 【题型6：对数运算的实际应用】 【解题策略】 一、通用解题流程（先走这5步） 1.定模型：根据实际场景识别数学模型（如增长/衰减用指数模型，测量用对数定义模型）； 2.找已知：提取题目中已知量（如初始值、最终值、时间、参考值），明确待求量； 3.列方程：将已知量代入模型，列出含待求量的等式； 4.转对数：用“指对互化”“对数运算法则”将方程转化为可解的对数形式（消去指数，分离待求量）； 5.验意义：求解后验证结果是否符合实际（如时间>0、浓度>0、利率>0）。 二、分场景解题策略（高频3类） 场景1：增长/衰减问题（如人口、细菌、放射性物质） 核心模型 指数增长：（初始量，增长率，时间，时刻量） 指数衰减：或（为衰减系数，自然对数模型常用） 解题步骤（以“求时间”为例） ①代入已知量：如“初始细菌，增长率，求达到的时间”，列方程：； ②简化方程：两边同除，得； ③取对数转化：两边取常用对数（）或自然对数（），用幂法则展开：； ④求解待求量：（用已知近似值）； ⑤验实际意义：（时间为正，符合实际）。 避坑点 增长率/衰减率需化为小数（如20%→0.2，不能直接代20）； 衰减模型中、，避免符号错误。 场景2：测量类问题（pH值、声强级、地震震级） 核心模型（均为对数定义型） 1.pH值（溶液酸碱度）：（为氢离子浓度，单位：mol/L，）； 2.声强级（分贝dB）：（为实际声强，为参考声强，）； 3.地震震级（里氏震级）：（为地震波振幅，为标准振幅，）。 解题步骤（以“求氢离子浓度”为例） ①代入已知：如“某溶液pH=3.5，求”，列方程：； ②变形解对数：移项得； ③指对互化：（用）； ④验实际意义：，符合浓度要求。 避坑点 公式中的“负号”“系数”别漏（如pH带负号，声强级乘10）； 参考值为固定值，题目未给时直接用标准值（如）。 场景3：复利与投资问题（如存款、理财） 核心模型（复利公式） （最终本息和，本金，年利率（小数），每年复利次数，年数） 特殊情况（年利率复利）：，公式简化为。 解题步骤（以“求年数”为例） ①代入已知：如“本金，年利率，每年复利1次，求本息和的时间”，列方程：； ②简化方程：两边同除，得； ③取对数求解：两边取自然对数（），得，故年； ④验实际意义：，符合时间要求。 避坑点 年利率需化为小数（如5%→0.05，不能代5）； 复利次数：“每年1次”，“每半年1次”，“每月1次”，别错认。 三、核心技巧与避坑总结 1.模型记准：区分“指数模型（求时间/率）”和“对数定义模型（求物理量，如pH）”，别混淆公式； 2.对数选对：求“整数指数”用（如用），求“自然指数（）”用（如衰减模型）； 3.近似值用熟：常用、、、，避免计算错； 4.实际意义优先：解出的时间、浓度、利率需为正，否则舍去（如求增长率得负，说明是衰减，需调整模型）。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）某种生物的数量与时间（单位：天）之间的关系为：，其中表示该生物的初始数量，已知经过10天后，种群数量变为原来的2倍.求至少经过多少天，使该生物数量超过初始数量的10倍（参考数据：）（    ） A．23 B．24 C．33 D．34 【答案】D 【分析】运用代入法，结合对数与指数互化公式、换底公式、对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为经过10天后，种群数量变为原来的2倍， 所以有， 设至少经过天，该生物数量超过初始数量的10倍， 所以有 ， 因为时间的单位为天，所以时间为正整数， 因此至少经过天，生物数量超过初始数量的10倍， 故选：D 【例题2】（25-26高三上·甘肃·阶段练习）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（   ） A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 【答案】B 【分析】直接代入数据求值即可. 【详解】由题意，得，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，即，代入，得. 故选：B. 【例题3】（25-26高三上·山东淄博·阶段练习）围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有4000多年的历史.围棋最早被称为“弈”或“棋”后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来.南北朝时候，棋盘定型为现在的19道棋盘（即棋盘上有纵横各19条线段将棋盘分成361个交叉点）.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指对数的关系及指数的运算性质求值即可. 【详解】由题意：，根据题设及指对数关系有， 所以，所以. 故选：A 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·河南·阶段练习）研究表明地震释放的能量（单位：焦耳）与震级之间满足（为常数）.若5.5级地震所释放的能量为焦耳，8级地震所释放的能量为焦耳，则6级地震所释放的能量为（    ）（取） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 【答案】C 【分析】根据题意列方程求出，进一步计算求解即可. 【详解】由题意可得，即，解得， 所以，当时，， 所以焦耳. 故选：C. 【相似题2】（25-26高三上·上海·开学考试）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则 ． 【答案】81 【分析】根据题意列出等式，根据对数的计算法则进行化简求解 【详解】当鲑鱼游速时，耗氧量单位数为，故，化简得. 当鲑鱼游速时，耗氧量单位数为，故，化简得. 两式相减得，. 所以. 故答案为：81 【相似题3】（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）数学家从实际生活中发现如下现象，在大量的十进制随机数据中，以开头的数出现的概率为.若，则的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】先化简，整理后得到，然后建立方程求得的值. 【详解】， 即， 又∵， 则， 即，即，. 故选：B. 【题型7：对数运算的新文化题型】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·江西景德镇·期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先计算，再根据指对运算公式即可求解. 【详解】， 所以. 故选：D 【例题2】（2024·四川眉山·一模）世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k= 【答案】 【分析】根据题意表示出，结合对数的运算，即可求出结果. 【详解】由题知， ， 又， 所以，. 故答案为： 【例题3】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，．则的值是（    ） A．145 B．857 C．150 D．243 【答案】B 【分析】根据高斯函数以及对数运算等知识来求得正确答案. 【详解】，共个， ，共个， ，共个， ，共个， ，共个， ， 所以 . 故选：B 【点睛】方法点睛：本题的核心方法是高斯函数与对数运算的结合，首先根据高斯函数的定义，逐步列出对数值的范围，并确定每个区间内的数值个数，然后将每个区间内的个数与对应的高斯函数值相乘，最后求和得到结果，这种方法依赖于对数值的分段计算，并注意区间内数值个数的计数. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海金山·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 【答案】B 【分析】列出方程，并根据已知数据求解即可. 【详解】设经过天后“进步者”是“退步者”的倍，则. 故，根据已知条件有， 所以（天）. 【相似题2】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）17世纪初，约翰•纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系､纳皮尔的对数､牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计的最高位的数值为 真数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.30103 0.47712 0.60206 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 1.000 【答案】 【分析】通过对数的性质和查表得到的近似值，由数的小数部分通过查表得知最高位的范围，从而得解. 【详解】依题意，设，则， 因为， 所以， 由表格可知，， 所以的最高位的数值为. 故答案为：. 【相似题3】（2023·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 【答案】B 【分析】由题意先得，接着由和得，再结合对数运算性质解不等式即可得解. 【详解】由题，，所以， 又由题当时，，即， 所以，令即即， 解得，故， 所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73. 故选：B. 【题型8：对数的比较大小】 【解题策略】 一、核心依据（先记牢，再做题） 对数大小比较的本质是对数函数单调性，关键看底数范围： 当时，在上单调递增（真数大→对数值大）； 当时，在上单调递减（真数大→对数值小）。 *注：所有比较前，先验证真数>0、底数>0且≠1（无意义的对数直接排除）。* 二、分题型解题策略（高频4类+新增方法） 题型1：同底对数比较（最基础，直接用单调性） 策略：“定底数→判单调→比真数” 解题步骤： 1.确定对数的公共底数，判断范围（或）； 2.根据底数范围确定单调性（递增/递减）； 3.比较两个真数的大小（需保证真数>0）； 4.结合单调性，由“真数大小”推“对数值大小”。 *例：比较与：底（递增），真数→。* 题型2：同真数对数比较（“底大图低”规律） 策略：“同真数看底数，分范围用规律” 核心规律： 若真数：底数越大，对数值越小（底大图低）； 若真数：底数越大，对数值越大（底大图高）。 解题步骤： 1.确定两个对数的公共真数，判断范围（或）； 2.套用“底大图低/高”规律，或用换底公式转化为同底（如，通过分母符号判断大小）； 3.得出结论。 *例：比较与：真数（底大图低），底→。* 题型3：不同底不同真数比较（找“中间量”+新增方法） 策略：“优先找中间量（0/1），区间相同用转化法/糖水不等式/扩大倍数法” 常用中间量： 0（对应，真数=1时对数值为0）； 1（对应，真数=底数时对数值为1）。 解题步骤： 1.将两个对数分别与“0”或“1”比较，判断其所在区间（如、、）； 2.若区间不同，直接通过中间量定大小（如甲>1，乙<1→甲>乙）； 3.若区间相同，可选择以下3种方法： 方法1：换底公式统一底数（原方法）：转化为同底对数，用单调性比较； 方法2：糖水不等式法（适用于型，）； 方法3：扩大倍数法（适用于分子分母可凑同的情况）。 新增方法详解 方法2：糖水不等式法（核心公式+应用） 糖水不等式：若且，则（“加糖变甜，比值变大”）。 适用场景：比较与（，底和真数均差1的对数）。 应用步骤： ①用换底公式将对数化为分数：，； ②令，，（因，故且）； ③套用糖水不等式：，而，故。 例：比较与：直接用结论→（无需复杂计算）。 方法3：扩大倍数法（核心思路+应用） 核心思路：给两个对数的“分子分母”同乘一个公共倍数，凑出相同的分子或分母，再比较大小。 适用场景：对数换底后分数的分子/分母有公倍数（如与）。 应用步骤： ①换底为常用对数：，； ②扩大公共倍数（此处乘）：得到与； ③用均值不等式判断：，故，即。 例：比较与：扩大后比较与，同理得。 题型4：含参数的对数比较（分类讨论底数） 策略：“分底数范围（和），再结合真数” 解题步骤： 1.明确参数为“底数”（如与）还是“真数”（如与）； 2.若参数为底数：分和两类讨论单调性，再比较真数； 例：比较与： 当（递增）：→； 当（递减）：→； 3.若参数为真数：先定底数范围（已知或隐含），再按单调性比较参数（需保证真数>0）； 4.综合两类情况，写出结论。 三、避坑关键（5个必注意） 1.定义域优先：比较前先确认所有对数的真数>0、底数>0且≠1（如比较与，需先定）； 2.单调性别搞反：尤其时，真数越大，对数值越小（易与混淆）； 3.中间量选对：优先用0或1（计算简单），复杂情况再用2、等； 4.糖水不等式适用条件：仅当对数为型（）时直接用，其他类型需先转化； 5.扩大倍数法注意符号：若对数为负（如），扩大后需变号比较（如，扩大2×3=6后→不成立，需先取绝对值）。 四、速记口诀 同底看单调，真数定大小； 同真看底数，N大底大图低； 不同找中间（0/1），区间相同有三法： 换底统一、糖水凑、扩大倍数比先后； 参数分两类（a>1和0<a<1），讨论要周到。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·云南红河·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对化简后可得具体的值，对有，从而判断得解. 【详解】因为，，，故. 故选：D. 【例题2】（25-26高二上·贵州·阶段练习）已知指数函数，，，若，，满足，且，，均大于，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助指数与对数的转化及指数函数单调性判断即可得. 【详解】令，由，则， 由，则，即， 由，则，即， 则，，， 由，则，则， 又在上单调递增，则， 故，即有. 故选：A. 【例题3】（25-26高一上·新疆·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化，结合幂函数的性质比较大小. 【详解】由，设， 则，于是， 因函数在上为增函数，由，可得， 又因函数在上为增函数，由，可得， 故. 故选：B 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·湖北·阶段练习）若实数满足，则的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合对数，指数，根式的运算得到，再赋值逐一分析可得. 【详解】设，则. 当时，，此时A成立. 当时，，此时成立. 当时，，此时，D成立. (事实上，当时，显然；当时，显然，故B不可能成立.) 故选：B. 【相似题2】（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知，则，，的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，分别讨论情况下的关系，进而得出结果. 【详解】设，则 当时，，选项A正确； 当时，，，， 所以，， ， 由此可得，选项B正确； 当时，同理可得，选项C正确. 故选：D. 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】显然故，再由基本不等式证明，做差证明. 【详解】易知，，故； ，又，故； ，又，， 所以，又，所以， 故； 综上，． 故选：C. 【题型9：对数运算结合基本不等式】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·云南·期中）若，则的最小值为（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 【答案】C 【分析】应用对数运算结合基本不等式计算求解. 【详解】由题意得，，且，. 由， 得， 所以 当且仅当即时，等号成立. 故选：C. 【例题2】（25-26高三上·上海虹口·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】应用对数的运算性质得，再将目标式化为，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由，则且， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故最小值为. 故答案为： 【例题3】（2025高一·上海·专题练习）已知，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由对数运算化简可得，再由基本不等式可得的最小值. 【详解】由题意，，则，且， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值是. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·陕西渭南·阶段练习）若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由对数的运算性质得到，再由，结合基本不等式即可求解. 【详解】由，可得：， 则， 当且仅当时，等号成立， 故答案为： 【相似题2】（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据条件得到，再利用基本不等式求和的最小值. 【详解】，，， ，当且仅当即，时取等号. 故答案为： 【相似题3】（25-26高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据基本不等式、对数的运算公式与换底公式即可求得. 【详解】因为正数a，b满足，所以（*）， 当且仅当时，即，时等号成立. 由（*）可得. 又， 当且仅当，时等号成立. 所以的最大值为1. 故选：D. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三上·山东泰安·期中）已知，，，且，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．12 2．（24-25高一下·浙江·期中）的值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高一下·湖南娄底·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 5．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知，则 . 6．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知，，则 .（用数字作答） 7．（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，且，则t的值为 ； 8．（25-26高一上·全国·课后作业）通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则 9．（24-25高三下·上海静安·期中）已知，则 ．（请用含的代数式表达） 三、解答题 10．（25-26高一上·河南南阳·期中）（1）求值：； （2）求值：； （3）已知，求的值. 11．（24-25高一下·河北保定·期中）（1）计算：； （2）计算； （3）已知，求的值. 12．（23-24高一下·江苏南通·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. （3）已知，，试用，表示. 13．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 14．（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，试用表示. 参考答案 题号 1 2 3 答案 D B B 1．D 【分析】将对数式转化为指数式，结合指数运算，求解即可. 【详解】，故可得，又，则. 故选：D. 2．B 【分析】由指数和对数的运算性质计算可得. 【详解】. 故选：B 3．B 【分析】令，可得出，结合求出的值，再利用对数和指数的互化可求得的值. 【详解】因为， 由于，则，令，则，于是有， 整理可得，因为，解得，即，解得. 故选：B. 4． 【分析】整理可得，结合对数解方程即可. 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 5． 【分析】根据对数的概念得，从而得，利用指数运算化简求解式子即可得答案. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故答案为：. 6．45 【分析】利用指对数互化和指数幂的运算法则计算即得. 【详解】由，可得， 又，则. 故答案为：45. 7．或 【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合对数的运算公式进行求解即可. 【详解】由， 当时，显然符合，此时， 当时，， 由，代入中， 得， 故答案为：或 8．1000 【分析】由题意可得，作差计算即可. 【详解】由题知：. 故答案为：1000 9． 【分析】根据换底公式及对数的运算性质可得结果. 【详解】由题意得，. 故答案为：. 10．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）借助指数幂运算法则计算即可得； （2）借助对数运算法则计算即可得； （3）借助完全平方公式计算即可得. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）由，则，即， ，又，则，故， 故. 11．（1）；（2）；（3） 【分析】运用指数对数运算性质逐个化简计算即可. 【详解】（1）计算：根据指数运算法则，可得，即. 计算：可得. 计算：设，根据对数的定义可得，即，则，解得. 计算：. 将以上结果相加：. （2）计算： ，则. 又，所以. 计算：，，则. 将两部分结果相加：. （3）对两边平方，可得，即，所以. 对两边平方，可得，即，所以. 将，代入，可得. 12．（1）1；（2）4；（3） 【分析】（1）根据对数的运算性质及换底公式计算可得； （2）首先求出、，再由立方和公式计算可得； （3）依题意可得，，再根据对数的运算性质及换底公式计算可得. 【详解】（1） . （2）因为，则， 则， 所以； （3）因为，，所以，， 所以 . 13．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； （2）利用均值不等式求出的最小值，解不等式即可求解. 【详解】（1）令且， 则，，， 所以， ， 故成立. （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 14．（1）（2） 【分析】（1）根据对数的运算法则计算即可； （2）先转化，根据得到，根据即可表示. 【详解】（1）； （2）， 由，得，又， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $