第十五章 综合与实践 最短路径问题-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（人教版2024）

参考答案 ∠BED=90°-∠FBC=60°，.∠AEF=∠BED=60°，. AE=BE=号AB,BC=BE,△EBC是等边三角形， △AEF为等边三角形 (2)解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°， (2)结论：AD=DG+DM.证明：如图2所示，延 .∠ABC=60°，AD⊥BC于点D,∴.∠BAD=90°- 长ED使得DW=DM,连接MW,:∠ACB=90°，∠A= ∠ABC=30°，在Rt△ABD中，BD=1,∠BAD=30°， 30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E, AB=2BD=2,在Rt△ABC中，AB=2,∠C=30°， .∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD.又DM=DW, ·BC=2AB=4,∴.CD=BC-BD=4-1=3. △WDM是等边三角形，.MW=DM.在△WGM和 5.A6.10或16 ∠W=∠MDB, 7.解：如图所示，过点 △DBM中，MW=DM, .△WGM≌△DBM, 入 C作CH⊥AB于点H, ∠WMG=∠DMB, ∠AHC=90°，∠BDC=60°， .BD-W G=DG+DM..AD=DG+DM. .∠DCH=30°，.CD=16, 夕 D D DH=1CD=8,EF⊥CD 2 .∠GFD=∠EFC=90°， B 在△AHC和△CFE中， 第7题答图 ∠AHC=∠CFE. ∠A=∠BCD,.·.△AHC≌△CFE(AAS),.·AH=CF, 图2 图3 AC=CE 第9题答图 .·∠BDC=60°，∠DFG=90°，.∠DGF=30°，.DG=2DF, (3)结论：AD=DG-DN理由：如图3所示，延长 设DF=x,则DG=2DF=2,CF=CD-DF=16-x,:DG: BD至点H,使得DH=DN.由(I)得DA=DB,∠A= AD-8:5.AD-DG-AH-ADDH.AH-CF. 30°.DE⊥AB于点E,.∠2=∠3=60°，.∠4=∠5= 8 60°，.△NDH是等边三角形，.NH=ND,∠H=∠6= 子416，学8，解得x号0r号 9 60°，.∠H=∠2.∠BNG=60°，.∠BNG+∠7=∠6+ 8.解：(1)∠BQM=60°.理由：：△ABC是等边 ∠7，即∠DNG=∠HNB.在△DNG和△HNB中， 三角形，：AB=BC,∠ABC=∠C=60°.在△ABM和 ∠DNG=∠HNB. AB=BC. DN=HN, .△DNG≌△HNB(ASA),.DG= △BCN中， ∠ABM=∠C,.△ABM≌△BCN(SAS), ∠2=∠H, BM=CN, HB..HB=HD+DB-ND+AD,.DG=ND+AD,.AD=DG- ∴.∠BAM=LCBN,∴.∠CBN+∠AMB=∠BAM+∠AMB= ND. 180°-∠ABC=120°，∴.∠BQM=180°-（∠CBN+∠AMB)= 综合与实践最短路径问题 60°. 1.C2.B (2)成立.理由：△ABC是等边三角形，AB= 3.解：如图，点P即为所求 BC,∠ABC=∠ACB=60°.在△ABM和△BCN中， 沿AP一PB路线铺设管道，管道长度最短. A B=BC, B ∠ABM=∠ACB,.△ABM≌△BCN(SAS),.∠BAM= BM=CN, ∠CBN,∴.∠CBN+∠AMB=∠BAM+∠AMB=180°- ∠ABC=120°，..∠BQM=180°-（∠CBN+∠AMB)=60° 9.(1)证明：如图1所示， 第3题答图 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 4.解：如图，过点A作AF⊥BC于点F,过点E ∠A=30°，.∴∠ABC=60°，BC= 作EP⊥AC于点P,连接FP,∠ACB=30°，∠FAC= ABBD平分∠ABC, 60°.在等边三角形ADE中，∠DAE=60°=∠FAC,AD= 图1 AE,·.∠DAE-∠DAC=∠FAC-∠DAC,即∠FAD= ∠DBC=∠DBA=∠A=30°，.DA=DB.DE⊥AB于点E, 数学 八年级上册（人教版） ∠AFD=∠APE=90°， 【例1】解：2322m1.2m-27.由同底数幂的乘 ∠PAE.在△FAD和△PAE中 ∠FAD=∠PAE, 法得22m-=2口，即5m+2=17,得m=3 AD=AE, 【例2】解：4m.4=32×2=64,由同底数幂的 △FAD≌△PAE(AAS),AF=AP,∠FAC=60, 乘法，得4=4，∴m+n=3.故m+n的值是3 ∠AFP=60°，AP=PF,:点D为直线BC上一点，.点 1.B2.D3.B E在直线EP上运动，∠PFC=∠AFC-∠AFP=30°= 4.(1)-xP(2)xm(3)x8(4)0 ∠ACB,PF=PC=AP,即点P为AC的中点，连接 5.x+y=x6.47.a=4,原式=5. CE,即AE=CE,AE+BE=BE+CE>BC.当点B,E,C 8.D9.x5 共线时，即点E为图中的点E,∴AE+BE=AE+BE= 16.1.2幂的乘方与积的乘方 BC为AE+BE的最小值，连接AE1,则∠EAC= 【知识点1】不变相乘am1.A2.D ∠ACB=30°.AB=AC,∠B1C=180230=75°. 2 3.(1)109(2)x0(3)-a4(4)a ∠BAE,=∠BAC-∠EAC=45°，.当AE+BE取最小值 :4,(1)m(2)-6(3)(a+b)6 时，∠BAE的度数为45°. 【知识点2】(d)”(d)m1.D2.43.24 【知识点3】乘方相乘dbm1.C2.D 3.(1)-64ab3(2)-27a69(3)x2ym 4)-多w4山32y2)0 【知识点4】(ab)”1.-3d2b32.(1)0.5 P E D 第4题答图 2)青 5.解：(1)如图1.(2)如图2. 【例】解：原式=-27x9-x6-x-27x9-2x 1.B2.D3.2564.-2 B C 5.(1)6a8(2)-5a2(3)-16x6(4)-7y Cn A D 6解：（08=(2-22,3=5，解得x=号 A (2)2*2+2=24,.2(2242)=24,.2=4,.x=2. 图1 图2 图3 (3)x=5m-3,.5m=x+3,y=4-25=4-(52)m=4- 第5题答图 (5m)2=4-(x+3)2,y=-x2-6-5. 7.解：(1)2=2，.D(2)=1,24=16,D(16)= (3)如图3，先确定AA'=CD,且AA'∥CD,连接 4,故答案为1；4. BA',与河岸的交点就是点C,过点C作CD垂直河 (2)①.2=a,.a=2,..23=23.D(d)=3. 岸，交另一河岸于点D,CD就是所求的桥的位置 ②D(15)=D(3×5) 理由：由作图过程可知，四边形ADCA'为平行四 =D(3)+D(5)=(2a-b)+(a+c)=3a-b+c. 边形，AD平移至A'C即可得到线段A'B.两点之间， 线段最短，由于河宽不变，CD即为桥 D3）=D5)-D(3)=(a+e)-(2a-b)-+b+e 6.A7.C8.80° D(108)=D(3x3×3x2x2) 第十六章整式的乘法 =D(3)+D(3)+D(3)+D(2)+D(2) 16.1幂的运算 =3xD(3)+2xD(2) 16.1.1同底数幂的乘法 =3×(2a-b)+2x1 【知识点1】不变相加am1.A2.D =6a-3b+2. 3.A4.(1)a0(2)x(3)-a8(4)a D0-027)-020y (5)-57(6)(b-a)5 =D(3x3x3)-D(5x2x2) 【知识点2】amd1.B2.C3.(1)7 =D(3)+D(3)+D(3)-[D(5)+D(2)+D(2)] (2)24 =3xD(3)-[D(5)+2D(2)] 62轴对称 第十五章 综合与实践 最短路径问题 1.如图，河道m的同侧有M,N两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至M,N两村， 下面的四个方案中，管道长度最短的是() 第1题图 A D 2.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，点E,F 分别是线段BC,DC上的动点.当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ( A.90° B.80° C.70° D.60° 第2题图 3.如图，要在一条笔直的路边1上建一个燃气站，向1同侧的A,B两个城镇分别铺设 管道输送燃气.试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短， ●B A● 第3题图 4.如图，在等腰△ABC中，∠ACB=30°，AC=BC,点D为直线BC上一点，以AD为边 作等边三角形ADE,连接BE,当AE+BE取最小值时，求∠BAE的度数， D 第4题图 口数学 八年级上册（人教版） 5.作图题. (1)如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线， 才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线. (2)如图2，直线1是一条河，A,B是两个村庄，欲在1上的某处修建一个水泵站M, 向A,，B两村供水，要使所需管道MA+MB的长度最短，在图中标出M点. (3)如图3，在一条河的两岸有A，B两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向 与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示.试问：桥CD建在何处，才能使A到B的 路程最短？请在图中画出桥CD的位置.画出示意图，并用平移的原理说明理由 B A。 ---------- l2- ● 图1 图2 图3 第5题图 6.(2023·白塔)在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上 选取一点P,向两个小区铺设电缆.下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是() 甲 A B D 7.(2020·江阴)如图，已知等边三角形ABC的边长为4，P,Q,R分别为边AB,BC, AC上的动点，则PR+QR的最小值是() A.2V2 B.2 C.2V3 D.3V2 第7题图 第8题图 8.(2024绥化)如图，已知∠AOB=50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点 N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPW= 80