15.4 综合与实践最短路径问题-【七彩课堂】2026-2027学年八年级上册数学一课一练（人教版）

10.解：(1).在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， .∴.∠B=60°. 要使△PBQ为等边三角形，只要BP=BQ, 即6-2t=t,解得t=2. .当t=2时，△PBQ为等边三角形 (2)△PBQ为直角三角形，分两种情况： ①当∠BQP=90°时，则∠BPQ=30°， .BP=2BQ 则6-21=2，解得1=子 ②当∠BPQ=90°时，则∠BQP=30°， .BO =2BP. 则t=2(6-2),解得t=12 综上所述，1=号或号时，△PB0为直角三 角形 15.4综合与实践最短路径问题 1.C2.A 3.B【解析】如图，作点A关于x轴的对称点C, 连接BC交x轴于点P,连接AP,则此时AP+ PB的值最小，由图知P(2,0). B P 4.C【解析】小.EF垂直平分BC,∴.B,C关于EF 对称，设AC交EF于点D,.当点P和点D重 合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长. .AB=3,AC=4,∴.△ABP周长的最小值是 AB+AC=3+4=7. 5.A【解析】如图，分别作点P关于OA的对称 点C,关于OB的对称点D,连接CD,交OA于 点E,OB于点F.此时，△PEF的周长最小 连接OC,OD,PE,PF 点P与点C关于OA对称， <23 ∴.OA垂直平分PC. .∴.∠COA=∠AOP,PE=CE,OC=OP 同理，可得∠DOB=∠BOP,PF=DF,OD=OP. ∴.∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB= ,0C=0D=0P=5. .∠C0D=2. 又，·△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+ FD CD=5,..OC=OD=CD=5. ∴.△COD是等边三角形 ∴.2a=60°. ∴.a=30°. E 01 D 6.解：(1) A 0 B ￥D1 图1 如图1所示，作点P关于直线OB的对称点P', 过点P'向直线OA作垂线，垂足为C,与OB交 于点D.点C,D即为所求. 原理：PD+CD=CP',垂线段最短， (2) B 图2 如图2所示，分别作点P关于直线OA,OB的对 称点P',P',连接P'P'分别交OA,OB于点C, D,点C,D即为所求.原理：PC+PD+CD=P P',两点之间，线段最短 解：如图，过点A作l的平行线1'，取AA'=d,作 点B关于I的对称点B′，连接A'B交I于点N, 连接BN,将A'N向左平移定长d得到AM,点 2∠P,∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q, M,N即为所求. ∴.∠AMN+∠ANM=2(∠P+∠Q). (根据平移和轴对称的性质可得BN=B'N, .∠AMN+∠ANM=84°， AM =A'N.AM MN NB =A'N B'N+ ∴.∠P+∠Q=42°， MN=A'B'+MN,此时值最小.) ∴.∠BAE=180°-42°=138°. B E AdA' M d .-M 10.15【解析】如图，作点P关于OA的对称点 B D,关于OB的对称点E,连接DE交OA于点 8.C【解析】如图，连接AD,AM. M,交OB于点N,连接PM,PN,则此时△PMW 的周长最小，连接OD,OE,OP. E AB=AC,D是BC的中点，∴.AD⊥BC .SAM=BC ADx4XAD=16. .·P,D关于OA对称， 解得AD=8. ∴.OD=OP,PM=DM,OA⊥PD. :直线EF是线段AC的垂直平分线，∴.MA= 同理，OE=OP,PN=EN, MC. .0D=0E=0P=15. .'AD≤AM+MD,'.AD的长为CM+MD的最 .OD=OP,OA⊥PD,∴.∠DOA=∠POA. 小值 同理，∠POB=∠EOB,∴.∠DOE=2∠AOB= .△CDM的周长的最小值为(CM+MD)+ 2×30°=60°. CD=AD+2BC=8+2=10, ·OD=OE,∴.△DOE是等边三角形.∴.DE= 9.D【解析】如图，分别作点A关于BC的对称点 0D=15. P,关于DE的对称点Q,连接PQ与BC相交于 ∴.△PMW的周长是PM+MN+PN=DM+ 点M,与DE相交于点N,.AM=PM,AN=QN. MN +EN DE =15. ∴.∠P=∠PAM,∠Q=∠QAN. 11.解：如图，分别作点A关于ON,OM的对称点 ∴.△AMN的周长=AM+MN+AN=PM+ A',A”,连接A'A",分别交OM,ON于点E,F,连 MN +ON PQ. 接AE,AF,此时△AEF的周长最小 由轴对称确定最短路径，PQ的长度为△AMW .:∠M0N=50°，AB⊥OM,AC⊥ON, 的周长的最小值.，∠AMN=∠P+∠PAM= ∴.∠BAC=130°.∴.∠A'+∠A”=50°.由轴对 <24>》 称的性质可知∠A"AE=∠A”,∠FAA'=∠A', ∴.∠AEF+∠AFE=∠A"+∠A"AE+∠A'+ ∠FA4'=100°.∴.∠EAF=80°. B E 【变式1】解：如图，作点Q关于OM的对称点 Q',点P关于ON的对称点P',连接PQ',交 OM于点E,交ON于点F,连接PF,QE,此时 四边形PQEF的周长最小，点E,F即为所求。 【变式2】解：如图，将D视为 定点，分别作出点D关于 AC,BC的对称点D',D”",连接 D'D”,分别交AC,BC于点E, F.此时△DEF的周长等于 D'D"的长，无论点D的位置如何变化，点C对 线段D'D"的张角不变，即∠D'CD”=2∠ACB, 因此为使D'D"最小，只需令CD'=CD”=CD 的值最小即可，显然当CD⊥AB时，CD最小， 即△DEF的周长最小. 草方法点拨 三个动点问题，先将其中一个动点视为定 点，在确定了另外两个动，点的位置后，再确定 此动点的位置. 2 （第十六章整式的乘法 16.1幂的运算 16.1.1同底数幂的乘法 1.D2.D3.D4.B 5.-（x-y)4【解析】(x-y)3·（y-x)= -(x-y)3.(x-y)=-(x-y)31=-(x-y)4. 堂易错警示 改变括号内的特号的同时，括号外的符号 也要改变 6.解：(1)a4·a3=a4+5=a'; (2)(-3)5.(-3)2=(-3)5+2=(-3)7=-32; (3)b·b2.b=b1+2+4=b7; (4)(-y)·(-y)2·(-y)3=(-y)1+2*3= (-y)6=y; (5)(-x)2·x3=x2·x3=x2+3=x5 7.C【解析】x8=5,x6=10,.xa+6=x2·x6= 5×10=50. 8.D【解析】小3*=y,.3+1=3×3=3y 9.3【解析】x3·x+1=x,3+a+1=7. .a=3. 10.-45【解析】-3+2=-3×32=-5×9=-45. 11.解：(1)1*3=2×23=16； (2)2*（2x+1)=64,.22×22x+1=26」 22+1=24.2x+1=4.小x=2 3 12.A【解析】根据同底数幂的运算法则，得x+ y=5,又：x,y为正整数，.有4对. 13.32【解析】25×5×5=52×5×5= 52++1=55,故2+x+1=5,解得x=2..x3= 25=32. 14.解：(1)原式=y+2+y+2=2y+2; (2)原式=-(m-n)4·(m-n)·(m-n)3= -(m-n)4+1+3=-(m-n)8. 15.(1)34【解析】3=27=33，c=3,即(3， 27)=3;2°=16=24，∴.c=4,即(2,16)=4. (2)证明：：(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c, 5〉15.4综合与实践 最短路径问题 基础通关 OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5， 垂线段最短 则a= () 1.已知在平面直角坐标系中点M(-4,2),若点 N是y轴上一动点，则M,N两点之间的距离 最小值为 ( A.-4 B.2 A.30° B.45° C.60° D.90° C.4 D.-2 四垂线段最短和两点之间线段最短 □两点之间线段最短 6.如图，点P在锐角∠AOB的内部，在OB边上 2.A,B是直线l上的两点，P是直线1上的任意 求作一点D,在OA边上求作一点C. 一点，要使PA+PB的值最小，那么点P的位 (1)使PD+CD最小，并说明依据的数学道理； 置应在 ( (2)使PD+PC+CD最小，并说明依据的数学 A.线段AB上 道理 B.线段AB的延长线上 C.线段AB的反向延长线上 P D.直线l上 04 3.如图，在平面直角坐标系中，有点A(-2,4) 图1 图2 和B(4,2),在x轴上取一点P,使点P到点A 1. 和点B的距离之和最小，则点P的坐标是 ( y -+-4-0B 凹平移和轴对称解决最短问题 7.如图，已知A,B是两个定点，在定直线l上找 两个动点M与N,且MN等于定长d(动点 A.(-2,0) B.(2,0) M位于动点N左侧)，使AM+MN+NB最小. C.(0,-2) D.(0,3) 4.如图，在△ABC中，AB⊥AC,AB=3,BC=5, A。 AC=4,EF垂直平分BC,P为直线EF上的任 意一点，则△ABP周长的最小值是( A.12 B.6 C.7 D.8 5.如图，已知∠A0B的大小为a,P是∠AOB内 部的一个定点，且OP=5,点E,F分别是OA, 43 能力突破 【变式1】如图，P,Q是∠MOW内的两定点， 8.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4,面积是 分别在OM,ON上寻找点E,F,使得四边形 16,AC的垂直平分线EF分别交AC,AB于点 PQEF的周长最小. E,F,若D为BC的中点，点M为线段EF上 一动点，则△CDM的周长的最小值为（) P 0 M A.6 B.8 C.10 D.12 9.如图，在五边形ABCDE中，∠AMN+∠ANM= 84°，∠B=∠E=90°，在BC,DE上分别找一点 M,N,当△AMN的周长最小时，∠BAE的度数 为 B 【变式2】如图，在△ABC中，点D,E,F分别 M 在AB,AC,BC边上，求作周长最小的△DEF. A.96°B.106° C.126°D.138° 10.如图，∠AOB=30°，∠A0B内有一定点P,且 OP=15,若在OA,0B上分别有动点M,N,则 △PMN周长的最小值是 M一A P 0 N B 素养达标 11.模型观念如图，已知∠MON内有一点A, AB⊥OM于点B,AC⊥ON于点C,点E,F分 别为OB,OC上的动点，若∠M0N=50°，则 当△AEF周长最小时，∠EAF的度数是 多少 44